Skip to main content

Full text of "A course in mathematical analysis"

See other formats


^ 



V 




COURS 



D'ANALYSE MATIIEMATIQUE. 



33207 PARIS. — IMl'IUMEniK G A I T il I E R - V 1 L L A U S, 
Quai dcs Grands-Au[;ustins, .')5. 



[■336jrn- 



COUKS l)K K\ FXClLTi: DKS SCIKNCKS l)K I'AIUS. 



CO II I! S 



D'ANALYSK MATIIEMATIQLIE 



KnouAui) GOUUSAT, 

Prnfesscnr ii la FacultiJ Jes Suieiieos de Paris. 



TOMI^ U. 



Tin: 1! IE i)i:s ko notions an alytiqij es. 

EQUATIONS DIFFEUENTI ELLES. — EQUATIONS AUX DERIVEES PARTI ELLES. 
ELEMENTS DU C A L C U I. DES VARIATIONS. 







PARIS, 

('. \nilli:i{-MIJ.\KS, IMPKIMKLH-LII5IIAIIJE 

i»u iiiiu;Ai iti;s i.(»N(. IT u n i:s , i>k i.'kcoi.i: i«o i, vtkc ii .n ly f k, 
Quai (Ics Grands- \u^iisliiis, .')j. 

1 T()u> (Iniils reservesj. 



303 

\R02 



PREFACK. 



Ce volume rcnferme la fin de mon Cours de la Faculle des 
Sciences. La llieoric des ("oncLions analjllqucs occiipc presque la 
nioilie dii volume, cc f|ui s'expli(|ue snlfisaniment par le rule pre- 
ponderant de CCS fonclions dans ['Analyse moderne. Dans celle 
exposition, jo ine suis place presque conslamment au point de vue 
de Canclij. Sans nier Tinleret des nielhodcs fondces uniqueraent 
sur les proprieles des series entieres, il me semble que les deux 
theories, bien loin de s'opposer, se conipletent adniirablemcnt. Si 
Tempioi exclusif des series entieres pent seduire certains esprils 
s}'Slematiques, je ne pense pas cependant qu'aucun d'cux ait pu 
songer a biiiinir de renseigncmenl les methodes si simples et si 
fecondes de Caucliy. 

Quoi(|ue je n'aic pas voulii m'astreindre a ne pas depasser les 
limiles, loujours un pen ctroites, d'un programme d'examcn, ce 
volume est avant tout un livre d'enseignement. Dans aucune 
directit»n, je n'ai cherchc a conduire le lecteur jusqu'aux bornes 
actuelles de la Science. J'ai seiiKinent essaje de fairc unc place, a 
cole de llieories depuis longtemps classiques, a quelques theories 
plus recenles. Mon but sera alteint si je puis inspirer a quelques 
lecleurs le desir d'en ap|)rcndrc davanlage. 

MM. Emilc Collon et Jean Clairin m'onl continue lour precieux 
concours pour la correction des epreuves; M. Louis Dunojer, 
eleve a I'Ecolc Normale, a bien vouiu, iui aussi, prendre sa part 



V, I'UKKACK. 

cic cello lachc lni;ralo. M. Gaiilliicr-Vilhns, aprcs avoir accueilli 
ccl onviago avec oinprcssement, n'a rieii ueglij;e pour assurer 
hi perfeeliou de roxeculiou tvpographlque. C'esl pour nioi un 
airreable tlevoir tie leur adrosscr a lous nics sincercs remercic- 
men Is. 



31 niai iQoo. 



E. GotRSAT. 



COUKS 

D'ANALYSE MATIIEMATIQLE. 



CHAPITRE XIII. 

FONCTIONS fiLfiMENTAIUES DUNE VARIABLE COMPLEXE. 



I. — GENERALITES. — FONCTIONS MONOGENES. 

259. Definitions. — On appelle quantite imaginaire , ou 
quanlitc compiexe, toute expression de la forme a + bi^ a et b 
elanl deux nombres reels qiielconqiies, et i un symbole parti- 
culler que Ton a ete conduit a introduire en vue de donner a 
I'algebre plus de generalitc. Une quantite compiexe n'est an fond 
qu'un svslt'me de deux quantitcs reellcs, rangees dans n\\ certain 
ordre. Quoique des exj^ressions tellcs que a — bl n'aient par 
elles-memes aucune signification concrete, on convient de leur 
appliquer les regies ordinaires du calcul algebrique, en conve- 
nant en outre de remplacer partout le carre /- par — i. 

Deux (pianlltes imaginaircs a -^ bi et a' - U I sont dites 
egales, si Ton a ci^^a, b'=b. La somme de deux quantites 
imaginaires a -^ bi et c -\- di est un sjmbole de meme forme 
a -V- c -\- i{h -\- d)\ de meme la dillerence a-\- bi — {c -\- di) est 
egale a a — c-~i(b — d). Pour obtenir le produit de a ^ bi 
par c — di^ on elFectue ce produit par la regie habiluelle de la 
multiplication algebrique, et Ion remplace i- par — i , ce qui 
donne 

{a -'- bi){c -(- di) — ac — bd -\- i(ad h- he). 
G., II. I 



CIIAPITRK XIII. — FONCTIONS D I NE VAniABLt: COMPI-EXK. 

Le (iiiolicnl de a -r- f'l p^i" c -r di csl un Irolsieme sjmbole 
imaginairc O" -\-yi qui, nmlliplie par c -h ^/, re|)roduil rt + bi. 

L'egalite 

<7 - />/' = ( c -" f/t ^ ( .r -4- yi I 

rqulvniit, d'apri's la reple de la nmlliplication, aux deux relations 

cr — dy = a, dx ~r- cy = b, 

d'nu Ton tire 

ac -v bd be — ad 



Le cMiolicnl de a — ^>/ par c -f- c^i se represenle par la nolalion 
habiliielle des fractions algehriques, et Ion ecrit 

a -\- bi 
X -\- yi= ■ — — -J-.; 
•^ c -^ di 

pour calculor comniodement x et j)^, il suffit de multiplier les 
deux lermes de celte fraction par c — di et de developper les 
produils indiques. 

Toules les proprieles des operations fondamenlales de I'algebre 
s'elendent aux operations effecluees sur les symboles imaginaires; 
A, B, C. ... designant des sjml)oles imaginaires, on a 

A.B = B.A, A.B.C = A.(B.C), A(B -^ C ) == AB — AC, 

el ainsi de suite. Les deux imaginaires « + 6i et a — bi sont 
des imaginaires conjuguees. Les deux imaginaires a H- bi et 
— a — bi^ dont la somme est nulle, sont opposces ou synie- 
tiiques. 

Etanl donne dans un plan un systeme de deux axes rectangu- 
laires ayant la disposition habituelle, on represente la quantite 
imaginaire a—,-bi par le point M du plan xOy, dont les coor- 
donnees sont x^=^a, jz=^b. On donne ainsi une signification 
concrete a des expressions purement svmboliques, et toute pro- 
position elablie pour les quantitcs imaginaires correspond a un 
tbcor«'me de geometric plane. Mais les plus grands avantages de 
cette representation apparaitront encore mieux dans la suite. Les 
quanlites reelles correspondent a des points de I'axe Ox qui, pour 
celte raison, est appele aussi axe reel. Deux imaginaires conju- 
guees a -1- hi el a — bi correspondent a deux jioints sjmelriques 



I. - gi':m':r\litks. — fo.nttions monogenes. 3 

par rapport a 0.r; deux quanlltes opp().s(''es a -'— bi ot — a — bi 
sonl represcnlees par ties puinls symclricjucs relalivenienl au 
point O. 

La fpiantile a -\- bi qui correspond au point M de coordon- 
nees (<^, b) s'appelle aussi quelquelois Vajfixe de cc point. Quand 
il n'y aura aucune ambiguVte a craindi'e, nous designerons par la 
meme lettre une (pianlilc iiiuiginaire et le point qui la represente. 

Joignons Torigiiie au point ni de coordonnecs («, b). La dis- 
tance Oni s'appelle Ic module de a — bi^ et I'angle dont il faul 
f'aire lourner iine denii-droite couchee sur Ox pour ramcncr 
sur O rn (cet angle etant compte comme en trigonometric de Ox 
vers Oy) est Vargument de « + bi. Soient p et to le module et 
I'argument de « -{- bi-^ enlre les quanlites reelles a, b, a, to, on a 
les deux relations a = o cos to, b = p sin to, d'ou Ton tire 

p = \/ a--r- b-, cos 



/«« — 62 ^ /a2 -+- b^ 

Le module, nombre essentiellenient posllif, est determine sans 
ambiguite, tandis que I'argument, n'etant connu que par ses 
lignes trigonometriques, n'est determine qu'a un multiple pres 
de 2-, ce qui elait evident d'apres la definition meme. Toute 
([iianlite imaginaire admet done une infinite d'argunients, formant 
une progression arithnietique de raison 2-. Pour que deux quan- 
tites imaginaires soient egales, les modules doivent elre egaux ; 
il faut de plus que les arguments difierent d'un mullijjle de it, 
et ces conditions sont suffisantes. Le module d'une quantite ima- 
ginaire z se represente par la meme notation \z\ que la valeur 
absolue d'une cpiantite reelle. 

Soient z =^ a — bi, z' ^=^ a' -^ b' i deux quantitcs imaginaires, 
et /«, m' les points correspondants; la somme z -\- z' est repre- 
sentee par le point in", sommet du parallelogramme construit 
sur Om el O ni' . Les trois cotes du triangle O mm" {fig. 53) sont 
egaux respectivement aux modules des quantitcs ^, ^', ;; + z' . On 
en conclut que le module d'une somme de deux quantites est 
infetieur ou au plus cgal a la somme des modules des deux 
termes, et supcrieur ou au moins egal a Icur difference. Deux 
quantites opposees avant le meme module, le theoreme est vrai 
aussi jjour le module d'une difTerence. Enfin on voit de la meme 



4 niAPiTnE \iii. — FONCTioNS d'une variable complexe. 

facon que le module de la somme d'lin nombrc quelconque de 
quanliles iinagiuaires est an plus egal a la somme des modules, 
I'egalile ne pouvant avoir lieu que si lous les points qui repre- 



Fie. 53. 




sentent ces diverses quantiles sonL sur une demi-droite issue de 



Torigine. 



Si parle point m on mene les deux droites mx' , my', paralleles 
a O^ et a Oy, les coordonnees du point m! dans ce systeme d'axes 
sent a' — a et b' — b {fig- 54)- Le point m' represente done 



Fig. 54. 



y 


/yew 


f 






//^''In 




J?' 









,c 



z' — ^ dans le nouveau systeme; le module de ^'— ^ est egal a la 
longueur mm' et I'argument est egal a I'angle que fait la direc- 
tion mm' avec m.x' . Menons par O un segment Om, egal et paral- 
lele au segment mm'] I'exlremite m, de ce segment represente 
z' — z dans le systeme d'axes Ox, Oy. Mais la figure 0mm' mi 
est un parallelogramme; le point /;?, est done le point symelrique 
de m par rapport au milieu c du segment Om' . 

Rappelons encore la formule qui donne le module et I'argu- 



I. — GKNKRVLITES. — FONCTIONS MONOGENES. 5 

mcnl (111 prodiiil d'un nonibre qiicIcoiu|ue de faclcurs. Soienl 

z/^- — 0/, ( COS (>)/,. -+- / sin (0/ "i ( /■ - - i , a, . . . . n j 

ces facU'urs ^ la rtglc de imilliplicalion, condjinee avcc les foiimdes 
d'addition des lignes trigonometric|iies, donne pour le produit 

-1 ^2 . . . :;„ = pi oo • • . 3/1 [cos (w, -i-co2-T-...-f-io„)-t- isin(u)i -i- Wj -!-... h- w„)1, 

cc qui niontre ([uc le module dii produil est egal an produit 
des modules, et V argument du produit egal a la somme des 
arguments. On on doduii sans jieinc la celrbre formule dc Moivre 

ens /// (1) -i- I sin m cu — ( cos co ^- i sin w )"'. 

qui renlcrme, sous unc lornie exlremement condensee, toules les 
formules de mulliplicalion des fonctions circulaires. 

L'introduclion des sjmboles imaginaires a permis de donner a 
la theorie des equalions algebrifjues une generalilc et une syme- 
Irie parfailes. C'est du reste a pro|)os des equalions du second 
degre (|ue ces expressions se sonl offerles pour la premiere fois. 
Lour iinporlance n'esl pas nioins grande en Analyse, et nous 
aliens d'abord expliquer d'unefacon precise ce qu'il faut entendre 
par ces mots : fonetion d'une variable imaginaire. 

26(K Fonctions continues d'une variable complexe. — Une 
quanlile complexe z-:=x-\-yi^ ou x cX y sont deux variables 
reelles independantes, est une variable complexe. Si Ton conserve 
au mot de fonetion son accoption la plus generale, il parait 
naturel de dire que toule auire quantite imaginaire ?/, dont la 
valcur depend de celle de z, est une fonetion de z. Un certain 
nonibie de definitions s'elendent d'elles-memes. Ainsi, on dira 
(ju'une fonetion a :=f[z') est continue si le module dc la difle- 
rencey(x; -f- h) — f{z) tend vers zero lorsque le module de h tend 
vers zero, c'esl-a-dire si a tout nombre positif s on pent fairc cor- 
respoiidre un aulrc nombre j)ositif Tj id que I'on ait 

|)0urvu que ] // j soil inferieur a r,. 
Une serie 

dont les diflTerents termes sonl fonctions dc la variable complexe ;, 



6 (lUPiTin: XII!. — FONnrioNS d'ini: vAniARLi: compi.kxk. 

est iini/ornu'/ncni converge/i/e dans imc region A dii plan si a 
loiil nonil)re posilif £ on pent fairc corrcspondre iin nombre 
entier N tel que Ton ait 

i l^/i I -^ 1 1'„ (z) ^ u„+i ( :; ) -r- . . . I < £, 

pour loulcs les valours do :; prisos dans la i-ogiou A, pourvu que/? 
soit^N. On demontre comme plus liaui ( T, n" 173) que la sommc 
d'nne seric uniformement convergenlc dans une region A, etdonl 
lous les ternies sont des fonclions continues de :; dans cette re- 
gion, est elle-menie une fonclion continue do la variable z dans la 
meme region. Une serie est encore uniformement convergenle si, 
pour toutes les valeurs de ;; considoroes, le module d'un terme 
quelconquo \itft\ est inferieiir au terme correspondant v,/ d'unc 
serie convergente, dont tons les termes sont des nombres con- 
stants et positifs. La serie est alors a la fois absolument et unifor- 
mement convergente. 

Toute fonction continue de la variable comploxe ;: est de la 
forme if=zV{x^ J'j~r"'Q(-^? JK)> P et Q etant des fonctions 
reelles continues des deux variables reelles a:, y. Si Ton n'ajoutait 
pas d'aulres conditions, I'ctudc des fonctions d'une variable coni- 
plexe z reviendrait done au fond a 1 etude d'un systeme de deux 
fonclions de deux variables reelles; 1 emploi du symbole i n'ame- 
nerait que des simplifications illusoires. Pour que ja tbeorie des 
fonclions dune variable complexe presente quelque analogic avec 
la theorie des fonctions d'une variable reellc, nous cbercberons 
avec Caucbv a quelles conditions doivent satisfaire les fonctions P 
et Q pour que I'expression l?-{-iQ possode la propriete fonda- 
nienlaie des fonctions d'une variable reelle auxquelles s'appliquc 
le calcul infinitesimal. 

261. Fonctions monog6nes. — S'l f{x) est une fonction de la 

• II 'II I I' • ' I f{x-\r-h) — fix 
variable reelle ;r an mettant unederivee, le rapport ^^ -, 

tend vers y'(x) lorsquc // tend vers zero. Cherclions de meme 
dans quels cas le quotient 



As A:r -T- tAjK 
tend vers une limite doterminec, lorsquc le module de A:; lend 



c 
tie z 



I. — GENKKALITKS. — KONCTIONS MONOCiENKS. 7 

vers zei'O, c'csl-a-dlre lors(|iie Aj; et A/ leadenl separement vers 
zdro. II est facile do prevoir que cela n'aura pas lieu si Ics foric- 
lions P(:r,y) etQ(\r,y^ sont c[uolconf[ues, car la limite dii rap- 

port prt'cedcnt d('pcnd en general de la liinilc du rapport -^ » 

'esl-a-dire de la facoii doiit le point ipii reprcsenle la valeiir 
le ^ -T- A se rapproclie du point qui represenle la valeur de ^. 

Laissons d'abord y constant et altrihuons a x une valeur voi- 
sine X -^ Aa:, il vient 

pour que ce rapport ait une liuiite, il (aut cpie les fonctions P et Q 
admeltent des derivees partielles par ra|)port a x^ et cette limite 
a pour expression 

lini =: ■- L ^ • 

A :; ox Ox 

Supposons ensuile x constant, et doniions ay la valeury — Av', 
nous avons 

la V(x,y-^lv) — Pi.r. r) (^{x,y-^\v\ — Qla-, r) 
iz ^ U} ^ A^^ ' 

et le rapport aura une Innitc egale a 

dq .dP 

oy Of ' 

pourvu que !es tonclions P et (^ adiiictlent des derivrcs par- 

tielles par rap[)ort a r. l*our ([ue les liniites du rapport _ soient 
les inenies dans les deux cas, il faut que I'on ait 

Ox dy dy dx 

Supposons que les (onctions i* et Q verident ccs conditions, 

, i . ■ . . .. o\* <)? oq oo . I f .• 

et (luc les a(Miv<'es partielles — > -— > — » — ^ soient tics lonctions 
• ' Ox Oy Ox Oy 

nlinues. Si nous attrdjuons niaintenant a ^" et ix y des accrois- 

ments quelconques Aj:, Ay, nous pouvons t^crire, en dt^signant 



CO 

semen 



8 CIUPITRE XIII. — FONCTIONS d'UNE VARIAni.E COMl'LEXE. 

par el 0' des nombx'cs posilifs plus petils que iin, 

AP = P {X -^ ^.r. r -~ \y) — P (x -h \x, y) -i- P{x -^ \x, y) — r (x, y) 
= Aj P\(x-^ \x, J H- e AjK H- ikxP'^ix — 0' Ax, y) 
= \T[P'^{x,y) -+- £j ^ Aj[P;.(a7, y) -4- £,], 

cl Ton a de meme 

AQ = A3^[Q.;(ar, ^j -^ s'J + Ar[Q;,.(x, y , - e',], 

e, e', £,, e', elanl infinlment pelils en nienie temps que A^ et Ay. 
La difTerence Af/ = AP-hzAQ peut s'ecrire, en tenant compte 
des condilions (i). 



/dP 

Am = Aa"( ^— 

\ox 

= (\T -T- I 



^y)( 



dp 

Ox 



A; 



•(-■?.-'■ 



.dP 



-J- r, A:r -+- r, ' Aj/- 






■r\ et r/ elanl infininient pelils. II vient done 



Ai 



dP 
dx 



dQ 
dx 



r, A.r 



'^J. 



\x -i- i \y 



si |yi| et |r,'| sont plus petits qu\in nombre a, le module du terme 
complementalre est inferieur a 2a. Ce terme tend done vers zero 
lorsque Ax et Ay lendent vers zero, et Ton a 



lim 



A a 
A^ 



dP 

dx 



oQ 

dx 



Les conditions (i) sont done necessaires et suffisantes pour que le 



Am 



rapport — ait une limite unique pour cliaque valeur de z, pourvu 

que les derivees parlielles des fonctions P et Q soient continues. 
La fonction u est dite une fonction monogene ou analytique (') 
de la variable ^ ; si on la represenle par/(s), la derivee f'{z-) est 
egale a Tune quelconque des expressions suivantes qui sont equi- 
valentes : 



., OP .dq 



dO .dp 

Oy dy 



dP 

dx 



dP 

dy 



dy 



dx 



( ■ ; Le mot monogene a ete souvent employe par Caucliy. On dit aussi quelquefois 
synectique. Nous emploierons plulot le mot analytique; on montrera plus loin 
que celte definition est bien d'accord avec celle qui a ete donnee antericurcment 
(I, n" 191). 



I. — (iKNKUAI.ITKS. — lONCTIONS MONOiiKNKS. 9 

II est essciilicl tie rcmarf|tici' (jirauciinc ilcs dc'ii\ loiiclions 
^{-^t y)i QC-^' y) "^ peul t'lre prise arhitraircinent. lin ellet, 
supposons que les fonclions I* el Q admellenl des derivees du 
second ordre; si Ion dillVMentie la j)remiere des rehilions ( i) par 
rapport a x, la seconde par rapport a j', il vienl, en ajoulanl les 
deux relations obtenucs, 



A,P=: 






on' 



o, 



ct Ton denioiitre tie la nienie I'acon que Ion a AoC^ ^^ o. Les deux 
(bnctions P(^,y), Q(-2?,J') sont done deux solutions de I'equa- 
tion de Laplace. 

Inversenicnt, toule solution de I't^qualion de Lapkce pent etre 
prise pour I'une des fonclions P ou (). Soil ])ar exemple ^{x,y) 
une solution de cetle equation; les deux relations (i), ou Q est 
consideree comme une fonclion inconnue, sont compatibles, et 
I'expression 



P(^, y) ^ i 






(pii est delerminee a une constante pres C, est une fonclion niono- 
<^ene dont la parlie rt^elle est P(:c, r). 

L'etude des fonclions analytiques d'une variable complexe :; 
revient done au iond a l'etude d\in sjsleme de deux fonc- 
lions P(x, jk), Q(-2^, J^) <-le deux variables reelles x et y, salisfai- 
sant aux relations (i), et Ton pourrail developper toule la lh(eorie 
sans employer le sjmbole ^'('). Nous continuerons cependant a 
nous scrvir du svinboiisme de C;iucliy, lout en faisant remarqner 
que la dillerence des deux melli(jdes est au fond plus apjjarente 
que reelle. Tout theoremc elabli pour une fonclion anal vli(piey^(2) 
se Iraduil immedialement par un iheoreme equivalent relalif aux 
fonclions P et Q, et inversemenl. 

Erenxplcs. — La fonclion « = a?' — y-~ nixy est une runclion ana- 
Ivlique, car les relations (ij sont verifities, et la derivee est 2 a- -H 2f >' = 2- ; 
cetle fonclion u n'est autre que {x -^ iy)- =■ z'^. Au contraiie, i'expres- 



(') C'cst en general a (.e point dc vne que se placent les geomOtrcs allemands 
de I'icole de Hicmann. 



|() CM \IMTIli; XIII. — • I-ONCTIONS 1) I Nli YAKIAUI.K CO.MI'LKXK. 

sion t' — .r — iy nest pas iiiie fonction analyt i([iio ; on a, en eflel 

I — / ^- 
A.r 






\v 



el il est riair quo la limite dii rapport — depend do la limile dn rap- 
port ^.. 

Quand on pose x = p coso), j' — p sinw, en appliquanl les formulos du 
changemenl de variables (I, n" 38, p. 84), 'es relations (i) dcviennenl 



(3) 



dP 



' do Om 



~0o 



et la derivec a pour expression 



\ ^? ' ^? 
On verifie aisenienl, au moyen de ces formules, que la fonction 

z'" = p'" ( cos 771 CO -^ t si n m to ) 
est une function analytique de z, dont la derivce est egale a 

mp»i-\ ( cosm to -^ i sin/rtco)( cosio — i sin w ) — niz'"-^. 

26-. Fonctions holomorphes. — Lcs geueralilcs (|ui precedent 
sont encore iin pen vagnes, car il n'a pas ele question jnsqu'ici 
des limiles enlre lesquelles on fait varier la variable :;. 

Une portion A du plan est dile connexe ou d'un seul tenant 
lorsque Ton pent joindre deux points quelconcjues pris dans cette 
portion par un cliemin conllnii rpii est situe lui-meme tout entier 
dans celte portion du plan. Une portion connexe, et situee tout 
enliere a distance finie, pent elre limilee j)ar une ou plusieurs 
courbes lennees, parmi lesquelles il y a loujours une courbe 
ferniee qui la limite exterleurement. Une portion du plan s'eten- 
dant a rinfini peut se composer de I'ensemble des points situes i\ 
I'exterienr d'une ou de plusieurs courbes fermees; elle peut aussi 
etre limilee par des courbes avanl des branches infinies. Quand il 
ii'v aura pas d'ambiguVte a craindre, nous emploierons indifferem- 
ment le mot aire ou region pour di-signer une portion connexe 
du plan. 



1. — r.KNKIVM.lTKS. — lONCTIONS MONOGKNES. II 

Uno foiicLioriy ( z) dc la vatiahle C()ni[)lcxc :; csl dile holomorphe 
dans line region conncxc A du plan, si elle salisfait aux condilions 
suivanles : 

i" A tout point :; de A correspond une valcur determinee 
de/(3); 

2" f{z) est line fonction continue de :; lorsque le point z se 
deplace dans A, c'cst-a-dire que le module de f(z- -\- h ) — fi-^-) 
lend vers zero avec le module de A ; 

3" /(v") admelen chaque point ;; de A une derivee uniquey'(.3), 
c'est-a-dire qu'a tout point :; correspond un nombre complexe 
f'[z) tel que le module de la dilTerence 

Ti •' ^"^ 

tend vers zero lorsque \h\ tend vers zero. A tout nombre positif s, 
on pent alors faire correspondre un autre nombre positif r, tel 
que Ion ait 

(4) |/(- + /,^_/(-,_/,/'(5)|<clA| 

pourvu que \h\ soil inferieur a Ti. 

Nous ne ferons pour le moment aucune hypothese relativcment 
aux valf'urs de f( z) le long du contour qui limite A. Quand nous 
dirons qu'une (ouction f{z) est holomorplie a I'interieur d\ine 
aire A limitce par iin contour ferme T et sur le contour Uii- 
meme, il faudra entendre par la que f{z) est holomorphe dans 
une region A, renfermant le contour F et la region A. 

Une fonction analvtique /(z) n'est pas necessairemcnt holo- 
morphe dans tout son domainc d'existence ; elle admet en general 
des points singulicrs, f[ui pcuvent elre d'especcs tres varices. 11 
serait premature d'indicpier des main tenant une classification de 
ces points singulicrs, dont la nature nous sera revelee precisement 
par I'elude qui va elre faile. 

:2G3. Fonctions rationnelles. — Les regies qui donnent la de- 
rivee d'une somme, dun produit, d'un quotient, elant des conse- 
quences logiques de la definition dc la derivee, s'ctendenl aux 
fonctions d'une variable complexe. 11 en est de meme de la regie de 
derivation d'une fonction de fonction. Soil ii =y(Z~) une fonclion 



CIIAIMTIU: XIll. 



I'ONCriONS D UNE VAIUABI.E COMPLEXP:. 



analjlique de la variable complexe Z; si Ton remplace Z par une 
autre lonclion analytiqne o^z) d'une aulre variable complexes, 
// est encore une fonclion analjtiqiie de la variable z. On a, en 
eflet, 



In Aa AZ _ 
a3 "" AZ ^ Ai ' 



lorsqne j A^j lend vers zero, il en est de nieme de | AZJ ct chaciin des 

^u AZ , ,. . 

rapports -^ > — tend vers une hmi 

tend done liii-nienie vers une liniite 



Au AZ , !• • 1 ' • . T ^if- 

rai>norts m 7 — tend vers une hmite deterininee. Le rapport — 

' ' AZ Ac ^ * As 



,- ^11 r. r, , 

lim -— —J ( Z )o ( z ). 

Nous avons deja verifie plus haut (11" 261) (jue la fonclion 

z"'= (r-^ iy)'" 

<'tait une I'onction analytique de z, avant pour derivee mz"^~*. 
On peut le voir directemenl comme dans le cas d'une variable 
reelle. En efTet, la forniule du binome, qui repose uniquement 
sur les proprietes de la multiplication, s'etend evidemment aux 
quantiles complexes. Nous pouvons done ecrire, m etant un 
nombre entier positif. 

mi in — I ) 



(z — h ;'« 

et par suite 

(s -4- h)'" — z 



'■- z"'-^li 

I 



7t2. 



/?is'»-i-;- h 



m I m — I I 



il est clair que le second membre a pour limite inz"^~'^ lorsque le 
module de h lend vers zero. 

Tout polynome entier a coefficients quelconques est done aussi 
une fonclion analytique, qui est holomorphe dans tout le plan. Une 
fonclion ralionnelle, c'est-a-dire le quotient de deux poljnomes 
enliers ^{z), Q(^), que I'on peut sujiposer premiers enlre eux, 
esl aussi une fonclion analytique, mais elle admet un certain 
nombre de points singuliers, les racines de I'equalion Q(-s) = o. 
Elle esl holomorphe dans toule region du plan ne renfermant 
aufuue de ces racines. 



I. - r.KNERALITES. FONCTIONS MONOGENES. \^ 

^()i. Etude de quelques fonctions irrationnelles. — Lorsque le 
point ; dt'crit tine courljc conlinue, Ics coorddnnees x ely, alnsi 
([lie le module p, varicnl dune inaniere conlinue, ct il en est de 
meme de Tari^ument, pourvu que la courhe decrite ne passe pas 
par I'orij^ine. Si le point :; dc'crit une courbe fennee, x^y el p re- 
viennent a leurs valeurs initiates, mais il n'en est pas loujours ainsi 
de I'argument. Si I'origine est en dehors de {'aire enveloppee par 
la courbe fermee 'Jig'. oS''), il est clair que Taigument revient a 
sa valeur iniliale; mais il n'en est plus de meme si le points 
decril une courbe telle que iNJoNPMo ou Monpq^lo ( /Ig. 55*). 

Fig. 55". 





Dans le premier cas, Targumenl reprend sa valeur initiale aug- 
mentee de 2-, et, dans le second cas, il reprend sa valeur ini- 
tiale augmenlee de 4~- H est clair que Ton pent faire decrire a la 
variable z- des courbes fermees telles que, si Ton suit la variation 
continue de I'argument le long de I'une d'elles, la valeur finale 
difiere de la valeur iniliale de 2/?-, n etant un nombre entier 
arbitraire, posilif ou negalif. D'une fagon generale, lorsque z 
decril une courbe fermee, Targument de c n reprend sa valeur 
iniliale pourvu que le point a soil en dehors de I'aire enveloppee 
par celte courbe fermee, mais on pent loujours clioisir la courbe 
decrite par z de facon que la valeur finale de Targumenl de :; — a 
soil egale a la valeur initiale augmentde de 2n~. 
Cela pose, considerons I'equation 

ou m est un nombre enlicr posilif. A toule valeur de z^ sauf ; = o, 



1 4 CHAPITBE XIII. — FOXCTIONS d'uNE VARIAIILE COMPLEXK. 

celle relalion fail corrcspondre m valeurs dislincles dc u. Si uous 
posons en efTet 

;: ;^ o( cosw — I sin co), if = r( cos'f -^ t sintp ), 

la relalion (5) esl eqiiivalenle aux deux suivanles : 

r'" = p , mo ^= M -T- 1 k -K ; 

\_ 
on tire de la premiere /• = p'", c'esl-a-dire que /• esl egal a 
la racine m'*"" aritlimclique du nombrc positif p. Nous avons 

ensuite c; = ^"^ ~~ el, pour oblenir loules les valeurs dislincles 

' m ^ 

de w, il siiffil dc donner au nombre enlier arbilrairc A' les m 
valeurs enlieres conseculives o, 1,2, ...,/?? — i : nous oblenons 
ainsi les expressions des m racines de I'equation (^5 1 

■'i.k~\ . . /iM — 'ikn 



(6; «A = o"'[^cos( j-isin(- 



(A = o, 1 , 2. . . . , w — i)\ 



on represente encore par z'" I'une quelconque de ces racines. 

Lorsque la variable :; decril une courbe conlinue, chacune de ces 
racines varie elle-nienie d une nianiere conlinue. Si z decril une 





courbe fennee laissanl Torigine a I'exlerieur, rargumenl oj revienl 
a sa valeur iniliale, el chacune des racines Mq? W), ..., iim-\ 
decril egalemenl une courbe fermee (fig- oG'*). Mais si le poinl .; 
decri[ la courbe MoNPMo ^' Jig- 55*^, oi se change en w -r- 2t, la 
valeur finale de la racine uiesl egale a la valeur iniliale de i^/+i, cl 
les courbes decriles par les differenls poinls racines formenl une 
seule courbe fermee {Jig. 56*). 



I. — (JKNKn.M.ITKS. — FONCTIONS MONOGENICS. l5 

Ces m raclncs «oi '/ii • • •• Hm-K ^o pcrmiileiU done circulaire- 
ment lorsque la variable z decrit dans le sens diiect line conrbe 
fermee sans point double ronfermantl'orlgine. II esl elair (luc Ton 
})eul fairc deerirc a z un eheniin fernie lei (|iic Tune dcs racincs 
parlanl dc la valeiir initiale u^^, par cxcniple, sa valcur (inalc soil 
egalc a rune qiielconqiie des aiilres raeines. A nioins de icjcler la 
contintiile, on ne pent done considerer les m raeines de I'equa- 
tion (;V) conime aiilant dc fonclions dislineles de z, mais comme m 
branches dislineles d'une meme fonclion. Le point ^ = o, aulour 
duquel so pernuilenl ees ni valeurs de u, est ap|)clc point crilirjue 
ou point dc ramificalion. 

Pour que les ni valeurs de u puissenl elre considerees conime 
des fonclions dislineles de :;, il faut inlerrompre la conlinuilc de 
ces raeines le long d'une ligne indefiuie issue de I'origine. On 
pent se representer d'une fagon concrete celte solution de conti- 
nuile de la maniere suivante. Iniaginons que, dans le plan oil I'on 
represenle la valcur dc :;, on trace une coupure indefinie suivant 
une dcnii-droile issue dc I'origine, par exemple suivanl la denii- 
droile OL (/ig. 5^), et qu'on ecarte legerement les deux bords de 



Fii 



- 


y 


\L 




^v /» ' 


. -,^ 


nt . N. 


\ 


N^ 


^x j 


'^~-- 


/ J> 



cette coupure, dc facon que Ic cbemin suivi par la variable ne 
puisse passer d'un bord a I'autre. Dans ces conditions, un chcmin 
i'crmc q'uclconque nc pent cnlourer I'origine; a cliaque valcur de z 
correspond une valcur bicn dclerminec des /// racincs ;//, qne 
Ton obtiendra en prenant pour rargunient txi la valcur comprise 
cnlre a et a — 27;. Mais il faul observer que les valeurs de w/ en 
deux points inliniment voisins /», ni' , de part et d'aulre de la cou- 
pure, ne sonl pas les mcmcs. I^a valcur de ;/, au poiiil ni' csl cgale 



i6 



CIIVI'ITRE XIII. 



KONCTIONS n CNK VAUIABLE COMPLEXE. 

■X- 



a la valeur cle //, an point ///, mulliplit'e par (cos— -f-f sin — '-V 

Cliaciine des racines dc rccpialion (5) est une fonclion mono- 
gene. Soil Uo une des racines pour une valeur donnee Zo\ a uno 
valeur r voisine de -t,, correspond une valeur u voisine de Uq. Au 

lieu de cherclicr la limite du rapporl _ _ _° > on pcul chercher la 
limitc du rapporl inverse 



U — U<j U — Mo 

celle limite est egale a nui"^''^ . On a done, pour la derivee de w, 
I'expression 

II \ u 

in z 



m //'"-I 



que Ton peul encore ecrire, en inlroduisanl les exposanls negatifs. 



I — 1 
u = — z'" : 



mais, pour avoir sans ambiguite la valeur de la derivee qui cor- 
respond a I'une des racines, il vaul mieux prendre I'expres- 
sion A I'inlerieur d'une coiirbe fermee ne renfermant pas 

111 z ^ 

I'origine, chacune des delerminalioiis de y z est une fonclion holo- 
morphe. l^'equation ?/'"=: Af^ — a) admet de nieme m racines 
qui sc perimilenl circulairemenl aiilour du poinl crilique z^=a. 
Considcrons encore lequalion 



<7) 



«2= A(j 



ei){ Z — 6-2 



e«). 



ou e,, e-2, . . ., e„ sont n quanlites distincles. Designons par les 
memes lellres les points qui represenlent ces n quantites. Posons 



A = R(cosa -i- f sina), z — e/^— p/c (cos ^^)/,■~h i sin oi//), (/c = i,i. 
u ~ /-(cosO -\- t'sinO; ; 



n). 



iOfs represenle I'angle que fail avec la direction Ox la direc- 
tion ca^; du poinl Ck au point z. On lire de I'equalion (j) 



r2— Rpips 



■}.<) = a 



amTT ; 



I. — OKNKRAI.ITKS. — FONCTIONS MONOGENES. 

cettc equalion adniet done deux lacincs opposees 

, r, >.> , a -t- W, -4-. . .-I- (IJ, 



(8) ( 



Hi = (Rpip., 



?n)- COsT 



to. 



, . . /a 
-T- I sin ( — 



-1- to,, -4- air 



0] 



Lorsquc la variahlo z drcril une courbe fermee C renfermanl a 
rinleriour p des points <?) , e^. - - . , e«, il j a p des argiinicnis oj, , 
tOo, . . . , CO,, qui aijgmentent de a-; I'argument dc w, et celui de Uo 
aiigiiientent done de p-. Si p csL pair, Ics deux racincs repreri- 
nent leurs valeurs initiates ; si p est impair, elles se permutent. 
En parlieulier, si le contour rcnferme iin seul point <?/, les deux 
racines se permutent. Les n points e,- sont des points de ramifica- 
tion. Pour que les deux racincs «, et Wo restent des fonctions 
bien determinees de z, il sufdra de tracer un systcme de coupures 
de facon qu'une courbe fermee quelconque rcnferme lonjours un 
nombre pair de points critiques. On pourra par exemple tracer 
une coupure indefinie suivant une demi-droite issue de chacun 
des points e,, de facon que ces coupures ne se croisent pas. Mais 
on pent operer dc bien d'autres fagons. Si, par exemple, il y a 
quatre points critiques e,, e-,, Cj, e^, on pourra tracer une cou- 
pure suivant le segment de droiteeiCa, et une seconde coupure 
suivant le segment ejC',. 

265. Fonctions uniformes et multiforme s. — Les excmplcs 
elementaires que nous venous de traiter mettent en evidence un 
fait Ires important. La valeur d'unc fonclion /(z) de la variable z 
ne depend pas toujours uniquemcnt de la valeur meme dc z\ inais 
elle j)eul aussi dependre dans une certainc mcsure de la loi de 
succession des valeurs prises par la variable pour parvenir d'une 
valeur iniliale a la valeur actuelie, en d'autres termes, du clieniin 
suivi par la variable. 

Reprenons, par exemple, la fonclion u=:^z. Si nous allons 
du point Mo an point M par les deux chemins MqNM et MqI'M 
(Jig' oj) en prenant dans les deux cas la meme valeur initiale 
G., II. a 



l8 CIIVPITHK XIII. — FONCTIOXS d'uXE VARIAULIC C;)Ml>LEXIi:. 

pour ?/, nous n'oblicmlroiis pas en 1\I la niomc valeur, car les 
deux valeurs oblcnues pour rargiimenl dc :; clifTereronl dc 27:. 
On est done conduil a inlroduire une nouvellc dislinclion. 

Une fonclion analyliquey(:;) est dite uniforme ou monodrome 
dans une region A lorsque tons les chemins situes dans A, qui 
vont d'un point ^o '-^ "" autre point quelconque z^ conduisent a 
la meme valeur finale poury(s~). Lorsque la valeur finale dcy(:j) 
n'est pas la meme pour tons les chemins possibles, la fonction est 
multifonne. 

Une fonclion liolomorphc dans une region A est forcement 
uniforme duns cette region. D'une fagon generale, pour qu'une 
fonction y"(;3) soit uniforme dans une aire donnee, il faut et il 
suffit qu'un cliemin ferme quelconque decrit par la variable 
ramene la fonction a sa valeur iniiiale. Si, en effet, en allant 
du point A au point B par les deux chemins AMB {_fig. 58) 




et ANB, on arrive dans les deux cas au point B avec la meme 
determination pour /(:;;, il est clair que, en faisant decrire a 
la variable le contour ferme AMBNA, on reviendra au point A 
avec la valeur initiale de f{z). 

Reciproquement, supposous que, la variable :: decrivanl le 
contour AMBNA, on revienne au point de depart avec la valeur 
iniiiale Uq^ et soit ?/( la valeur de la fonction au point B, apres 
que z a decrit le chemin AMB. Lorsque z decrit Tare BNA, la 
fonction part de la valeur «, pour arriver a la valeur Uq] done 
inversement le chemin ANB conduira de la valeur Uq a la valeur u^ , 
c'est-a-dire a la meme valeur que le chemin AMB. 

II est a remarquer qu'une fonction pent ne pas etre uniforme 
dans une aire, sans presenter de points critiques dans celle aire. 
Gonsiderons par exemplc la portion du ])lan comprise enlre deux 

cercles concentriques C, C, ayant pour centre I'origine. La fonc- 

i_ 
tion u = z"' ne presenle aucun point critique dans cette region; 



II. — si:ii:i:s i;NTii;i(i:s \ iiiiniics i.\i \(,in viuis. K) 

cc'|)cn(liinl, cllc n'y est pas uiiiformc, cai- si Ton ("iiil dorrii-c a la 

vaiial)lc c iin cerclc concciUrlqiio, roiiij)ris onlrc (] cl (7, la fonc- 

I 
tioii :;'" esl imulinlice par cos — -\- i siii 

1 ^ 7)1 I>> 



li. — SKIIIES KNTIKRES A TEUMES IM VGIN \1HES. 
THANSCENDANTES ELEMENTAIHES. 

266. Cercle de convergence. ' — Lcs raisonnemcnts employes 
dans i'etiide des series entieres (I, Chap. IX) s'elendenl d'eiix- 
iiiemes aux series enlieres a termes iniaginaires; il siiffit dc rem- 
))lacer la valeur absohie par le module. Nous rappellcrons suc- 
cinclenienl la suite dcs theorciiies et les resultals. 

Soil 

(91 ttQ-^ ttxz -^ a-iz--^- . . .^- anZ" ^-. . . 

line serle entiere oii les coefficients et la variable peuvent avoir 
des valenrs imaginaires qnelconques. Considerons en meme temps 
la serie des modules 

(10) Ao -i- A , /• — A, r^^. . .^ \,^ r" -:-... 

oil A/= ]«/[, /• = |:;|; on a demontre (I, n" 177) I'existence d'un 
nombre positif R tel que la serie (lo) est convergente pour loute 
valeur de /• << R, et divergentc pour toute valeur de /' >> R. Ge 
nombre R est egal a riaverse de la plus grande des limites des 
termes de la suite 

A,, i/A.,, \/A3, v^A„, ..., 

el, comme cas paiticulier, il pcut elre nul ou mlini. 

De ces proprietes du nombre R il rcsulte immediatement que 
la serie (9) est absolument convergente lorsquelc module de z est 
inferieur a R. Elle ne pent etre convergente pour une valeur Zq 
de z de module superieur a R, car la serie des modules (10) serait 
convergente pour des valeurs de /• superieures a R (I, n" 177i. Si, de 
I'origine comme centre, on decrit, dans le plan de la variable ^, un 
cercle C de ravoii R (fig- -^9), la serie entiere (9) est absolument 
convergente pour lout point interieur au cercle C et divergente 
pour tout point exterieur; ce qui explique le nom de cercle de 



•20 CllAPITRE XIII. — KOXCTIONS D'uNE VARIABLE C0M1>LE\E. 

convergence donne a ce cercle. En un point du cercle C lui-meme, 
la serie pen I clre convergenle ou divergente, suivant les cas. 

A I'lnterieur d'un cercle C concentrique au premier, et doni 
le rajon II' est inferieur a R, la serie (9) est uniformeinent con- 
vergente. Gar pour tout point interieur a C on a evidemment 

I «„+, c"+i -4- ... -4- a„+„z"+i> \ < A„+, R'«+i ^ . . . + A„+^ R'«+/% 

et ron pent clioisir le nombre n assez grand pour que le second 
membre soit inferieur a tout nombre positif donne e, quel que 
soil p. On en conclut que la somme de la serie (9) est une fonc- 
tion continue f{^) de la variable ;; en tout point interieur au 
cercle de convergence (I, n" 178). 

En diflerenliant terme a terine la serie (9) uq nombre quelconque 




de fois, on obtient un nombre indefini de series entieres /^(z), 
f2{^-^, . . . , /,i{z), . . . , qui admettent le meme cercle de conver- 
gence que la premiere (], n° 179). Pour demontrer que f, (z) est la 
derivee de /(-s), nous sommes obliges de modifier un peu I'ordre 
des raisonnements suivi dans le cas d'une variable reelle. Etant 
donne un point :; interieur au cercle C, de ce point comme 
centre decrivons un cercle c tangent interieurement au cercle C, 
et prenons un point voisin z -^ h interieur a c; si /• et p sont les 
modules de ;; et de A, on a r -(- p < R {fig. 09). La somme 
f[z-^h) de la serie est egale a la somme de la serie a double 



II. -r- SKRIES ENTIERES A TERMES IMVGINAIRES. 

enlr^c 

' aQ-\- OiZ -^ a^z^ -+-... -I- a„z"-r-. . . 

\ -I- <7i /j -4- la^zh ~. . .-f- na„z"-^ h -h . . . 

^ ' ' -haJi- --...-> a „ z" ~-^ h^ -\ 

I .2 



qiiand on tail la soinme par colonnes. Mais celle seric est ahsolu- 
ment convcrgcnte, car si Ton renij)lacc cliaqiic ternie par son mo- 
dule on a line serie doable a lermes posilifs dont la somme est 

Ao— A,(/--^-p)-^...-^ k„( r -^ o)" ^ . . .. 

On peiil done faire la soninie de la serie double (i i) par lignes 
liorizonlales, el I'on a, par consequent, pour lout point z -{- It 
inleiieur au cercle c, la relation 

{11) /...-^/0=/«)-///i(5)-r-^.A^2)--.. -^-^^/„(^)-.... 

La serie du second raenibrc est cerlainement convergenle des que 
le module de h est inferieur a R — /•, mais elle peut I'etre dans 
une plus grande etendue. On lire de celle formule 

le second membre est une ionclion continue de It qui tend vers 
fi{z), lorsque, z restant fixe, le module de h lend vers zt'ro. La 
foncliony(3) admet done, en chaque point inlerieur au cercle C, 
une derivee unique f|ui est representee par la serie y") (;;). Les 
fonctions y2(:;\ . . .,/„(z)^ . . . representent de meine les deri- 
v6es successives dey(3), et la formule (la) est identique a la for- 
mule de Tavlor. Tonle serie enticre represente done une f one- 
lion holoniorphe a V inlerieur du cercle de convergence. La 
suite des dcrivees de ectte fonction est illiinitee, et toules ces 
derivees sonl ^galement des fonctions holomorplies dans le meme 
cercle. 

Si la serie (q) est convergenle en un point Z du cercle de con- 
vergence, la somme /^(Z,) de la serie est la limite vers laquelle tend 
la somme y^f:;) lorsque le point :; lend vers le point Z en restant 
sur le rajon fjui aboutit a ce point. On le demontre comme au 
n" 178 en [)Osant z =^ ZO et faisant croitre de o a i . Le theoreme 



■>.x ciiAiTi.u; Ml!. — i-ONnnoNs I) im; v.uuAiii.i-: coMi'i.Exi:. 

est encore vrai lorsque z, loiiL en reslanl a linlerieur du cercle, 
lend vers Z suivant une coiirbe qui n'cst pas langenle en Z aa 
cercle de convergence (' ). 

Lorsque le rajoii 11 est infinl, le cercle de convergence eiiibrasse 
toul le plan, el la foncliony(:;) esl liolomorplie pour toute valeur 
de r. On dii {|ue c'esi nnc fonction cntiere; I'cLude de ces irans- 
cendanles est un dcs objets Ics plus iin|)orlanls do I'Analvse. 
Nous allons eludicr dans les paragraphes sulvanls les Iranscen- 
danles classiques elenienlaires. 

207. Series de series. — Etant donnee une s6rie cnlicre (9) a coeffi- 
cients quelconqucp, nous tlirons encore qu'une autre seiie enlieie Sa,,^", 
dont tons les coefficients sont reels et posilifs, est niaj'orante pour la 
premiere scrie, si Ton a, pour toute valeur de n, |««|-a«- Toutes les 
consequences deduites de remploi des fouctinns niajurantes (n"' 181-184) 
s'appliquent sans modification au cas des variables imaginaires. Voici une 
autre application. 

Soit 

(|3; /o(-)-/.(-)+/2(-)-.-.-/.(-)-^..- 

une serie clont chaque terme est lui-menie la somme d'une scrie entiere 
convergente dans un cercle de rayon egal <>u superieur a un nombre R > o, 

./*•(- ) = «/0 -T- «,i - -H . - . -+- «/« -" -H 

Imaginons chaque terme de la serie (ij) remplace par son developpement 
sui\ant les puissances de z; nous obtenons une serie a double entree dont 
chaque colonne est formee par le developpement d'une fonction fi(z). 
Lorsque cette serie est absolument convergente pour une valeur de z de 

module p, c'est-a-dire lorsque la serie double Xj^l^'"IP" ^^^ conver- 

I n 

gente, on pent faire la somme de la premiere serie double par lignes hori- 
zontales, pour toute valeur de z dont le module ne depasse pas p, et Ton 
obtient le developpement de la somme ¥(z) de la serie (i3) suivant les 
puissances de z 

F{z) = bo-^ -:- — . . . -^ b„z'' -^. . . 

^-, = «0;. -I- «i« -f- . . . -T- Oin -T- . . . ( /t = O, t , 2, . . . j. 

G'est au fond le meme raisonnement qui donne le developpement de 
f{z-^h) suivant les puissances de li. 



(') Voir PiCARD, Traild d'Analyse, t. II, p. tS. 



II. — SKIllKS ICNTIKIIKS A TICRMI'S IMAGINAIHES. ^3 

Supposons |iar oxomplc que la srv'ic /i( z ) admctte imc foiirlion iiiaju- 

rante de la forme ^;-> ct que la seiic ilM/ soil ellc-meme convergcnle. 

I — "^ 

/• 

Dans la sorie a double enlroe, le iiioilnle du tcrmc general sera plus petit 
que M, " -• I'ouivu que Ton ait ' z\ r, ccltc serie est ab«olumenl con- 
vergente, car la serie des modules est convergcnle, el sa somme esl infe- 
neure a ; — : • 



208. La fonction exponentielle. — La definition arilhme- 
liqiic dc la f'onclion ex|joiicmiclIe n'a evidemnienl aucun sens 
lorsque I'exposant est imaginaire. Pour gcnei'aliscr la definition, 
il faiil done j)artir d'line propriete susceptible de s'etendre au cas 
d'une variable coniplexe. Nous parlirons de la propriete exprimee 
par la relation fonclionnclle n^ x rt^'= cr-^+-^'. Proposons-nous de 
delcrniinor une serie entiere /"(;;, convcrgente dans un cercle de 
rajon R, telle cpie Ton ait 

(«-«) /(--+--) =/(-X/(-')» 

pourvu que les modules de z-, ;', z ~h z' soient inferieurs a R, ce 
qui aura lieu ccrtaineinent si \z\ et \z'\ sont inferieurs a — • Si Ton 
fait z' := o dans la relation precedente, ellc devient 

on doit done avoir yVo -^ i, et nous ecrirons la serie chercliee 



"5) •^'^-^^^'-^T'^'^TTi^' 



Reni|)lagons successivement dans eelle serie z par )./, puis 
par a'^, \ et )/ etant deux constantes et t une variable atixiliairc, 
et faisons le produit des deux series; il vient 

t" / n « \ 
(anl"-T^ a,rt„_iA"-'X'-r-...-^«„A")-t-.... 

I .■!.... /I \ I / 



2i CII.VI'ITRE XIII. — I'ONCTIONS o'lNrC VAUUBLE COMPLEXE. 

D'aulrc part, on a 

f(li-^ri)^-i-^ ^(X-hX')^-^-. .h ^" — fX-+-X')"f''-f-.... 

I I .-i. . . n 

L'egallle/(X^ + X'/) --^- /[a t) /{V ( ) doit avoir lieu pour toules 

Ics valcurs de 1, )/, t, idles que |X| -< i , |X'{ <^ i, |<| < — ; il faut 

done que les deux series soienl idenliques, c'cst-a-dire que I'on ail 

a„(X -^ X')" = a„l"-^ -; a„_iaiX"-'X' 

«„_2<72X"-2X'2-i-. . .-L-a„X'", 



1 



1 

n(n — \) 



ee qui enlraine les relations a,i^= a,i_ia,, a„=: a.2a,i_n, .... que 
Ton peul reunir en une condition unique 

(i6) ap^q= UpOfj, 

p el q elant deux nombres enliers posilifs quelconques. Pour 

en trouver la solution generale, supposons ^ = i, et faisons suc- 

cessivement /? = I , ^ = 2, /> = 3, . . . ; il vient rto ^= ^n puis 

a3=a2«) = «', •••, et enfin a„r=za'\. Les expressions ainsi 

oblenues satisfont bien a la condition (16), et la serie cherchee 

est de la forme 

^, . «ic (ayz)- ia^zY 

/ ( 3 ) — I H \ 1- . . . H '■ h . . . ; 

J i.i \ .1. . . n 

cette serie est convergente dans tout le plan, et la relation 

est verifiee, quels que soienl z et z' . 

La serie precedente depend d'une conslante arbitraire <7( ; nous 
poserons, en supposanl o, = i, 

(17) e'^ — i -\- - -+- ~ r-...^ 1- . . . , 



de sorle que la solution generale du probleme pose est e'^i^. 

La fonction entiere e- coincide avec la fonction exponentielle 
eludiee en Algebre e-^, lorsque z a une valeur reelle x, et I'on a 
toujours, quels que soienl z et z' , e'+^'= e- x e^' . La derivee de e- 
est encore egale a la fonction elle-menie. On a, d'apres la fbrmule 
d'addilion, 



II. — SKBIES ENTIERES A TERMES IMAGINAIRES. ?/) 

pour pouvoir calciiler e-lorsqiic z a line valeur iinaginairc a: —yi' 
il siillit de savoir calculcr <?>"'. Or Ic developj)emeiil de e^* [)eut 
s'ecrire, en groupanl ensenihle les lernics de nicme parile, 



e>' — I — ' -i——. — . . . - t — 



.i. \.-}..'\.\ I i.ji.i 1.2.J.4.J , 

on reconiiail au second nicinljre les developpements de cosy cl 
de sinj', el Ion a, j' t'lanl reel, 

ey^ = cos V -^ i sin y. 

Remplacons ey par cctle expression dans la formule [)recedenle, 
il vient 

(18) e^-io' = t'-^(cosy -+- tsinj'); 

la fonclion e^^y- a pour module e^ et pour argument y. 

CclLe formule met en evidence iine propriete importante de e'\ 
quand on cliange z en z -^ i-i, x ne change pas ety augmenle 
de 2t:, ce fjul ne change pas ia valeur du second memhre de la 
formule (18). On a donce'+-"'= e=; la fonclion exponenllelle e- 
admet la per Lode iT.i. 

Proposons-nous encoi-e deresoudre I'equaLion e"^= A, ou A esi 
line quanlilc imaginaire quelconque difTercnte de zTro. Soient p 
et to le module et I'argunient de A; on doit avoir 

gx+yi — e^{cosy -t- t sill J' I = p(cos 10 -f- i sin to), 

ce qui exige que Ton ail 

e-^=p, J' = o) -^ 2A-. 

On lire de la premiere relation x z^ logo, le sigiie log designanl 
toiijours le logarithme neperien d'un nonihre posilif. Quant a y^ 
il n'est determine qu'a un miilliple de ar: pres. Si I'on avail A = o, 
I'equalion e-^ = o conduirait a une impossihilile. Done Inequa- 
tion e"=A, oil A est different de zero, admet une infinite dc 
racines, comprises dans la formule logo -f- /(co -1- 2A-); Inequa- 
tion e=^^ o n' admet aucune racine, reelle ou imaginaire. 

Remarque. — On pourrail aussi drfinir e- commc la limile du 

polynome | i -i ) , lorsqne jn croil indefinimenl. \a\ melhode 

employee en Algebre pour demon Irer ([ue ce |)oljnome a pour 
limile la s6rie (17) s'applique encore lorsque z est imaginaire. 



■>6 ciivPiiRi: Mil. I'ONCTiONS d'une variable complexe. 

2G9. Fonctions circulaires. — Pour drfinir sin c eL cos; lorsqiie^ 
est imaginairc, nous eiendrons iinniediateincnl aux valeiirs ima- 
ginaires les series enliercs elablies dans Ic cas ou la variable esl 
reellc, et nous poserons 



I 1 . -2 . 3 I . 2 . 3 . i 



cos;; = I h 



Ce sonl la dcs Iranscciidantcs enlic'res, auxquelles s'elendent 
toutes les pro|)ric'les des fonclions circulaires. Ainsi on voit, sur 
les forniules ( 19), que la dcrivec de sin; est cose, el que la derivee 
de cos; esl — >in;; sin; se change en — sin;, landis que cosr: 
ne change pas, quand on change ; en — ;. 

Ces nouvelles transcendanles se rainenent a la fonclion expo- 
nenlielle. Ecrlvons en efl'elle developpemenl de e^', en reunissanl 
ensemble les termes de nieme parile, 



e-' — I — 



I .■>. 1.2.3.4 \ I 1.-4.3 

celle egalite pent s'ecrire, d'apres les forniules (19), 

''20") C-' = COS.3 -^ i sill -. 

En changeant ; en — ;, il vienl encore 
e-~' = CO?.:; — /sin z, 
el Ion lire inversemenl de ces deux relations 

e^' ^- e~~' . e~' — e'~' 
(2lj cos .3= , sin .3— -. 



3--) 



Ce sonl les forniules bien connues d'Euler qui ramenent les 
fonctions circulaires a la fonclion ex|)onenlielIe. EUes mellent en 
evidence la periodicite de ces fonclions, car les seconds menibres 
ne cliangent pas quand on change ; en ; + 2-. Si on les ajoule 
apres les avoir elevees au carre, il vient 

cos^;; -;- sin-.G = i . 

Prenons encore la forniule d'addition gi^+^'iiz^ e-'e^'-, ou 

cos( .3 — z' ) -i- i s'm{ z -^ z' ) 
=: (cos z -T- « sinz j(cos.s'-4- t sin z' ) 
= cos;; COS.5'— sin z sinz' — i( sins cosz' -^ sin z' cosz ); 



II. — ;i:rh:s entikhes a termes imaginvirics. i~ 

changeons dans coUe forniiiln z en — :;, :■' en - z' , il wcul 

co«( z -+- z' ) — i *iri > z — z' ) — cosz cos-' — sin z sinz' 

— /'( «in ;; cosi'-H sin 5'cos- i. 

et Ton lire de ces deux forniules 

cos{z -^ z' } —■ COS-COS^' — sin;: sin-', 
sin(3 -t- z') — sin z cos-'-y- sinz' cos-. 

Les formules d'addition sVlendent done au cas des arguments 

iniaginaires, ainsi que loules Icurs consequences. Proposons-nous, 

par exeniple, de calculer la parlie reelle eL le coefficient de i 

dans cos(x -^ yi) et s\n(x — yi). Nous avons d'abord, d'apres 

les formules d Eulcr, 

€~y -+- cy 
cosyi — — — coshyp_y, 

g-y — ey 
sin ^■i = : = j sin livp v: 

les formules d'addition donncnt ensiiile 

cos(x-f-_^f ) — cosJFCOS^f — sina: sin ri = cosa: coshyp^ — i sinx sin liypj', 
sin (x—ji) = sinarcosj'i -r-cosar %n\yi= %\x\.x co%h\ \i y — i co% x sin hyp^. 

Les aiilres fonctions circulaires se ramenent aux precedeotes. 

On a par exemple 

sinz I e=' — «-=' 

tancrc — = . > 

cosz I e~'-T-e-~' 

ce qui pent encore s'ecrire 

le second membre est une fonction rationnclle de e-^' ; la tangente 
admet done la perlode -. 

270. Logarithmes. — Etant donnee une quantlte imaglnaire z. 
difTerenle dezcro, nous uvons deja vu ( n^SGR) que requatione"= z 
admet une infinile de racincs. Soit « = x -1- (»•; p et co designant 
le module et rargument de :;, on doit avoir 

e*" — p, _K — w -r- v> /i 7:. 

L'une quelconcpic de ces racines est dite Ic loi^m liltme de -, 



u8 ciiAPiTnn xiii. — tonctions d ine variaiu.k compi.kxi:. 

ot on la represcntc par ho^(z). On pent done ecrire 
Log(^) = logp -^ i{ixi^ ■2A-), 

le i^igne log etant reserve au logarilhme neperien ordinaire d'un 

nonibre posilif. Toute quanlile rcelle 011 iniaginairc, diflTerenlc 

de zero, adniel done nne infinite de logarilhmes, formant une 

progression arilhmetique de raison 2-/. En parliculier si :; est 

nn nonibre reel et posilif x, on a 1.0^^0, el en prenant k= o, 

on relrouve le logarilhme ordinaire; mais il v a en outre iinc 

infinite de valeurs iinnginaircs pour le logarillinie, de la forme 

log^ + 2/»'7:/. Si ;: est reel et negalif, on pent |)rendre 10 = —, 

ct loiiles les determinations du logarilhme sonl imaginaires. 

Soil :■' nne autre quanlile iniaginaire de module p' et d'argu- 

inenl co'. On a 

Log(j') = logp'-^ m'w'-+- 2A-'t7); 

en ajoutanl les deux logaritlimes, il vicnl 

Log! c) -1- Log( z') — logp?' -+- f[ w -h (o'-^ i( k -y- A-' i- |. 

Comme pp' est egal an module de zz-', et co -+- w' egal a son 
argument, on pent encore ecrire celle formule 

Log(3) — Log(';:') = Log(zz'), 

ce qui monlre que, ([uand on ajoule a I'une quelconque des 
valeurs de Log(:;) Tune quelconque des valeurs de Log(^'), la 
somme est une des determinalions de Log(3^'). 

Imaginons mainlenant que la variable z decrive dans son plan 
une courbe continue quelconque, ne passant pas par I'origine; 
le long de celle courbe, et (.0 varient d'une maniere conllnue el 
il en est de meme des diflferentes determinations du logarilhme. 
Mais il pent se presenter deux cas bien distincts lorsque la va- 
riable z dccrit une courbe fermee. Quand z partant d'un point Sq 
revient a ce point apres avoir decrit une courbe fermee ne renfer- 
raanl pas I'origine a son inlerieur, rargumenl lo de z reprend sa 
valeur iniliale (Oq, et les diilerentes delerminations du logarilhme 
reviennent rcspeclivenient a leurs valeurs initiales. Si I'on repre- 
sentait chaque valeur du logarilhme par un point, chacun de ces 
points decrirail nne courbe fermee. Au contraire, si la variabh; :; 
decrit une courbe fermee telle que la courbe MqNMP ( /Z,^'". 55*), 



II. — SKIUKS l-NTIKRES A TKUMKS IM.VGINAIRES. 29 

rargumciU de :; aiigmcnte de 2-, et chaque dclerininalion du 
logarithme reprend sa valciir Iniliale aiignicnlee de ini. D'une 
fagon generale, lorsque ^deciit unecourbe fermee qiielconquc, la 
valeur finale du logaiilhmc est egale a la valeur iniliale augmcnlee 
de a/-/, k dc'signanl un nomhre entier jiositif 011 ncgalif que 
Ton ohiiendra en mesuranl Tangle donta lournc' le rayon veolcnr 
joignaiit I'originc au point;;. II est done inipossiljlc de considercr 
Ics diirt'rcntes determinations de Log(2) comnie autant de fonc- 
tions dislincles de ^, si I'on n'apportc aiicune restrietion a la 
variation de cette variable, puisqu'on pent jjasser de I'une a 
I'autre par conlinuite. Ce sont autant de branehes d'une memo 
fonclion, qui se permulent antour du point critique c = o. 

A rinterieur d'une aire liniilee par une seule courbe fermee et 
ne renfermaul |)as I'originc, cliacunc des determinations de Log(^) 
est une fonclion continue el uniforme de :;. Pour pronver (|uc 
c'esl une fonclion holomorphc, il suffit de monlrer qu'eile adniel 
une derivee unique en cliaque point. Soient ;; el Z\ deux valeurs 
voisines de la variable et Log(-;), Log(^,) les valeurs voisines de 
la determination choisie du logaritlime; lors(|tie ^, tend vers ^, le 
module de Log(s,) — Log(:;) tend vers zero. Posons Log(c) -=-. u, 
Log(5)) = w,; nous avons 

Log(zt)~Log{z) Ui — H 



Zi — z e"i— e«' 



- e' 



or, lorsque lit tend vers; «, Ic (inolienl- ;i ponr limilc la 

derivee de e", c'csl-a-dire e" ou ;. Le Ioi;.nillimc a done une 

derivee unique en cliaque |)oint qui est cgalc a _• 

D'une facon gcneralc, Log(^ — a) admet une infinite de deter- 
minations {|iii se permulent aulour du point critique z ^ a, et la 

derivee de cette fonclion est ejrale a • 

" z — a 

La fonclion ;'", 011 m est un nombre quelconque, reel ou com- 

plexe, se definil au mojcn de I'egalite 

a moins que ni ne soil un nombre reel et commensurable, cetti- 
fonclion admet, comme le logarillime lui-meme, une infinite de 



3o CIIVPITRK Mlt. — FONCTIONS d'iNE VARIABLE CO.MIM.EXE. 

dt'leiniinallons, (|ul sc pcrmulcnl quand la variable loiirnc aiitour 
du point z ^-^ o. II sviffira de tracer nnc coupurc indefinie siiivani 
une demi-droile issue de I'origine pour que chaque branclie soit 
une fonction holomorphe dans tout Ic plan. La derivee a pour 
expression 



r>;nI.o^'(: — />)-'"— 1 



et il est clair que Ion doil prendre la menie valeur ])our ['argu- 
ment de ;; dans la fonction et dans sa derivee. 

271. Fonctions inverses : arc sin^, arc lai)g:;. — Les fonctions 
inverses de sin 3, cos;, lang^ se definissent d'une lagon analogue. 
Ainsi on dclinit la fonction u = arc sin:; par la relation 



pour rcsoudre cette equation j)ar rapport a u^ on I'ecrit 



et I'on est conduit a une equation du second degre 

( 11 1 L ^ — -iizl] — 1 = 

pour determiner I'inconnue auxiliaire U ^= e"'. On lire de cetle 
equation 



(23) 

et par suiie 



U = iz ± v/i — j% 



II — arc sinz = -. Log(iz — /i — z-). 

L'equation ; = sin?^ admet done deux series de racines, pro- 
venant d'une part des deux valeurs du radical \^/i — z-^ d'autre 
part des determinations en nombre infini du logaritlime. Mais 
si Ton connait I'une de ces determinations, on pent en deduire 
aisement toules les autres. Soient U'= o'e'"' et Ij"= o"e'"" les 
deux racines de Tequalion (22); on a entre ces racines la rela- 
tion U'U"= — I , et par suite 0' 0" z= i , o/-'- m" = (an -f- i )?:. On 
pent evidemment supposer m" = n — (o', et I'on a 



Log(U') = Ioc 
Log(U"j 



loi 



'-r- i{T. — (o'-^ ■!/>:" t). 



SKUIKS KNTIlillKS A TKRMES IMAGINAlHi: 



Tuules les dulerminallons tie arc sin z sent done euinprises clun> 
I'line dps deii\ fovmiilcs 

arc s\n z — w'-f- ?. /'rr -- t Ioi;p . arc sine ^-z tt -t- ?.k" — — fj'-f- i loji o', 

(ju'cn pent encore ecrire, en posanl //= to' — t logo'. 
( A ) arc sin e — u -— "ik' t., 

I n J arc sill ;; — ( a/.'-r- I ) r — //'. 

Lorsqnc la variable 3 decrit une courbe eonlinue, les diverses 
delerminations du logarilhme de la formule (24) varient en 
geneial dune maniere eonlinue. Los seuls points crilicnies que 
I'on piiisse avoir sont les points ^=±11^ auloiir desquels les 
deux valeurs du radical \/ \ — z- se permutenl; il ne peul y avoir 
de valeur dc z annulant i z =t y/i — z-, car, en elevant au carre les 
deux nicmbres de I'equalion iz= ^FV^' — ^"? on en tire 1 = 0. 

Imaginons que Ton trace deux coupures le long de I'axe reel, 
I'une allant de — 00 au point — i , I'autre du point -h i a 4- cc. Si 
le cbcniin decrit par la variable est assujclli a ne pas franchir ces 
deux coupures, les diverses determinations de arcsin^ sont des 
lonclions uniformes de z. En effet, lorsque la variable z decrit un 
chemin ferme ne francliissant aucune de ces coupures, les deux 
i-acincs U', U" de I'equalion (22) decrivent aiissi des courbes 
fermees. Aucune dc ces courbes ne renferme I'origine a linte- 
rieur; si la courbe dt^crilo par la racine U' par exeniplc coinprcnait 
I'origine a Tinlerieur, cclle courbe couperail au nioins une foi.s 
I'axe 0>', en un point situe au-dessus de Ox. Or a une valeur 
de U de la forme fa(a'>o), la relation (22) fait correspondre 

une valeur — '■ de z, reelle et >» i , La courbe dccrilc par le 

■X'J. ' * 

point:; devrait done traverser la coupure qui va de -j- i a -1- co. 

Les diverses determinations dc arc sin:; sont en outre des lonc- 

tions holomorphes de z. En effet, soieut u et f/, deux valeurs voi- 

sines dc arc sin ;, correspondant a deux valeurs voisines z et ;;, de 

la variable. On a 

u I — a _ « I — u 

Zi — - sin u^ - sin u ' 

lorsque le module dc //| - // lend vers zero, le rapport precedent 



32 CIIAIMTRE Mil. — FO.NCTIONS D UNE VARIABLE COMl'LEXE. 

I ± I 

a pour liniilc ■ = . Les deux valeurs de la dcrivee cor- 

^ cos u y/l _ 32 

respondent aux deux series de valeurs (A) et (B) de arc sin 3. 

Quand on n'imj)ose aucune restriction a la variation de 5, on 
pent passer d'utie valeur initiale determinee dc arc sin ^ a une 
(juelconque des determinations, en faisant decrire a la variable s 
une courbe lermee convenable. En elTet, on voit d'abord que 
lorsque z decrit, autour du point ;; 1=; 1 , une courbe fermee laissant 
Ic point :; = — i a I'exterieur, les deux valeurs du radical y^i — :;- 
se perniuleni et I'on passe d'une determination dc la serie (\) a 
une determination de la serie (B). Supposons ensuite que I'on 
fasse decrire a z une circonference de rayon R supeiicur a un, 
ayant pour centre I'origine; les deux points U', U" decrivent 
chacun une courbe fermee. Au point :;=:-;- R, I'equatlon (22) 
fait correspondre deux valeurs de U, U'=: /a, U"= /|B, oh a et ^ 
sont positifs; au point ^= — R, la meme equation fait corres- 
pondre les valeurs U'= — ia', U"= — i^\ a' et |j' etant encore 
positifs. Les courbes fermees decrites par chacun des deux points 
U', U" coupenl done I'axe Oy en deux points, I'un au-dessus, 
I'autre au-dessous du point O; chacun des logarithmes Log(U'), 
Loi;(LI") augmente ou diminue de 2~i. 

On definit de meme la fonction arc tang:; au moyen de la rela- 
tion tangi/ = ^, ou 





/ e-«'-r- 1 ' 


on en tire 






.,„/_ i-^iz _i-z 




I IZ I ^r- Z 


et par suite 






I -, 1 i— z 




° -2 1 °\i-hz 



Cette expression met en evidence les deux points critiques loga- 
rithmiques nr i de la fonction arc tang:;. Quand la variable :; tourne 

autour d'un de ces points, Log f ^ 9) augmente ou diminue de 2Tzi, 

et arc tang:; augmente ou diminue de -. 

272. Application au calcul integral. — Les derivees des fonc- 
lions que nous venous de definir ont la meme expression que 



II. SERIKS KNTIEUtIS A TEUMKS IM AGINAIRES. 53 

lorsque la variable est recllc. Inversement, les regies (jui doinu'iil 
les fonclions priiiiilives s'elendenl aiissl aiix fonctions eleiiien- 

lalres <le variables complexes. Aiiisi, en designanl par j /{:.)(/z 

loule fonclion de la variable coni|)lexe :; doiil la derivee cs\./{z), 
on a 



/ 



A c/= 



(-- 


- a )'" 

1 


m — 1 (;; — n;'"-' 

= ALog(j — a) 



Ccs deux rornuiles |teriiiellenl de Iroiiver line fonclion jjriniilive 
d'line lV)nclion ralionnelle qiielconque, a coefficients reels on ima- 
ginaires, pourvn qu'on connaisse les racines du denominateur. 
Considerons en pailiculier line fonclion ralionnelle a coeffi- 
cients reels dune variable reelle x. Si le denominateur a des 
racines iniaginaires, elles sont conjuguees deux a deux, at avec le 
meme degre de multiplicile. Soienl a -h ^f et a — |j/ deux racines 
conjuguees d'ordre p de mulliplicile. Dans la decomposition en 
fractions simples, si Ton opere pour les racines imaginaires comme 
pour les racines reelles, la racine a -^ j/ fournira une suite de 
fractions simples 

el la racine a — |j f fournira une suite analogue donl les numera- 
leurs seront conjugues des precedents. Reunissoiis, dans la fonc- 
lion piimilive, les lermes qui proviennenl des fractions conju- 
guees; nous aurons, si /;* "> i . 

_ ( r M/.-^'Sfji M,,— lS,,i "I 

~ P I L^-^ * P /)/'-• "*" {or — OL-r- fJt)/'-i J 



el le numerateur est evidemment la somme de deux jiolvnomes 
imaginaires conjugues. Si /> ^^ i. on a 

J X — a — j3t J X — a-^[3f 

= (M,-- N,0 Log[(ar — aj - 3/] -^ (M,— \, /') Log[(j- - a) -'pi\. 
G.. II. 3 



CI1\PITRK Mil. 



PONCTIOXS D UNE VAHIABLE COMPLEXE. 



lleinplacoiis los logarithmes parleurs expressions developpees, 
il reste an second membre 



^ 



.M, log[( .?• — x)- — ^'-J -^ '. Ni arc taiii; 

1 1 sill til do reinplaccr arc lang — - — par / '" — arc lang^ — r, — ) pour 

retrouvcr le rcsiiltal obleiui dircclcnicnl sans I'introduclion de 
svmboles iniaginaires (1, n" 103). 

Considerons encore Tinlegrale indefinie 



/ 



dx 



v/Ax2 



■iB.r--C 



qui a deu\ formes cssenliellenient dillL-renles (I, n*^ lOo), suivant 
le signe de A. L'inlroduction d'une variable complexe ramcne les 
deux formules a unc seule; en efTet, si, dans la forniule 



/; 



dx 



/ I -7- a; - 

nous changeons x en ix, il vient 



Log(ar-t- v/i-f-a^O> 



/ 



dx 



v/7^ 



— - Log(ia; -;- ^/i — x-\ 



el le second membre represenle precisemenL arcsinx. 

L'introduclion de sjmboles iniaginaires dans le calciil inlegral 
permet done de ramener I'une a I'aulre des formules dont on ne 
pourrait saisir la parente, si Ton ne sorlait pas du domaine reel. 
Voici encore un exemple de simplificalion dii a I'emploi des inia- 
ginaires. On a, a et b elant reels, 



/ 



Q'M-rbi)x Cix = 



a +- bi 



a — bi 



b^ 



- e"^(cosbx -T- i s'inbx); 



egalons les parties reelles et les coefficienls de i, et nous avons du 
nieme coup deux integrates deja caleulees (I, n" 119) 



/ 



e^-^coinbx dx = 
e«-^ i'lnbx dx = 



e'^^( a cosbx -+- b %\nbx) 

cC^^b"- 
<;«•'(« %\x^bx — b cosbx ) 



II. — SKRIKS ENTIKRKS V TKRMKS I.M.V(.I> AlUiflS. 35 

On iMiiienc cle memo les deux intej,a'alcs 

■A I'inlegrale f x'" e''^'^^' ^ dx ^ que Von calcule par iinc siiilo (fin- 
lt!i;i"alit)iis j)ar j)arties. 

iH'A. Decomposition en elements simples d'une fonction ration- 
nelle de sine et de cos;. — Ktanl donnee iine fonction rallonnelle 
lie sins et de cos:;, F(sins, coss), si Ton y remplace sin;; ct cos:; 
par leurs expressions lirees des formules d'Euler, elle se change 
en line Conclion ralionnelle H(^) de t=ze^^. Celte fonction K(^), 
deconiposee en ('lenicnls simples, se coniposera d'abord d'une 
partie entiere, el d'une suite de fractions |)rovenant des racines du 
tlenoininateur de K(^). Si ce denoniinaleur adniet la racine t = o, 
nous reunirons a la partie entiere les fractions provenant de cetle 
racine, cc (jui donnera un polvnoine on unc fonction ralionnelle 

I exposanl /n pouvanl avoir des valeurs negatives. 

Soil t = a une racine difTerente de zero du denomiualeur. Cetle 
racine donnera une suite de fractions simples 



a (t — ay- it — a)" 

La racine a n'etant pas nulie, soil a une racine de I'equa- 

tion e^' = rt ; pent s'exprimer Ires sim|)leincnl au mo\en 

de cot^^^ On a, en ellet, 



= I : = t ( I -i- - 



e'-" 



el I on en lire inversemenl 



I / . Z — OL \ 

— = \ \ -k- I col ; 



la fraction ralionnelle /"(/) se change done en un polynonie de 



36 CIlVPlTRi; MM. — l-ONCnONS DLM-: \ AKIAUI.K COMI'LEXK. 

deere n en col > 



An -+- A', cot' 



^^oi^(^j 



A' cot" 



■; 



Les puissances siiccessives de la colangenlc jiisc|ifa la /?'•■"'■ 
|)envenl a iciir tour s'exprinier au luoven des deri\ ees successives 
jusf|u"a la [n — i)-'""'; en cirel, on a d'abord 



d col: 



= — I — cov- 



dcolz 



ce qui perniet dexpiinier col-; au inoyen de ,_" ■> el Ton de- 

montre aisemenl de proclie en proclie que, si la loi est vraie 
jusqu'a col"r, elle est encore vraie |)our cot"+' ;. I^e poljnome 



)recedenl de d.esre n en col- 



pr 



chan< 



;cra en une expression 



lineaire par rapport a cot^^^^ et a ses derivees, 



Jwo ~t~ tv!? 1 C 1 ■ 



-^"•i-(-^j 



(In -I 



Operons de meme avec toutes les racines 6, r, . . . , / du deno- 
minaleur de R(^) differenles de zero, et ajoulons les resultats 
obtenus apres avoir remplace t par e^' dans R,(^). La fonclion 
ralionnelle consideree F(sin;, cos5)se com|)osera de deux parties 



(•2-)) 



FCsinc. cos;; ) = cI>(g ) — T(c); 



la fonction <I>(^), q»i est I'analogue de la partic enliere d'une 
fonclion ralionnelle de la variable, est de la forme 



(26) 



^{z) = Q-r- 2(a„, cosw,G — p,„ siiims), 



oil m est un nombre enlier non mil. Quanl a ^r(;), qui est lana- 
logue de la parlie fractionnaire d'une fonction ralionnelle, c'esl 
une expression de la forme 



ri^z)= .^cot(--j + ..v.,^cot(^^.-...-^.l,„^^^col(^-— J 
\ -^e,co,(-^j-^l)>,.^cot(-_j-... + l.!.,-^-^col(— ^j 



d 



SblRIES EXTIERES A TEHMKS IMAGINAIRKS. 



37 



Ccsl la foDctioii col ( ^^^ j f|ui joiic ici l(! rule d Y'li'-nioiil siiii|ilc, 

comtnc \.\ (raction pour tine toiiclioii ralKiiiiielle. ('die de- 

z a ^ 

comjiosilioii *\(' F(.siiic, cose) so prete lacilemeiil a rintegration ; 

on a en ellel 



/co 



t (iz = 2. L( 



H"^) 



el Ics aiitres Icnnes s'inlri^renl inimedialemenl. Four que la fonc- 
lion primitive soil periodicpie il faut et il suffit que lous les coef- 
(icienls C, -l.,, iiJ),, . . ., soienl nuls, 

Praliquement, il n'est pas loujours necessaire de passer par 
toules ces Iransformalions successives pour mettrc la fonclion 
F(sin:;, cos:;) sons la forme finale (20). Soil a une valeur de z 
rendanl la fonclion F infinie; on pent loujours, par une simple 

division, calculer les coefficienls dc > 5 •••> dans la 



z — a {z — -x}- 
partie inlinie pour :: = a (I, n" 183). D'auLre part, on a 



cot- 



P(^-a), 



P(- — y-) etanl une serie enliere; en egalant les coefficienls des 

puissances successives de dans les deux membres de la for- 

z — a 

mule (20), on aura done facilemenl .1,,, -l,o, . . ., -l,,,. 



Prenons par exemple la fonclion 
posant e='= ^, e^' = a, 



(|ui devient, en 



■?.at 



a{f^^i) — t{a^~i)' 



ie denominaleur admet les deux racines simples t=a. t= - cl 

' a 

Ie numerateur est de degre inferieur a celui du denominaleur. 
On aura done nne decomposition de la forme 



cosz — cos a 



tl) col 



-~ 1)1) cot- 



Pinir determiner -I,, midli|)li(ins les deux memhres par ; — a, 



el laisons ensuile ; — a ; il vient -I. 



()n Iniuve de 



leme \i!. = - — ^ — . Kemplacons -I, et n!) par ces valcurs el faison? 
■2 sin a • ' 1 



38 CIIAI'ITHE Mil. — KONCTIONS d'iM; VUllAlil.i: COMPI.KXE. 

r = (t. on licnivc (1 = o, el il resic la ronniilf 



col cot 



co.«^ — cos a 



Remarque. — Lorsr|ne la fonclion F(sin;, cose) admel la 
periodo t:, on poiil rexj>rinu'r inlionncllcnient an iiioyen de <?'-^', 
(M preiulro pour eh'-menls simples col(; — a), col(^ — ^i), •• •• 

274. Developpement deLog(i + z). — Les Iranscendanlcs epic 
nous avoiis definies sonl dc deux sortes : les unes, coinme e^ , sin:;, 
cos:;, sonl holomorplies dans lout le j>lan, tandis que Log(::), 
arclang:;, ... presenlent des points singuliers, el ne peuvenl 
etre representees par des developpeinenls en series enlieres con- 
vergentes dans tout le plan. Mais on a encore des developpe- 
nients valables pour cerlaines parlies du plan; nous allons le 
nionlrer pour la (onction logarithmiquc. 

Lne simple division conduit a la forniule elenicnlaire 

I ^"-*-' 
= I — ^ -K ^2 — ;:••'...-!-(— I ;;« ^" ±: — — ; 



-/i-t-i 



si Ton a 1^1 << I, le reste — — -_ lend vers zero lorsque n croit inde- 
(ininient et, a linterieui' du cercle C de ravon i , on a 

= I — ;; ^- ^-^ — ^3 . . . -T- ( — I )" ^" ±: 



I 
Soil F(:;) la serie obtenue en integrant ternie a terme 



I 2 b 4 n ~- \ 
cette scrie est convergente dans ce cercle, et represente une fonc- 
lion holomorphe dont la deriveeF'(e) = -' Nous connaissons 

deja une fonclion donl la derivee est la meme; c'est Log(i H-e). 
La difference Log(i-i-::) — F(:;) se reduit done a une con- 
slanle (M; pour delerminer celle constante, il faul preciser la 

(') Pour que la derivee d'une fonction analytique \-f- Yj soil nuUe, il faul 

que 1 on ail {n° 261) -r— = o, -r— = o, el par suite -— = -—=: o; \ el i sonl 
^ ' f)x dx dy ()y 

done constants. 



si;rtii:s entikuks a tkrmks lmaginaiiu; 



■i'.» 



clelenninallon choisie tin lo_i;arlllune. Si nous |)rcnons ccllc qui 
s'annule pour z = o, on a, pour tout |)oinl inlerieur a C, 



^?.8) 



Log(i 



■'^ = -;~^ 



Joignons le jjoinl A au point M (pii represeule :; (/?,,?■. 60); le 
module de i — :• est ropresente j)ar la longueur /• = AM, el Ion 



Fig. r,o. 




pcut prendre pour argument Tangle a que fait AM avec AO, angle 

(pii reste compris entre — ^ - et — - lorsque le point M reste a 

i'interieur de C La determination du logarithme qui s'annule 
pour c 1= o est egale a log/--^ /a, et la formule (r>-8) ne presente 
aucune ambiguile. 

En changeanl dans celte formule :; en — z, et relianchant les 
deux formules, on a encore 



Loj 



^;=Ht 



■)■■ 



si Ton remplace cnsuite r |)ar /r, on relrouve le developpement 
de arc tan if c 



arc la Hi; J = — . Loj 
■21 



I 3 5 
La serie ('.8; resle con\eri;enle en loul point du ccrcle <le convergence 



jo ciiAPiTRE xm. — FONCTioNS d'unk variahle complexe. 

sauf au point A. \in cll'ol, s<iit - = e'O un point M' cle ce cercle; les deux 
series 

cosi6 cos 3 cos 40 

cos ! 5 H . . . , 

■I i 4 

. . sin 26 sin 30 sin 4 

sin -4- — ; — ^— -H . . . 

■j>. 3 ', 

sonl I'une el I'aulre convergentes sauf pour = (aA^ -i- i )7l (I, n" 160). 

D'apres le theoreme d'Abel, la somme de la serie au point M' est la limite 

vers laquelle tend la somme de la serie en un point M situe sur le 

rayon OM'. Si Ton suppose compris entre — r et -t- ~, Tangle a a pour 

. . . . 

limite -5 ct le module AM a pour limite 2 cos-- IVous i)ouvons done ccrire 
2 ' •>. 

, , ^ , „ cosaO cos 30 cos40 

lo<r ( 2 cos - = cosO — i ^ H-. . ., 



•2/ 2 ,) 4 

. ^ sin 9.0 sin 3 

- = sinO r- ■ — ; ... (— 77 <0 <-;:). 

•'. 2 3 

Si, dans la derniere formule on remplace par — ■-, on retrouve une 
formule deja etablie directemcnt (I, n° 198). 

t27o. Extension de la formule du binome. — Dans un INlemolre 
fondamental pour la iheorie des series enlieres, Abel s'est pro- 
pose de determiner la somme de la serie convergente 

m in (m — 1 ) 

o{ m, Z) = I -r- — z -^ - 



, , , I 1.2 

' in {in — I ) . . . ( /?? — p 



pour Louies les valeurs reelles ou imaginaires de m et de ^, pourvu 
que I'on ait js] << i . On pourrait v arriver au mojen d'une equa- 
tion difierenlielle, comme on I'a indique a propos des variables 
reelles (I, n° 179). La methode suivanle, qui offre line applica- 
tion des resultals du n° 268, se rapproche davantage de la marche 
suivie par Abel. Pour cela, nous supposerons z donn e et | :; | <^ i , 
ct nous etudierons les proprietes de '-^{m, z) considcree comme 
fonclion de ni. Si m est un nombre entier positif, cetle fonclion 
se reduit evidemmenl au poljnome (i-|-;)'". Si ni et ni' sont 
deux valeurs quelconqucs du parainetre m, on a toujours 

(3o) ^('«5 z )':^{rn' , z ) = ofwi — m' , z ). 

En effet, efTectuons le produit des deux series 'f{ni, z), 



II. — SKIUES KNTIlilllCS A TKU.MKS I \I \(.INAIHKS. 4 1 

's{ni\ z) par hi rri;!*' oi-dimiii-c ; \c cocKicieiil tie c'^dans le prodiiil 
est egal a 

(3i) /n,,-^ ni /,^i /)i\ ^ini,—,ni'.,-^...'^ni\ni'i,_^-T-iH'i, 

en posaiit pour abrej^er 

in {ill — \). . A ni — /■ -I- I ) 



/«/. = 



\ .-1. . . k 



el la rehuion fbnclionnellc sera elabliesl I'on nioiitre que I'expres- 
sion (3i)est idcnli(pie an coefficient de zP dans '■:>(ni -i- m\ s), 
c'esl-a-dirc a (/;/ -h ffi')f,- On pourrait verifier directement I'iden- 
lite 

(82) ( III -h III' ),, = nip-'r- m,j-i in\ -(-...- m',,, 

Miais le calcid est inutile si Ton observe que la relation (3o) est 
certainenient verifiee toutes les fois que in et m' sont des nombres 
entiers positifs. Les deux membres de la formule (3:>.) sont des 
polynomes entiers en m et m'qui sont egaux toutes les fois que ni 
et m' sont des nombres entiers positifs; done ils sont identiques. 
D'autre part, '^{m, z) peut etre developpee en serie enti«''re 
ordonnee suivant les puissances croissantes de in. En elTet, si 
nous eirecluons tons les produits indiques, '^{ni, z) peut etre con- 
sideree comnie la somme d'line serie double 

/ , m in , /« , , in 

o(m, -) = i-i z— —-2-^ -^z^ — ...z- — zi>zz... 



(33) 



111- 
1 



nii> 



quand on (ait la somme par colonnes. (^etle serie double est abso- 
lument converj^^ente. En elfet, soient |;:| = p et |m| = 7; si IDu 
remplace chaque terme par son module, la somme des lermes de 
la nouvelle serie compris dans la (/? -~- i)""^*^ colonne est egale a 



O. 



•'^^^-'^ on, 



P 
'■■^ (]ui est le terme general diiiie serie convergenlc. < )n peul done 



\i chvpithe XIII. — FONCTiONS d"ink variable complexe. 

faire la somme de la serio double (33) par lignes, el Von obtient 

pour '-p(w?, '■) un devcloppement en serie enliere 

o{m. :; ) = 1 -I /« H /»- — .... 

I I .1 

D'apres la relation (3o) el les resiillals etablis plus haul (n" 268), 
celte serie doit etre identirpie a o":'". Or le coenicient do /)i 



Oi = 



..= Log(i-^c); 



on a done 
(34) 



o{ni, z) = ^'"'•0?''+-', 



la flelerminalion du logarilhme elant celle (pii s'annule pour 
z-=o. On represente encore celte expression par (i -i- :;)'"; mais, 
pour savoir sans anibigui'le la valeur dont il s'agil, il est commode 
de se reporter a I'expression e"'L«'KH-- _ 

Soil //i=u.-hv/; /• el a ayant la meme signification qu'au 
paragraphe precedent, on a 

giiiLog l+z) —- g(lJH-V/') logr+Zxi 

_ g[Aiog;--va[^cos( [xa -^ v loij/-) -i- i sin(aa — v log/-)J. 



Pour terminer ce siijet, etudioiis encore la serie sur le cercle de con- 
vergence. Soil U,j le module du terme general, pour un point z de ce 
cercle; le rapport de deux ternics consecutifs de la serie des modules 
m — n 



est etrai a 



» c'e?t-a-dire, si ni = ;j. -f- v t, a 



\/(!^ 



«)- 



la fonction 'i(n) restant finie lorsque n croil indefininient. D'apres une regie 
de convergence connue (I, n" 163), cetle serie est convergente lorsque 
|jt. -H J > I el divergenle dans tous les autres cas. La serie (29) est done 
absolunient convergente en tous les points du cercle de convergence 
lorsque 'J. est positif. 

Si ;x -I- I est negatif ou nul, le module du terme general ne va jamais 

en decroissant, puisque le rapport — p— est conslamment superieur a 

I'unite. La serie est divergente en tous les points du cercle, lorsque 
I 'on a \l'1. — I . 

II reste a etudier le cas oii Ton a — i < [ji^^o. Gonsiderons la serie dont 



III. — NOTIONS sua i.\ iu;i'iu:*r:NT\rioN contoumk. 4^ 

le teiiiie trciural est V,',: If r;i|i|ii>it di- dciix liiines const'-ciilifs est ei;al a 



/ ;jt — 1 ^ <^ " ) V' _ 



et, si I 'on clmisil /> assez i^cand pour (|ii(' I'on ait />( ;jl — i) > i , cette sriic 
sera coiivci ijente. II s'ensuit que L,',' el par suite le moduli' du icnno 
general LI„ lendent vers zero. Gela elant, dans I'identite 

Cp( /». S)(l -^- Z) — !i(/» -T- I, Z), 

prenons seulenient daii^ ics dtii\ iiieniiires les termes de degre inferieni 

ou egai a /?; il ie<te la relation 

^, , ^. , m( ni — \). . .( m — n — i) 

b„(i -r- :: ) = b, H z"^\ 

I .-JL. . . n 

S,t et S'„ designanl rcspeclivement la somme des (n-r-\) premiers termes 
de o(/», z) el de o(m-hi. z). Si la parlie reelle de m est comprise enlre 
— I el o, la parlie reelle de ni -+- 1 esl pf)silivc. Supposons |2| = i ; lorsque 
le nombre n croil indefiniment, S^, tend vers une limite, et le terme com- 
plemenlaire tend vers zero; il en resulle que S„ lend aussi vers une 
limile, a moins que Ton nail i -f- ^ = o. Done, lorsque — ><C[-'t^o, /a 
serie est converii^ente en tons les points du cercle de convergence, sauf 
(tu point ^ = — I. 



III. — NOTIONS SLH LA REPRESENTATION CONKOHMK. 

276. Interpretation geometrique de la derivee. — Soi t u = X+ Ya" 
line fonction analvlif|ue de la variable complexe :•. liolomorphe 
a rinlerieur d'uii contour fernie C; nous represenlerons la valeur 
de // par le j)oinl de coordonnees X, Y dans un svsleme d'axes 
reclangidalres; pour la conimodlte des enonces qui vout suivre, 
nous supposerons les axes OX, OY respectivemenl paralleles aux 
axes ox el oy el dc inenie disposition que les premiers, dans le 
meme plan ou dans un plan jiarallele au |)lan .roy. Lorsque le 
point z dt'cril I'airc A limitee par Ic contour C, le point // de 
coordonnees (X, Y) decril dans son plan une aire A'; la rela- 
tion a =f[z) delinil done un certain mode de correspondance 
entrc les points de deux plans, ou de deux portions de plan. IMais, 
a cause des relations (jui lien I les derivees des fonclions X, ^ , il 
est evident que ce mode de correspondance doit posseder des 
proprietes |)articulieres ; nous allons monlrer que les angles soiit 
conseri'es. 



-l4 niAPlTHK Mil. — FONCTIONS o'lNK VAniAm.K COMPI.I-Xi:. 

SoienI c ot z, deux points voisins de Tairc A, // et //, les points 
corrospondants de I'aire A'; d'apres la definition ineme dc la 

(li'iivec^, le quotient ^^ ; a jtour liniite la derivee/'(G) lorsque 

le inotliile de r, — ; tend vers zero, de (piehpie facon que ::, — :; 
lende vers zero. Supposons que le j^oint :;, se rapproche du 
point :; en decrivanl une courbe C, dont la tangeule an point z 
fait un anj^lc a avec la parallcle a la direction ox; le point //, 
(It'crira lui-nienie une eourbe C passant par le point it. Ecartons 
le cas oiif'(z) serait nul, et soient o et w le module et rargument 



Fig. Gi». 



Fis. Gi". 



y 




X 


I 


f 


.JC' 











JC 



r 


D 


\ 










u 


'"""' 


X' 











X 



(\e, f\z) ; soient de nieme /• et r, les distances :?r, et uii^ , a' I'angle 
(}ue fait la direction zz^ avec la parallele zx' ^^ ox, |3' Tangle que 
fait la direction mix avec la parallele «X' a OX. Le module du 

(piotienl -^ est egal a —> et largunient a ji' — v.'. On a done 

les deux relations 



(35) 



• ''1 
im — 



?> 



1 i m ( 3 ' — a' ) = oj -{- ik—. 



Occupons-nous seulement de la seconde de ces relations; on 
peut y supposer A=o, puisque cela revient a augmenter I'ar- 
gument w d'un multiple de •zt.. Lorsque le point ^, se rapproche 
du point z en decrivant la courbe C, a' tend vers la limite a, 'ji> 
tend done vers une limite ^, el I'on a jj = a -f- w, ce qui exprime 
que/?o///" cuoir la direction de la tangente a la courbe decrite 
par le point u^ il sufjit clef aire lourner cV un angle constant to 
la direction de la tangente d la courbe decrite par z. On sup- 
|)ose bien entendu dans eet enonce que Ton fait correspondre les 
directions des deux tangentes qui correspondent a un nieme sens 
de parcours des points ;; et u. 



111. — NOTIONS SIR i.v ni:i'Hi;?i:NT\Tio\ conkoiimi;. \'> 

Soil I) line autre coiirbf du phui ./■<>]■ piissnnl |)ar le |)(jinl c. 
el soil D' la courbe coiTesj)on(lanlo du plaii \()^ ; los Icllics -' rl o 
drslgnanl les anj^les que font les directions corrcspondanles des 
tangenles a ccs deux courhcs av(^c :;./•' ou ii\', nous avons a la 
fois 

el par suite o — ^3 = •' — a. Les courbes C el D' se coiipenL sous Ic 
nicme an^le que les courbes il el D. Nous vovons de plus (uie 
le sens de rotation des angles est conserve. II est a remarcpier 
que la dt'monstration ni' s'appli(pi(' |)lus s\ f'{z) := o. 

Si en |)arliculier on considt're dans I'un des deu\ plans xov 
ou \0\ deux families de courbes orlhogonales, les courbes cor- 
rcspondanles dans Taulre plan formeronl aussi deux families 
de courbes orlliogonales. Par excm|)le les deux families de 
courbes X i= C, \ = C, et les deux families de courljcs 

(3G) mo(l/(:;)=C, a rg/( ;;;--= C' 

forment sur le plan xoy des reseaux orlliogonaux, car les courbes 
corrcspondanles sur le plan XOY sonl d'une part les deux sjs- 
lemes de paralleles aux axes de coordonnees, d'autre pari les cer- 
cles avant pour centre lOrigine et les droites issues de I'origine. 

Exeniples. — i° Soil z' ^ z'^. a etanl un nomljie i('tl el ixisitif. I'^ii 
flesignant par /• et les coordonnees polaires tie z, par /•' el 0' les coor- 
donnees polaires He z, la relation precedenle est equivalente aux deux 
relations /' — r^, 0'= a'J. On passe done du point ;; au point z' en elevanl 
le rayon vecleur a la puissance x el mulliplianl Tangle polaire par a. Les 
angles sonl conserves, sauf ceux qui onl leur sominet a I'origine, qui sonl 
tons multiplies par un facteur constant a. 

■?° Ciinsiderons la transformation bilincaire 



cz -+- d 



oil a, b, c, d sonl des constantes quelconqucs. Dans certains cas particu- 
liers, on voil immedialemenl coninicnt on passe du point .:; au point z' . 
Prenons par exemple la transfoiniation z-=z-^b'. soient z-=x-^yi, 
z =x' -^y' i, 6 = x-f- ^f, la relation precedenle donne .r' = 3--T-a, j'' =j>'-T-fJ, 
ce qui monlre qu'<jn passe du point;; au point ;;' par une translation. Soil 
de meme z = az\ p et oj designanl le module el largumcnl de a, on 
aura r' = 5 /•, 0' = (o -^ 0. On passe done du point can point -en aiigmen- 
lanl le ravoii vecleur daii'^ im rappoii constant s, et iaisanl tounici !<• 



(6 (llAPiriUC Mil. — FONCTIONS DIM; VAIUAHI.I-: COMl'LEXi:. 

iKHivoau liiNoii vt'oloiir d'un angle constanl to. On obtienl done la tians- 
torniation dofmie par la formule z'=az, en combinanl line transforma- 
lion par lioinntlu'tie avec line rotation. Gonsiderons enfin la relation 



/•, 6, /•', 0' ayant toujours la nieme signification, on doit avoir rr'=i, 
-(- 6' = o. Le produit dcs rayons vecteurs est done egal a I'unite, tandis 
que les angles jiolaires sonl egaux et de signes contraires, Etant donne 
un cerrle C de centre A et de rayon R, nous appellerons inversion par 
rapport a ce cercle la transformation par rayons vecteurs reciproques de 
pole A et de module R^. On obtient done la transformation definie par la 
formule z' z = i en elTectuant d'abord une inversion par rapport au cercle 
de rayon un decrit de Toriginc comme centre, puis en ])rcnant le syme- 
trique du point obtenu par rapport a I'axe ox. 

La transformation la plus generale de la forme (87) peut ctre oblenue 
en combinant les transformations particulicres que nous venons d'etudier. 
Si c = o, on peut remplacer la transformation (3-;) par la suite des deux 
transformations 

_ rt , _ b 

si c n'est pas nul, on peut ccrire, en elTectuant la division, 

a be — ad 



c c- z -^ cd 
et la transformation peut etre remplacee par la suite des transformations 
d . _ , _ , _ I 

Z\ — Z —r- — ? -3-) — C' Z I , Z'l — — J 



Z:,= {bc — ad)z3, z'=Z!,^ • 

Toutesces transformations particulicres conservent les angles et le sens 
de rotation, et changent les cercles en cercles ; il en est done de meme de 
la transformation generale (oy), appelee pour cette raison transformation 
circulaire. Les lignes droites doivent, dans cet enonce, etre considerees 
comme des cercles de rayon infini. 

3" Soit 

ei, e-2, ..., e,, etant des quantites quelconques, et les exposants nii, 
nii, ..., nif, etant des nombres reels, positifs ou negatifs. Soient M, Ej, 
E.2, . . ., Ep les points qui representenl respectivement les quantites z, ey, 



.,€/,; soient de plus rj, /•. 



/•/, les distances MEj, ME2, . . ., ME/j, 



et 6,, 62, . . . , (ip les angles que font les directions Ej M, E2M, . . . , E/,M 
avec les paralleles a Ox. Le module et Targument de z' sont respective- 



Ml. — NOTIONS siu i.\ ui;i'iu:si:ntation com"(iumi:. \y 

iiionl /■'['' r'"' ... /-'Ill' el /«, 0, — ...--- /n/,0,, ; Ics deux fainillos dc cniiiljeri 
/•'."■/•'^'^.../•;>=C, /»,0,-^/».,0,~... m,,(),,= C' 

fornienl iloiic iin icsimu oilliot;(tnal. fiOisqiie les o\|)osarits //?,, //?2, .... /a,, 
sunt ties iKiinbies ralionncis, loiites ces courbes sont algebii(|ucs. Si I'on 
a par e\cin|)le p — x, nii = m.,=z i, mie des families se compose de cassi- 
Fioidos a deux foyers, et la socoiide familie est foniiee par des livperboles 
t'quilaleres. 

277. Recherche generale des transformations conformes. — 
L'exaniCM de la |)r()|)o.slli()ii rrciprufjuc de celle (|ui viciil d'etre 
elablie nous conduit a trailer iiu problcme plus general. Hlanl 
donnees deux surfaces i], S', faisons-les correspondre point par 
point d'une facon quelconque (en observant ce[)cndant certaincs 
conditions qui vont etre precisees), et cherchons dans quels cas 
les angles seront conserves dans cette transformation. Soienl x, 
y, z les coordonnees reclangulaires d'un point de S, ^', y'., z' les 
coordonnees reclangulaires d'un point de '^ . Nous supposerons 
les six coordonnees .r, y., z, x\ y', z' exprimees en fonction de 
deux parametres variables it, r, de lacon que les points corres- 
pondants des deux surfaces correspondent a un nicme syslenie de 
valeurs des parametres u, v 

/ x=/(u, I'), i .r' =/'(«, v), 

(38) 2 jK = cp(«, t'), ^' j' = ?'(«, t^), 

\z=-l>(u,v), I z' = <l'(u, {>): 

nous admcttrons de plus que les fonctions /", '.p, ... sont con- 
tinues, ainsi que leurs derivees parllelles du [premier ordre, 
lorsque les points (-C,JK; ^) et (x', j', z') restent dans des regions 
determinees des deux surfaces S et S'. Rappclons encore les nota- 
tions (I, n" 131 ) 



\ Oil / ()u Ov \ 



^' 



<39»^ li'=s('^)\ F'=S^^, G'=S('^Y, 

\ Oil I Oil Ov \'J^ / 

els' = K da- -I- 2 F du dv -t- G dv- , ds'- = E' du'^ -t- i». F' du dv -^ G V/c-. 



Soienl C et IJ deux courbes de la surface -, passant par un 
|)oint ni (Ic cette surface, C et D' les courbes correspondantes 
de la surface S', passant |)ar Ic point ni' . Le long de la courbe (', 



4>^ CIIM'ITIU-: Mil. — KOXCTIONS DINK VAUIAULi: CO.M l>I,liXn:. 

los parainrtrcs //, i- soiU fonctions (I'une seule variable aiixi- 
lialro /, c[ iioiis desigiKMons les diirerentlelles |)ar (/u el civ; de 
nieme le lony tie D, u el f sonl fonclions d'line aulre variable t' el 
nous desigiierons les dideieiuieiles j)ar oit et ov. D'une facon 
fi^enerale, nous dislinguerons j)ar les Icllres d cl o les dilTeren- 
lielles relalives a iin de|)laceinenl siir la courbe C el siir la 



Fig. G2« 



Fi£ 





courbe D. Les paramelres direcleurs de la langenle a la courbe G 
sont respectivement 

dx . dx Oy dy , , dz , dz , 

ax = -7— da -, — — cti-, ay = -r^ du -h ^ dv, dz = -— du ->.- ^ dv\ 
ou ov "^ du dv du dv 



les paramelres direcleurs de la tangente a la courbe D sont de 
me me 



^ dx ^ dx ^ 

rjX = -— OM -\ OP, 

da dv 



^K 



= ^ OM -t- — oc. o:; 



dz 



dz 



du 



dv 



, o;f -H -— Of. 
du dv 



Soil (0 Tangle des tangentes aux deux courbes C elD; costo est 
doune par la formule 

dx 007 -t- dy oy -r- dz os 

cos CO = / -^ .^ rs " 

\/dx'^ -+- dy- -f- dz- y/oo:-- -f- oy- -h oz- 
cjui pent s'ecrire, en tenant compte des notations (3c)), 
E du ou -h F(duov -+- dv ou) -\- G dv ov 



(4o) COSOJ 



v/E du--^ aF dudv -t- G dv- /E ok^-j- aF om op + G ov^ 

On a de meine, to' etant Tangle des tangentes aux deux 
courbes C et D', 

, , , ¥J du on -4- F'(du ro -)- dv ou) -+- G' dv ov 

(,1ij cosw = ^ ^ ^ ^_ ' 

^W du'--T- i¥' du dv -i- G' dv- y/E'oM^-^ 2 F'om ov -f- G' ov- 

Pour que la Iransformation consideree ne change pas la valeur 



III. — NOTIONS SI u i.\ iii:i'HKsi;Nrv rioN coniormi:. 



40 



des angles, il tandra (|ii(' roii ail cos o)' 3:= cos (o, f|ii('ls (jnc soiciil 

dll, f/l', 0//, Oi' ; Ir^ (li'ilX ilK'iiililf^s (|(; I\''i,Nilil(' 



COS-(U = cos- CO 



sent des fonclions rationnelles dos deux ranporls ^- » — riiii doi- 

vent etrc rgales, quelles que soienl Ics valeurs de ces deux lap- 
porls. II faul |)onr cela que les coefliclcnts correspondaiils des 
deux fractions soient proportionnels, c'est-a-dire que I'on ait 



(42) 



E' _ F _ G^ _ ., 
K ~ F ~ G " ' 



A ••tanl uiic I'onclioii quelconque des parainrlrcs u , t', et ces con- 
ditions sont evideimnent suffisantes. car cos(o, par exeniple, est 
une fonclion liomogene de degre zero de E, F, G. 

Les conditions (ia) |)euvent etre remplacees |)ar une relation 
nni(|iic c/.v'- = ).-/^/,s-, on 



(4 5) 



ds' = I ds ; 



elle cxprime que le rapport de deux arcs infiniment petits corres- 
pondants tend vers une liinite independante de da et de rA', 
lorsqne ces deux arcs diniiniient indefininient. Cclte condition 
rend le rt'sultat presquc intuilil. En eirpt, j»renons stir la premiere 
surface un triangle infiniinent petit abc, et soil a h' c' le triangle 
correspondant de la seconde surface. Assimilons ces deux triangles 

, . , ... . I u b' a c b' c' 

a des trianijles recliliKnes; puisque les rai)ports — j-> > —. — 

'^ o ' I M II ab ac be 

lendent vers la meme limite ).(^/, t), ces triangles sont semblables 

.1 la limite et les angles corresj)ondan ts sont egaiix. 

On voit que deux figures infiniinent petites des deux surfaces 
peuvenl etre considerces comme semblables, puisque les lon- 
gueurs des arcs sont |)roporlionnelles et les angles egaux; c'est 
pour cela qn'on donne souvent le nom de lepi'rsentation con- 
forme a loutc correspondance (pii conserve les angles. 

I'vtanl donneesdeux surfaces il, ^\ et une correspondance deler- 
minee qui fait corres|)ondre ces dcu\ surfaces [)oint par point, on 
pent toujoiirs reconnaitre si les conditions {\'i-) sent veriliees el, 
par suite, si Ton a une re|)resentation conforme des deux sur- 
faces I'une sur I'aulrc. Mais Ton pent avoir d'autres problemes a 
G., II. 4 



jo ciivi'iriu: xiii. — konctions dink vmuaiu.k i:o.mi>i.i;\i:. 

resoiulre; par exeniple, Ics surfaces S el-' elanl donnees, on pen I 
se proposer de dolerminer loules les correspondances enlre les 
polnls de ces deux surfaces qui conservenl les angles. Suppqsons 
les coordonnees (j", )', z) d'un point de - exprimees en fonclion de 
deux paranu'tres («, r) el les coordonnees (.r',j)'', ;;') d'un point 
de 1.' exprimees en fonclion de deux autres paranietres (w', r'); 
so I en I 

ds- = E dii- -i- '2F dii di- -r- G di--. ds'- = E' du'- — i-F' du'di'' -h- G' dv'-, 

les expressions des carres des elenu-nls Jineaires. Le problenie 
(pill sagil de resoudre revient a celui-cl : Troiner daiix fonc- 
tions u' z=r,^(ii^ c), r'=-o(w, c) telles que Von ait identique- 
nient 

E:d-\ + 2F'f/-,f/->-+- Gd-\ = l-^E du-^ -^ 7.F du dv -^ G f/c^), 

A elant une fonclion indctcrniinec des variables u, i\ 11 resulle 
de la tlieorie generale des ecpiations diilerentieiles que ce pro- 
bleme admel toujours une infinite de solulions; nous n'en Uaile- 
rons que quelques cas particuliers. 

278. Representation conforme d'un plan sur un plan. — Toiile 
correspondance enlre les points dc deux plans esl dclinie par des 
forniules telles que 

(44) X = P{x,y), \ = q(x,f}, 

les deux plans etanl rapporles a des coordonnees reclangulaires 
[x,y) el (X, V). D'apres ce qu'on \ient de voir, pour que cetle 
transformation conserve les angles, il fauL et il siiflit (jue Ton ail 

dX- -^ d\'- — A-{dx'--+- dy-), 

A elant une ("onclion (pielconque de x.y, independanle des diflfe- 
renlielles. En developpanl les difl'erenlielles c/X, c/Y , el identifianl 
les deux membres^ on trouve que les fonclions P(^,_)') et Q(^, j^) 
doivent salisfaire aux deux relations 

' \dx/ \dx ) ~\0y ) \0y ) ^ dx dy ~^ dx dy ~ 

Les derivees narlielles — > ^ ne neuvenl elre nuUes a la fois, 
^ Oy dy ' 






;i i( i.A ui:i'I(i;si;matio\ cdmdu.mi;. 



car la iirniiii'ic (!(■> iclalmiis ( 'I.)) don iicrait aiissi — - =:: — i— o, 

' 0.r <).r ' 

el }('s loiu'lioiis I' (i ( ) sciiiiiiil coiisl. mil's. l*ar siiile, on pciil 

eci'ifc. (I apirs la (Ici-nicrc iclalion. 



d\' JQ 


,)q 


OV 


3^ f J_ ^ 


Z^ 


— 'J. — 


0.r ' dy 


O.r 


' '>y 



a elanl tine inconiiuc aiixiliaire. I'^n |)orLaiit ces valours dans la 
premiere condilion {-\^i), celle-ci devicnl 

el 1 on en lire 'x ^= rir i . On doil di^nc avoir, soil 

dP OQ OP dO 

ox Oy oj' ox 

soil 

0P_ _ _dq dP_ _dQ^ 

' Ox Oy Oy Ox 

Le premier svsleme de condilions ex|)rime que P -h ^ Q est une 
fonelion analvli(|ue de x -\- iy\ f|uanl au second svsleme, on le 
ramenc au premier en changeanl Q en — Q, c'est-a-dire en pre- 
nant la syinelrique de la figure transformee par rapport a OX. 
En definilive, a loule re[)resenlali()n conlbrme d'un plan sur un 
plan coriespond une solution du svsleme (46) et, par suite, une 
<onelion analylifpie. Si Ton suppose les axes OX el OY respec- 
livement paralleles au\ axes ox^ o )', le sens de rotation des 
angles est conserve ou non, suivant cnic les ionelions I* el () veri- 
(ient les ecpiations (4(>) ^'i' ( ij)- 

±1\\. Th6oreme de Riemann. — litant (loinit's dans I.- |.lan do la 
\arialjlc z ufk; aiic A liiiiilco par im seul contour (f)ii contour simple), 
el dans ic plan de la variable a un ccrcic G, KicmaiMi a dcniontrc qii'il 
existail uuc roiicl inn aiialyli(|uo ii := f( z), iiiiluinMr|i|ii' dan- I'aiic A. el 
telle qua cliaiiuu pniul dc I'airc A corrcspondc un pnini dn icrclc el 
qu'inverscmcnl a un pniut du cercle corrcspondc un point ci un si.-nl 
tie A. La fonelion /{z) depend encore de Irois constantcs arbilraircs 
reclles donl on pent dispos<,'r de facon ([ue le centre clu ccrcle corrcspondc 
a un jjoint dcterniin('' de lain- \. lanilis qn un point arbilrairenienl clioisi 
sur la circonfcrence currc^^pnud a un point determine du contour de A. 



'ir 



C1IV1MTRI-: \m. 



FONCriOXS I) LNK \ AIUARI.K CO.MPLKXK. 



Nous ne donnerons pas ici la demonstration do ce tlu'orome dont nous 
indiqucrons seulemcnt quelques exemples. 

Reniarquons seulcment quon peul remplaccr le cercio C par un deini- 
plan. Kii ellct, supposons que dans lo plan dos ii. la ci rconfi'ience G passe 

liar loriirinc; la Iransfornuuion «' = - remplace cetto ciiconference par 
' u 

une droite, el le cercle lui-meme par la portion du plan iles u' situee d'un 

cole de celle ilroile, prolongee indefiniment dans les deux sens. 



Exemplex. — i" Soil a = z^. a etant reel et posilif; considerons la 

porlion A du j)lan comprise entre la direction oxe.l une demi-droile inde- 

finie issue de rorij;ine el faisanl Tangle x- avcc or(a: 1 -2). Soient ^ = re''K 

u = Re"^, on doit avoir 

I 
R = r'^. 







lorsqiie le point z deer it la portion A du plan, /• varie de o a -i- :c. et G de o 
a X- : R varie done de o a -f- co el w de o a 77. Le point u decrit done le 
demi-plan situe au-dessus de laxe OX, et a un point de ce demi-plan ne 
correspond qu'un point de A, car on a inversement /• = R*, = aw. 

Prenons encore la portion B du plan des z limitee par deux arcs de 
cercle qui se coupent. Soient Zq, Zi les points d'intersection ; si Ton 
elFectue dabord la transformation 



I'aire B est remplacee par une porlion A du plan des z' comprise entre 
deux rayons indefinis issus de lorigine, car le long dun arc de cercle 



passant par les points ^05 -^i) 1 argument de — 



conserve line valeur 



conslanle. En appliquanl ensuite la transformation precedente u = i z' )^, 
nous voyons que la fonction 






permet d'ell'ectuer la representation conforme de I'aire B sur un demi-plan, 
en choisissant x convenablement. 

:*" Soil u = cos^. Faisons decrire a -s la demi-bande indellnie R, ou 
AOBA' (Jig. 63), definie par les inegalites o^x'S-, j^^o, et cherchons 
la region decrite par le point u — X -+- Y i. Nous axons ici (n" 269) 



(48) 



X = COSJT 



Y = — i\nx 



e-y 



I 



Lorsque x varie de o a r, Y est conslammenl negalif, et le point a 
resle dans le demi-plan situe au-dessous de I'axe X'OX. A tout point de 



III. — NOTIONS sru I.V nKI'UKSKNTATION COM'On.Mi; 



yj 



la refjioii H correspond done iin point dii demi-plan des u, el loisque le 

point - est siir le contour de K, on a Y = o, car I'un des ilcu\ fac- 

c) — e-y , , 

teurs sin.?- oil est nul. InNcr^i'mrnt ;i tmii imiiit dii dcnii-idiiii 

■Jt ' ' 

lies // aii-dcssous dc OX correspnml iin puini ct un seul dc la haiule K 

dans le plan des z. En cITet, si z' oL une racine de I'equation « = cos^, 

loules les autres racines sont comprises dans la fonnule 7./\t.±z'. Sup- 



A • I A 

..Ll. 

--r-"-- 



l''ii;. (i.S. 



X' C 




posons le coefficient de i dans z' positif, 11 ne pent y avoir qu'un de ces 
points racines dans la bande R, car tons les points lA:- — z' sont au- 
dessous de ox. II y a tonjours un des points 2/1- -i-s' situe dans R; en 
elTet, il y a toujours un de ces points dont I'abscisse est comprise entre o 
el iT.. Celte abscisse ne pent etre comprise entre ti el it:, car la valeur 
correspondanle de Y serait positive. Ce point est done situe dans R. 

On voil aisement, au moyen des formules (4*^)t fl^e lorsque le |)oint z 
decrit une portion dc parallele a ox dans la bande R, le point u decrit 
une demi-cllipse. Lorsque le point ;: decrit une parallele a oy, le point u 
decrit une demi-branche d'liyperbole. Toutes ces coniques onl pour foyers 
les points C, C de I'axe OX, d'abscisses -f- i et — i . 

3° Soil 



(49) 



a ctaiit reel ct po'-itif. Pour que | // 1 soil iiiCrricnr a Tunite, il faut ot il 

, , T V . . 

suHit, coninic le inunlrc un calciil lacilc. (inc lOu ail cos— ^ >>o.Si v vane 

de — a il -~ a, nous voyotis qua la bande indelinie comprise entre les 
deux droites j' = — a, y = -h a, correspond dans le plan des u le cercle G 
de rayon un decrit de Toriijine comme centre. Inversemcnl a lout point 
de ce cercle correspond uii ^eul point ile la bande indefinie, car les valeurs 



■>4 CHAPITRE XIII. — KONCTIONS I» INK VAUIAni.lC COMI'I.KXn:. 

(le z qui c<)ire<|)iimlenl a iiiic valour de u lornieiil iiiic |iriii::ression 
arilhmelique dc raison '[ai. II iie pent done v avoir \<\u< il iiiu- ^aleur 
tie z dans la bande cnii<idert'e. D'ailleurs 11 y a toujour* uiie dc ccs racines 
oil le coefficionl dc i est compris cntrc — a et 3a, ct ce coeflicienl ne peut 
elre compris eiitre a et 3a, car la valeur conespondante do \ir\ scrait 
superieuro a un. 

i280. Cartes geographiques. — Faire la carle dune surface, 
c'est faire c*)rre»|)on(lre les points de celle surtace a ceiiK d'un 
plan de facon que les ani;les soient conserves. Supposons les coor- 
donnt'cs dun poinl dc la surface consuh'-ree ^ ex|)riniees en fonc- 
tion de deux paianu-tres variables (//, v)^ et soil 

f/.s- = E da- -H '2 F dii f/c -r- G dv'-, 

le carre de lelement lineaire. Soient (a, |j) les coordonnees rec- 
lan2:ulaires du point d'un plan V qui correspond an point («, c) 
de la surface. 11 s"ai:jil de trouver les deux fonclions 

u = -,(a, 3 ), V = -o( oL, ^) 

de telle facon (|ue Ton ait ideniiquemenl 

E du- — 2 F du dv ^- G dv- = ). ( doc- -4- d3'- ), 

)v etant une fonclion (|uelconque de a, 'i. ne renferniant pas les 
difTerenliclies. Ce problcme admet une infinite de solutions qui 
peiivenl toutes se deduue de Tune d elles an nioyen des transfor- 
mations conforines. deja etudiecs. d un [jl.iii siii- un plan. Sup- 
posons, en effel, que Ion ait a la tois 

ds- = A ( dx- -T- di- ), ds- — '/.'( doL- — d'^'^ } ; 
on aui'a aussi 

dx'^ -i- d'i,-^ = ~ ( doi"- -f- f/3'2), 

de sorle que a-T-|j/, ou a — |ji, sera une fonction analxlique 
de a' 4- p' i. La reciproque est evidente. 

Exemples : V Projection de Mercator. — On peul toujours 
faire la carte d'une surface de revolution de facon que les meri- 
diens el les paralleles correspondent a des paralleles aux axes de 
coordonnees. Soient, en elfel, 

X TTz p co«{o, J' = p sinoj, c = f( c,), 



III. — NOTKlNS >il » l,\ UICI'IIKSENTATION CONFOnMK. i'i 

Ics coordoiiin'cs d iiii poiiil d iiiii' smfacf de r<'\ oliiliOii niiloiir 
de o :•; on ;i 

ce <|ni piMil > ('•(Tire 

<M1 |)(1S<lllt 

Dans le cas dune sphere de lavoii P», nous jiouvons ccrire les 
coordonn('-es 

3" = R sInO cos'j), ^ = R ?in sin o. ^ = R cosO, 

(A-2 = R2 ( f/6? -- ?i n 2 ^/-i2 ^ = R-2 .i n-2 fj f ^/o2 _^ _f!L ) , 

\ ' sin-'J/ 

el nous posei'ons 

X-'f, V=j -_^= log ( tang- j. 

On oblienl ainsi la [)rojeclion ditc de i]Jercator, dans la(|uelle 
les meridiens sont represenles par des parallelcs a I'axe OY, el 
les paialleles jiar des segments de droltes paralleles a OX. Pour 
oblcnir loule la surface de la sphere, il suffif de faire varier cp 
de o a -1- el de o a -; X varie de o a it. el Y de — oc a -f- x. La 
carte a done I'aspect d'une hande indefinie de largcur 27:. Les 
courhes situees sur la surface de la sphere qui coupent tons les 
meridiens sous iin angle constant, ou loxodroinies, sont repre- 
sentees sur la carle par des lignes droites. 

2" Projection >;lereoi:i'aplut/iu' . — On pcul encore <'erire le 
cane de I't'lemenl lim'aire de la sphere 

, , , , / R2 ^02 ,, , , , . ^ 

its- = 4 cos*-/ jr -I- R-tang-- a-:.- 

'\ cos''- 



Oil 




f/5- = \ cos* - (do^^ 3- dcy- ), 
7. ' 



56 (IIAPITIIK Mil. — FUNCTIONS lilNK VAIUABLK COMPLKXt. 

en posanl 

Mais c/z- -^ z- cho- represciile le earn- de rolemenl lincaire du 
plan en coordonnees polaires (p, w); il suffil done pour avoir une 
represenlaiion conrornie dc la s])li(''re de faire coriespondre a un 
point (f). -j; ) de la surface de la sphere le point d'un j)lan de coor- 
donnees |)()laires (o, w). On voit ininiediatenienl, en faisant la 
figure, que z el w sont les coordonnees de la projection stereogra- 
phique sur le plan de I'equaleur du jioint (0, '^) de la sphere, le 
point de vue etanl I'un des poles. 

3° Carte du fore. — Gonsiderons le tore engendre par la revolution 
d'une circonference de rayon R autour d'un axe silue dans son plan, a 
une distance a du centre du cercle (nous supposerons a> R). L'axe de 
revolution etant pris pour axe des z. et le plan median du tore etant pris 
pour plan des xy, nous pourrons ecrire les coordonnees d'un point de la 
surface 

.r = (rt -^ R cos6 ) cos 'J. j)' =; (« -i- R cosO) sin c ^ = RsiaO, 
et il sulfira de faire varier f) ct '^ de — — a -h tt. On dcduil de ces formules 

ds'- = ( a ^ R cos 6 2 d-y- _ ^ ; 

L • ( rt — R cost))- J 

pour faire la carte de la surface, nous poserons {voir n^ 114; 

X = o, 

■ r' 



r/0 



— == a re t a n " 4 / - 



\ — e e 

— tani; - 
e " 1 



e= - <\. 
a 

La surface totale du tore correspond ainsi point par point a celle d'un 

'iTze 
rectangle dont les dimensions des cotes sont .>.- et 



281. Courbes isothermes. 
de Laplace 

A.,U 



y/i — e^ 
Soit \J{x, y) une solution de I'equation 



dx- 






o; 



les courbes representees par I'equalion 
(5o) \J{x,y) = C, 



Ml. — NOTIONS SI U I. A KKl'HKSKNTATION CONFOUMK. 5; 

oil i'j I'sl line ciinslanle arbilraii c, furiiieiU uiio famille de cuuil)cs isf>- 
tliermes. A toule solution \j(x,r) de requation di: Laphcc, on jxiit en 
associer uiie autre \(t,y) lellc (|iii' U -^ /\' soil une fonrlinn aii;d\ tiipn- 
de x-ryi; les relations 

d\^ _d\_ ^ _ _^^' 

O.r ()y Oy d.r 

inonlient iiiic les dcu\ families tie coiirhes isotherines 

sont oilliuj;onales, car les coefficients angiilaires des tangentes au\ 
courhcs G et G' sont respectivement 

Ox ' Oy dx ' Oy 

Done les trajectoires orthcfionales d'une famille de courbes isolhermes 
I'orment une autre famille de courbes isothermes. On obtiendra tous les 
systemes conjugues de courbes isolhermes en considerant une fonction 
anal\tique f(z), et en prenant les courbes pour lesquelles la partie reelle 
de f{z), ou le coefficient de i, conserve une valeur constante. Les 
courbes pour lesquelles le module R, ou I'argument Q. de f(z), reste 
constants forment aussi deux systemes conjugues isothermes; car la partie 
reelle de la fonction analvlique Log[y(^)] est egale a logR, et le coeffi- 
cient de i a 12. 

On obtient egalement des systemes isothermes conjugues, en considerant 
les courbes decrites par le point de coordonnees X, Y, ou y(s) = X -f- I'Y, 
lorsqu'on attribue a x ou ix y une valeur constante. II suffit en effet de 
regarder inversement x -r- iy comnie une fonction analytique de X -t- i\ . 
Plus gencralement, toute transformation entre les points de deux plans 
qui conserve les angles change une famille rie courbes isothermes en une 
nouvelle famille de courbes isothermes. Soient 

x = p{x\y'), y^q{x\y') 

des formules d(''(ini>sant une transformation qui conserve les angles, et 
soil '"?(.«■', y' ) le resullat ohliMUi en remplacant x (t\. y i)ar p{x\ y'^ 
et q( x\ y') dans \j(x, y ). Tout revient a demon trer que ^ {x' ^ y') est une 
solution de I'equation de Laplace, pourvu qu'il en soit ainsi de \]{x,y). 
Le calcul n'offre aucune difficulte {voir Gha|). II; exercice 9, p. 96); mais 
le theoreme pent aussi s'etablir sans aucun calcul. Kn effet, nous pouvons 
supposer que les fonctions /»(a7', y') et q{x-',y') verifient les relolions 

dp _ Oq '^P _ ^1 

Ox' Oy' Oy' Ox' 

car une lran>formation par symetrie ciiange evidemment une faniillc de 
courbes isothermes en une nouvelle famille de courbes isothermes. La 



)S 



ClIAI'lTKK \III. 



FONCTIiiNS I) INK VAUIAItl.K COMPLKXE. 



fonolioii x -i- ly = p -r- i</ ost alois iino rniiclioii analyliquc de z' = x' + /r', 
et U -1- I V (levfent egalement aptcs la siibslitiitioii uiic fonclinn ana-- 
lytique ^ {^x\ y' ) -\- i^ {x' . y' ) Ac la iiu'mo vaiial>lc ^'(n°iGo). I^os (leu\ 
fainillos lie coiirbes 

tloniient done un iiou\caii rcseau lulliognnal fnrtiir Ac deux faiiiiiles iso- 
tlicnne? conjuguees. 

Par e\cni|)Ie, des cerclcs coiKcnliiqiies et des rayons issus du centre 
Torment deux families isotliei'nies conjiigiiees, cx)inme on le voit inmicdia- 
lement en considerant la fonclion analytique Loj;;:. En efTecluant une 
transformation par rayons vecteurs reciproques, on en conclut que des 
cercles passant |)ar deux points fixes fornient ejialement un systeme iso- 
llierme. F.e systeme conjuL;ue est ej^alemenl conijjose de cercles. 

De meme des ellipses homofocales forment un systeme isotherme. Nous 
avons vu plus haul en clTet que le point ii = cos^ decrit des ellipses homo- 
focales lorsque Ton fait decrire au point ^ des paralleles a I'axe ox (n° 279). 
Le systeme conjugue se compose des hyperboles homofocales et ortho- 
gonales. 

Remarque. — Pour qu'une famille de courbes representee par une 
equation V{x,y) = G soit isotherme, il n'esl |)as necessaire que la fonc- 
tion P{x,y) soit solution de I'equalion de Laplace. En effet, ces courbes 
sont aussi representees par requatiim o[ V(x, y)] = G, quelle que soit la 
fonction cs, et il suffit que Ion puisse prendre pour cette fonclion cp une 
forme telle que U(a7, y) = o(P) verifie I'equalion de Laplace. En faisant 
le calcul, on tr(ju\e que Ton doit avcjir 



'111 



'dx) ^K'dy) y d^\dx^i'^ ~0y^- )~^'' 
il faudra done que le rappoit 



fc>2P 

dx- 









ne depende que de P et. si cette condition est satislaite, on ublicndra la 
fonction 'j par detix (|ua<hatiires. 



IV. 



PRODUITS INFINLS. 



!28!2. Definitions et generalites. — Etant donnt-e ime suite inde- 
(liiie, a ti;rines reels on iinayinaires, 



«0, "I, II i 



IV. — I'ltdltl ITS IMIMS. 59 

consicU'roiis lo> pnxlmis -iiicccs^i U 

l\, = I — «,„ I', = (i -1- «o )(' — «i), 

P, = (1 -+- »„)( I — «, )( 1 -^ «.>), .... P„ — ( I -f- Uo)(l -T- Hi). . .(1 -+- II,,)'' 

.si Ic prodiiit \\, tciiil \ci"s line liniilc P lorxjiic /> ;iii;4nu'iitr iihIc'- 
lliiinu'iit, on (ill (|ii(' \r |ii'ii(linl iiilini 

<5i) I I (i -i- H„ ) = ( I -^ </„ )( I -H «i l( I -7- Ho ) . . . ( I -^ «„ I . . - 

71 = 

est con'^'Oiicnt : le iiomhre P est par Jt-finilion la \aleiir de ce 
protluit . 

II est clair {|iie >i I im dcs laclciirs 1 -f- Km est mil, tons les pro- 
duits V„, oil /i^ni, sont mils; on a done P = o. Mais il pent aussi 
arri\er rpie le produit P,^ tende vers zero sans qii auciin des fac- 
teurs I -i- i/,„ soit nnl. Tel est le cos dii produit 

P -1.1.'...!, 

tjiii lend evidemiiient vers zero lorsque n eroit indeliniinenl . Les 
regies qui permeltent de decider de la convergence d'un produit 
inlini ne s'apj)li<pianl pas loujours a ce cas singulier, nous reser- 
verons le noni de produit convergent aux produils infinis pour 
lesfjuels P„ tend vers une limile P dijferente de zero ; lors(|ue l*„ 
a zero pour liiuile, nous dirons (pie le produit est nuL landis 
qu'il sera appele divergent, si P„ ne lend vers aueune liinilc. 

Pour qu'un produit indni soil convergent, sans elre nul, il est 
necessaire que «,, tende vers zero. En eHTet, si P„ tend vers une 
limile P. It dinerenee P„ — P„_, = P„_, Uu doit tendre vers zero; 
le I'acteur P„_, avant une limile dilTerenle de zero, il I'aul done 
que le facteur u„ lende vers zero. Le raisonnement ne s'ap|)li(pie 
plus si le produit est mil: on \('iilie aisi'iiienl siir re\eni|de cite 
plus haul que Un ne tend pas \ers zero. 

D'apres une remarque anterieure (I, n" l-'iT ), rt'tiidc de la con- 
vergence ou de la divergence d iin produit iiilim sc raiiirne a 
rt'luile de la niciiie ipicstioii pour iiiu," scrie. l*osons 

^'o= I'o— (1-^ «u), i',= I*i— l'u= (1-^ «ojH|. 



Go CIIVPITBE XIII. — FONCTIONS DINK V.VIUABI.K COMl'I.KXK. 

el, d line nianiere generale, 

(5-.>.) V„ = P„— l*„_i = (!-!- «o)il -i- J/i ) . . . (l -H l/„-i)ll„, 

el considerons la serie aiixilialre 

(53) ('o-+-i'i-H.. .-1- r„-i- 

La soinine -«= to-r <',+...-}- v,i est evideninienl eyale a I*,,, de 
sorle que celle serie est conver^enle on divergente en meme lemps 
que le produit infini 11 (i -|- //«); lorsque la serie est convergenle, 
sa somme S est egale a la valeiir P du produit infini. 

283. Produits absolument convergents. — Supposons d'abord 
que tons )es nonihres u,i soient reels et posilils. Le produit ?« 
va en croissant avec n el, pour demontrer la convergence, il suf- 
fira de prouver que ce produit V„ reste inferieur a un nombre 
lixe, quel que soil n. On a, d'une part. 

P« > I -+- «u -+- " 1 — . • • -t- "« ; 

d'aulre |)arl, on a, x elant |)ositif, i -\- x <^ e'', et par suite, 

P„ < e«„-)-", +...-(-"„. 

La premiere inegalile montre que, si le ])rodiiit P,, tend vers une 
limile P, on a constammenl //„ -f- w, -J- . . . + w„ << P. La serie a 
ternies ijosilifs 



(54) 



Uo^ Ui-^. 



est done convergente. Inversenient, supposons cette serie con- 
vergente et soil S sa somme; la seconde inegalite donne Pn<i e^. 
Le produit P„ tend done vers une limile, et I'on en conclut que 

-I- 00 

le piodaU infini I I (' + '<«)? f^" loiis Les nombres n,i sonl reels 



et posilifs, est convergent ou divergei^t en meme temps que la 
serie (54). 

Considerons mainlenant un produit infini, a lermes quei- 
conques, reels ou imaginaires, 

(55) (l — ?fo)(l -i- M,). . . (IH- M,i ) .. . 

et soil U/= [///I. Si la serie 

(56) Uo-H U, -{-...-+- U„ -+-... 



IV. — I'llOl)-. ITS INFIMS. Gl 

est convergente, il en est de memo du itioduil iiilini (o5). Posons, 
en cITct, coinme plus haul, 

^'«= (1 -- «o)l I -4- «i ) . . . ( I -^ m,j_,)h„, 

v„ = (i^Uo)(i-4-r,)...(i + u„_,)U„. 

D'iiprrs ce qui pi'ccrdc. la seric a lernies posilifs I'L/elanl con- 
vergenle, il en est dc nieme du jnoduit indni II(i-t-U/), et par 
suite de la scrie 

(J7) Vo^V,-...-V„^.... 

Or on a evidenimeiil 1 1'„ | <C V„ ; la serie 

(58) vo— Vi-^. ..-h v,,-^.. . 

est done ahsolumenl convergente, et la somme dc celte serie est, 
comme on la fail reniarquer, la limile du produit 

P« = ( I -^ «o ) ( I — « I » . . . ( I -f- ?f « ) 

lorsfjue n augiuenle indeliniinent. Dans ces conditions, Ic pro- 
duit I I (i 4- I'n) est dit ahso/unir/ii convcf.p'ent. 

11 = 

Les produits infinis absoliinicnt convergcnls ofTrent un inlertt 
particulier, coninie les series absolunicnt convergentes, avec 
lesfpielles ils onl de grandes analogies. Ainsi, dans an produit 
injini absolunient convergent, on pent modifier Vordre des 
factears d'une faron arbilraire sans changer le produit. Nous 
demontrcrons d'abord qu'elant donne un ])roduil infini absolu- 
menl convergent, a tout nonibre posilif £ on pent fairc corres- 
pondre un nombrc entier n tel que la dilTercnce cntrc Tunite et 
le produit dun nouijjrc fjuelconque de faclcurs 

(i-i-«a)(i^- «^)---(H- "/.) 

ait un module inferieur a s, lorsque tons les indices a, j ). 

sont superieurs a n. On a, en cfTet, comnie on le voit immetlia- 
tement en supposant les deux produits developpes, 

et, par suite, 

|( n- Ha)( n- "3 ) • . ■ ( I -^ «>, ) — I I < e' a+Ui^-+«^\— I ; 



Gx cHAPirnE \iii. — fonctions him-: vAiu.viu.n comi'i.kxk. 

mais, la serie SU| etanl convergenle, on peul prendre le uombre n 
assez grand pour cpie la soninie Ux-r U^-f- . . . H- U). soil plus 
pelile que log(i-f-s), lorscpie Ions Ics indices a, [it, . .., A sonl 
superieurs a /?. Le second nieinljre dc I'inegallle [jrecedente peul 
done elre rendu moindre que lout iiond)re posilif t, en prenant 
le nombre enlier /? assez grantl. 

Ceci prouve, observons-le eu passaul, (ju nn prodait. absolu- 
meiit convergent ne peat etre mil a nioins qii'un des facteurs 
da prodait ne soil nul. Supposons en elFel qu'aucun des facleurs 
du pniduil ne soil nul; choisissons Ic nomlire n assez grand pour 
ciuc Ion ait, (|uel (jue soit Ic iiotni)re posilif/j>, 

|( I -f- «;,-Hi ){\-^ lt;,+%) . . . (I -H Uu-i-,, ) — 1 I < a, 

a elant un uombre positif iuferieur a i'unilc. II est clair que le 

module du [)roduIt inlini I I (i -h '/«+v) ''Cra supcrieur a i — a et, 

■/ — 1 
par consequent, le produil P tpii est egal au precedent niulliplie 
par P« ne pourra elre nul. 
Cela pose, soient 

(59) (l-r- t<o)(l-H "1) • • -Cl-;- «/()• • • 

un produit inlini absolunienl convergent el 



(60) 



(i-h m'o)( I -H «',).. .(i -^ u',„) 



un autre produit infini compose des menies facleurs pris dans un 
autre ordre. Ce second produit est aussi absolumenl convergent, 
car la serie SU) est composee des memes lermes que la serie SU/. 
Appelons P et P' les valeurs de ces deux produits (09) et (60). 
Soit V„ le produil des n -4- 1 premiers facleurs du produit (39); 
tons ces facteurs se retrouvenl dans le produit (60), el nous 
pouvons prendre un nombie m ^ n tel que le produit P^,, ren- 
ferme tons les facteurs de P,,. Nous avons alors 






l-r-«a)(i-^«^)---(l-^ «>.), 



tons les indices a, j, . .., A etant superieurs a n. et, d'apres ce 
que nous venous de voir, on peul choisir le nombre n assez grand 



IV. I'llOlll ITS IMIMS. 



63 



noili- (|lic I'oM ;iil 






aussi |)Liil (|m' soil \c iiornhrc posilil" t. Or, lors(|iic // aii^tiicnlc 



l'„ 



iiidi'liiiiinciil , il fii csl dr mrmc dc /it, cl U' r.i|)|M)r( ^— a pom- 



I'' 



liiuilf -j7 • II laiil (loiic (jiic Ton ail I' ^- I'. 



iiSi. Produits uniformemeut convergents. — Considerons 
encore im produil inliiii (n), oii //,,, //,. .. ., //„, ... sonL des 
roiiclioiis coiiliiiiii's, rt'i'llc; on iiiiai;inaires, d iiiic on pinsienrs 
\arlal)les .r, )', /, ..., cc (|ni coniprcnd evidemmeiiL Ic cas 
oil //„. ;/,, I/.,. ... .scraiciiL des loncLions d'nne variable coni- 
plexe c. Nous diioiis (pu; ce prodnit est iini/or/ne/nent conve/- 
licnl dans nn cerlain doinainc 13, si la serie Sr,/ delinie pins lianl, 
doiil la soinnie est egale an [)iodnit infini, est elle-meme nnifor- 
niemenl conver<;entc dans cc domaine. \a' prodnil P est alors une 
ionclion conlinne des varialiles independantes. 

Un prodnil inlini est niii(biin('nient convergent, s'il en est ainsi 
de la serie 

(6l) Un-4- Ui-4-. . .^ U„ — ...; 

reprenoiis en ellet la serie (53), nons avons 

Vn + l -f- . . . -^ Vn-^p = Pn+p — i* n = ^u [( I ^ ".•/ + 1 ) ■ • • < 1 — «« + /. ,» — ' J ^ 

on a d'aillenrs les inegalites e\itlentes 

I P„ |< (. + L\,)(' H- L:, ) . . . (I + U„)< ei-o+L-.+...-4-i:,., 

1(1 ^ «„_^, )(i 4- «„+o) • • • ( ' ^ "«+/') — • l< ei'..-i+i^''.+^+--+^-r-i. 

Mais la serie (Oi), elant iinifoinK'nicnt convergenle dans le 
domaine D, represenle une t'onction continne (jni reste infericnre 
a line certaine limite M, et Ton |)ent clioisir nn nonibre .N assez 
grand ponr tpie la soniinc snivante, on /<^N, 

U /,+ I 4- U fH-O -T- . . . -T- U /,-+-;, 

reste infrrienrc, (picl ipn- xiil />. a nn iioinljic posilil "/ dans le 
nieine doniaim-. On anra done, If iioiiilire /> avani rle clioisi de 



()( CIIVPITRE Mil. — FONCTIONS d'lNK VAIUAIU.K COMPLKXK. 

cello fa(N)n, 



|*'«-!-l' 



^1^„+,,|<C>'(C'^— I). 



Ccci protivc hien (jiie la scrie "^i'n csl uiiironiicnicnl convcrgenle, 
piiisciu'on pent toiijoiirs clioisir a de facoii a salisfaire a la condi- 
lion e^'(e^ — i) <! t, aussl pelit que soil t. 
Par exemple, le prodiiit inlinl 



F( ;;; = zii — z-^)( i 

I 

represenle unc fonclion conlinue de la variable coniplexe z, car 

la serle > -^ esl iiniforiin'menl conver<:enle a rinlerieiir (rnnc 

1 
conrbe fermee ([uelconcpie. Ce produil esl nul pour j3 = o, =h i , 
dz 2, ... el pour ces valours senlemenl. 

licmaique. — Toules les proprietes precodonles s'elendent 
sans difficulle aux j)roduits infinis n(i 4- u„iii)i 'Ji' cliaque facteur 
est alFecle de deux indices dislincls m, /?, pouvant varier sepa- 
rement. de o a + x. Lorsque la serie double SU,„,/ est conver- 
genle, le produit precedent a unc valeur l)ien determinee, qui ne 
depend pas de lafacon dont on fait croilro le nonibre des facleurs. 
De memo (piune scrie double absolument convergenle pent etre, 
d'une infinile de manieres, transformee en une serie ordinaire, uu 
j^roduit doublement indni, lei que le precedent, pent elre d'une 
infinite de manieres Iransforme en un produit simplenient infini 
absolument convergent. Si tons les termes ii,u,i sont des fonctions 
continues de certaines variables x, y^ . . . , et si la serie SU,w« est 
undorniement convergenle dans un certain domaine D, le pro- 
duit infini n(i 4- u„in) est lui-meme uniformement convergenl, et 
represenle une fonclion conlinue de x, y, . . . dans le domaine D. 

:28."). Produits infinis reels. — Reprenon? un produit iiifini fie facteurs 
reels 

(I — «o)(l -f- «<,j. . .(l— Un). . . 

pour eludier le cas ou il y a une infinile de termes negalifs dans la suite ««, 
Ml, Hi, •••• Lorsque tous ces termes sont, a partir d'un certain rang, 
compris enlre — i et o. on est conduit a etudier un produit infini tel que 



(G-.,) 



(l — l^o)(l — V,).. .(I — Vn).. ■ 



IV. — puoDi ir.s iM-iMS. 65 

nil To, t'l. ..., I'n, ... snnt po^ilifs et infeiiours a i. II est flair que Ii- 
l»roduit (i — i'o)---(' — V/t) va en ilecroissant Inisquc n augmente, et que 
ce prodiiit resle posilif ; il tend done vers iinc liniite loisqnc n croit inde- 
Uniment, mais cette limite pent ("Ire zero ou un nonilire po«itir. Si la 
•it'rie 1.1'i est convergenlc, le jiroduit infini (62) est absolument conver- 
;;ent; le produit (1 — i\, ) . . . ( i — i'„) a done une lin:ite dilTerenle de 
•/..■•ro (n-'SSS). 

Four voir ce qui arrive lor^qiie la st'-iie X c/ est divergcnte, rcniarquons 
ipie Ion a, quelle que soil la valeur rcrlle de x, 

I -r- a: < e^, 

«ar la fonction e^ — r — i est niiniMiuni pour x = o. On |)eut done ecrire 
I — ro<e-«'o. I — i'i<e-''>, ..., i — (•«< e-"", 

«l |>ar suite 

( [ — (•„)( I— t'li. . .( I — r„) < e-'<'o+»',-t-----i-'',,\ 

!-a somme c,,-:- Ci -+-... -1- c-,j augmente indelininient avec n, et par suite 
le produit infini est nul. 

Lorsque la suite 11,,, iii, .... Un, ... renferme une infinite de termes 
positifs et une infinite de termes negatifs, le produit infini ne peut etrc 
convergent sans etre nul que si le termc general u„ tend vers zero (n° 28:2). 
Supposons qu'il en soit ainsi ; comme on peut toujours negliger un nombre 
fini de lacleuis an d».d)ut, nous admettrons que tons les facteurs sont posi- 
tifs. Le produit 1',^ contient alors uncertain nondjre de facteurs superieurs 
a I et un certain nombre de facteurs inferieurs a i ; le seul cas douteux 
est evideniment celui oil le produit des facteurs superieurs a 1 augmente 
indefiniment, tandis que le produit des facteurs inferieurs a 1 tend vers 
zero, lorsque n augmente indefiniment. Le produit infini peut etre con- 
vergent ou divergent suivant les cas; mais il est facile de demontrer, en 
jaisonnant comme pour les series semi-convergentes, (I, n" 163) que, 
■<lans un produit de cette espece, on peut toujours disposer les facteurs 
<lans un ordre tel que le ])roduit P„ ait pour limite un nombre posilif 
•juelconque donne a I'avance. 

Lorsque la serie Zm^ est convergente, on a une regie precise. Le pro- 
duit P„ tend vers une liniile positive ou tend vers zero, suivant que 
la serie S «;, est convergente ou diver gente. 

Pour le demontrer, remarquons que le rapport 

los( I -^ X ) — X 



» piinr liniile — , lorsque x lend vers zero; nous pouvons done ecrire 

,7*2 

logd -i- .r; = X ( I -^ a), 



G..n. 



66 



CIIAPITHi: MM. 



rONCllONS I) INF. VMUMll.i: (MMl'I.KXi;. 



la valour al)Si)liie tie a claiit iiilCi ioiiio a - ixmivu (luc la valeiii- absoluc 

tie X soil infericure a une ccrtaiiif limitc. I'uisque «„ leiul vers ztiio 
t|uaiul n croil iiulc'riiiinK'nt, ct que \'m\ pout faire eommencer lo protluit 
infini a tel faeleur que I'ou mmiI, ii est tlunc pernii* tie sujiposcr que \\n\ a 

log! r -{- «o) = "o ^ (i -f- 6„ ), 



!og(i -+- M,) = u^ -i (i 4- 0,), 



log(i + «„) 



- (i^0„), 



lous les nombrcs Oo, 0], 
(K'duil de la 

(63) logP„= ?/o -^ i/i -f-. . 



, , 0„ t'tanl conipris cnlre 



Un «j (1-1-60) — . . . //', (i-^-0„); 



On 



lorsque les deux series 1 ?<„ et ^u\ soul convergentes, le second membre 
tend vers une liinite finie quand n croit indefiniment, car »,7(iH-6.,) esl 

conipris cntre — ^ et - u'].. I.e produil l'„ tend done \ers une liniile dilTtji-ente 

tic zero. Au contraire, lorsque la serie '^u\ est divergentc, le second 
membre de la formule (63) croit indt^finiment en valeur absolue en reslant 
negalif, el |)ar suite P„ tend " ^ ■ -"mo. 

La intime tigalile (63) prouve que le produit infini est, divergent ou nul 
lorsque la serie - «« est divergenie el la stjrie ^ii\ convergente. Mais il 
est a remarquer que le produit infini pent etre convergent lorsque les deux 
series Sa„ et 2 u\ sont divergentes. Prenons par exemple Mq ^ "1 = "2 = o, 
et, pour « > I , 



"2rt— 1 



\l II 



^ n 



I - ■ 
n \' a 



la st^ricS «,jest divergcnte, car la somme So/jCSt supt^rieure a — r 



I I 

3 ' ■" ' ,1 
il en est de mijme, pour la nitinie laison, de "Z uj,. Ce|)endant le |)iodiiit infin 



I 



est convergent, car le produit de in facteurs est egal a 

o-o('-^: 



a \J n 



|\. — I'UUIll ITS IM-IMS. Gj 

l.mdis line \c |)i<)(liiii .Ic li « -i- i facteurs est cgal an |.ioiliiit pn'-ccileiil 



Exemples : \" I^a SL-iic 



III I 



est convergeiilo aiiisi que la scrie oblcnue en clevanl !.c^ Iciiiies au cane, 
r.e piixhiil itifini coi respondaiil 



I 3 3 * in — I in -k- \ 
■i A I i 2 /I 1 n 



i?l dune oonveigcnl ; uii u \u dcja qu'il elail cgal a - (1, n° 110;. I'our le 

iiansformer en un prodnit absolument convergent, il suffit de reunir deux 
lacteuis consecutifs, ce qui dunne 



n 




1° Soil l(^)~ III-:- . . .-^ Un — . . . une serie a termes reels dans laquclic 
Ic ra|)port de deux lermes consecutifs est une fonction ralionneile dt- n 
tendant vers I'unite lorsque n augmente indt'fiiiiment 

Un^\ n'' -^ ain''-^ -~ . . . 

U„ «/' -r- 6| «/'-' H-. . . 

En laissant de c6te le cas oij I'un des termes de celte serie serait nul ou 
infini, on peul encore ecrire 



U;,^l = 111 



3(v) etant une fonction rationnelle de v qui reste inferieure en valeur 
ubsolue a un nombre fixe. Si Ton a rtj — 6i > o, lous les termes de la serie 

finissent par etre positifs, et cettc serie est divcrgcnte; le lerme ge- 
neral «„-i_i de la premiere serie augmente done indefmimenl en valeur 
absolue. Si aj — ^i = o, la serie (64) est absolument convcrgcntc, et u„+i 

(') Voir Calcuv, Cours d' Analyse ou OEuvres completes, tome III, 2* serie, 
note IX; I'ui.\gsiii;i.m {Maihematisclie Annalen, lomes 22, 33 el 42). 



()8 ciiAPixni: xiii. — fonctions d'inf: v.VRiAni.K complkxe. 

lend vers unc limitc finic (lillcronlc tic zero. En fin, si «i — 6i < o, tous los 
ternics de la ?cric (6|) (ini«?cnl par otre neijatifs, et celle serie est tliver- 
;,'enle; u„+i tend done vers zero lorsquc n croil indt'liniinent. Ces rcsultats 
sonl dus a Gauss {voir 1, n" 1G3). 

'28(). D6veloppement en serie entiere d'un produit infini. — Soil 

( GV) F(-) = (H- »o)(l + "l) • • • (l-f- tin)- ■ ■ 

till pioJiiil inlini, oil cliaciiiie des fonctions ;// jieiit elre clevc- 
loppce en serie enlicre 

l'i= «/0-i- (7,iZ -Jn. . .-^ ai„Z"-\-. . . (t = O, I. 2. . . .). 

Suj)|)osons que la serie cIouIjIc 7 ^|'''"/|'" soil convergenle 

pour nne valeur positive de ;■ clioisie coovenablenienl; dans ces 
condi lions la serie 

est absolumenl el uniformement convergenle a Tinterieur du 
cercle C de ravon /•, ajanl pour centre I'origine. Le produit F(^) 
est lui-meme absolument et uniformement convergent et repre- 
senle, par consequent, nne fonclion continue de z- dans ce cercle. 
INous allons montrer que ce produit pent elre developpe en une 
serie entiere convergenle. 
Posons, comme plus liaul, 

(•„= (IH- Uo)(l -r- »i j . . .(l-f- lln-l)H„; 

il suffit de denionlrer que la soinme de la serie 

^6G) ro+ t'l— . . .-f- t'„-f-. . ., 

qui est egale au produit iniini F(5), est developpable en serie 
entiere. Or, si Ton pose encore 

«;■ = I a/o I -H 1 «/i I -3 + . . . -+- 1 a,-,, I -••'-!-... , 
il est clair que Ic produit 

t-; = ( I -t- if ; ) ( 1 + m'i ) . . . f 1 4- «'„..! ) u',„ 

est une fonclion majorante |)our c,^. La serie (66) poiina done 



IV. — Pltillil ITS IM'INIS. Gg 

elre ordonn^e sulvanl Ics |)iiissances (Jc -; s'il en csl tic nirinc dc 
la seric aiixilinirc 

((;;) v;,-i-»'; -:-...-{- (•;,-{-.... 

Si Ion dovcloppe cliaque Icrnio do ccllc dcniiei'C en scric 
cnlicrc, on a iinc srric doiihic donl cliaque coelficieiiL est posilil", 
el il sullil |)our noire ohjel de pioiiver (jtic ccllc scne douhle esl 
convergenle quand on y reniplacc :; par /•. Designons par U), el V,', 
les valeurs dcs fonclions u]^ el v]^ j)oiir :; = /•; nous avons 

v„ = (I -f- u; K' -^ ^' 1 ) ■ • • (i + u;,_i ) u; 

ct par consi'qucnt 

v; " v; -^ . . . -^ v;, = ( , + u; ) . . . ( 1 ^ u; ), 

on encore 



Lorsqiie n augaicnlc indcliiiinicnL, la somnic U^ 



L':, 



lend vers line liiuilc, j)ui.s(|iie la seric ^ U,^ esl supposee conver- 
genle. La seric double (Oj) esl done absoiumcnl convergenle si 
Ton a j :; I ^ /• ; la seric douhle oblenue en developpanl ciKupic 
lerme r« de la seric (GG) esl done a fortiori absolmncnl conver- 
genle a Tinlericur du c(!rcle C, el I'on peul I'ordonner suivanl les 
puissances cntieies de z. 

Le cocflicienl Op de zP dans le devcloppemenl de F(5) esl egal, 
d'apres cela, a la liinite pour/? infini du coefficient bpude z^dans 
la somme Po+ ''i + • • •+ ''//> <^^i' ce (|ui revient au nieme, dans le 
develo|)[)enient du pioduil 

J'/t = (i -4- //o)i'i -i- «i)- • •(> -<- "«); 

ce cocflicienl s'obliendra tlonc en elendanl au\ protluils infitns 
la regie ordinaii'c qui donne le cocflicienl d'une puissance dc c- 
dans le produil d'un nonibre fini de poljnoines. 
Par exein{)le, le produil inlini 

csl dcvclop|)able suivanl les puissances de z^ pourvu epic; 1 on 
ail|c|<; I. Unc [)uissancc <pielconque de z, soil ;;^, figurera dans 



70 CIIAPITRK Mil. — l-ONCTIONS I) INK VARIABI.K COMI'I.KXK. 

ce developpcinent avec iin coclTiclenl egal a iin, car lout nombre 
cnlior M pcul elrc cciil, trune ("aeon et fruno seiile, sous la forme 
iluno sominc de jniissanccs dc :>.. On a done, si |r| <^ i , 

((iS) ¥{z) = \-J" z -^ z"--^. . .-- -«-(-. . .— -, 

ce quon pent aussi deiuonlrer Ires siinplement an nioven dc 
lidcnlile 

(69) '""] =(l-H-)(H--2)(, + -i)...(l-4-zi--'). 



EXERCICES. 

1. Determiner la fonclion anal}tiqiie y(^) = X-j-jV doiil la parlie 

rcellc X est ogale a 

2 sin 237 

e'-y ^ e^-y 2 005 2 37* 

meme question en siipposant que X -7- Y est egale a la fonction prece- 
dente. 

2. Soil '•i(/», />) = o lequalion langcntiolle dune rourbe algebiiquc 
reelle, c'est-a-dire la condition pour que la droite JK = mx-k-p soit tan- 
gente a cette courbe. Les raeines de I'equation '-5(4, — iz)=^o sont !e? 
affixes des foyers reels de cette rourbe. 

3. Si /> et g- sont deux noinbrcs entiers premiers enlre eux, les deux 
expressions y^y' et ^ zi' sont equivalenles. Qu"arrivc-l-ii. lorsque/? et cj 
onl un plus grand comniun diviseur d > i? 

4. Trouver le module et I'argumcnt de e^+-^', en le considerant comme 

la liniite du polvnome ( i -f- • "^ ) > lorsque le iioui])re cntier ni aug- 

\ III J 

menle indeliniment. 

o. Etablir les formules suivantes, oil in est un nombre entier positif, 

2'" cos'"-s = 2 cos/n^ -f- 2 //I cos( ni — 21c 

in ( m — I ) 

-+- 2 cos (m — 41;;-+-.... 

I .2 

Si m est impair, le dernier terme est un terme en cos;;; si ni est pair, le 
terme qui lermine le developpement est indej)endant de z et egal a 



?■)' 



icxirncicEs. 71 

On a i\c iii('-iiii'. si /ii (St ini|iiiii°, 

( 'J. i )"' -in"' z = .>. i ^iii tnz — ^ifii sin( /» — 9. )c -t- . . ., 

ol, si in csl pail", 

'" ni\ 
(11)'" sin'" z = •>, cosniz - xin cos( //i — %)z —-. . .-t-{ — 1) - 



m 



(J. DiiiiKiilrer Ics funnules 

■ i l—L l\ 

nb 



.in(^^,) 
cosrt -T- cos( rt -1- ^ )-;-.. .-f- cos(rt -^ nb) = —, cos ( a -^ ) 

sin b) 

sinrt-f-sin(rt-i-6) -4-...-T-sin(a -^ nb ) = -j- sinl « -. 

sin 



7. On tleniande la valeiir finale ile arc sin;; lursijiie la \aiiablc ;: cU-ciit 
le seginenl de droite allanl de I'oiigine au point i-^i, la \aliMir iuilialc 
de arc sin z tlant o. 

8. Demontrer la conlinuilt- dune stric cnliere au moyen dc la for- 
niulc ( n° 12, p. 21 ) 

/<^-/0-/(^) = /./,(--)-■ -^/2(~- )-...- ^/«(-)-.... 

( On piond uiic lonclion iDajoranle convenable |)Our la scrie du second 
niembre.] 

\). Calculcr Ics inlegrales 

/ X'" e'^^ coibx dx, j x'" e'*^ slnbx dx, 

col(j7 — a) cot(3' — b) . . . cot(^ — /) d.r. 



f 



1(1. l-^lanL donnee dans L- plan xoy nm; courbc fcnni'o C, prcsontant 
nn nonibic quelconque de |)oinls doubles, el decrite dans un sens con- 
vcnu. on allecte cbaque region du plan diterminee par celle courbe dun 
coefficient nuinerique d'apres la regie du n" !)() (I). Soicnt R, R' deux re- 
gions limilro|>lies scparees par un arc ab du contour parcouru de a 
vers b, Ic coefficient de I'aire a gaucbe est superieur d'line unite au coef- 
ficient de I'aire a droite et la region rxtciieuic; au cf)nt()ur (i a le coeffi- 
cient o. 

Soit -u nu point piis dans rune de ces regions el \ le coefficiiMit cor- 



CllVI'lTUi; Mil. — FONCTIONS 1) IM; VAItlAHLE COMPI.EXK 



rospondant. DcmoiUrer que ■> N - ropresciilc la variation dc rargumciil 
lie :; — Co. lorsque Ic point c di'-orit la courlio G tlans ic sons coiivcnu. 

II. V.n ('•iiidiant ic dovcloppoment de Lou I ^ j sur le cetcle de con- 
vergence, deinontrer que la soninic de la seric 

sinO sin 30 sin 50 sinfi/? -!- 1)0 

I 3 5 * in -\- I 



est cgale a ± — > suivant que Ton a sinO^o (C/. I, n° 198). 
4 

12. Etudier les courbes deciites par le point Z = z-, lorsque le point z 
dccrit une iisrne droile ou une circonference. 



13. La relation aZ = z 



permel d'edeclucr la representation con- 



forme de I'aire comprise entre deux ellipses homofocales sur une cou- 
ronne circulaire comprise entre deux cercles concentriques. 

[On prendra par example z = Z-h y/Z- — c^, en convenant de iracei 
dans le plan des Z une coupure rectiligne ( — c, -+- c) et de choisir poui 
le radical une valeur positive lorsque Z est reel et plus grand que c\. 



14. Toute transformation circulain 



peul s'oblenir par la 



c z ^ d 
combinaison d'un nombre />ai/- d'inversions. Reciproque. 

13. Toute transformation definie par la relation c'= -■, ou z^ 

c-So-t- a 

designe la quantite conjuguee de z, resulle d'un nonibre impair d'inver- 

sions. Reciproque. 



la ire 



IG. Transformations fuchsiennes. 
az-^b 



d 



Toute transformation circu- 
j oil a. b, c, d sont des nombres reels satisfaisanl a la 



relation ad — bc^i, fait correspondre a tout point ;; situe au-dessu? 
de ox un point z' situe du meme cote. 
Les deux inlesrrales definies 



f^^EI^. fj 



' (It dy 



sont des invariants, reiativement a toutes ces transformations. 

La transformation precedente admet deux points doubles qui corres- 
pondent aux racines a, ^ de I'eq nation cz--^ {d — a)z — 6 = o. Si a el [i 



sont reels et dislincts, on pcut ecrire 1 equation ;:' : 



d 



sous la forme 



t'([iiivaletUo 



KXi:iu;i(:i;s. 



z — x z — a 



Ti 



/.• t'taiit locl. ol \,i I lansformalion c*l ililc hyjicrhul i',/iir. Si a cA fi soiit 
imaiiiiiaircj CHijn -ucos, on pent t''('iiic I't'ijiialidii 



z — ^ z— •f, 

10 clanl reel (Iransfurmalion rl lipl iijite). Si 3 = a. on poul ccrire 

z — 'X z — a 
y. el /.• t'lani reels. I.a Iransfoimation est i\\)[)c\ce parabofique. 

17. Soil z'^=f(z) line transfornialion fuchsiennc. Posons 

z^=f(z), z,=f(z,), ..., ^„ = /(^„_,). 

iJenionI i'(,T (|iie Idiis les points ;, Zi. z.2, ... z„ sont sur une circonfe- 
icncc. Le point z„ tend-il vers iine position limite lorsrpie /i aiigmcnie 
indefiniment? 

18. litant donne un cercle C de centre ct de rayon R, deux points M, 
M' situes sur une demi-droile issue du centre O sont dils synietriquex 
par rapport a ce cercle si Ion a Oi\I X O.M'= R-. 

Ccia pose, soionl C, C den\ cercles dans un meme plan, ct M un point 
quelconque de ce plan. On prcnd le s\ metrique IMj de I\I par rapport a C, 
puis le symotrique M', de .M] par rapport a C, |)uis le symetriquc INIo do M', 
par rapport a C, cL ainsi de suite indefiniment. Jiludier la distribution dans 
le plan dcs points M,, AI'j, M.,, M',, .... 

19. Quelle est la fonction analytique Z =zfi^z) pernietlant de passer di- 
la |)rojecli<jn ile .Mercator a la projection stereographiquc? 

20*. Toules les families isotliernies coniiiosees de cercles sont formecs 
de cercles |)assant par deux points fixes, disilncts ou confonilus, reels ou 
imaginaiies. 

L"e([uation d'une famille de cercles, (li'pendant d iiii paramelie va- 
riable A, peul s'eerire, en |iosant z =^ x -\- ij', Zi) = x — f/, 

zzo -h a z -h b Zq -h c = o, 
a, b, c elant dcs fonctions tlu j)aramelre A. I'our que cetle famille soil 



-4 riiM'iiui: \m. — fonctions dink vAniABi.K comim.kxi-. 



i-dllioiiiK'. il r.iinlra i\uc Ton .lil 



OzO: 



llii I'aisant le cilnil, on (1('- 



iiiuniii' lt> llicDiomt' I 



llOllCt'. 



"li. Pour qii'im |)io(liiit iiiliiii soil convoiiicnl sans ('■Iro mil. II fant el il 
^uffil «|u"a lout noinbro positif z on pni-ise I'aiio coircspondic nn nonibie 
enlicr n lei que Ion ail 

|(|-r- //„-,-l)(l — «;i-H2) . . .(l -f- "«-!-/.) — I I < ^, 

qnel que soil le nonibro enlicr />. 

^2'. Si \</\ < I. on a riilenlite 

I 



I Kl LER.J 



[Poiirle (leniontrcr, on Uansformc le piodnit infini dn premier niemhre 
en nn produit infini a deux indices, en niellant sur une pieniieie ligne les 
facleurs i -i- 7. i -:- q'^. i -{- q'*, . . . , f -+- q-", .... sur une seconde ligne les 
facleurs i -^ q^, i -i- q'', . . . , 1 -f- (q^ )-" , .... el Ton applique la foniiule ( G8) 
du texle.] 

23. Develo|qper suivant les |)uissances de ; les produils infinis 

F (z) = {i-i- xz)(i-^ x^z) . . .i I -h x"z) . . . , 
^(z) = (i-^xz){i-^.t3z)...(\ -f-.,r-2"+ic) 

[On pcut, par example, se siM-vir de-; relation'^ V (xz)(\ -^ xz) = F{z), 
<l>(x^-z){\-hxz) =^(z):\ 

:2r. En siipposant |j"| < 1, demonlrer la formule dEuler 

(I — x){i — x-)(i — X^) . . . (l — x"^). . . 

3/;- — n .T/i'-l-H 

= 1 X — X^ — X^^ — X' -+- X^^ — . . . -r- X - X 2 -4- . . . . 

[ Voir J. Behtrand, Calcul dijferentiel^ pag^ 32.8.] 
2.')'. La serie a tcrmes posilifs ««-f- «i -f-. . . -h i/„-f-... est ronvergcnte 
ou divcrgenle en meme temps que la senc 



*'o ^1 



oil Sii = »(|-H Ml — . . .-- 1t:i 

[ On pent ecriie 



[ AllF.L.] 



iK-f) 



et appliquer le llicoreme du n" 285]. 



CHAl'lTUE XIV. 

THfiORIE GfiNfeHALK DKS FONCTIONS ANALYTIQUES, D APKES CAUCIIV 



I. — INTEGRALES DKFIMRS PRISES ENTRE DES LIMITES IMAr.INMRES. 

287. Definitions et generalites. — Les resullals exposes dans le 
(]liii|)ilre precedent sont iiidt'pcndaiils des travaiix de Caucljy, el 
poiir la plupail anleiicnrs a ccs liavaiix. Nous allons nKiinlei)anl 
lepr^ndie Icliidc des (onclions analyliques a iin |)oinl de viic sys- 
Irmalnpic. el poii I'^ii i\ ic les eonsecpicnces logupies de la definilioii 
Mienie de ees fonelions. ISoiis rappellerons qu'une foncllon f{z) 
est holomorplie dans nne aire A : i" si a lout point |)ris dans 
I'aire A correspond une valenr delerminee dey(:;); 2" si celte 
\ aleiir varie dune inanicre conliiiue avec 5 ; 3" si, pour loul point :: 
|)ris dans A, le rapport 

h 

lend vers une liniile f'{^) lorsque le module de A lend vers zero. 

La consideration des inlegrales definies, quand la variable passe 
par une suile de valeurs iniaginaires, est due a Caucliy ('); c'est 
rorif;irie de nielhodes nouveiies el f<''eondes. 

Soil /(;;) une fonction continue de ^ le loiii; (Tun arc de courbc 
AMB(//^. 04); marquons surcet are deeourbe un certain nonibre 

de points de division r,,, r, . z-^ ^//-i, '^^ succedant dans I'ordre 

des indices croissanls (juand 011 |)aienurl I arc de \ vers 15, les 
points :;o cl :;' coVncidant a\ee les e\l( <'inil(''S A el ]>. 

Considerons la sotnine 

-t-/(z/._,)(iA- — -/.-!)-<-• ••-+-/C-«-i)(-'- -«-i): 

( ' ) Mcinoire stir les i 11 Icl; rales dejinics prises cnlre des liinilcs iniagi- 
luiires, iS'JJ. 



76 niM'ITRE XIV. — FONCTIONS ANALYTJQVES d'apRES CALCIIV. 

lorsquo \c nombrc des points dc divison :;i, ..., ^n-t augnieule 
iiulLrmiim-nl dc facon f[iic les modules de loiiles Ics difTercnces 
c, — z-o, Z-, — Zf. ..., dcvieniHMil phis pedis f|iie loul noinbic 



Fig. G', 




posilil clioisi ai'ljitrairemenl, la soniinc S lend vers line limile, 
qu'on a[)pclle rinlegrale definie dey(;)le long de AIMB, el qu'on 
rejireserile par le svmljole 



I 



f{z)c/z.. 



Separons en eflVt la parlle reelle el le coefficieul de i dans S; 

so I en I 

/( ^ j = X -+- Y i, zu = T,,. -t- yu i, 

X el Y elanl des fonclions conlinues le long de AMB. Nous pou- 
vons ecrire la sommc S, en reunissanl les lermes analogues, 

S = Xo(^i — a:-o)-4-. . .-\-Xk_xix^—XK—i) + . . .-\-\n-\(x' — Xn-\) 

— [VoO'i— ro)+---^^'A-i(jv.-rA-i)-i-...-f- Y„_i(y— j'„_i)] 

— t[Yo(:ri — aro)-i-...]. 

Lorsque le nombre des divisions augnienle indefiniment. la 
sonime des lermes dune nieme ligne a pour limite une inlegralc 
curviligne ])rise le long de AMB, et la limile de S est egale a la 
somme de qualre integrales cnrvilignes (') 

f f(z)dz= C {Xdx — Ydy)^iC {Ydx-^Xdy). 

• AMI! «^IAMI!i "^ lAMBi 



(') Pour eviter des complications inuliles dans les demonstialions, nous suppo- 
serons que les coordonnees x, y, d'un point de Tare AMB sont des fonctions 
continues a: = »( Oi >' = 't'(^) dun parametre f, qui ne presentcnt qu'un nombre 



I. — inti;c.uam:s kntui: I)i;s i.imitks iMAniN\iRi:s. 77 

II rc'sulle iinmrdiMlonienl <le la di'-linit ion que Ton a 

•^ All • l!A, 

Nous aiiifms s()ii\ ctjl hesoin j^ar la siiile do coniiailrc iiiic lirnilc 
sii|)t'iif'iir(' (111 module dune inlegralc delinic. Soit AI iiii munhre 
jilus i;raiid (|uc le module de /{:) Ic loni; dc Tare AMB; soil P le 
neiimelrc de la lignc polvgonalc iiiscrite dont iessomniels soul les 
points ^0,^1, ;:;, . . - , z-ii-i: -■' • 11 fsl claii- que Ton a |S| < M. I' el, 
oar suile, en faisanl eroitre indi'linimenl le nond)i'c dcs poiiUs dc 
di\ ision. on aura a la limitc 



\f /< 

U'lAMlSi 



z)dz 



<M.L, 



L designanl la longueur de Fare A.MB. 

!288. Changements de variables. — Considerons le cas, Ires 
frequenl dans les applications, ou les coordonnees x, y d'un point 
de Tare ABsonl des fonclions continues dun paramclre variable /, 
.r = o(f), y ='!(/), admellant des derivees elles-memes conti- 
nues '■^' (t), ^'(0' ^^ '^^l^^ facon que, I variant de a a ^, le point {jc,y) 
decrive le cliemin d'integralion de A vers B. Soit P(^) el Q{l) les 
(onclions de t oblenues en renq)lacant dans X et Y les variables x 
ct 7' |)ar '-5(^) et '}(0 respectivemcnl. Dapres la formule elablie 
pour les integrales curvilignes (1, n" 93), nous avons 

r \cLr—\r/r= f \P{r)'^'(t) — q(t)'l'(i)]d(, 



f 



\ ,h' — ^ cl.r 






Jiiii de maxiiiiums ou (If ininimuiiis eiilre V eL B. On pent alors decomposer le 
clieiniii d'inlegration en un noinbre (ini d'arcs, dont chacun est repiesentti par 
line (iqualion telle que y = F(a;), la fonclion F (ilant continue entre les linnites 
eorrespondaiiles, ou encore en un uombre fini d'ai'cs dont cliacun est rcpresenle 
par une (-quation telle que x = G(^). II n'y a aucun inconvenient ii fairc celte 
livpotlicse, car, dans loutes les applications. le choix du clicmin tl'iiitcjgration 
prtjsf-nte toujours ud certain dc'^vc d'arbitraire. D'aillcurs, nous avons fait 
implicilenncnt la mi^me liypotln'sc dans la tliiiorie des inttjgralcs cur\iligiics » 
( I, n°" !J.'5-!JG, 120 ). D'aprd-s un lli('oicinc giiniiial de M. Jordan, Tare dc courbe AMIS 
sera toujours recliliabic, c'cst-ii-dire que le pcrinictrc de la lignc polygonale don* 
les sonimets sont les points de di\ ision -„, z,, . . ., -„_,, z' lendra vers unc limite L, 
sans (|ii"ii soil nccessaire dc siipposcr (jue les fonclions ■■i{t), '!^{l) ont dcs dt^-ivd-es. 



7f> CIIAPITKE XIV. — FOXCTIONS ANALYTIQUKS d'AI'UES CAL'CIIY. 

AjouloMS CCS deux relations, a|)rcs avoir imilliplic Ics deux 
nicMihres de la scconde par /; il vioiil 

3 
,M f J\z.)dz= f [P{t)^iQ_{t)\[o'{t) + i'V(t)]rIl. 

^ lAIti • X 

C'cst prcciscmenl le rcsultat epic Ion oblicnl en iipplujuanl a lin- 

legrale f /{z)(/z la forunile clablic pour les inlegrales definies dans 

le cas de lonclions et de variables reelles; pour avoir la nonvellc 
inlegrale, il suflU de rcmplacer, dans /"(r) <:/;, :; par •j(^) + / (!/(^). 

c\ dz |iar [■^' (( ) -i- rV (t)] dt. Le calcul de lf[z)dz se Irouve 

ainsi ranicnc au calcid de deux inlegrales definies ordinaires. Si le 
cheniin AMB se compose de plusieurs segments de courbes dis- 
tinclos, on appliqucra la formide a cliacun de ces segments sepa- 
rement. 

Considcrons par exemple I'integrale definie / -^- On ne 

J-\ -'' 

peul integrcr le long de laxe reel, puisque la lonction a inle- 
grer devienl infinie pour ^ = o, mais on pent suivre un chemin 
([uelconque ne passant pas j)nr 1 origine. Faisons decrire a z une 
demi-circonference de ravon an decrile de lorigine pour centre; 
il suffit pour cela de poser z = e^' et de faire varier / de t: a o. 11 
vient 

^ -^ 1 I _ ^0 ^,0 ^0 

/ ^= / ie-''de = i I cos/<//-^ / ^\nfd( = — 2; 

c'est precisement le resultat que Ton obtiendrait en appliquant 
la formule fondamenlale du calcul integral a la fonclion pnmi- 

live — - • 

Plus generaleinenl, soil z = o(u) une fonclion continue d'une nouvelle 
variable complexe u — ^-+-r,i telle que, lorsque u decrit dans son plan 
un chemin CND, la variable z decrive Tare AMB. Aux points de division 
de Tare AMB correspondent sur Tare C\D des points de division Uq, Ui, 
II;, ..., u/;-\, u/i, .... It. Si la fonclion o{u) admel une derivee o'(u) le 
lung de Tare CAD, nous pouvons ecrire 

= O ( U/,^i ) -f- £/,, 

t^ tendant vers zero lorsque u/,- se rapproclie de u/,-i en restanl sur la 



I. — iMiKiii.vi.Ks i:.NTiii; Di;s i.iMiri;s im m.in \iui;s. 7<) 

couibc CM>. I-a somiiir S cuiisiilcnc plus haul flovicnl, en rom|ila- 
i;anl z/; — ^/.-i par rcxpression liice ilc Icgalile prcccilciilc, 

n II 

S — ^/l -/.-I )?'( "/.I "'("/. — "/.-I I - - ^ ^/./(-/.-l l( "A — "k-\ )• 
/, -^ 1 A 1 

La pioiiiicie panic dii soroiul iiiemliic a puur liiiiile I'iiilcyialc ilcfiiiii* 
/ /■( 'i( II )]■:.' (a )du. 

' CMi, 

(Uiaiil au teiino coiiiplc'inciilairc. snii mii<liile e-t plii^ pL-lit i\\\c y, !\1L', 
T, ctaiil nil noiiihre posilif siipericur a tous los niotlules J£/.| cL \J clant la 
longueur do laic CND. Si Ton pout prendre les points de division assez 
rappro(.li(-s pour que lous les infidules |c/.| soienl infeiieurs a un ni)nibr<; 
posilif arbilraire, re terine coni|dtnienlaire lend vers zero el Ion a la for- 
niule gt'-nt'ialc Aw cliangenienl tie xariaMe 

(i.) I f[Z)ilz—- I J[-^i u)\'j,'m) clii. 

• AMI! - iC.Mli 

(!Iellc loniuile est applicable louLes les fois que o{u) esl une tonclion 
boloniorphc ; on denionlreia en ellet un pen plus loin que la deriveed'une 
fonclion bolomor|)lie est aussi una fonction holomorphe (') (uofV n°293). 



(') CcUe proi)riele eluiil adinise, on ilcinoiilre sans peine la proposilion sui- 
vanle : 

Soil f{z ) une fonclion holoniorphe dans une region finie A du plan. A loul 
nombre posilif z, on peul faire correspondre un autre nonibre posilif c^ lei 
fjue I' on ail 

1 f{ z^/>)-f(z) 



li 



/'(-)<-. 



lovsque z el z -\- h sonl deux poinls de A dont la distance \ h \ est inferieure a r,. 
Soil oil eih-i f{z) = Pia;, y) -h iQ{x, y), h = yx-^ i Sy. D'apres le calcul 
fait plus haul pour Irouvcr Ics condilions d'cxislencc dune derivee unique (n" 261), 
on pcul cerire 

f(z-h)-f{z) _ f,,,.^ [V'jc(.r-^(i A.r, v) - V'r ( -r. V )] A.r 

h / V * ) ^x-hi \v 

\P'y(x-h Ix, y^h'Sr) — P'y(x. y)] Ar 



-4- 



&x -f- I Ak 



Les derivecs F^. i*'y, Qx. Qv elant conlinucs dans I'aire A, on pcul trouver uii 
numbrc r, tel que Ics modules des coefficients de Sx et de Sy soienl inf(iricurs 

u -' , lorsque \/iiX- -t- A y- esl < r,. L'indgalile ccrilc plus haul sera done assurec 



8o ciiaimthe \iv. — fonctions anai.vtioiks o'ai'uks cavciiv. 

289. Formules de "Weierstrass et de M. Darboux. — La dcnion- 
stralioii tic la (bnmilc de la niovcnnc(I, n° 74) repose sur des ine- 
i^aliles, qui n'ont j)liis de sens precis quanfl il s'agit dc quanlites 
complexes. Cependanl M. Weierstrass et ^I. Darboux. onl oblenu 
dans cclle voie des resullals interessanis, en cousideranl des inle- 
i;rales prises le long d'un segment de I'axe reel. Nous avons vu 
plus haul que Ton pouvait ramener le cas d'un cUcmin quelconque 
a ce cas parliculier, movennant ccrtaines hjpollieses d\in caracterc 
Ires general sur le ciiemin d'integralion. 

Soil 1 unr it)le<;rale delinie dc la forme suivante : 

♦ a 

f(l),'s^(l), 'l{t) elanl Irois fonclions reelles dela variable reelle <, 
<-onlinues dans I'intervalle (a, ^); d'apres la definition meme de 
i'inlegrale, on a exidemment 

Supposons, pour fixer les idees. a <^ ^3, et admetlons de j)las 
quey(^) est positif entre a et j3. L'intervalle (a, ^) etant subdi- 
vise en inlervalles plus pelits (a, ^,), (/,, t.^), ..., le module de 

I'element 

/( //,_, ;['ff //._, 1 -^ /■!/(//,_,;](//,— //._i) 

dc I est egal a y(i/;_| ;j '^ (//(_,)+/•!>(//._, i j(//,— //,_| i ; on a done 
•-a 

<)u, en appliquant la formule de la mojenne a cetle nouvelle 
inlegrale, el designant par c une valeur reelle de t^ comprise 
onlre a et fi. 



i^7 






si Ton a ]/i]<T,. Ccla elanl, si la fonclion '-p(w) est holoinorplie, tons les mo- 
ilulcs \ii^\ seronl plus pelils qii'un noinbie posilif donne e, pourvu que la dis- 
lance de deux poiols dc division consecutifs de Tare CND soil infcrieure au 
noinbre conespondanl r,, cL la foitnule (2) sera elablie. 



I. — IMKCRAMCS KMUE DIOS MMIIES I.M ACJIN.V I KliS. 8| 

Ce rcsullal |jcut encore s'ecrire, en posiinl [""i t ) =-- (^(^l j -i- i'l(^t), 
Ci) I -XF(i) / filxll, 

A el;iiil iiti noiiiluc coniijlexc dc nio'lu le iiijt'iit'ur on rtnil a (in: 
cVsl la lornuile de M. IJarhoux. 

(In doit a M. Weierstrass unc expression plus precise, que 
lOii pent rallaclier a des consideralions elemenlaires de slalicpie. 
Lorsque / varie de a a |j, le point de coordonnees x = Zi(j), 
)r='ii(^) d(''cril un certain arc de courbe L. Soient (oTo, JKo) 

(j^i, y, I i'k-\^ .''/.-I . •••, les points de L qui corres- 

|)ondenl aux valeurs a, /, , ..,//;_,, . . . , de ^. Posons 

^ ^ S'^(//,_i\/'(^/,_, )(//,— //,_, ) 

^ x6r/x.-,)/(</,-, )( //. — //,-,') . 

S/(<A_i)(a-/i-i) ' 

d'aprt'S le theoicine des moments, X el \ son I les coordon- 
nees du centre de gravite dun sysleme de masses placees aux 
points (xo, .roj; '.^t, y\), • • • ' (^A_i, J'A-)> . . . , de la ligne L, la 
masse placee an point {x/s_, , jKa_) ) ctant egale a /'(/a_i)('/i ~ ^k-i)- 
11 est clair (jue ce ccnli-e de gravite est a i'lnlerieur de lout con- 
lour fermi'- convexe G, cnveloppanl la ligne L. Lorsque le nombre 
des intervalles augmenle indeliniment, le point (X, Y) a pour 
limile un point («, v) de coordonnees 



/ ' /(t)oi/)dt r f{t)i 



<h(t)dt 



r fiOdt f J\l)dt 



qui est lui-meme a Tinterieur de C. On pent reunir ces deux for- 
mules en unc scule, en ecrivanl 

(4) l = (u-^iv) /(()d(-Z /(t)dt, 

d 'J. « a 

Z •'•lanl I'allixc d Un point siliir a I' in Irric (i r dc tout ronlour 
fernid con\>exe cnveloppanl la lii^nc L. 

II est clair que, dans le cas g»''n<'ral, le lat leiir Z de M. Weier- 
G., U. ij 



8-2 CHAIMTHK XIV. — KONCTIONS ANALY TIQUES UAPRES CAUCHY. 

sirass peul varier dans un domaine beaiicoup plus restrelnl que 
le factciir aF(_;) de M. Darboux. 

!2V)0. Integrales le long d'un contour ferme. — Dans les para- 
graplies precedents, il siillit de siipposer (]iiej\z) est iine fonctlon 
continue de la variable coinplcxe :: le long du cliemin d inte- 
gration. Nous allons mainlenanl sii|)|)Oser de plus que /(z) est 
une fonclion analjlique, el nous avons d'abord a eludier I'in- 
fluence du chemin suivi par la variable, pour aller de A en B, sur 
la valeur de I'inlegrale definie. 

Si une fonclion f{z-) est Itolomorphe a linteiieiir cV une 
combe ferniee, et sur la courbe elle-menie, I'inlegrale I f{z) dz, 
prise le long de cette courbe, esl egale a zero. 

Pour demontrer ce iheorenie Ibndaniental, du a Gauchy, nous 
etablirons d'abord qnelqnes lenimes : 

i" Les integrales I dz^ I zdz, prises le long d'une courbe 

fermee quelconque, sont nuiles. En effet, d'a[)rcs la definition 

meme, I'integrale / dz, prise sui\ant un chemin quelconque entre 

deux points Zg, z,^ esl egale a :;, — z^^ et cette integrale est nulle, 
si le chemin est ferme, puisquon a alors ^, = Zq. Quant a Tinte- 

grale / zdz, elle est egale a la somme de deux integrales curvi- 
lignes 

I z dz = j (X -X- iy ){ dx -!- i dy ) z^ { x dx — y dy — i \ y dx -^ x dy ; 

mais les deux integrales curvilignes, prises le long d une courbe 
fermee, sont tou jours nuiles, car on a sous le signe / des expres- 
sions P dx -r Q dy^ qui satislont a la condition — = — (I, n° 152). 

2° Si Ton decompose I'aire limi lee par un contour quelconque G 
en parties plus petites par des courbes transversales menees d'une 

facon arbitraire, la somnie des integrales / f[z')dz prises dans le 

meme sens le long du contour de chacune de ces parlies esl egale 



I. — t.NTKGRAI.ES ENTRE DKS M.MITES IMAGINAIIlKS. 83 

a Finlegralc j /[z)c/z prise Ic loiii^ dii contour lol;il (]. || est clair 

en clFc'l que cliaque porlion des courbes auxiliaires Iracees separe 
deux regions conligues et doit elre parcourue deux fois dans des 
sens o|)poses. En ajoulant loules Ics inlegrales, il restera done 
seulement les inlegrales prises le long des arcs du conlour, donl 

la soninie esl linlegrale / J(^z)dz. 

Cela pose, iniaginons (|ue Ton decompose I'aire A, dune part 
en parlies regulieres qui seront des carres ayant leurs cotes paral- 
lelcs aux axes O.r, Ojk, d uuire |iarl en parlies irregulieres qui 
seront des |)orlions de carres donl une parlie serait en dehors du 



Fig. 65. 




contour C Ces carres n'ont d'ailleurs pas necessairement le meme 
cole. Par exemple, on pent imaginer que Ton ait d'abord trace 
deux reseaux de paralleles a O x elk Oy, la distance de deux paral- 
leles voisines elant conslanle et egale a /, puis qu'on decompose 
quelques-uns des carres ainsi obtenus en carres plus petits par de 
nouvelles paralleles aux axes. Quel que soil le mode de subdi- 
vision adopt('', supposons (|u il y ait J\ parties regulirres el IS' 
parties irregulirres ; numerotons les ])arlies regulieres dans un 
ordre (juelconque de i a N, et les parlies irregulieres de i a W. 
Soienl /i Ic cole du /"""-' earre, et l'/^ le cole du carre au(|U('l aj)|)ai- 
lient la /,"^^™= parlie irreguliere, L la longueur du conlour C et ^^Ij 
I'aire d'un polygone qui renlerme la courbe C a I'inlerieur. 

Soil abed le z"""* carre (./^iT- ^^5); Zi etant un point pris a I'in- 
terieur ou sur les coles de ce carre, el z un point fjuelconque siir 



8i CIlAI'lTRi: \1V. - I-ONCTIONS ANALVTIQVtS d'aPUES CAl'CllV 

lo con lour, on a 



(5) 



/( 3 I — /( ::/ : 



■■/'{Zi)-^tn 



J£/| t'lant ties petit, poiirvu que Ic cote du carre soil Ini-meme 
Ires j)elil. On en deduit 

f f{z)dz=f'{zi) f zdz^[f(z,)-z,f'(z,-)\ f dz-r- f z,(z-z,)dz, 

les lnlei;rales etant prises le long du contour q du carre; d'apres 
le premier lenune enonce plus haul, il rcstc 



(6) 



I f{z)dz= I ti{z — Zi)dz. 



Soil de menie pqrst la /."""^ pailie irreguliere; z). etant un point 
pris a 1 interieur ou sur le contour de cetle region, et ; un point 
quelconqne du contoui'. on peul encore poser 

f{z)-f(z,) 



(7) 



— f'i^k)-^ ~'ki 



£^. etant iiifinimcnl petit en nieme temps que /^., et I un en deduit 

(8) f /(z)dz= f t,{z-^,:)dz. 

Cela pose, soil r, un nombre positif superieur aux modules de 
tous les facleurs £/ et z'f^. Le module de :; — ^/est interieur a //y/a, 
et de la formule (6) on deduit que Ton a 



f f{z)dz\ <Ul-r, s/-i = ^r. /a. 



u)/ designant Taire de la /"""^ j^artie regulicre. De la relation (8) on 
tire de nieme 

/ f{.z)dz <^ r, I'l; sj-x ( 4 I'k -r- a rc r5 j = 4 ■'^i V^'-i '^'k -^ f, I'k /^ a re rs, 
(j)'/. etant I'aire du carre qui renferme la A"' ' '^ partie irreguliere. En 



I. - inte(;r.\i.ks EN'rni': i»i:s limitks l.MAGI^A^l^;s. Si 

njoiilaiil toiilesces in('-i;alil('s, on \()il (ino Ton aurn n foftiarl , 

( 9 ) I / /( - ) ^- : f, [ i /■' ( -"-V - ^^'H ) -^ A v -I L J. 

A elaiil line liniile siipcru'iirc des ethics /,.. Lorsqiio lo nombre dcs 
canes atii^niciile iiuliliniineiil , de laeoii que Ions les coles /, el //^ 
lendenl vers zero, la soninic i]!o,— - '!^o)'f. linil par elre inferieure a -l.. 
Dans le second nienihie de Tinc'-gnlile (()) nous avons done le pro- 
dnil (fun laetenr (|iii ie>le lini pai' un lacLeiir r, qui peul elre sup- 
pose pins pelil (pie lont nomhre posil if donnt'. Ceci ne jieuL avoir 
lien (pie si le premier nienihre est mil; on a done 

/ f(z)dz=o. 

I'oiir cjuc la conclusion prcccdenle soil legitime, il faut t-lre a«sur(; que 
Ton peut prendre les dimensions dcs carres assez petites pour qii'en choi- 
sissant convenablement les points z, et z\., les modules de toutes les quan- 
tites £/, s'/; soienl moindres qu'un nombre positif donne a I'avance tq (')• 
Nous dirons pour abieger qu'une rc-gion limil(je par une courbc {ermce'[, 
situ(5e dans la region du plan limitoc par le contour G, satisfait a la con- 
dition (a) relativement an noinhic r, s'il est possible de trouver a I'intt';- 
rieur de la courbe y ou surcelte courbe clle-mt^me un point ^' tcl que Ton 
ail constammcnt 

(a) |/(-, _/(-'»_(- _,',/'(-',|^|-_^'|.,^ 

lorsquc ^ dccrit la courbc '[ Tout revicnt a d(imontrer que I'o/i pent 
choisir les dimensions des carres assez petites pour que toutes les 
parties considerees, regulieres et irregulieres, satis/assent d la con- 
dition (a) relativement au nombre r,. 

Nous (}tablirons ce nouveau lemme par le procedc bien connu des subdi- 
visions successi\e-;. Iniaginons d'abord que Ton ait mentJ deux rc'seaux (Jc 
parall(3lcs aux axes Ox, Oy, la distance de deux parall(iles voisines ctanl 
constante et (igale a /. Parmi les parties obtenues, les unes peuvent satis- 
faire a la condition (a), landis que les autres n'y satisfont pas. Sans rien 
changer aux parties qui satisfont a la condition (a), nous partagerons les 
aulres en parlies plus petites en joignanl les milieux des coles oppos(is 
dans les carres qui forment ces parties ou qui les renfermenl. Si, aprcjs 
celte nouvelle opci-ration, il reste des parties ne salisfaisant pas a la con- 
dition (a), nous recommencerons la meme op<jralion sur ces parties, cl 
ainsi de suite. Iin continuant de la sorle, il ne peul se presenter que deux 

(') Transactions of lite American Mathematical Society .\o\. I, i()i)o, p. I'l- 



86 ciiAPirnE \iv. — fonctions analvtiqiks d'aprks caiciiv. 

cas; ou bien, on arrivora a n'avt)!i" (|ue ties regions qui salisfoiil a la con- 
dition (a), et alors le lemme sera cieniontre, ou bien, aussi loin que Ton 
aille dans la suite des operations, on trouvera toujours des parties qui ne 
satisfont pas a cette condition. 

S'il en est ainsi, il faudra qu'en subdivisant indefiniment par le procede 
indique Tune des parties regulieres ou irrogulicres obtenues ajjres la pre- 
miere division, on n'arrive jamais a des regions satisfaisanl toutcs a la 
condition (a); soit Aj cette partie. Apres la. seconde subdivision, cette 
panic Ai en renferme une autre At, qui ne pent pas non plus elre subdi- 
visee en regions satisfaisant toutcs a la condition (a). Le raisonnement 
pouvant se continuer indefiniment, nous aurions une suite de regions 

A,, Ao, A3, .... A„, . . ., 

qui sont des carres ou des portions de carres, dont chacune est comprise 
dans la precedente, et dont les dimensions tendent vers zero, lorsque n 
augmcnte indefiniment. II y a done un point limite ^0 situe a I'interieur 
du contour G ou sur ce contour lui-meme. Puisque, par bypotbese, la 
fonction f{s) admet une derivee /'(^y) pour z = Zq, on pent trouver un 
nombre s tel que Ion ait 

\f(z)-f{z,)-(z - ^o)/'(^o)l ^ -^,1^ - ^ol 

pourvu que \z — ^o| soit < p. Soit c le cercle de rayon p decrit du point Zo 
comme centre. A partir d'une valeur de n assez grande, I'aire A„ sera inte- 
rieurc au cercle c et Ton aura pour tous les points du contour de I'aii'e A,j 

|/(^)-/(..o)-^^-^o)/'(^o)l^U--^o|r,. 

D'ailleurs il est clair que le point ^^o est a I'interieur de A„ ou sur le con- 
tour; cette aire devrait done salisfaire a la condition (a) relativement a i). 
Nous sommes par consequent conduits a une contradiction en admettant 
que le lemme n'est pas exact. 

Le iheoreme s'etend aussi aux contours formes de phisieurs 
courbes fermees distlnctes, nioyennant une convention conve- 
nable sur les sens de parcours. Considerons, par exemple, une 
fonction y"(^) holomorphe a Tinterieui^ de I'aire A limitee par la 
conrhe fernice C el les deux courbes inlerieures C, C", et sur ces 
courbes elles-niemes {Jig- 66). Lc contour lolal F de I'aire A est 
forme de ces trois courbes dislincles, et nous dirons que ce con- 
lour est decrit dans le sens direct quand on laisse a gauche I'aire A; 
les fleches indiquenl sur la figure le sens du parcours direct pour 
cliacune des courbes. Moveunant cette convention, on a toujours 



i 



/( s ) dz 
V) 



I. — inti;(;uam;s kntuk hks i.imiti:s i.MAGrNAiuics. 87 

rinte,2:rale elanl prise Ic lotiy dii contour lolal dans le sens direcl. 
La deinonslration donnee pour unc aire a un seul contour s'ap- 
pll(|ue encore ici ; on pent aussi ramener cc cas an precedent, en 
mcniiiil Ics liat)svers,ilcs dh^ cd, el appliqiianl Ic llu'oienie a la 
courbc Cerniet' dhnihandcpcdqa (I, n" 153). 

II est (piel([uerois commode dans les applications d'ecrire la 
lor mule pr(''Ct'denle 

f fyZ)dz= C f,Z)dz-^ f f(z)dz, 

les Lrois integrales etant prises alors dans le menie sens, c'est- 
a-dire que les deu\ derniercs doivent elre prises en sens inverse 
de celui indlcjue par les Heches. 

Ilevenons a la cpieslion i)roposee au debut de ce paragraphe; 



Fig. 66. 




la reponse est maintenant bien facile. Soiiy(r) une fonction holo- 
morphe dans une region -I, du plan; etant donnes deux che- 
niins AMB, AiNB, avant memes exlremites, et silues lout enliers 
dans celte region, ils donnerout la menie valeur pour I itite- 

grale I f[z)dz, pourvu que la fonction /'(;:) soit liolomorphe a 

rinlerieur de la courbe fermee forinee par le cheniin AMB, suivi 
du cheminBNA. (Nous supposerons pour (ix.er les idees, que celte 
courbc fermee ne prescnte pas de point double.) En elTet, la sommc 
des deux integrates le long de AMB et le long de BiNAetant nulle, 
c'est que les deux integrales le long de AMB et le long de ANB 
sent egales. On pent encore enonccr le resullal comme il suit : 
Deux clu'.niins AMB et ANB, avant Ics inrines extrrinitcs dnn- 

ncnl la nieme valeur pour linl('i:ralc j /(z)d:-. si /'o/i peut 



88 CIIAPITHE XIV. — FONCTIONS ANALYTIQIKS d'APRKS CAICHV. 

passer r/r fun a V autre par line deformation continue sans 
renconlrer aucun point oil la fonction cesse d'etre Iwloinorphe. 
Cel enonoe s'appliqiie alors meme que les deux chemins auraient 
un nombre quelconque de points conimuns, oulre les deux extre- 
niites (I, n" lol2). On en conclut que, lorsqu'une fonction y(;j) 
est liolomorphe dans unc aire llniitre par une seule courbe 

ferniee, Tinlegrale f /(:-)dz, prise le long d'un contour iernie 

quelconque silue dans celte aire, est egale a zero. Mais il ne 
faudrait pas elendre cette conclusion au cas d'une aire limilee par 
plusieurs courbes fermees dislincles. Considerons, par exemple, 
une fonction /*(;) liolomorphe dans la couronne comprise enlre 
deux cercles concentriques C, C. Soil C" un cercle ayant le meme 

centre et compris entre C et C; I'inlegrale / /( :■) dz., prise le long 

de C", n'esl pas nulle en general. Le theoreme de Cauchy prouve 
seulement que la valeur de cette integrale reste la meme, quand 
on fait varier le ravon du cercle CJ' ('). 

(') Le theoreme general de Cauchy est, encore vrai, sans qu'il soit necessaire 
dc supposer I'existence de la fonction f{z) en dehors de I'aire A limitee par le 
contour C, ni I'existence d'une derivee en chaque point de C. II suffit que la 
fonction /( 5) soit hoiomorphe en lout point de I'aire A, et continue sur le con- 
tour C, c'est-a-dire que la valeur /(Z) de la fonction en un point Z de C varie 
d'une maniere continue avec la position du point Z sur ce contour, et que la 
difference /(Z) — /(^), oil ;: est un point interieur, tende uniformement vers 
zero en meme temps que |Z — z\. En effet, supposons d'abord que toute demi- 
droite, issue d'un point determine a de A, rencontre le contour C en un seul 
point. Lorsque le points decrit C, le point a-)-6(s — a) (oil 6 est un nombre 
reel compris entre o et i) decrit un contour C silue dans A. La differenre des 
deux integrates, le long des contours C et C, est egale a 

2= f ]f(z)-b/[z-{z-a){i-%)\[dz, 
«^iC, 
el I'on pcut prendre la difference 1 — 6 assez pelile pour que |S| soit inferieur 

a tout nuniLrc posilif donne, car on peul ecrire la fonction sous le signe / 

/{z ) -^ f[z - : z - a){i - (i)] .^ (I ~ b)/iz - {z ~ a ){i - b)]. " 

L'inttigrale le long de C etant nulle, on a done aussi 



X 



f(z)dz = o. 

iCi 

Dans le cas d'un contour C de forme quelconque, on remplacera ce contour 
par une suite de contours fermes remplissant la condition precedcnte, en menaut 
des transversales convenablement disposoes. 



1. — INTIiGIlALKS KNTHK Dl-S LIMITliS IMAfilNAIUICS. H(J 

201. Extension des formules du calcul integral. — Soil /\^v) 
ime foinlioii liuloiiU)r|)li(,' dans iiiic aire A liuiilci' par iin contour 
simple C L'integrale cle(inic 

<P(Z)--s. f fyz)clz, 

prise dcpuis nii j)oiiil lixe Co jusciua un poinl variable; Z siiivanl 
un clieinin situe dans I'aire A, esl, d a|)res ce (pic nous venons de 
voir, nnc fonclion hicn di'tiMninx'c de la liniilc sii|)t''ricure Z. 
Nous allons monlrer que eelle I'onclion <I>(Z ) est aussi une fonc- 
tion holomorphe de Z donl la (h'tivec est /"i Z). Soit en cfTet Z - h 
un point voisin; nous avons 



'ImZ 

'z 



et nous pouvons supposer cette derniere integrale prise suivant le 
segment de droite qui joint ies deux points Z et Z -f- k. Si les deux 
points sont tres rapproches, /(g) difTere tres pen de /(Z) le long 
de ce cliemin, et Ton pent ecrire 

/(i;;=/(Z;-R, 

|R| etant nioindre que tout nonibre positif donne y, pour-vu que \li\ 
soit assez petit. 11 vient alors en divisant |)ar It 

le module de la derniere integrale est inferieur ay, |/<|, et par suite 
le premier menibre a pour limitey'( Z) lorsque h lend vers zero. 
Si Ton connaitdeja une fonctionF(Z) ayanl |)Our derivee /'( Z), 
les deux fonctions <I^(Z) et F(Z) ne dilTerent (pie par une con- 
slanle (n" !274; note), et Ton voit que la formule fondamentale 
du calcul int«!'£rral s'(''tend au cas des variables iina^inaires 



(lO) 



f 'f(z)dz^^F(z,) -F(zo). 



Celte formule, (jiablie en siipposaiil (pic l(;s deux fonclionsy(G), 
F(::) sont holomorplies a rinU'-rieur de A, csl appli(;able a des 
circonstances plus g(}n('rales. II pent sc faire que la lonclion F(g), 
ou les deux a la fois, /(:;) et F(c), admellcnl des di^tenninalions 



9<> CIIVPITRE \IV. — FONCTIONS ANALYTIQUES d'aPRES CAUCIIV. 

multiples; linlegrale a iin sens precis pourvu que le cheniin cl'lo- 
It'gration no passe parancnn des points critiques de ccs fonctions. 
Dans I'applicalion de la formnle, il faiidrn clioisir une determina- 
tion initiale F(::i,) de la fonction primitive, ct snivre la variation 
continue dc celte fonction lors(|ue la variable :; decrit le cliemin 
d'integration ; de plus, siy(:;) est clle-meinc une (bnctioii mulli- 
forme, parmi les determinations de F(:;), il faudra en clioisir une 
dent la derivee soit egale a la determination prise poury*(^). 

Toutes les fois que Ton pent enfermer le cheniin d'integration 
a linterieur dune aire a contour simple, ou les branches consi- 
derees des deux fonctions y'(:;), F(:;) sont holomorphes, nous 
pouvons considerer la formule comme demontree. Or, on pent 
toujours, quel que soit le cheniin d'integration, le decomposer en 
plusieurs arcs pour lesquels la condition precedente soit remplie, 
et appliquer la formule ( lo) a chacun d'eux separement. En ajou- 
lant les resultats, on voit que la formule est generale, pourvu 
qu'ou Tapplique avec les precautions necessaires. 

Soit, par exemple, a calculer Tintegrale d»?finie / z"'dz, prise 

suivant un cheniin qiielconque ne passant pas par I'origine, 
m etant ua noml)re reel ou complete different de — i. Une fonc- 



tion primitive est -^^^ 

' m — I 



, et la formule generale (lo; devient ici 



£ 



z"^ dz — 



pour lever rambiguite que presente cette formule lorsque m n'est 
pas un nombre entier, ecrivons-la 



£ 



z'"- dz 



g(m+l)Loj!(S|| g(/«+liLoglz„) 



La valeur initiale Log(^o) etant choisie, la valeur de :;'" est 
fixee par la meme tout le long du chemin d'integration, ainsi que 
la valeur finale Log(;,). La valeur de I'integrale depend a la fois 
de la valeur initiale choisie pour Log(:;o) et d" chemin d'integra- 
tion. De meme, la formule 



/ 






dz ^-ho-[f{z,)]-Lo-if{z,)\ 



I. — INTEGRAI.KS ICNTKF. DES LI.MITES IMAGIN.MIIES. QI 

ne presciite aiuuiio (lifficiilli- d"inlrrj)relalion, poiirvii que Ic lon<r 
(111 cheniin d'liilegralion la ("onclioii y*( c j soil CDnliimc cl ne s'an- 
mile pas. Le poiiil u =J\ :• ) ilt'-crll dans son plan nii arc dc coiirhe 
ne passant pas par Toiiyinc, et le second meinbie esl egal a la 
variation de Log(u) le long de cet arc de courhe. 

Observons encore, sans c|u'il soit necessaire d'j insisler, cpie 
la forniule d integration par parlies, elant une consequence de la 
formule (lo), s\^end par la menic au\ integrates de fonclions 
d'une variable complexe. 

29!2. Autre demonstration des r^sultats precedents. — Les pro- 

prietes des integrales I J\z)dz oflfrent une grande analogic avec les 

proprieles des integrales curvilignes, ou la condition d'integrabilite 
est verifiee (1, n" lo!2j. Rieinann a niontre en efTet que le theo- 
renie de Cauclij se deduisait ininiediatement du theoreme ana- 
logue relalifaux integrales curvilignes. S o'li f[z) :=lL-\- iY une 
fonclion holomorphe de ^ a I'interieur d'une aire A a contour 
simple; lintegrale prise le long d'un contour ferme G situe dans 
cette aire est la somme de deux integrales curvilignes 

/ J\ z } dz rr^ / X dx — Y dy — f / Y dx — X dy, 

'■C 'if. I -^ Cl 

et, d'apres les relations rpii lient les derivres des fonctions X, \, 

oo: _ ca; . ^i^ _ _ '^y 

dx dy dy dx 

ces deux integrales curvilignes sonl nulles (') (I, n" 132). 

II en resulle fpie lintrgrale / f(z)dz, prise d'un point fixe Zq 

jusqu a iin point variable ;, est une fonction unilornie *I'(^) dans 
faire A. Separons la parlie n'-elle et le coeflicient de /dans cette 
fonction, 

V^x.y)— I \dx \dy, Q(^, .>')= / \ dx -r- \ dy \ 



(') II est a rcmarqucr que la (iemonslrali<»n de Hieniann suppose la conliiuiile 

.... d\ d\ , ... , ^,, , 

des dcrivees -;->-,-> • • • » c esl-a-due dc f (z). 

Ox dy J ^ I 



9-2 CMAPITRE \1V. — FONCTIONS ANALYTIQl'ES d'apUKS CAUCIIV. 

les fonclions P et Q admeltent les deiivees partielles 

djc ~ ' dy ~ ' dx - ' dy ' 

qui satisfonl aiix condilions 

dP _dQ ^P _ _ ^Q 

dx dy dy dx 

Par consequenl, P + /Q est une fonction holomorphe de z donl 
la derivee est X -t- /Y, c'est-a-dire /"(:;). 

SI la fonction y(;;) est discontinue en un certain nombre de 
points dans A, il en est de nieme de I'une au moins des fonc- 
lions X, Y, et les integrales curvilignes P(a", jk)? Q(:?^, j) adniet- 
tent en general des periodes provenant delacels decrits autour des 
points de discontinuite (I, n" lo3). II en sera done de meme de 

I'integralc / f[z)dz. Nous reprendrons I'etude de ces periodes, 

apres avoir approfondi la nature des points singuliers de f{z). 

— ; 
1 ^ 
nous avons, en separant la parlie reelle et le coefficient de i, 



r-'<7£_ r^'-^' dx^ifly _ r^'''^'' xdx-^ydy . r 
X "^ "-(i.o, ^-^^> "Ju.O) -^'^J' "" J„, 



^""'y^^dx-^ydy , f^^^'^'^ xdy-ydx 
01 ^'-^^'' 



La partie reelle est egale a ~log(x--i- y^), quel que soit le cheniin suivi. 

Quant au coefficient de i, nous avons vu qu'il admet la periode i~; il 
est egal a Tangle dont a tourne le rayon vecteur joignant I'origine au 
point (x.y). \ous retiouvons bien les diverses determinations de Log(^). 



II. - IMEGRALE DE CAUCHY. — SERIES DE TAYLOR ET DE LAURENT. 
POINTS SINGULIERS. — RESIDUS. 

Nous allons maintenant exposer une suite de resultats nouveaux 
et imporlants, que Cauchy a deduils de la consideration des inte- 
grales definies prises entre des limites imaginaires. 

293. Formule fondamentale. — Soit /( z) une fonction holo- 
morphe dans une aire (iiiie A, limitee par un contour T, forme par 






i[. — iNri;(;n\Li; dic caiciiv. 93 

line oil pliisieiirs loiirhcs fermecs dislmclcs, ol conllnuc sur ce 
conlour Jin-niOme. Si X' esl iin poiiil 1 ' 1 de I'aire A, hi I'onclion 

Z .T 

esl liolomorphc dans la meiiie rei;ion, saufaii point z~^x. 

I)u point X conwie centre, decrivons un cercle v de ravon 0, 
sitiie tout enlicr dans Taire A; la foriclion precedenle esl alors 
holonioi'plie dans la reyion dii plan liinilce par Ic conlour F et le 



Viti. 6- 




cercle y, cl Ton petit lui appliqiier le iheorenie general (n" 290). 
Supposons, pour fixer les idees, cpn; le contour F soil coin|)ose de 
deux coiirbes feimees C, C (/'.i?"- ^)~)', nous avons alors 

r f{z)dz _^ r f{z)riz , ry^-i^^ 

les trois inlegrales etant prises dans le sens indicpie par les Heches, 
ce qu'on pent encore ecrire 



r fiz)dz ^ r /( z ) d 



alF 



rintegrale / designant rintegrale prise le long dti conlour lotal 

dans le sens direct. Si le rajon p du cercle y est Ires pelil, la 
valeiii- de /(;) en un poinl de ce cercle dilTere lr«'-s pen de f{x), 

J\z^^f{x)^\\, 



(') iJans ce qui suit, iimis auron.s souverit a consiclerer siinullariLiiicnl [jlusiciirs 
qiuintites complexes. IS'ous les diisignerons incliireremineriL par les leltres x, z, 

u A rnoins que cela ne soil iiidiquc, la letlre x no sei'a plus reservee pour 

designer une variable reellc. 



1)4 CII.VI'ITRE XIV. — FUNCTIONS ANAL\ TIQUKS DAPUlis CAUCJiy. 

IRI etanl Irc'S pelil. Reinplaconsyi^;) par cellc valeur, il vient 

La premiere inlegrale dii second niembre sc calcule aisement; 
si Ton pose z ^^ x -^ pe^', clle devient 



Jm 2 - ^ .( 



'(Y) 



"^ ioe'^'M . 



La seconde integrale / ~ — — est done indcpendanle du rayon p 

de la circonfereiice y; d'auLre pari, si |R| resle inferieur a un 
nonibre positif t,, le iiioclule de celle inlegrale esl plus pelil que 

- 2r:o zz^ 2-7,. Or, puisque la fonclion /{:•) esl continue pour 

^ =z X, on pent choisir le ra\on p assez, petit pour que rj soil 
aussi petit qu'on le veul. Celle inlegrale est done nulle, el, en 
divisanl par '2r.i les deux niembres de la forninle (ii), il vient 






f{z)dz 



C'est la ("ormule fondamentale de Caucbj. Elle exprime la valeur 
de la fonclion y(c) en un point quelconque x inlerieur au contour 
au moyen des valeurs de la menie fonclion lout le long de ce 
contour. 

Soil X -\- ^x un point voisin de x^ que nous supposerons par 
exemple a I'interieur du cercle y de rayon p. Nous avons aussi 



fix ~:^x)^ -^. f 



f( z ) dz 
— .r — Ax 



el par suite, en relrancbant inenibre a membre, el divisanl par A.x : 
f{ X -^ A.r ) — /( .r 1 _ I r f{z)dz 



Ax 






P {z — x){z — X — Ax ) 



^ Lorsque ^x lend vers zero, la fonclion sous ie signe / a pour 

f{z) 
liniile . • Pour demontrer ricoureusement ciue Ton a le 

(3 — X)- ^ ^ 

droit d'appliquer la iorn)ule de differenliation habituelle, ecri- 



II. — INTKC.IUI.i: I)K CAICIIV. gS 

vons (•(•lie iiilt''i;rale 

J.j.^{z-x){z — x — l.r) J^.^^^z-x)i '^ J^^^(z — xf-(z — x~\x)' 

Soienl M uik- limilc sii|)('iifure de |/(-)| Ic long cic V. I. hi lon- 
giiciii- dc ce coiiloui , cl line limilc infeiieure de la distance d'un 
j)olnt qnelconque du ^orcle -' a un point qiielconque de V . Le mo- 
dule de la derniei^e iiitegralc est infcricur a — ' |Ax| et par conse- 

qiienl lend vers zero en meme lemps que |Ax'. En passanl a la 
liniile, on a done 

On demonlre de la meme facon que la formule liahiluelle de 

diflerenlialion sous le signe / est ajjplicable a celle nouvcllc inle- 

grale (') el a toutes celles qui s'en deduisent, el i'on ohlienl suc- 
cessivcmeut 



el. dune facon generale, 

y, , , \ .'>... n r f( z) dz 



x)'^ 



Nous vojons done que si une (bnclion f{z) est holomorplie 
dans une certaine region du plan, la suite des derivees successivcs 
de celle fonclion est illimilee, et toutes ces derivees sonl aussi des 
fonctions holomorplies dans la meme region. II est a remarquer 
que nous sommes arrives a ce resullat en supposant seulemenl 
rexislence de la premiere derivee. 

29i. Serie de Taylor. — Soil /(z) unn foncfion holunwrphe 
a V inlt'iieur cV un cercle C cle centre a ; la valeur de cette fonc- 



( ' ) La formule generale de (JiHerenliylion sous le signe / sera elablic plus 
loin (Chap. XVII;. 



96 CIIAI'ITIU; \IV. - KONCTIONS ANM.VTIOLK^ d'aI'RKS CACCllV. 

lion en t/n point quclconquc x pris clans ce vercic est ei^nle a 
la sonime de la serie converf^ente 



T — a 



Nous poiivons siipposer pour la dcnionstralioii (pic la fonclion 
y(c) est holoinorphe sur la circonference C elle-meme; en efTet, 
X etant iin point quelconque interieur an cercle, on pent toiijours 
Irouver une circonference C de centre a et de rajon inferieur a 
celui de C, cpii rcnfernie le point x a riiiterienr, etl'on raisonnera 
sur ce cercle C comme nous allons le faire avec C Cela pose, 
X etant un point a I'inlerieur de C, nous avons d'apres la for- 
mule fondamentale 

(I*- 6'0 /(^) = :;— ■ / z — - 

ecrivons sous la forme suivanle 



dz: 



a — (^x — a) 



ou, en efTectuant la division jusqu'a un reste de degre n 

X — rt, 

r I r — a (x ■ — a)- 



(z — a)- {z — af 
(x — a)"- (x — a)n+^ 



(;; — a)"+i {z — x')(z — a)"-^^ 

Remplacons parcette expression dans la formule (12 bis), 

et faisons sorlir du signe / Ics facteurs x — a, [x — «)-, ..., 
independants de z, il vient 

/(r; = Jo-i- Ji(a7 — a)^ . . .— in( X — a)"-t- R,.,, 

les coefficients J„, J,, . . ., J„ et le reste R„ ayant pourvaleurs 

' I r f{z)dz - r f f{z)rlz 

(16)' 

i , C f(z)dz _ 1 r /T-_a\"-\f(_zYdz 

\^"-^iJ,,iz-a)"^^' ''--■.r.lJAz-a) z-x 



II. — iMi.i.UAi.i; i)i; (;\i(iiv. 9- 

Lorsi|iic If noinhrc n aii^iiM'iilc imi.'liiiiinciil . !<• i<'stc \\„ lend 

vers zero. Soicnl en cllcl M mic limilf >>ii|H'iifiiic du inoiliilc dc 

f{z) loiil \o Icmt; clii ccitlc (1, R Ic r.i\oii dc co cercle el /• le iiio- 



diil 



On a 



./•| >> K — /■ el ()ar siiilc 



< 



K — 



lors([uc :; dt'cril le cercle C; le module de R„ est done infen'eur a 

■.rXK) H^7'"^^^U^T-<k; ' ^^ '•' '^'Cleurf^j tend 
vers zero, lors(|iie // aii^inenle indeliniinenl. II seiiMiil ^'le /"(ar) 
est egal a la soiiinie de la serie convergente 

/( J") = J„ + J , ( J- — rt ) -f- . . . — J„ ( J" _ «)« -I- . . . . 

Or, si Ton fail x = c/ dans ies fornuiles (iLi), (i3), (i4)> 'e con- 
lour r elaiil le cercle C, il vient 



h^Jici), 



^ /';<", 



J„= ^ 



r"Un) 



la serie obleniie est done identique a la serie (i5), c'esl-a-dirc a 
la serie de Tajlor. 

Le cercle C est un cercle de centre a a I'inlerienr diiquel la 
lonclion est liolonior|)he ; il est clair que Ton obliendra le plus 
grand cercle salisfaisanl a celte condition en prenant pour ravoii 
la distance du point r/ au point singulier de /*(;) le |)Ius rapproche 
de a. C'est aussi le cercle de convergence de la serie qui est an 
second inembre ('). 

Get important tlieoreine met en evidence lidenlite des deux 
definitions (|ue nous avons d(jnnees pour Ies lonctions analvtiques 
(n"* 191 et 2G1). En edet, toule serie entiere represente une fonc- 
lion lioloinorphe dans son cercle de convergence (n" 266), el 
inversement nous venous dc voir f|ue toule fonclion li(doinorpli«' 
dans un cercle de centre a pent etre developpee en serie entiere 
ordonnec suivant Ies puissances de x — a, et convergente dans ce 
cercle. Uemarquons aus-i (jnun certain iiombre de resultats ela- 
hlis autcrieurement deviennent |)resque intuitifs; par exem|)le, en 
appliquant le iheoreme aux lonctions l-.og(i + ^) et (1 + ;)'", qui 
sont holoinorphes dans le cercle de rajon un ajant pour centre 



( ' ) Cellc dernieie conclusion cxige, sur la nature des points singuliers, quelqucs 
explications qui seroiit domacs dans lu Cliupilie consacic au prolongcmcnt anu- 
l_v li |nc. 

G., II. 7 



<)8 niMMTiu: \iv — fonctions anai.ytiqiks n'M>ui>s cmchv. 

rorii;ino, on relroiivc los foiimilrs des n"^ 274 et 27o. Considerons 

(Mu-ore !<• (iiioliciil de deux si'rles entirrcs •— ^» convergenlcs 1 unc 

.•I ratilrcdans iin cercle de rayon K ; si la serie o(.r) n'est pas nullc 
pour .r =: o, coninie elle est continue, on peul decrire un cercle 
.l(^ ravon /^U, ii rinleiieur du(|uel elle ne s'annule pas. La fonc- 

ij,),, liifli est alors ludonioriihe dans le cercle de ravon /■ ct |)ar 

suite pent elre developpee en scrie enlitre dans le voisinaoe de 
rori<;ine (I. n" 183). On pourra verifier de meme le llieorenie 
i-elalif a la substitution d'une seric dans une autre serie, etc. 

Remarque. — Soity(r) une fonction holomorphe a I'inlerienr 
d'un cercle C de centre a et de rajon r, et continue sur ce cercle 
lui-meme. Le module |/(^)| de la fonction sur le cercle C est 
une fonction continue, dont nous designerons la valeur maximum 
par d\\{r). D'autre part le coefficient a„ de [x — a)'^ dans le 

(k'veloppcment de/(c) est egal a —/"'(«), c'est-a-dire a 



on a done 






1 OK{r) _ .m(;-) 

I") A„= rt„ < — 



, — ,.H+1 



de sorte que SW{r) est snperienr a tons les produits A„/'" ('). 
On pourra prendre 01l(/-) a la place de M dans I'expression de la 
fonction majorante (I, n" 181). 

29o. Theoreme de Liouville. — Si la fonction f{x) est holo- 
morphe pour toule valeur finie de x, le developpement par la for- 
mule de Tajlor est valable, quel que soit a, dans toute I'etendue 
du plan, et la fonction consideree est une fonction enliere. Des 

( ' ) Les inegaliles (17) sont interessantes, surtout parce qu'elles etablissenl unc 
relation cnlre i'ordrc de grandeur des coefficients d'une serie enliere et i'ordre de 
grandeur de la fonction ; OIL (/•) n'cst pasd'ailleurs en general le plus petit nombre 
qui salisfait a ces inegaliles, comme on le voit immedialement lorsque tons les 
coefficients a„ sont reels ct positifs. Ces inegaliles (17 ) peuvent elre elablies sans 
lecourir ^ I'integralc de Cauchy ( Meray, Lecons nouvelles sur I'analyse in/ini- 
tesimale, t. I, p. 99). 



II. — iMi;(.ii vi.i; i)i: caiciiv. <)9 

cxjU'cssKtiis ()l)lcmi('s poiif Ics CDclliciciils on coiicliil aisemcnl la 
|ti'(i|)(isil ion siiixanlf, due a LiouniIIc : 

lOule foiiclion cntiric, doni Ic. module rcstc infiriciir a iiii 
iioDihrc Jixe M, se rcduit a iinc conaldnlc 

Su|)poson.s cii c'lVcL cuit! Ton il('-\clo|)|)c /'(j:) siiivanL Ics |)iiis- 
><an(X'S cic X — <7, ot soil r/„ Ic cocriicienl do (,r — r/)". II est clair 
(|ue ;irL(/') csL infrilrnr a AT, qin-l (|uc soit lo rayon /•, ct par 

suite \o„\ csl << — • Mais le rayon /• pcul clre [)iis aussi i;ran(l 

(|ii on Ic v<Mil : on a done a„=^ o, si ii ^ i , el f{x) se reduil a nnc 
constanle J \(i). 

Plus g<''neraleinenl, soil _/(.?} uiu; I'onelion enlirre lellc (jiie Ic 

fi.T) . , . , 

module dc - — '■ — resle inn-rieiir a un nonihre fixe M, pour les valours 

(\c X do module superieur a ui^nomhre posilif R; la fonctioii f{x) 
se reditit a un polynome, de degre i)i au plus. Imaginons cu 
ofTcl (|ne Ton developpe /(■«) suivanl les puissanees de :r, el 
soil (In le coefficient de x'^. Si le rayon /• du cercle (j est supe- 
lieura 1\, on a 01l.(r) < M/-"', et par suite |rt„| < M/-"'-". Si n > m, 
on a d(jnc «,^= o, puisque iM/'"~" pcul clre rendu plus jjclil que 
loul nomlu'C donin', en clioisissant /• asscz grand. 

296. Serie de Laurent. — Le raisonnemenl par lecpiel Cauchv 
demontre la forniule de Taylor est susceptible de generalisations 
(•tendues. Ainsi, soil y(^) nne fonctiou holoniorplie dans une 
couronne circnlaire comprise entre deux cercles concenlriques C, 
C, ayanl [)0ur centre le point «; nous allons montrer cpie la 
valeur J[x) de la fonctioii en un point quelconque x pris dans 
cette region est egale d lasoninie de deux series convergentes, 
C une ordonnee suivant les puissances positives de x — c;, V autre 

suivant les puissances positives de ( ' ). 

Nous pouvons supposer, conime tout a I'heure, f|ue la fonc- 
tion /"(c) est liolomor[)lie sur les cercles C, C eux-meincs. Soient 
R, R' les rayons de ces cercles el /• le module do x — « ; si C est 



/^ ( ' ) Comptes rendus de I'Acadeniie des Sciences, tome WII. - \ oir CiEuvres 
de Caiichy, i" scrie, tome VIII; p. ii5. 



lOO CIIM'ITIU; \1\. — rONCTIONS ANALVTIQIES 1) APHICS CAICIIV. 

le cercle iiilericur, on a li'</"<<li- l^n point .v coinmc centre 
decrivons iin petit ccrcic *', silue lout cntier cnUc C et C. Nous 
avons IV'galitc 

r /iz)c/z _ r /( J ) Jz r /(z-)rh 

Ics inlegiales clant prises clans nn sens convenaljlc; la derniere 
integralo, prise le long de y, est egale a i~if[x), et nous ])Otivons 
encore ecrire la relalion precedenle 

f( z ) (Iz I r f{z \ dz 



( 18 I 



•'^ 'i.-lj^ Z—X W.lJ^^., X — 



les integrates etanl toujours j)rises dans le nujnie sens. 

Nous trouvons encore, en reprenant les raisonnemenls du n"29i, 
(jue Ton a 

{\Q) -. / = — ^ ^ = Jo-1- Ji(.r — «)—.. .-I- J„(.r — rt)"-4-. ... 

les coeflicients Jo, J), .... J/^, •••i tUant donnes par les for- 
inules(i6). Pour developper en serie la seconde integrale, obser- 
vons que Ton a 



X — a\ z — a \ X — a ( x — a )- 



(z — «V'-i ( z — a)" 



{x — a)'' {x — z){x — a)" 

et que I'inlegrale du terme coniplementaire 

/-_^, ■■« f(z) 



?.T.i,l ,... \ .r — a I X — c 



lend vers zero lorsque ii augmente indefiniment. En effet, si M'est 
1p module maximum de/(::) le long de C, le module de cette inte- 
grale est inferieur a 



I /R'\« Ai' ,,, :\i'ir /R' ' 



p' 

el le faeteur — est inferieur a un. Nous avons done aussi 
/• 

I r f(z)clz K, K, K„ 

(20; ' • - ■ - ■ 






X — a ' {X — af- ' ' ' ' (x — a)" 



II. — iNTi:(;n vi.i: ni: rAvniv. 
\c cocKicicnl K,, elant c'gal i"i rinU'gralc cl(;finic 



^21) 



:„= ^. / (z — (n"-^f(z)(L 



II siillil ni;mi[cn.iiil da joiilcr les dciix dcvcloppcmcnls (i q) et ' ao) 
pour avoir Ic developpeincnL dcy(:c). 

Dans Ics fornuilcs (i6) cl (21) rpii donnent los cocfricicnts J„ 
ct K.„, on pent prendre les integrales le long d'lin cercle rpiel- 
conque F cornpris eiitre C et C, ayanl pour centre Ic point a, car 

les fonclions sous le signe / soul lioloniorplies dans la couionnc. 

Si 1 on convicnt de faire varier I'indiee n de — oj a + x. on pent 
alors ecrire le developpement de /(x) 

-t- x 
n = — 00 

le coefficient J„ a\ant pour expression, quel que soil le 
signe de n, 

2-' J,r, (*-«)'"' 

Exeniple. — Une nienie fonction f{x) pent adinettre des dcvcloppe- 
ineiUs tout a fait din'thents, suivant la region consideree. Prenons par 
i;\einple une fraction rationnelle f(x), dont Ic denominateur n'a que dc^ 
lacines simples dc modules flifferents; soient a, b, c, ..., I ces racine-^ 
rangces par ordre de modules croissants. Kn faisant abstraction de la 
partie entierc, qui n'lnleivicnl p:is ici, on a 

V i! C h 

fix) = i r H h . . . -i -. • 

•^ X — a X - X — c X — / 

l)ans le cercle dc ravou \a\, ayant pour centre I'oiiginc, cliacunc des 
fractions simples pent etre developpee suivant les puissances |)0sitivcs 
de JT, et le developpement Ac fi^x) est idenlique a celui que donnc la for- 
mule de Maclaurin 



Dans la couronne comprise entre les deux cercles dc rayons ]«[ ct J>\, los 
I I I 

./• — It .1: — (■ X — I 



fractions — — > > •••1 peuvent etre developpees suivant les 



ciiAi'irni; \iv. - iom;tio.ns analythjuks u aimii^s calchv. 

I 



puissances positives t\c x. iiiais — 

./• — a 



iluit ctrc developpeu suivant les 



puissances posUivcs ile 



■I run a 



A-) = -(^-^..-7)-(^-^..-^)^) — ..-(^ 



L 



X" 



\a 



A a"-' 



Dans la coiiioiiiu" suivaiilc, on aura uii dcvcloppenienl analogue, el aiiisi 
tie suite. Euliii. a lexteiieur du corclc de layon |/|, on n'aiiia que des 



puissances de - 

X 

A-^...-^L Aa 



A^) 



\j 



Art"-' 



L/''-i 



297. Series diverses. — Les denionslialions de la seric de Taylor el de 
la seric de Laurent reposenl en definitive sur un developpement parlicu- 

lier de la fraction simple , iorsque le point x resle a rinlurieur ou 

a lextcrieur dun cercle fixe. 3L A|)j)ell a iiiontre c|u'on pouvait encore 
gencraliser ces forniules, en considcraiit une fonctioii y"(A'^ lioloniorphe a 

Fii;. 68. 




finterieur dune aire Aliiiiitee par un nonibre quelconque d'arcs de cercle 
ou de circonferences enlieres ('). Considcrons par exemple une fonc- 
lion f{x) holomorphe dans le triangle curviligne PQR {fi^. 68) fornn- 
par les irois arcs de cercle PQ, QR, RP ap|)arlenant respectiveiiienl aux 
trois circonferences C, C, C". .\ous avons, ar designanl un point quelconque 



(') Acta Matliematica, ionic J, page i!\b. 



II. — iMi:ein\i.i: i>i; caiciiv, 
;i 1 iiilci it'll r i\c vc tiiaiii;li' rii i\ iliL;iH'. 



( ■?. 



I /• /{z)t/z I r /(z.)>/z I r f(z)<iz 



Ll' Inii^ do line I't^, on pciil L-crirc, « olaiil lo iciUie do (1, 



.r ^ — ^f ( ;; — a )2 



(.T — aV> 

(3 — «)"+' 



I / .r — r/ 



::; 



iii;ii> (|ii;iii(l :: <l('cril laic !'<>, Ic iiioilijlc do esl iiiferieiir a mi, cl , 

z — a 

par siiilc, Ic iiiodiilc ilr liiili'^ralii 

I /' f(z) [.r — a\"- 



VQ 



X \ z — a 



dz 



lend vers zero lorsqiie n croit iiid('fiiiiiiu.'nl. On a done 

_i_ r j\z)dz 

>~i.K... ^ — or 



( a) 



Jo -)- Ji(j" — a) -r-. . .-I- ifi{x — «)"• 



ry- 



li*s coelTicienls Jy, Jj, . .. ctaiiL dcs coiislanlos donl il serail lacilc d'avnir 
1 o\|)ression. Lc long de Fare QR, on pent ccrire de niL-ino, b otant h* 
ri'iilrc de C, 



h 



iz — b)"-^ 



r — ; X — b { X — b )- 
-b\" 



b\'t 



{X — b )" X — z \x — bj ' 

, lend vers zero lorsqiie n anginenle inde- 
X — b ; 

liniment, on en dednil, pour la seconde inleiiiMle, y\\\ devcloppeincnl de la 

I or me 



mime le module de 



VtTTi./.^,,, Z 



fiz)dz K, 



K, 



K„ 



(OK) 



■X x — b (x — by- '" ' (X — b )" 
On Irouve de nieme, c elanl li: fenlre dii cercle G", 
I /'• f(z)dz L, 



(V — . / 
■j.-ii. 



- <■ ' {x — cy^ '" {x—c)'> 



\a\ ajoulanl les Irois torinnles (a;, ([3), (y), """s oblenons pour J'\x) la 
'iomiiK; de Irois scries ordonnees rcspcclivenicnl suivant les puissance^ 



positives de x — a, di 



el <l 



11 esl elair ipie I'mii priil I imii~- 



X — I) X — c 

former celle somiiic en iiiu; seiic donl Ions les termes sont des lonrlion>; 
ralioiinelie* do x, par exemple en reiini-saiil le.^ leniie- de iiii'iiie de^M-e 



en ./■ — (I. 



— b X — c 
soil le nombrc dcs arcs de eerrl 



Le raisoiineiiieiil ipii pit'cede sapplique (|iiel (|ue 



10, 



CIIAIMTHE XIV 



FO>CTIO>S ANALYTIQIKS D \I>ni;S OVL'CIIV. 



On pent remarquor sur IV'xeinpIc proci'denl que les Irois seiie? (al, 
(p), (y) soiii encore convei'irenles lorsqiie le point .r est a I'inlericni- dii 
triangle P'Q'R', el la sotnnie do cos trois series est encore cgale a Finle- 

i;rale / :Ll^ — 1, prise le lonp; dii contour du trianqle PQR dans le sens 

f(z) 
direct. Or, loisqiie le point .r est dans le iriangle'P'Q' R', la fonclion ^ 

est holomorphe al'inlerieur du triangle PQR et, par suite, I'intcgrale pre- 
codente est nulle. Nous obtenons done de cette facon una serie de frac- 
tions ralionnellcs qui est convergente lorsque x est a I'intcrieur de I'un 
des deux triangles PQR, P'Q'R', et donl la sonime est egale a fix) oil 
a zero, stiivant que le point x est dans le triangle PQR on dans le 
triangle P'Q'R'. 

En restant dans le nienie ordre didccs, M. Painlevo a olilcnii dos rcsullats 
plus generaux ('). Considerons, pour rester dans un cas tres simple, une 
courbe fermee convexe F, admeltant une tangente qui se deplace d'unc 
maniere continue, et dont le rayon de courbure reste inferieur a une cer- 
taine limite. On peut alors, comnie il est bien aise de le voir, faire corres- 
pondre a chaque point M de P un cercle G tangent en ce point a P el ren- 
fermant cette courbe tout enliere a I'interieur, et cela de telle facon que 
le centre de ce cercle se deplace dune maniere continue avec M. Soil /"( -) 
une fonction holomorpbe a I'interieur du contour P el continue sur ce 
contour lui-meme; dans la fonnule fondanientale 



/(^) 



A^)^- 



_i_ f -Jill 



ou X est un pi)inl inlerieur a P, nous pouvons encore ecrire 

I I X — a {x — a)" I fx — 



{z — ay 



{z — a)"- 



^) 



a designant le centre du cercle C qui correspond au |)oinl :; du contour; 

a n'est plus constant, comnie dans les cas deja examines, mais c'est une 

fonclion continue de^, lorsque le point M decril la courbe P. Malgre cela, 

a . r ■ • , . -, . , 

5 qui est une lonctioii continue de z, reste inlerieur a 



le module de 



z — a 

un nombre fixe p plus petit que un. puisijuil ne peul aUeindre la valour un, 
i.'t, par suite, I'inlegrale du lerme complementaire tend vers zero lorsque /i 
augmente indcfinimenl. Nous avons done encore 



(■>.->) 



f(') = — •• y / z T-T./ -)^-> 

■J.- I Jlmi J y ( Z « J ' -^ ' • 



el il est clair que le lerme general de cette serie est un polynome 



('; 5m/" les lignes singulieres des fonclions analytiques (Annates de la 
Faculte de Toulouse, i88S). 



II. — iMi.i.nu.i; hi: rvrriiv. loj 

rntior P„(jrj, de do^ie n au plus, f.n function f{x) est done di'i'c/op- 
jiahle en line sr/ie de polynonies a I' intrrieur du contour Y . 

F.a lliL'oiie <Ii'< iraiKfotinnlioiis coiirniiin's peiniel d'oljiiMiii', |>ipiir lo 
• iL'Vfliippoinent des lonclions liolomoiphcs. dos series dune autre e«pece. 
Soil /(c) uiie fonclion liolomorplie a I'inlerieur d'une aire A pouvani 
s'eteiulre jusqu'a I'iiifini. Supp<jsons que Ton sache eflecluer la represen- 
lalion conforiue de I'aire A sur I'aire d'un ccrcle C, de telle facon qu'a 
un pniiii de laire A ciirre5|)(iniit! un puinl du cercle ct un seul, el iiiver- 
«einiMit; soil u = o{z) la fonclion analylique qui fail correspondrc ;i 
I'aire A un ccrcle G ayant pour cenlre le poinl i< =: o dans le plan des u. 
[.nrscpie la variable u decril cc cercle, la valeur corrcspondanle de z csl 
une function lioloinorplic de u. II en esl de nieme <\e.f{z) qui peul pai- 
consequenl elre developpee en serie convergenle ordonnec suivaul les 
puissances de ii,o\\ de o(c). lorsque la variable z resle a I'inlerieur <le A. 

Supposons, par excmple, que I'aire A soil la bande indcfinie comprise 
enlie les deux paralleles j' = ±: <-/ a laxe reel. On a vu (n" 279) quCii 

e-" — I 
posanl u = —:r. ' "n fail correspond re a celle bande un cercle de 

c2'-u I 

rayon un ayant pour centre le poinl jf = o. Toule fonclion f{z) liolo- 

nmrplie dans la bande indcfinie considerec pent done elre developpee 

dans celle bande en serie converirenle de la forme 



/(^; = Va, 



298. Serie de fonctions holomorphes. — La somme d une scric 
iimfornieinenl convergenle, dont les lermes sonl des foiiclions 
lioloinorplies de z^ est iiae fonclion continue de r, inais on ne 
pourrail pas affirmer sans autre preiive que celle soinine csl anssi 
line fonclion lioloinorplie. II faiit encore demonlrer fju'ellc adniel 
en cliaf|ue poinl niic dc-rivce iinicpie; c'esl ce fpi'il csl aise de 
lairc", an inoven d*; riiilegralc dc (lain li\ . 

Obscrvons d'ahord «priine s(''iie iiiiifonnenient convergenle, 
doiil les lerincs sonl des fonclions conlinues (rune vaiialde com- 
plexes, pent elre integree leinie a lerinc c<iniiiii> dans le cas d'line 
variable reelle. Soil 

!•'( z)=f^{z) -^/, (;;)-+-... -f-./;,( z ^ -^ . . . , 

line serie uniformenienl convergenle le long dune courbe AMB, 
les fonclions fi{z) elanl des fonclions conlinues de :; le long 



loG ril.VI'ITIlE \IV. — l-ONCTIONS AN ALVTIQl KS D'APRLS CALCIIV. 

(le AMB. Clioisissoiis uii noinbro enlier N asscz grand pour que 
Ton ail, pour louto valeur dc /«^N, 

i clanl un iioiuhre |)OSilit pris arbilraireiuciil . Lc module de la 
dillerence 



|»,, = j l\z)dz~- I /„(-)f/; 



f f„-,iZ)d,= f 



l\„(z)f/z, 



esl j)lus jielit cpie sL, LelauL la longueur de AMB, pourvu que /? 
soil ^N. Lc nonibre £ pouvant elre pris aussi petit qu'on le veul, 
eelle tliHerence D/, lend vers zero lorscpie n auginente indefini- 
nient, cl Ion pcut ecrire 

/ Vi^Z)dz= f Mz)dz-^ f f^(-)dz^...-r- f fn{z)dz-^.. 



(AMI! 



(AMI; 



Cela pose, soil 

une serie, dont lous Jes ternies sont des fonctions hoioniorphes 
dans une aire A, et qui est unifornienient convergenle dans celte 
aire. Prenous un point quelconque x dans A, et enlourons ce 
point d'une courbe fermee C, situee tout entiere dans cetle aire. 
.\ous avons, en appliquant la fornnile de Cauchv a cbacune des 
lonclionsy'v^^), 

-1-00 -^ ao 

f.Az.dz 

iCi 



?-:) 



-t- :X5 -1-33 



niais la serie oblenue en divisant cliacun des ternies de la serie (26) 
[)ar z- — X est elle-menie uniformement convergenle le long 

dc C, car le module de reste infericur a une cerlalne limite 

z — x 

lors(|ue ;; decrlt la courbe C. 

On pent done appliquer a cetle serie lc tlieoreme general sur 
I integration des series uniloiinenient convergentes, ce qui nous 
donnc la relation 



•2 — t ».y 



/'S:: 



F 1 ^ ) dz 






i.M iMiUM.i; hi: cm t;ii\ 



l.c i;iiS()iiiK'iii('iil ('iii|il(»\ •'■ jiliis liiaiL (ii" 293) s';i|i|ilii| iic ici .s:m'> 

,.,. ■ , I*" ( .r -)- A.r ) — I'' (./I , 

iiiikIiIkmIioii, cl pioiiM' (|uc \r i,i|i|>()rl U'ii(i V(.'r.-< 

imc liiiiilc l''(^") loi'S(Hic Ic moduli' clc 1 r IlmkI \crs y.rio. Iiiiiili- 
(|ui ('>l rcprcscnli'^' piir l,i rurntiilc 

\a\ loiiclion ¥[x) est done liolon)or[)Iie, el Ton voiriiil cic iiiciiic 
([uc lu (Jerivce d'ordre /?, F^"^(x), a pour expression 

Fi z)dz 



,, , , \ ,x. . . a I V [ z) <l. 
nn)ix)— ^- / 



La derivee doidre n csl ('-gale a la soniiuc dc la sciie oljleiiin- 
en diderenliaiiL n lois lernie a leiine la serie proposee. Deruon- 
Irons-le, par exeni[)le. pour F'(^"). La lonniile (^^8) [)eut s'eenrc 



I' {X) ^ . > / ;, -, 



car la serie oblenue eii divisauL ehacjue lerine de la seiie (aG) 

par (:; — x)- est uniforinement convergenle Ic long dc C. Le 

lernie general de la serie (pii represenle ¥'{x) n'esl autre (pic 
f'y{x), de sorU; (jue I on a bien 

V'{x)=f'^{x)-\~f[{x)-h...-^f'n{x)^.... 

En resume, lou/e seiic uniforni''nicnl convcrgi'iile dans line 
region A da plan, et dont tous les ternies so/it des fonclions 
holoniorplies dans A, represenle une fonetion V{z) Jioloniorplie 
dans la nieme region. La derivee p'^""= de F(^) est egale d la 
soinnie de la serie oblenue en dijferenlianl p Jois ehaque 
lernie de la serie (jui represenle F(-)- 

!299. Poles. Fonctions meromorplies. — Toule louelion lioii>- 
morplie dans un eerele de c;enlre a esL egale, a I'inlerieur de ee 
eercle, a la somnie d'une serie enliere 

(2<.>) /(c) =:. A,,--- Ai( - — «;—...-+- A,„(w — ./ I'"- .... 



I(>8 ClIAPITRr \IV. — KONCTIONS AN AUTIQLKS d'aPRKS CAITIIY. 

Mons tllroiis, |>oiir abrcger, que la fonclion est re^uliere an 
point r/, qui est pour la fonclion un point ordinaire; nous appel- 
Umous (lonxtinc du iioinl (t linU'Ticui- dun ccicic C dc ravon o, 
d('-cril du point a comnic centre, ou la forniule (29) est appli- 
cable. 11 n'est pas nccessairc, d'ailleurs, que- ce soil le plus grand 
cercle a rinlciiciir duquci la forniule (29) a lieu; le rayon du 
doniaine sera souvenl precise par quelque autre propriele parti- 
cidirrc. 

Si Ic premier cocflicient Aq est nul, on nfi^a) ^=0^ et le |)oinl a 
rsl un zero dc la fonclion /(z). L'ordre du zero se definit comme 
pour les polvnonies; si le developpement dc /{z) commence par 
un lernie de degre m en :; — a, 

f(z) = \,„(z — ay" -i- \,„+i(z — ay+i -t- . . . , m > o, 

oil A,„ n'est pas nul, on a 

/vrt) = o, f(a) = o, ..., /t'«-i)(a) = o, /('«)(«) 5^0, 

et le point a est dit un zc/'o d ordic m. On peut encore ecrire la 
forniule precedenle 

/(^) = (c-«)"'cp(^), 

'^{^z') etant une serie enliere qui ne s'annule pas pour :; = a. Celle 
serie etant une fonclion continue de z, on peut choisir le rajon p 
du domaine assez petit pour que '-3(^) ne s'annule pas dans ce 
domaine, et Ton voit (|ue la fonclion fi^z^ n'aura pas d'autre zero 
que le point a a I'lnlerieur de ce domaine. Les zeros d^ une fonc- 
lion liolomorphe sont done des points isoles. 

Tout point non ordinaire d'une fonction uniforme f{z) est dit 
un point singiilier. Un point singulier a d'une fonclion f{z) est 

un pole, si ce point est un point ordinaire pour I'inverse -tz 

Le developpement de Y~:r suivanl les puissances de z — a nc peul 

x'enfermer de terme constant, car le point a serait alors un point 
ordinaire \iOuv f( z). Supposons que le developpement commence 
par un terme de degre m en z — cr, 

'■f{z) designant une fonction reguliere dans le domaine du points/, 



II. — iNTi-;(.UAi.i; i»i; cvtciiv. lotj 

(|(ii ii'esl pas millc |)()iii- c r^ (t. (Jii cm (l('<liiil iiiverseinciil 

( jl ) iy z) ■= = : , 

(c — «;"' cp(;:) (^z — a)"' 

•!^(^) desifj^nanl encore iiiic fonelion reguliere dans Ic domalnc <lii 
jjoiiiU/, qui n'ost pas imlle pour .3 = a. Celle fornuile pciil s'eeriic 
sous la Idiim' ('•(piiNiili'iilc 

,3, his) f{z)= '^-" - 'l^: ^"'-' +...^J!j__^p(-__,,^, 

' -^ {z — a)'" (z — ay"'i z — a ^ " 

en designanl par P(c — a), coninie nous le ferons souvent par I;i 
suite, une fonelion reguliere pour ^ = «, et B„j, B,„_,, ..., i)| 
elant des eon si antes. Qnelques-uns des coefficients B,,B2, . . ., B,„^, 
peuvent elre nuls, uiais le coefficient B,„ est certainement diflV-- 
rent de zero; le nonibre cntier in est dit Vordrc du pole. On voil 

(|u'un pole dordre ni de /{:■) est un zero d'ordre /// pour -r — el 
inverseinent. 

Dans Ic doniainc (rim pole a, le developpement de /(:■) si.' 
compose d'une parlic rt'guiicre P(^ — a), el d'un poivnonie enlier 

en ■;; ; cc poljnome est apj)clc la partie principale deyV;) dans 

le doniaine du pole. Lorsque le module de z — a lend vers zero, 
le module de /(z) augmenle inde/iniment, de quelque facon 
que le point z se rapproche du pole. En efTet, la fonction '^{z) 
n'elant pas nulle pour z=^ a, supposons le rajon du domainc assez 
petit pour que, dans ce domainc, le module de '}(^) reste superieur 
a un nomljre posilif M. En designant par/* le module de z — d., on 

a |y( :;)]>- —^jCl par suite ly'(:;)| augmenle indcfiniuKMit l()rs<pie /■ 

lend vers zero. I. a fonelion '}(:?) elant reguliere pour :; = a, soil (1 
un ccrele de centre a a rintcrieur (hnpiel '^-^{z) est liolomorplie. 

Le (luolicnt - — '—— — est une lonelion li()lomor|)lie |)()ur lous Ics 

1 (Z rt)'" ' ' 

points de ce ccrele, sauf pour le point a lui-nieme. ]3ans Ic do- 
maine a d'un pule, la fonelion f{z) n'admet done pas d'aulrc 
point singnlicr (|ue le pule lui-meme; en d'autres termes, les poles 
so/il des points singiiliers isoli's. 

Ignite Ibuction unirurme ([iii, dans une region A, n'admet pas 
trautres points singulicrs <pic des poles, est dilc i\nc (onelion 



MO niMMTIli: \IV. — KONCTIONS ANALVTiOlRS d'aI'HKS CAUCIIV. 

inrromorphe dans ccUc region. Unc foncllon nu'roniorphc chins 
tont Ic plan jicnl avoir unc infinile dc poles, mais elle ne pent en 
avoir ([ii tin nonibrc lini dans nnc region siUiee lont enliere a 
dislanec (inie. l^a denionslralion I'epose sur un iheoreme general, 
(pie nons aurons encore a invoqiier : Si dans line ri'gion K, siliiec 
lout cnlicrc d distance finie, il existe nne injiniie de points 
joiiissanl d' unc propriete pnrticuliere, il existe a a nioins un 
point liniile dans la region A, ou sur son contour. (Nous entcn- 
tjons pav point liniite tont j)oint dans le voisinage duquel il existe 
une infinite de points jouissanl de la propriele en question). On 
etablit cclle pro|iosilion par le procede bien souvenl employe dcs 
subdivisions successives. Designons, pour abregcr, par (E) I'en- 
scnible tics points consideres, el imaginons iju'on divise la region i\. 
en cane's, on portions dc carres, par des paralleles aux axes ox, 
oy\ il V aura an nioins une region A, renCermanl une infinite de 
points de rensenible (E). En subdivisant de nieme A(, et ainsi de 
suite, on formera nne suite indefinie de regions A, , Ao, . . . , A„, . . . 
de plus en jibis petites, dont chacune est contenue dans la prece- 
dcnte, et renfernic une infinile de points de I'ensemble. Tons les 
|)oinls de A„ tendent vers un point liniite Z, sitne a rinterieur ou 
sur le contour tie A. Ce point Z est necessairenient un point limile 
de (E), [)uisque, a I'interieur d'un cercle ajant Z pour centre, il y a 
toujours unc infinite de points de(E), aussi petit que soil le rayon 
de ce cercle. 

Cela pose, supposons que la fonction jf''(c) soil meroniorphe a 
I'interieur dune aire A a distance finie, ainsi que sur le contour F 
de cette aire. Si elle adniettail une infinite de poles dans celte 
region, il y aurait, d'aj)rrs le llu'oreine precedent, un point Z au 
nioins, sitne dans A ou sur F, dans le voisinage duquel il y aurait 
une infinite de poles. Ce point Z ne pourrait elre ni un [)6le, ni 
un point ordinaire. On voit de meme que la fonction /(::;) ne pent 
adniettre qu'un nonibre fini de zeros dans la meme region. INous 
ponvons done enoncer la proposition suivante : 

Toute fonction nieromoiphe dans une aire A, tout entiere 
d distance finie, et sur son contour, n^admet dans cette aire 
tjit'un nonibre Jini de zeros et cju'un nonibre Jini de poles. 

Dans le voisinage d'un point quelconque«, une fonction niero- 






II. — i.Mi;(;u \i.i: in; r\\ cin . i i i 

iii(»r|ilir /(.::) pciil sc incllre sous la (oniic 

'■5" f(z) = iz-a)\>-o(z), 

■s>( z) elanl line loiicl ion r(''i;iilirn' ijiii ii'csl pas niill(; pour 3 - - n. 
l/e\posaiil 'J. est appi-lc; /\)/y//v? dc /'(:;) an point d. Oloidn- 
csl mil. si Ic point a iTcsl ni nn pole ni iin /Ann pour /(:;); il c^i 
(•i,m1 a /;;, si le jioinl a est nn zi'ro tl'orclre m dcj\:-), el a — //, 
SI f( est nn p(M(' crordie /t pour /"(c). 

300. Points singuliers essentiels. — Tonl point singulier (Tiiik; 
lonetion nnilormc, (pii n'csl pas nn pole, est un point sin giilicr 
fssentiel. Un point singnlier csscnliel a estisole, s'il est possible 
(le (lecrire nn ccrcle C dc centre a, a I'interienr duqnel la fonc- 
tion f{~-) n'ait pas d'autre point singnlier cpie le |)oiiil d liii- 
Mienie; nous nous bornerons pour le moment a ceii\-la. 

I.e tlieoremc de Lanrent I'onrnil immcdiatement nn devcdoppe- 
incnt de la fonclioii /"(:;) valable dans le voisinage d'nn point sin- 
gnlier essentiel isole. Soit C nn cercle de centre <7, a I'lnlerieur 
dnquel la fonction f{z) n 'a pas d'antre point singnlier qne a\ 
soit d'antre part c nn cercle concentricpie et interienr a ij. Dans 
la conronno circulaire comprise enlre les deux cercles C ct c, la 
lonetion f{z) est liolomorplie, ct par suite elle est egale a la 
sommc d'nne scrie ordonnee siiivant les puissances, positives ct 
negatives, de ^ — <^/, 

(33j A-)= 2 \,n{z—ay". 

in - . — » 

Ce developpemen t est valable pour tons les |)oiiits iiii('ricurs an 
cercle C, sauf pour le point r/, car on pent loiijours prendre \r 
ravon du ccrcle c inferienr a | ; — a |, tpiel que soit Ic point ; 
different de «, pris dans C, et les cocfficienls A„j no dependent 
pas non plus de ce rajon (a" 206). Le developpemen t (33) con- 
licnt d'abord tine partic rcgulicre an j)oint a^ soil l'(3 — rt), 
lormce par les Icrmcs a exposants positils, d'autre part une scrie 

ordonnee suivant les iiuissanccs tie » 

' z — a 



(z — n )^ iz — a)' 



Ili CIlVlMTIi:: \1V. — KONCTIOXS AWLYTIQIKS I) APRES CAL'CHV. 

c'esl \a jxtrtie principulc i\e J\z) clans le tlomaine dii point sin- 
i^ulicr. Celle parlie jiriucipalc ne se reduil pas a iin polvoomc, 
car Ic point r = « serait alors un pole, conlraircinent a I'hjpo- 

lliesc (' V Cost line fonclion cntiei-e dc -. — En efTel, soit c un 

point (pielconipie inlerieiir an ccrcle C, a line distance /• du 
point (i; la serie (34) etant convergentc lorsipie le module 

de est eiial a -■> ellc est convei'oente lorsque le module 

^ — a ^ r *^ ' 

,1 ■ r ' • < • 

cic est inuirieur a - el, comme on peut siii)poser /• aussi 

Z — (I /• ' ^ ' ' 

pelil (pie Toil vent, elle est convergente, quel rpie soit le module 
de • ?s\)iis puuvons done ecrire, dans le domaine du point a^ 



(35) 



/(^) = P(.--«)-G 



V(z — a) elanl une fonclion regtiliere an point a, et Cj ( 

line lonclion enliere (-) de 

Lorscpie le module de z — a diminue indefinimeiit, la valeiir 
(\e /(z) ne tend vers aucune limite determinee. D'une facon plus 
precise, si du point a comme centre on dccrit un cercle Q., avec 
un rayon z mbitraire, il exisle toujours a I' intericur de ce 
cercle des points z pour lesquels f[z) differe d'aussi peu quon 
Le veut de lout nombre A donne a Va^^ance. (Weierstuass.) 

Demonlrons d'abord que, quelque petit que soit p, il existe des 
valeurs de z^ pour lesquelles on a en meme temps \z — a| << p, 
|y"(.3)[>M, le nombre positif iNI elant arbitraire. Soit, en ellel, 
fj. la valeur maximum du module de la parlie reguliere P(c — a) 
dans le cercle de ravon o. 11 exisle des valeurs de :; telles que Ton 



ait a la fois I^ 



a[<p, et 






>> M -h u ; autiemenl l(; 



(') I'our n'oubiier aucune liypolhese, il faudraiL aussi examiner Ic cas oil ie 
devclopijciiicnt de f{z) a rinlcricui" de C ne renfcrnie que des puissances posi- 
tives de z — a, la valeur /(a) de la fonclion au point a elanl dillerenle du Icrnic 
independant dc z — a dans la seiie. Le point z = a serait pour/(^) un point 
de disconlinuile. Nous ecarlerons cclle singularilc, tl'un caraclcrc loul a fail 
arlificici {voir plus loin, Chap. XVI). 

(■-) Nous dciigncrons souvcnl par (i{x) une fonclion onliere de x. 



II. — imi:gii\i.i; hi: cvn nv. iii 

motliile (Ic la foiiclion etiliorc (i(.r) restoiyil loiijours iiifi'riciir ;"i 
line (crlalnc Jiinile, qui sorait •'j^alc a M -[- y., on an maxiiiuiiii dii 

inoiliile dc G ( ^^ ] a I cxh'iiciir dii cercle (1 de raNoii z, rl, 

d'aprcs le iht-oreme de LIoiimIIc, cede foiiclion enliere sc rediilr.iit 
a line conslanle. Pour les \alciirs df z <|iii salisfont aiix deux eou- 
dilions j3recedenles, le module dey(;) esl cerlaineinent supeiienr 
a M + UL — a, c'cst-a-dire a !M. 

Considerons niainlen; nl line \aleur (luelcoiunie A, SI reriiia- 
liou /'(r) = A admel des racines a rinleiieur du cercle C, aussi 
pelll que soil le rajon p, le llieorenie est etahli. SI I'equa- 
tiony"(;)= A n'adniel pas une iiifinile de racines dans le voisi- 
nai;e du poinl (/. on pen I prendre le iMvon p assez petit pour qu'a 
riiitt'iieur du ceicle ( '. (\r i axon p, avaiU pour cenlre rf, celle eqiia- 

luMi nail aiKiiiic raciiic. La foiiclion 'i('c) = -; — -est alor^ 

liolomorplic pour loul point r inlerieur a C, sauf pour le point (^/; 
cc point a ne pent etre quiin |)olnt singulier essenliel pour '^(z), 
car, dans le cas conlraire, ce poinl (t serail un pole on un point 
ordinaire pouv/(:). Done, d'aprcs ce qu'on vient de deniontrer, 
il exisle des valeurs dc :■ ii rinU'iiciir du cercle C pour lesquelles 
on a 

l?(-)|> ' o.. !/(:;, _a;<e. 

aussi petit que soil le noinbre posilif s. 

Cette piopriete distingue netteinent les poles des points singii- 
llers essenllels. Tandls que, dans le voisinage dun |)ole, le module 
de la foiiclion y'(j) auginenle indedniment, la valeur dc /{z) est 
complelenient indt'-tcrininee pour un point singulier essentiel. 
M. Picard (') a o!)lenu une [)roposilloii plus precise en montranl 
<|ue toiite ccpialion y'(c) = A admel une infinite de racines dans 
Ic voisinage d'un point singuller essentiel, une excej«»tlon nc 
|)0uvant se produlre que pour une valeiir parlicuilere de A. 

I-Jxemple. — Le pnini ; = o e*t un |)i>iiil ■"inirnlii'i- osseiilirl jumi l,i 
ruiiclioti 

; _ ' ' ' ' ' 

z I .'».;- ■ ■ ' \ .1 ... II z" 

(') Annates de I'Lcole \orniale Supeiieure, 1880. 

G., 11. 8 



11.1 



CIIAPITIIK \IV. — FONCTIONS ANAI-VTIQIKS D AI'HKS CAICIIV 



il c-<l facile do vi'iificr que Icqiialion e'- = A admel line iiirinile <le racinos 
do inndnle iiifeiieiir a p aussi petit que soil p, poui\ii que A iie soil pas 
mil. Soit A = /• ( cosO-f- ? ;iinOi. on tire de requalion precedeiite 

- = log/" -(- /( -X- jk- I ; 

pour que \z\ soil •< p, il sufliia que Ion ail 

II \ a e\ idoinmenl une infinite de valeuis du nombre enlier A" qui salis- 
fniii a celte condition. Dans eel exemple, il y a une valeur exce|)lionnelle 
de A. a savoir A = o. INlais il pent au?i«i airi\ei- qu'il n y ait aucuiic valeur 

o\cej)tionnelle ; lei est le cas. par exemple, de la lunclion sin • 

301. Residus. — Soil a iin pule on iin jioiiit singiilicr essenlicl 
isole d'line ibnclion J\z). Pioposons-nous de calciiler linle- 

i^rale / f{z)dz- le long d'liii cercic C de cenlic a, Irace dans le 

doinaiiie du ])olnf a. ]\ous avons la parlie reguliere P(; — a), 
f|iii donne zero dans celle inlegrale. Qtiaiil a la jiarlie princi- 

palo Ct(-2 )) on peiil I'inlegrer lernie a letnie; en ellel, si le 

point a est un j)oint singulicr essenliel, on a une serie enliere qui 
est iiniformeiTient converuenle. L'iuleorale du leimc "eneral 



f 



A„, dz 



a )> 



est nulle, si rexposant /;? est plus grand que un, cat- la lonclion 

A,„ 



pnmitive 



- reprend la nierne valeur apres que 



{ ni — \)iz — a) 
la variable a decrit un cliemin ferme. Au conlrairc, si m =. \ ^ 

lintegrale definie A, / - — ^^ a pour valeur y.-^A,, comine le 

])rouve le calcul di'-ja fait au ii" 293. On a done la lurniule 

2-4 Ai= / /( zjdz, 

cpii n'esl au fond qu'un cas particulier de la forniule (^3), don- 

jiant Ics coefficients de la serie de Laurent. Le coefficient x\, est 

appele le residu de la fonction f{z) relalif au point singulier a. 

Considerons niainlenant une fonction /(-), continue sur uti 



II. — iNTi:(.HM.i; i)i: cmciiv 



(Onloiir loiiiic r, <•! ii iiv.iiil a I iiiIi'tichi' dc cc coiilnm 1" (luim 
miiiil)rc iiiii lie |)itiiits miii;iiIicis a. h, r, ..., /. Soiciil \. II. 
(], .... \j Ics rrsidiis coires|K)ii(l.inls ; si Ion cnininc cliaciiii cic 
CCS jH)iiil> >ii)j;(ilicrs irnn ceiclc (If laxoii iiiliiiiimiii pfli!. I iiib'-- 

;;ral(' I f(z)(lz. prise Ic loiii; dc V dans Ic sens diiecl, e.-il ('yalc a 

la soninie des iiilei;iales prises le long des pcLils eereles. dans !<• 
iiicme sens, el nous avons la fonnule Ires iiiij)orlaiile 



( 3(m 



/ J\ z ] dz — -3.- i{ A -i- IJ -+- C -T- . 



10. 



(|iii cxprimc qnc V inU'giale I f{ z) dz., prise le lo/if de V dans 

Ic sens direct, est egale aa jtroduit de 'i.r.i par la soninie des 
residus >elalijs aiix points singuliers de j\z) inlericurs d ce 
contour. 

II esl clair <|iie le llieorenie s'applique aiissi aiix conlours X 
formt'S par plnsiciirs courljes fennees tlislincles. 

On voil, d"aj)res cela, le role iin|)()rtanl des residus: il esL utile 
de savoir Ics calculer rapidemenl. Si iiii poiiiL a esl iin jioK; 
d'ordrc ni pour /'(c), le produil ( :; — ay-fi^z) esl regulier an 
point rt, el le residu de /{:) esl evideniment le cocnicient de 
( r — rt)'" ' dans le develop|)einent de ee produil. J. a regie se sim- 
plilie dans le cas dun |)ule simple; le residu est alors egal a la 
liniile du produil [z — a)f(z') |)our z=za. Le plus souvent, la 
lonelion y ( C-) se presenlc sous la lornjc 



/(--) = 



Qi^i- 



les foiiclions \*{z) et Q(:;) elant regidieres j)our z=^a^ el \^{a) 
n'elaiil pas nul, landis (pic a. est uii /.(jro simple j)our {)(z). Soil 

(")(;) = (:; — rt)K(c); le rt'-sidu est (,'gal an (luolienl ,. — , on 

I .... ... , l'( r/ I 

encore, coinme on le \enne iniineclialeinenl, a - , • 



III. 



.MTLICATIONS DIlS TIlliOUE.MES GK.NliMALX. 



Les a|)plicalions i\i\ dernier llu'-ortjmc sonl iniutiiihraljles. ?Sous 
allons en donner (piehpies-unes, se rapportant pr'ncioalcment au 
ealeul des inlC-gralcs d(jlinies el a la lliC-onc des c-ipialions. 



I l(> ClIVl'ITIlK \IV. — Id.M.noNS ANALVIlyl I S U'l'llliS CAICIIV. 

Ii02. Remarques diverses. — Soiiyt r ) mic foiiclioii idle que le 

prodiiil (:; — r/)y(; ) loiulc vers zero, en iiu'iiie lemps (jiicl:; — a\. 

L'inlegrale de celle fonclion le loni; (run cercle y, de centre a el 

de rajon o, lend vers /.f'rn avcc le r.ivon de ce cercle. On peul 

ecrire en eirel 

/ f{z-)(lz— I { z — a \ l\ z \ ^ ; 

^/„ , '„ ■ z - tl 

si Y, est le niaxinuini du module de ( r — <^^)y( c ) le iuni; du ceicle •', 
le module de I'lnlej^rale est inferieur a a—/,, el [)ar consequenl 
lend vers zero, puisque y, est lui-meme infiniment petit avec o. On 
verrait de meme que, lorstpie le produit (; — a)f(^z) tend vers 
zero lorsque le module de r — (t an^inenle indrlinimenl, liule- 

grale / J\z)dz, prise le loni; dun cercle C de centre a, lend vers 

•- i(; 
zero lorsque le ravun du cercle augmenle Indeliniment. Ces rc- 
lu.aipies subsislent, si, an lieu d'intej^rer le lony de la circonle- 
rence entiere, on inlegre seuleinenl le long d'une parlie, pour\u 
que le produit considere tende vers zero le long de celle parlie. 

On a souvent a clierclier la limile siq)(''ricure du module d uiic 

./, 
integrale definie ile la forme / f(^x)dx^ prise le long de I'axe 

Vi'o\. Supposons, pour fixer les idees, a << b. Si M est le maximum 
du module dcf(x) le long de ce cliemiu, le module de Tintegrale 
est certainement inferieur a M(^ — «); mais on a encore une 
limite, qui est quehpiefois plus commode, en prcnanl la nouvclle 

. . r'' . 

integrale / \J(^x)\clx. II est clair, en eifet, rju'un element quel- 

conque de lintegrale proposee a pour module Felement cories- 
pondanl de la seconde integrale in" !2<S9 i. 

303. Calcul d'integrales deflnies elementaires. — Lintegrale 

delinie / V\x ) dx^ oil F(j:)esl une fonclion rationnellc, prise 

le long de I'axe leel. a un sens, pourvu cpie le denominateur no 
sannule pour aucune valeur reelle de x et que le degre du nunie- 
rateur soit inferieur au degre du denominateur d'au moins deux I 
unites. De Torigine comme centre, decrivons un cercle C do 
rayon R assez grand pour que toutes les racines du denominateur i 



III. — \l'Pl.ir\Tl<)NS Dies TIIKORKMKS GKNKUMX. IIJ 

(It^ K('.r) soionl a rinlt-rinir (!<• co rcrcic, el considerons iin coii- 
Idiir trinlt'uriition formo dii (liamrlre l)\, trace suivanl I'axe reel, 
el (l<^ la (leini-circon("('Tenco C siliK-c au-dcssiis de Faxe reel. Les 
seuls poinLs siiii^uliers de F(:;) silues a riiilerieiir dc ec conlour 
sonl (les poles. (|iii |)i()vi('mieiil des racines dii (N'liominaleiir 
de F(:;) pour lesqiiclles le coefllcient de i est posilif. En desi- 
-iiant par^HA l-i snnime des residtis relalifs a ces poles, on peiil 



lone cciin' 



/ 



<lz 



I l-i:.)(/z^->-i:L\\,,- 



lorsqiic le ravon 11 au<,nnenle Indefiniment, I'inlegrale le lonu de C 
lend vers zero, pnisqiic le prodiiil ■:F(c) est nul pour z infini. ct 
d vieni a la liiiulc 



/■ 



t .r )d.r -- ^-11. 1«/. 



( )ii lanirne facilement anx pn'cedeiites les inlegrales dellnies 
/ I'l ^in .r. cos.r i ch', 

on V est line roiiclion rationnelle de sin.r el de cos.r. ne devcnanl 
iiifiiiif pour aiiciine valeiir reelle de x, el Tinlegrale elanl prise 
le long de laxe reel. Observons d'abord que Ton ne cbange pas 
la valeiir de celle inlegrale en prenant pour limilcs r,, el ^n + ''■'■ 
.?■„ t'taiil MM iiombre i('el (pielconqiic ; on pent done |)rendre |)oiir 
limiles — - d -^ - par exeniple. Or le eliangement de variable 

( las«<i(|ii<^ lani;' = / raiiirne linte^rale eonsideree a rinli'gralc 

dune fonelion ralloiinelle de /. prise eiiire les llniiles — cc el 

— -Ji, ear tang- croil de — x a — x lorsrpie ./; croil de — ~ ii -^ -. 

On |>eiil encore operer aiilrenifiil . I.n |)Osanl r'' = z on a 

il.iz=z -^ , el les (orimiles d'ljilcr doniicnl 
I z 



(I rintrgialc jn'oposee se cbange en line iiit('grale 

I \ (Iz 



J \ iiz ■> z J I z 



m8 niAi'iTui: xiv. — fonctions an u.^ hoiks nvriuis cauciiv. 

(hi a II I an noiivcau c lie in in (r!nl(''i;ralion, lorsqnc .r croit tie o a 9.7:, 
la variaMe z- (h'cril dans Ic sens diiect le ccrclc de ravon nn ayanl 
|)(nir cenlre rorli^ine. 11 snfdra done de ealcnlcr Ics residus de la 
iionvelle fonrlion rationnelie de ^, rclalifs a.ix poles dont Ic mo- 
dule est iiiferieur a un. 

Pienons par cxeinple riiil(';;rale / eoU"- jdXj C[ni a 

nne valcnr (inie, ponrvu que A ne soil pas mil. Nous avons 

. /'.y—n—bi\ /x—n — bi\ 

I T ■ — a — hi\ .e\ - ' -^ e V '^ ^ 

cot = I -rr —r— , 

^ . ; ,'(^^)_,-'(^^^) 

ou encore 

T — a — ^/\ . e'-^-^ g-h+ai 

coll — 



Le changement de variable e'"'= c conduit done a I'inLegrale 



Lt 






I^a fonclion a inlegrer admel les deux poles siiii[)les z^o^ 
r ^ e~ *■'■"', el les residus correspondanls sont — i et -|- a. Si ^ 
est |)ositif, ces deux poles sont a I'interleur du contour d'integra- 
tion, et I'inlegrale est egale a 27:/; si b est negatif, le pole s = o 
est seul a I'interieur du contour, et I'inlegrale est egale a — i~i. 
L'integrale pro|)Osee est done egale a ± 27:/, suivant que b 
est posilif ou negatif. Nous allons donner maintenant quelques 
exemples nioins elemenlaires. 

giiiiz 

304. Integrates definies diverses. — 1 " L;i fuiiclion — ^ — - adinet les 

f> — in gin 

tleu\ poles -^ t et — /, avcc les lesidus ~ cl — — -.• Supposons, pour 

11 -11 

fixer les idees, m posilif, et considerons le contour forme d'une demi- 

circonference de rayon tres grand R, ayant I'origine pour centre et siluee 

au-dessus de I'axe reel, et du diametre qui coincide avec I'axe reel. A I'iii- 

piniz 

Icrieiir de ce contour, la fonction — admet le seul pole z = j, et I'iii- 

legrale prise le long du contour total est egale a -e-'". Or rintegrale le 
longde la demi-circonference tend vers zero lorsque le rayon R augmeiite 

indcTiniuient, car le module du produit — ^^ — - e'"'~ le long de celte 



III. — AI'I'I.ICATIONS DKS TIIKOIIKMICS GKNKU\l\. 



"9 



roiii l»c tend vers zero. En ell'et, si I'oii n'mplace z par I? (cosO 4- / sin ), 
on a 

gtiiiz ^^ g-mR^illO+/■//»Rco^O 

I't le luiiiliile t'~"'"~'"'^ restc inlY-ricur a ruiiiu- qiiaml vaiie <lo o a r. 

(hiaiit ail iiioiltilo (111 factouf > il ost mil ijoiir z infiiii. On a done a 

I -^ z- ' 

la liniile 



f 



dx = -e-'"; 



-i Ton rcniplace e""-^ par cos/n.r -r- t sin «i.r, le coefficient de i dans le 
premier niomhre est evidemment nul, car les elements de I'integrale se 
detniisent deux a deux. Comnie on a de plus cos( — nix) ■= c(i%inx, on 
pent ecrire la tonnule precedenle 



3;) 



r cosmx _ T. 

, / I -T- X- A 



•>." La fonelion — est hoioniurphe a liiUerieur du conloiir A B .MB'A' \ A. 
(Jiff. 69) forme des deux demi-circonferences B.MB', A'\A, decrites de 

Fig. (Hj. 




I'origine pour centre avec les rayons H et r, et des lignes droites AB, B'A'. 
On a done la relation 

( ^ ,/x-^ —,/z-^ — tl.r -+- / — dz = O, 

/• ^' illMHi -^ • -U '^ •- (AAA) " 



que nous poiivons aiissi ecrirc 



C^'^'^-'"\lx-.f ^dz-^f 



dz ^ o. 



ItMII ~ » ANA 

Lorsquc /• lend vers zero, la derniere integrale tend vers — -/ ; nous avons 



lio CM \i>i nti: \iv. — roNCTio.Nt; anai.vtioi i:s i> aimu;s cmciiv. 

I'M lllVt, 



!*(-), 



l'( z) t'tanl uiio fonction ri'-giilicre a l\)rigiiie, 



f 



f \\z)dz^ I 



clz 



lA'.NA) 



l/inlt'grale <le la partie reguliere P(s)devient infinimenl petite avec la 
Iniigiieur (111 chemin (rintegration ; quant a la deiniere integrale, elle est 
I'galc a la variation de Log(^) le long de A'NA. c'est-a-dire a — -i. 

I, integrale le long de BMB' tend vers zero lorsque R augmenle inde- 
liiiinient. Si Ton pose, en effel, -: = R(cosO -l- i sinO), il vient 



r 



r 'iidz = i c t'-«*i"^j+'"'"'-'-'^/o, 

•^ (BMU) " 'O 

< t lo module de cette integrale est inferieur a 

-li.in'J JO = ., / \.-K-inO,/f). 

Soil a iin angle posiiif infeiieiir a -; on peut encore ecrire 
It ■it 

^0 '0 'a 

La premiere integrale est inferieure a a; lorsqnc f) varie de a a -, 
,,-:;siiiO i-este infcrieur a c-Ksinx^ g^ j^ derniere integrale est inferieure 
a " e it*'"^. Le module de I'inlegrale en question c*l done inferieur 
a V. a -4- 7:e~'^*'"^. Supposons qu'on ait pris o ■< ^z <C -,', on peut ensuite 

iriuiver un nombrc R^ assez grand p<jur que Ion ait aussi — e~''i*'"^<< - : 

K I'tant |)ris superieur a R], le module de I'inlegrale sera inferieur a z, ce 
qui demontre la proposition. 

V.n passant a la limite, on a done (voir I, n" ITH) 



r 



(.IX ^ P-IX 



clr = - i. 



r 



rU = ' ■ 



III. — m'I'I.hmions i)i:s tiikohkmks (jicnkhmx. i^i 

3" l/iiili'uiiili' (If la Iniicliiiii ciiliiTO f--'' le long ilu conloiii' OAliO 
CiniK' (].•< .Ii'ii\ layoas 0.\ cl 015, I'aisant iin angle de 45°, cl de I'arc do 
ccicic Al] [Jig. 70), est cgalc a zero, cc qn'on pcul ('crire 

/ <'-•'</./•-'- / i—-'ilz— I e--'dz. 

• ,. •All) -^ lOB, 

Lorsqiie le imxdh 11 de la ciiioiifercnce a laqiiclle ap])ailienl Tare A 15 



l-'ii 



y 


B/ 







A 


.u 



ati-riicntc iiidrriniinenl, riiili'-iale le long de Tare AB tend vers zero. I'^n 
<;llet, si nous posons c = l\(cos"^ -4- /sin^ )> cette inlegrale devieni 



" ' 

el son module e*t iuferieur a I'integi-ale — / e-'''i"^?(/j. que Ton peul 

■ • 

■}. I ' y- Jr. 



«eparer en deux 



Lor^quc o varie de o a -. cos'i est snpericur a -— et e "'•='"'? esl plus 

-'^- .... ,.,,.. t:H -"^ 

pctil que r ^J. I. a preuiicre inlegrale e~l dotir inleneure a -— c v-'''- 

par suile, lend vers zero lor<(|ue \\ rroil indi'liniuiciit . I.orsipje '^ varie 

de - a -» on a \/isino ^ 1, el la seconde inlegrale esl i)lus pelile que 
4 J. 

It ' II' \ 

-'^ f %in-^ <• -«'>'-r./'i = — - f 6'-"''»*?y'= — !— i I — e~7j), 



-^ 



\}.?. CIIVPITIU: \IV. — rONTTIONS A.NALYIiyl I^S I) Al'HKS CAICIIV. 

expression qui loud encore vers zero loisque R anjLjniente inilc'lininioMl. 

Le I<in^ (III rayon Oli, on pent poser i = p f cos.y -f- t sin -^ | > ce (|ni 

(lonne e~^'=e~'?^. el en faisant croitre l\ indi'lininient , il \icnt a la 
liniite ( voir f, n" KH) 



^/^. 



/ e-'P'tcos";' 4- t si 117 ) </p = / c -''(/.(• r^ — '- 

- n \ \ -i / • ,1 



on encore 



r 



'p' dp 



V^/'cos^ 



l.in egalant les parties reelles et les coefficients tie i, on oblient la valeur 
(les inteirrales tie Fresncl 



(38) / coso» <5?i = - t /- , / sin o*f/s = - i /-• 

Jo ' ' ■^V ■'- J« ' ' ^V '■* 

;jOo. Calcul de !■(/?) r( I -/>).— L'inle-ralc (lefinie / ' ,011 

. '0 ' ^ ^ 

la variable a: et I'exposant p sont reels, a une valeur finie poiirvu que /> 
soit posilif et inferieur a un ; elle est egale au proiluit r(/))r(i — /?)('). 



Pour evaluer celte inteijrale, considerons la fonction 



zi>-^ 



> qui ad met ui 



pole, le point c = — i, et un point de raniificalion, Ic point ^ r= o. Con- 
siderons le contour abnib'a'na (Jig- 71) forme par deux circoniV- 
rences C et C, dccrites de I'origine avec les rayons /• et p respectivement, 
el les deux droites ab el a' b' , infinimenl voisines, situees de part et d'auti c 



d'une coupure tracee snivant ox. La fonction 



zP-^ 



est uniforme a linle- 



rieui' de ce contour qui ne lenferme qu'un point singulier, le pole 5 = — 1 : 
pour achever de la determiner, nous conviendrons de prendre pour argu- 
ment de z, celui qui est compris entrc o el 2—. En appelant R le residii 
relalif au pole z = — 1 , nous avons done 

r z.i>-^ r zf'-'dz r zi"-^ . r zp-^dz . ,^ 

/ dz -h / \- I dz -4- / = iitA\. 

Le-i integralos, Ic long ties circonft^rences C el C, tendent vers zero 
lorsque r croit indtjfiniment et que p diminue indefininient, car il en est 



ainsi du proiluit 



J puisque Ton a o </) < 1 



( ' ) II suffit dii reniplacer t par 



ilans la forniule du bas de la page 3i.j 



( t. I). La formule (Sg), demonlree en supposaiit /> reel, est exac!c, pourvu que 
la parlic reelle de p soit comprise enlre o et 1. 



Iir. — AITI.lCVriO.NS IlKS TIlKOltliMICS GK.NKIIALX. I '- 5 

Lc Iihil; ilf nh, z est, loi-l ; pom- |»liis <Ie clailo, ie|)ieseiilon<-Ic par .r. 
L'argiiintMil di" z t-lanl nul, j/'-' fsi i'^mI a la valeiir aiillirnelirjiie t/'-'. 
Lc long tie a'^', ^ e<l encore reel, niais son argument etant a-, on a 

i.a •ioninie des deiix. inlegrales le long de ab el le long de 6'«' a done 
potir liiuile 

• 

Le residu Rest egal a (— ij/^-', en sn[>|)<jsant rargunienl do — i f;:.il 




a t:. c'est-a-dire a e'/'-i''^'. On a done 



r 



fix = = = ' 



ou en fin 



r'^'-^ctx^^- 

J^ I -^ X siii/<- 



300. Application aux fonctions meromorphes. — I Man I dmi- 
rK-es deux lonclions fiz-), .ii :;), iloiil Itiiie /'(:;) est nu'ioinorplu! 
a I'inlt'rieur (1(111 conlotir fcrino C, el Taiilre -(-) liolomorplic ;"i 
rinterieui- dii mt}ine conloiir (les trois fonctions /(z)^ f'{z), '-p(-) 
(}lanl conliiiiK's stir le eonloiii- (]), clierelions les points siiigiiiiers 



de la foiiclioii ■^( z) -/^ itiU'-nenrs a C Ln jioinl >/ (\ 



III II est Ml 
111 p(Me III nil /,('ro pour y^^ 3 ) est e\ ideiiinient iin poiiil ordiii.iiic 



1 n 



( iiM'irui: \iv. — KONcnoNs wvi.vtkuks i» \i'ni;s curiiv, 



f'iz) 



fiz) 



noiii- l;i tdiu'lioii --—^^ ol, l)ur siiilc, pour- 'i(;) ^— ^-^ • Si tin point c/ 

' 7 ( - » ' ■ ' • ^ - y 1 ; ) ' 

(■>l nil |)tMc oil nil zero tlcy(;), on penl ('rrirc, dans le domainc 

de (■(• point, 

f{^z) — {z — a )'?-'l{z I. 

•JL (iL'signant iin nonihrc en tier, posllif oti negalif, qui est egal a 
lordre de la fonclion en ce point (n" 209). et '\{z) etant une 
fonrlion rei;nliere qui n'est pas niillc pour z z= a . On en dodnil, 
• n picnanl los deiivces loganlliniKpics, 






•y(z) 



Comme. d'aulre part, on a. dans le doniaine dn point «, 

■s,( z) = rs'ia) -h ( z — a }o' (a) -{- . . ., 

f'(z) 
le j^oint a est nn pole dn premier ordic |^oiir le prodnit '■^{:-) j. ^ > 

et le residu est egal a 'j.-:>(a); c'est-a-dire a m's>(a), si le point a 
est nn zero d'ordre 7ii i\ef{z), et a -- n's>[a)^ si le point a est un 
pole d'ordre n de f{~-)- Nous avons done, d'apres le theorenic 
general des residiis, en snpposanl (jiril n'v ait pas de racine (\e f[z) 
snr le eontonr (J, 



( {o) 



-^. f o(z)-^J~ dz = }• ■i(r/,-Zcj(7<), 
■i-i J ,. • f(z) • • 



a clant 1 un qnelconquc des zeros dc /(^z) interieurs a C, b 1 nn 
quelconque des poles de/(z) interieurs a C, et cliacun des poles 
et des zeros etant compte autant de fois que I'exige son degre de 
multiplicite. La formule (4o) Tournitune infinite de relations dis- 
linctes, puisqu'il suflit de prendre ponrcpfr) une fonclion holo- 
inorplie. 

I'aisoiis en parlicnlier '^(';)= i : la f'orninle precedcnle devient 



< U) 



■ /'(. 






iZ) 



A et P designanl respectivement le nomhre des zeros et le nombre 
des poles dey"( .;) a Tinlerieur du contour C. Cette formule conduit 

a un ihcorcme imj)ortant. En efTet. 4-— t" est la derivee deLog[/(^)] ; 



III. — Ai'i'i.K Mio.Ns i»i:s Tiir:oiii;.Mi;s (.i;m;iim \. itS 

|)(tiir calciilci- I'iiih'-ralc (KMiiiir clii sccoiitl nicmbre di- l.i foi- 
iniile ( i I >, il sullil (Idiic dc coimaflrc la varialioii (!<• 

l<)r.s([iic la variable r cK'cril Ic coiilonr C dans Ic sens ilirecl. 
Mais |y(-)| lexioiil a >a \alciir inilialc, laiulis fjtie rarniiincnl 
(If /(;) augmenle tie >. K-, K etaiit tin nonibre eiilier pusiliroii lu'- 
^alil. On a done 

( 4' ) \ — I' r^ ^ = K, 

t"(sl-a-dii-e cjuc la clij/cre/ice N — I* est egale au fjuotienl pdi- ■>.- 
di' Id vaiialioii dc C argument de J\z), loisqnc la variable z 
dccrit le contour (] dans le sens direct. 

S(''|)aions dans /( c) la partie lecllc et le cocCficicnl (h' i 

J\z.) = \-^\i- 

lui'S(|iie le point z = j: -r ^'i deerit le conlour C dans le sens dired, 
le point dont les coordonnees sont X, \, par rapport a iin SNSlemc 
(Taxes reetani;nlaires de nieme disposition (jne les premiers, deeiil 
aiissi nne courbe fennecC],. el il suflirail d avoir tiact- approxi- 
nialivemenl cette courbe C|, ponr en dednire aiissilol, a la senle 
inspeelion, le nonibre entierK. II n'y aurait en efTet fpi'a eoiiipler 
le noinbre de circonferences dont a tourne, dans iin sens on dans 
1 antre, le rayon veclenr joii^nanl an |)oint (X, \ ) I'origine de> 
axes. On pent eneore eeriie la foinitile (' \9.) 

coninie la fonelion ^ loprend la nieme valenr aprrs (pie ; a (K'h ril 
le eonloiir fernie (", rinU'-i^iale deliine 






CsL egale a t:1 ( ^ ) > le nonibre 1 c^lanl egal a Tindiee dii (piolieiil 

le long dii conlonr (!, cesl-a-dire a Texces dn noinbre de bus on 
CO (inulicnt desient inlini en passant de + oc a — x snr le ii()nd)ie 



126 CIIAIMTHK \1V. — rONCTIONS ANALVTIQI KS DAI'UICS CAICIIV. 

(Ic folsoii il devienl infini en passant dc — cc a + cc (I, n"'77, loi). 
A'ous poiivoiis done cncoie ecrlre la fonmile (4'3) sous la forme 
eqiilvalenlc 

307. Application a la theorie des equations. — Loisf|iic I.i fone- 
lion /{:•) est elle-inenie liolomorj)lie a rinleiieur du eonlour C, 
el n'adnietni pole ni zerosurce contour. Icsfortnulcs jwecedenles 
lie renfernieul que les racines de recpiallon /(:;) = o, (]ui sont 
situees a I'inlerieur de C Les fornuiles (4'^)? (4'3) el (44) ^^"l 
connailre Ic nonibie N de ces racines au inojen de la variation dc 
rargunient de f(z) le long du contour C, ou au mojen de Tin- 
dice de :r-- Lorsque la fonction /{:■) est un polvnomc cnlicr en ;, 

a coefficients quelconques, ct que le contour C se compose d\in 
nombre fini de segments de courbes unicursales, on pent calculer 
cet indice par des operations elementaires, c'esl-a-dire des multi- 
plications et divisions de ])olvuomes. Soil en efTet AB un arc du 
contour que Ion pent reprcsenlcr j)ar les (ornuiles 

'i(/) ct 'J/(^) dcsignant des fonctions ralionnelles dun ])arametre /, 
(|u'il faudra faire varier de a a ,j pour que le point (x, j) decrivc 
Tare AB dans le sens direct. En remplacant z par ci(<) + f'i(/ 1 
dans le polynomey*( c), il vient 

f{Z\= WU ) -t- /li| ( / ) 

\\{l) el lv,(/) elanl des luncliuns raliunnelles de / a coefficients 
reels. Lindice de ;^ le long de Tare AB est done egal a I'indice de 

la fonction rutionnelle —^ loi'sque t varie de y. a j, indice que nous 

avons appris a calculer. Si le contour C est forme de segments 
de courbes unicursales, il suffira done de calculer I'ind^e j)Our 
chacun de ces segments, et de [jrendre leur demi-somnie, pour 
avoir le nombre des racines dc f[ z )=:^o inleiicures au contour (>. 

Remarque. — Le tlieorcme de d'Alemberl se deduit aisement 



III. — AI'l'MCVTIONS l)i:S TIIKOIIICMKS (iK.NKIlMX. I 27 

ties rc'Siillals urecetlenls. Dcinonlrons d'aljoid mi Iciiiiiic donl 
on se scrvira pliisictirs fois. Soicnl F(-3), *l*[~-) »^l<-'ii\ lt)i)(;li()ii> 
liolomorplics a rinU'Ticiir d iinc coiirhe ferinec C, ooiilinucs 
sui- la roiirhc ellc-iii«'ino, rl idles (nie. loiil le loiii; do C, on 
ail [*l>(r)| -< |F(:;)| : dan> ccs coiidilions, Ics driix ctjinilions 



Ft - ) = o, 



1m ■: » -f- <I» ( - I = o 



"/// Ic riicinn uoinhie de racincs a V iiUvi iear de C. On pent 
('en re cii oil el 



F. ,-> --'!•. z\ = F( ,- ) 



FTT^I' 



*(--) .IX, 



lorsqne le polnl c decril le contour ( !, le point Z = i + yi. tlecril 

line courbe ferniee siliiee tout enlir-re a rinterienr du eerele de 
r.ivon un deeiil dn poinl Z=i comnie ccnlre, puisque Ion a 
'/, — ' I <C • 'o^'f^ '*-' '^"s ^<' ^- I-^'ari^nmenl de ce faclenr rcvienl 
done a sa valeur iniliale apies cpie la variahle ^ a decnl le con- 
lour C, el la variation de rargimienl de F(:;)4-$(^) est egale a 
I.I variation de rargunienl de F(^); les deux equations onl ]iar 
consequent le meme nonihre de racines a I'inlerieur de C. 

C.ela pose, stjii f{z] nn poUnonie de degre in a coef'licienls 
qneleonqnes; nous jxjserons 

F(c,)= Au-'", 'ix -1 = Ai.^"'->-t-...-:- A„,, fiz)^Y{z)^^^KZ.). 

Choisissons un nonibre posilif R assez grand pour (jiie Ton ail 



A, I I |A,1 I 



\\ 



A J K- 



a; K" 



<i; 



lout le long dun cercle C de ra von su|)erieur a I\, decril de rorigiin- 

eoninie eenlre, on aura e\ideninienl jp < •• L'equalion f(^z)^i> 

a done le nienie nond)re de racines a rinlerieur du cercle C (|'ie 
rt'Mpiiilion 1' (^j = o, c"csl-a-dire rn. 

:{()8. Formule de M.Jensen. — Ho'il f(z) unc fonclion nieromfjr|iiic 
• huTi till cercle C de rasoii /■ a\iiiit pour centre I'origine, lioionioiplic el 
n'aNaiil pas de zeros sur C. Soieiil «i. a 2, ..., a„ les zeros ci b^, bi, . . ., b,„ 
les poles de f(z) a linlerieur de ce cjrcle, cliacun cl'eu\ etaiil cijiiipic 
avec son degre de mtilliplicile ; nous supposerons de plus que lorigiiic n'est 



I >.8 



CIIVIMTRK \IV. — KONCTIONS AN AI.YIIQIKS UAPIIKS CAirilV. 



ni MI) pule iii nil /.('■in pouiyi^G). Nous iimi? pioposons ilc caUiilcr I'iiilr- 
uriilo (li'-linio 



15) 



1 = / i-si/i-i-;- 



Iz 



\)\\<c lo loii<; (le C dans le sens diiocl ; nons suppciscroiis, |)ar exempic, 
i|ije la variable z pail dii point c = /• snr I'axr reel, larf^unient de J\z) 
a\anl niic \aIiMii- clioisie a lavanco. Mii iiilei;i;uit par parlies, nous avons 



( .{6 ) 



I = )r.og(;)i..^g|./-( 






la premiere pailie du second nuMiiljre dcsignanl raceioissement du prn- 
duil Lo^( z)Log[f(z)] lorsque la variable - decrit le cercle G. Si iiou^ 
pi'cnoiis v.rvn pour \al('ur iiiiliaie de I'argnnifiit de ;, cot accroisseuiciit 
est egal a 

( log/- -t- 27:/) j Log [/( /■ ) J -1- ■'. - /( // — m ) \ — log /- Log (/( r)\ 
= i-i Log [f{r)\ -H ■>. -i{ n — in } log /• — .\ ( n — m ] t:^. 

riMir oalenler la nouvelle integrale definie. considerons le conloiir 
I'ernie L. forme de la circonference C, de la circonference c decrilc dc 
Torigine avec iin raven infniiinent p(!til p, ct des den\ bords infinimenl 
voisins ah, a b' dune coupure tracce siiivant I'axe reel du point :; — p 
au point z = r {Jig. ~\). [Nous admeltrons, pour fixer les ideas, quey'i .3) 
n'a ni pole ni zero sur celte portion de I'axe reel; dans le cas conlraire, 
il suflirait de tracer une coupure faisant un angle infiniment petit avec 
I'axe reelj. La fonclion Log;; est bobtinorplie a I interieur de Y et, d'apres 
la formule gt'iiei'ale ( |0 i. nous avous la relation 



/:'-<='^- ^C--':^- -,(.,'- 



-^- 



a ,<i , . . . (( I 



rr / > f ^ -^ ' / -I / "1 "; • • • "/; \ 



L'inlegrale le long du cercle c tend vers zero avec p, car le pro- 
duit ^ Log- est infiniment petit avec p. D'autre part, si I'argument de z 
est mil le long de ab, il est egal a 'y.-i le long de a b\ et la somnie dos 
deux integrales correspondautes a [)oiir limile 

— C 'iTA--^-^ dz-^-■>-.i\.n'^\fir^\^■>-A\.o'i\f{o)\. 

II reste done 

/ Log(c);^- — '- dz ---i-iLo<-{j^ - -^ -+-2 7:fLogK-— , 
.'r, y*-' °\b,b:...b,J lJ{^)\ 



III. — \i>i'i.ii:\ri()\s ni:s Tm;nni;Mn!5 oi:.\i:!Uiv. i »9 

fl 1,1 rnriiiiilc ( ^(1 I ilc\ JL-iit 

I = ir/( n — in ) loij/- 

^,.,-,.,.,i/(„,|-,./...,,(r;ii;±;;-.;^)_4, „-„,).=. 

I'lHir iiili'i;rci' li', loni; ilu roiclc C, on pciil posiM' c — /v.''? c\ faire vaiior 

o <li' () a .'-. (>ii lire di^ la — ■ — / ^/'i ; snit /'i c) = He"''', li ol •!> claiil <lo- 

I'nncl inn- ri)nliiiiir< do o Ic lon^ dc (!. V.w i"^;\\[\n\ I.^s coorfifirnt-^ dc /' 
ilaii- la iMiimdi' |)i(''i('drnl i', nmi- ulitciinii'; la f'diiiinlc d(.' M. Jcn^i'n (i) 



^4:) --'-_ j l..-|{ d-^ = lo-|/(o)| -f- I,,-'/-"-"' 



/>i/a, . .. f>,„\ 



ofi lie fij^iiiiMil |)liis line lies iogaril limes iK'ix'iieiis ordinaires. 

Lorsqiie lii fonclinn /[z) est holomorplie a rinteiieiir de (1, il est ilaii 
i|iie Ton doit reniplaifr le produit l)ib, . . . b,„ par riinilo, el la foniiiilc 
dt'\ ieiit 



«4^) 



-'- / \n- W do = loi;l /■( o iI -+- lo-! ~ 



(^>clte relation ollVe ((da dinteressariL qu'elle ne ronfernie (pie ies modules 
des raeines de fiz) inh'i ieiires an ceicle C, el le module tie fiz) le loiii; 
Ic ce ceivde et pour le centre de cm" eercde. 

309. Formule de Lagrange. — Ln I'oi-miilc dc [.ngranjio. (jnc 
nous ;iVMiis ('[nhlie (l(';)i'i par la iikM liodc (l(^ l.iiplacc ( I . ii" 181)), poii! 
aiissi se (l<''m(»ntrcr lf('.s ai-si'-meiil an inoyen des llieort'^incs gciic- 
laiix de CaiK liv. La marclic que imtis allons siiivre e.<.t due a 
M. l!orinil<'. 

Soil /*(;) line fonclion lioloniorp'nc d.ms nn ccrlain domaiiic I) 
rcnfennanJ l<- point a. LVVpialion 

( jr) ) V \ z\ -- z — a — 2/( .: ) — o, 

ouar>l iin parainelre varial)l(% adnK^I la raeinc r = /7, ponr a ^^ o. 
Siioposons a .- o : soil (1 nn (;cr(de dc (MMiIre a et (\q. rayon r 
siliH- dans h; doniainc 1), el Icl ipic I on ail, InnI l(^ long de ce 
cercle, ! xyY.")| ■< | ; — «'; lY-cpiation |-"(;l = o aura, d'apiv'-s nn 
Jemme ('laiili pins Inml ( n" 307). Ic nuMin' noinbic de lacincs a 
rinlericnr dii conloiir (! epic It'ipialioii c — « = o, e'csl-a-dirc 

(') Ada Mdlhrnialica. t. Wli. 

G., II. 9 



iJo CIIAl'lIUi; \IV. — lO.NCTIO.NS ANALVTlyLKS 1) AI'llKS CALCllV. 

iiiio souK' raciiie. Appclons "C ccllc laciiic, cl suil Il(-3) uiic iouc- 
lioii lioloiiior|)li»' tlans le corcle C. 

La IoulIk)!! ,-,t— adiiicl uii sciil uCAc a I iiileneiir cic C, le 

III ^ ) 
poinl r- = 1^, el le resiJu {•urrcsnuudaiil csl 7^7— V • ^^'> ii done. 
I - 1 1' (^; 

d"a|>r<"'S le llu'-oreiiic i^t'ncral, 

IKQ _ 1 r \\{z)dz ^ 1 r \\(z)dz 
V\l)~ ■^-iJ^^^ V(z) ~ -i-i ,1^. z — a — ci/( z )' 

Pour developpcr I'inlegrale (jul est au second membre suivant les 
puissances do a, nous procederous exaclenient conime pour de- 
niontrer la Ibrmule de Taylor, et nous ecrirons 

I f a /"( ^ I 

)' 



z — a — a/{ z ) z — a (z — a )- 



(z — a )"-*-' z — a — xj\ 
en porlant celle valeur dans I'inlegTale, il vienl 



ou 

•-'iC/ 






■i-ij^. z — a — :xj(z)lz—a] 

Soil /// la valeur maxiniiiui dii module de y-fi^-) loul le long du 
cercle C : /n esl, par hjpolliese, inferieur a /•. M etanl la valeur 
maximum du module de !!(:;) le long de C, nous avons 



I //n\"+' i-r 



ni 



ce (|ui monlre que i\.,i+{ lend vers zero lorscjue n croit indelini- 
ment. On a d'ailleurs, d'apres les expressions memes des coefll- 
cienlsJo,J,. ...,J«, . . . , el les formules (i4 ), 

i, = U{a), ..., i„= ^ ^ ][/(a)]"U{a)[, 



111. — AI>I'L1(:ATUiNS DKS TIIKOItlhlKS liKNliUAl X. Til 

t'l nous oljlciions lo tl('\cl()|>[)cmoiil on seric sulvanl 

(5o) v^-- =ll(«)-^- > — -— ]\\(a>[f(a)]"'. 

//_ 1 

( >!! pout encore ecrlrc cclle foriniile sous une forme un pen tlille- 
rciile. Posoiis l\{z-) = <I>(c)[i — y./'{z)], ^{z) elant une fonclion 
lioloniorphe clans la inOnie rrqioii; le premier menibre de la for- 
mule (5o) ne renfrrinera plus y. el se rrJuiia a 'I^(C). (^uaiil an 
second membre, rcinar(|iions f|u"il lenfcnnera deux lernies dc 
degre /t en a, dont la soinme sera 

^ 4^ 'ri'{a)[f{a)]"[ ^—-r 4^ ;iM«)[/(«)|"-"/'(«)l 

= :^ ^r^TZTT !*'<«;[/(«)J''^"*(^0/V'i[/'«>l'-'-«'I'("'/X«)[/uOj''-'; 
= —7 -, T \'l''{a \\ /\a)\"[. 

el nous relrouvons la (ormule de Lagrange sous sa forme liabi- 
luelle (voir I, n" 189, forninle 5'>. ) 

(5i; <]>(-)= q>ut)-^ ^ <l^\a)/ia) -...-+- ^ -J-^ ) 'l.\./; [/(«;]"; -r- ... . 

Nous avons su|)pose ({ue. le long du cercle C, on a [y-f^z)] ■< /•, 
ce c[ui aura lieu si |aj est assez pelil. l^our Irouver la valeur niaxi- 
mum de |a[, bornons-nous au cas ou /{z) est un polynome ou une 
fonclion enliere. Soil .')HL(/) la valeur maximum de |y(^)| le long 
du cercle C de rayon /■ decriL du [)oinl a pour cenlre; la demon- 
slralion s appli(|uera a ce ccrcb;, pour\ u que Ton ail [ a| OIL (/•) <; /■. 
INous sommes amsi conduils a clicrclier la valeur maximum du 

ranporl — > lorsciuc /• sane de o a + oc. Ce rannorl esl nul 

pour /• = u, car si 0\l(/') tendail veis /.vvo avec /•, Ic poinl z = a 
scrail un zero de f{z), el 1' (v) scrail di\ isdjje par le facleur ^ — a ; 
ce mcme iap[)ort esl nul aussi pour r = yz, car aulremenl /(z) 

scrail un pol viiome du ni cmicr dc^rr ( n" SO')"). II s'ensuil (lue -rr:: 

' ^ ^ ' ' OK{r) 

passe j)ar une valeur maximum 'x, pour une valeur r, de /'. Le 
raisonnemenl prouve (pie Terpialion {/\g) admel une racine el une 
seule de module infeneur a /•,, [)ourvu ipie Ion ail |a[<;;j.; les 



, 



I ri CIIVI'IIKK \IV. — FOXCTIONS ANAI.VTIQIKS D'AI'IIKS OMUUIV. 

(Icvoloi)])^'!!!^'!!^ ( jo) el (5i) soul clone ap|)licablcs lanl que [a] nc 
(h'passe pas |jl, poiirvu que Ics fonelic^ns IK^'lcl <!>(;) soient elles- 
intwnes lioloniorplies dans Ic ccrcle C, dc lavon /•,. 

Ejeniple. — Soil_/( ;) = ; r(M"|iialiori ( ^() i admol la racine 



I — \ 1 — la 'X -^ V.- 



i|iii lend \ CI - '/ Imi -(|iio 2 lend \ ers Z(''i-o. I'riMuni- 11 ( :: ) — i : la furmulo ( k) ) 
doviciit 



(5>) 



\ ' 



-^ 7 — r -, — ^^ =^ ' — 7 a"X„(rt), 



\„ I'taiH le /i"""' polvnome de Legcndre (xwir J, n"'' 88, 184). Pour saxoii- 
lilt If qiiellos liiiiiles la loninilc est applicable, siip|)n«oiis a reel el superieiir 

{a -+- /•)'— I 



;i nil. Snr le eeifle d^- nnon /•, on a ('videnimrni ,'•1'*^ ( /• ; = 
el i'nii esl conduit ti clieiclier la \al('iir nuixiinum de 



( a -i- r )- — 1 



) lorsfjiic /■ 



rroil de o a -^ a:. (Je inaxiniuni a lii'ii pour /• = y'a'^ — i, el il e«t es;al ;'i 
(I — \/ a- — I. De niemc, si a est coitipris eiitre — i et -4-i, on trouve, |)ai 



un ciilcul «'li'nieiilaii I' liicn simple, que .'^Ic i /•) ^= 



a- 



Le niaxinnini 



9,/V" — «- I- / 

de — : ^ a lieu pour /• = y' i — <i-. 



ol I'ual ;"t un. 



/•--i- 1 — a- 

II est facile de verilier ces lesultats. Kn eljet, Ic radical / 1 — -2 c/ a -(- o^ , 
considere com in e fonclion de a, admel les deux |)oinls critiques «d= <^ a- — i . 
Si Ion a a > i , le point critique le plus rapproclit- de I'origine est 
ii--\^a'- — I . Lorsque rt est compiis entie — i cl -- i , les deux points cri- 
liques rt dz f \/i — a- out pour module i'linili-. 

< 111 trouvera dans le Gours litliograpliii: de M. Ilcrmite (^" edition, p. i8:) ; 
Miie discussion ires complete de lequalion de Kt'plcr c — a = asin-: par 
eeile mclhodc. On esl conduil a calculer la racine de reqiialion transcen- 
ilante e''{r — ')= e~''(/-t-i) qui esl comprise enlrc i el i. M. Slieltjcs a 
'djlciiii Ici \aleiir< 

/•( = !, UjtjCijSC) jo'i J7734, I-*- ~ o,(')()7,7 j ! ^ i()') iQvi. 

'ilO. Etude dune fonction pour les valeurs inflniment grandes 
de la variable. — I'onr etudier une fonclion f(z) pour les valeurs 
de la \iin;jl)le donl Ic niodide aiigincnle indeliiiiincnl , on jiciii 



^1 



III. — M'i'i.icvrioNs i)i:s tiii:oiii;mi:.s (.kni:h\i\. 

|)user :; = —■> cl cliidit'r la foiitlioii /[ — ) t-laiis Ic \oisiiiai;e dc 

loriylne. M.iis il rsl facile dc siippriiner cclle transfurmalioii 
iiilermi'diaiie. Nous sii|>|m»s(moiis d'aboixl f|iio Tdii pciil Iroiivci 
III) nonibre posllil 11 lei cjiie loule valeur Jinie de ;, de module 
sii|>ericiir a il, soil uii [)oinl ordinaire pour /"(r). Si, de I'origine 
••omiue centre, avec un ravon eijal a R, on decrit un cercle C, la 
lonclioii /( ;) sera regiilieic en loul point r, a distance finie, silui- 
a lexlerieur de C. Nous appellerons doniaine dii point a Vinfini 
la region dn plan cxtt'iieuic; a (1. 

(^on^idt'ions, en inenie leriips (pie le cercle C, un cercle conccn- 
liicpie C, de rayon IV>>Il. La fonction /(;), elant holomorjilK- 
tians la couronne circulaire comprise enlre C et C, est egale, 
d'apres le llieorcme ile Laurent, a la sonime dune serie ordonnee 
-iiivaiit les puissances cnlirrcs, positives et negatives de r. 



(53) fiz\ 



V 



les cocfficienls A „, de celte serie sonl independants du rayon I\', 
et, comme ce ravon pent elre pris aussi grand qu'on le veut, il 
s'ensnil rpie Ja formule (53) s'appllque a tout le domaine du point 
il I'inlini, c'esl-a-dire a loute la region exlerieure a C. Cela pose, 
nous avons |)Iii>ieurs cas a dislinguer : 

\" Lorsque le developpemenl tie J\z) ne renferme (pif dc- 
puissances negatives de :;, 

la (bnclion f{z') lend vers Ay lorsrpie \z\ augmenle indelininieiil : 
on dit (pie la fonction /(:;) est i/'guliere au point a iinjini, ou 
encore que le point a I'injini est an point ordinaire de f{z). 
Si les coefficients A„, A,, V,„_i sont mils, A,„ n'elanl pas mil. 
le point a I' infini est un zero d' or Ire ni d('J\z); 

•2." Lorsfpie le d('veloppcnient do /( z) conlient un munhie fiiii 
dc pui>sances posili\es i\r r. 

{Vj) f{Z)= i;.„-"'— l{,„_ic"' '-+-...-r-l{,- -^.\o-^ A, !. — A. 1 - .... 

le premier cocflicicnt W,,, iiclant pas mil. Ir point n I' infini est 



i3i niuMTHF: \iv. — ionctions anvi.ytioi ts d'aprks cm-ciiv. 

un pole d' oiuhr />/ </('/[:■'), ci \e jiolvnomn H,„ r'" -i- .. . . -+- 1), 3 
<'>;| \a partic principale relative a ce pole. r^or.s(iii(' \z\ aiii:;nienlc 
iiulr(ininicnl , il en est dc meino de |y\-)|, de f|iie!(|iio faron f|uc 
la \arial)Ie ; se deplace; 

3" l''iilin, lorsqiie le dt'vrl(ip|"»einont de /"(::) eonliei)! mie infi- 
nite de puissances |)ositives de z, le point a I' in fin i est un point 
singulicf essentiel dr f[z). \a\ serie formee par les puissanees 
pnsilives de z reprcsenle nne fonclion entiere G(;), (pii est la 
partie principale, dans le domaine dii point a I'infini. Nous 
vovons en parliculier rpi'une fonclion enliere admet le point a 
linfinl comme point singidier essentiel. 

Les definitions precedentes etaieut en quelque soi'te imposees 
par celles qui avaient deja ete adoptees pour un point a distance 

finie. Si Ton pose en efTet g= —,-> la fonction /"(:?) se change en 



nne fonclion de :;' , 'f (-') =/ ( T' ) ' ^^ ^'*^" ^o\\- immediatemenl que 
nous n'avons fait que transporter an point a I'infini les denomi- 
nations adoptees pour le point ^'=o, relalivement a la fonc- 
lion '-3(«'). En raisonnant par analogic, on serait lente d'appeler 
residu le coefficient A_, de z dans le developpement (53), mais 
ce serait a lort. Pour conserver la propriete caracteristique, nous 

appellerons residu relatif au point d Vinfini le coefficient de - 
rhans^e de si^ne, c'est-a-dire — A, . Ce nombre est encore egal a 



■iizij 



dz. 



I'integrale elant prise dans le sens direct le long du contour du 
domaine du point a I'infini. Mais ici, le domaine du point a 
I'infini elant la portion du plan exterieure a G, le sens direct 
correspondant est le sens oppose au sens habituel. Cette integrale 
se reduit en effet a 



I r \^dz A, , 



el, lorsque z decrit le cercle C dans le sens voulu, rargumenl 
Ao z diminue de 27: : ce qui donne — A, pour I'integrale. 

II est essentiel de remarquer qu'une fonclion ])eut fort bien 



III. — Ai'Pi.icvTioNs WK'i Tiii';or»i-:\ii:s fiKSKii vln. i 55 

rli'p r('i;iilirr(' :i I mdni, sans (|iii' \c n'sidn soil mil; ])nr oxoniiile, 

111 fdiiclion !-!-_• 

Si le pomi :"i riiiliiii <'sl tin [xMc on iiii /.I'lo pour f(:-), on poiiL 
«'criPO. dans Ic doniaiiic dc cc poiiil, 

|JL elant nn nomhrc cnlier. posilifon negalif, qui est f'c^al a Tordrp 
<|p la fonclion changr de signc, el '■^{^) otant nne fonclion rci^n- 
llrre a rinllni, (jni n'est pas nuile pour ; =: go. On en deduit 

/(-) ■= ' ?(-;' 

la lOnclidn ^ — ^ est encore re"uliere an point a Jinfini. inais son 

<h''veloppenient commence par nn lerme en --> on de degre snpe- 

f'(-) 
lienr. T>c rcsidn dc V-— <*5l done eiial a — -a, c'est-a-dire a rorcire 

de la fonclion ,/Y;) an poinl a Tinlini. L'enonce esl le meme que 
jionr nn pole on nn Z('ro a distance linie. 

Soiiy^(:;) nne fonclion iinlforme n'admetlant qu'un nombre 
lini de points singnlicrs. La convenlion qui vient d elre faile pour 
le point a I'infini permel d'enoncer, sous une forme Ires simple, 
le iheoreme g('ri('Tal snivanl : 

La sontnic des i-esuliis de la fonclion f{z) dans lonl le plan, 
y c.onipris le point a I'infini, esl nulle. 

La demonslralion est iinnif'-diale. Decrivons de Torigine comme 
centre nn cercle C renfcrmanl Ions les points singuliers dey(;), 

faulres que le |)oinl a liiilini ). Linlegrale \ fi^z^dz., prise le 

long de ce cercle dans le sens ordinaire, esl cgale an produil 
de p.-/ par la soinine des resldns rcjalils a Ions Ics jioinis singu- 
liers de /(c) a distance linie. Danlrc part, la meme integrale, 
l^risc le long du meme cercle en sens inverse, esl egaleau produil 
de 'ir.i par le residu relatif an poinl a rindni. La somme des dcu\ 
inlegrales <''tanl niillc. ii en c-;l dc niciiK' de la soinine des residns. 
Caucliv appelait rcsida integral dune fonclion /*(;) la somme 
des residns de cette fonclion pour tons les points singuliers a 



I'jI) IIIAI'ITUI: XIV. — lO.NCTIONS A.NAl.V TIQIKS d'apIUCS CALCIIV. 

(lislance finie. Lorsquil n'v a qu'iiii noinbre lini dc poinls singii- 
lieis, nous vovoiis que Ic residu inlcjj^ral esl cgal au rcslilu relalif 
au poiiil a I iiirinl cliangi' (.\c signc. 

Eweniplt' . — Sill I 



l*(;) et Q(^i elant deux polvnomes, le premier de degre /:>, lo 
secoud de degre pair iq. A Texlerieur d'un cercle C, de rayon \\ 
siipurieur au\ modules des racines de Q(3), la foncllon f{z) osl 
iinirnrnic, el 1 on pcul 1 t'cuii'C 

'i(cj elant une fonclion reguliere a linfini, qui nest pas nulle 
pour z = cc. Le point a I'iufini est un pole pouryYs), si p ]> q^ et 
un point ordinaire si p^q. Le residu sera eertainejiient nul s\ p 
est inferieur i\ q — i . 



IV. — rEUIODi:S 1)1£S IMKijI'.ALIlS dkiimi-s. 

oH. Periodes polaires. — L'etude des integrales curvilignes 
nous a revele I'existenee de periodes pour ces integrales, lorsquc 
certaines circonstances se presentcnt. Toute inlegrale d une fonc- 
lion /{z) de la variable complexe z etant une somme d'inte- 
grales curvilignes, il est clair que celte iutegrale pourra aussi 
posseder certaines periodes. Considerons d'abord une fonction 
analytique /{z) ne possedant a I'interieur d'une courbe fermee C^ 
(pi'un nombre fini de points singuliers isoles, poles ou poinls 
singuliers essenliels. Ce cas est absolument analogue a celui que 
n(jus a\ons eludie pour les integrales curvilignes (1, n" 433), et 
les ralsonnenienls s'v appliquent sans modification. Tons les clie- 
mins inlerieurs au contour C que Ton pent tracer cntre deux 
points ;^o) ^ tie celte region, el ne passant par aucun des points 
singuliers dey"( ;;), se ramenenl a un cliemin determine joignanl 
ces deux points, precede d'un nombre quelconque de lacets de- 
crits, en partant de z-o, aulour des points singuliers «, , rto, . . . , «„ 
(ief(z). Soierit A, , A^, . . . , A„ les residus correspondanls de /(.::) ; 



IV. — i'i:ki()I>i;s ih;s imkcum.ks ki.i-imks. 137 

I inU''j;iMl(' I J\:)iiz, |)iisc' Ic loiii; dii laid ciiloiiiaiiL Ic poiiil r/,, 
I'sl (.'■•^ale a it:">7:/A|, cl il<! micmk! |i(nir Ics aiilros. Lcs dixcrscs 
valciir-^ de 1 iiili'-gralc / ■J\:-)r/z soul dune com juiscs dans la 
loriMiile 

( 3<>) / J\z)clz = Im a I -i-> -/i //J, A, -f- /».. A2- . . .-t- m,v A„), 

I' (Z) t'laiil rune dcs valmirs dc cellc iiilrgralc, qui correspond a 
nn cliemin deleriniue, cL ///,, ///^i ••• elanl des nonibres cnliers 
aibilraircs, [josilils ou neyalil.s; les |)eiii>des sonl 



2 - / A 1 . vs - i A 2 , 



1.-/A,. 



Dans la |)lu[)ati des cas, les points {(,, a-,, . . ., d/t sonL des poles, 
el les periodes |)ro\iennenl dc circuits infininient |)elils decrits 
aulour de ces poles, d'oii le nom dc /J(;/iodes /to/cti/cs (pi'ou leur 
ilonue ordinairemeiit, pour les dislinguer de periodes dune aiilie 
es|)eee donl nous parlerons plus loin. 

Au lieu (I'une region du plan inlcrieure a uac courbc ferniee, 
on pciil considerer une poll ion du plan s'elendant a I'inlini; la 
lowclioii fi^z) |)eul alors avoir une inlinile de j)6les, el linleijrale 
une infinile de periodes. Si le resiilu reiaLifa un point sinyulier (f 
(le /[Z) est uul, la p«''riode eorrespondaule est nulle eL le |)oinl (/ 
esl aussi un pole ou un point sinj^ulier essenliei de I'inlegrale. 
Mais, si ce residu n esl j)as nul, le point a est un point criticpn; 
log;arillirnique pour rinlegrale. Si, par exemple, le point a est un 
I >('•!(; d'ordrc /// de fiz\ on a, dans le douiaine de ce point, 



/• "m , '^iii — l 

(z — a }'" ~^ {z — a )'" - i 
cl, par suite. 



H, 



i^in — i){ z — a )>" -' 
-i- Ao(- — «;-r- A, - 



: -Au -f- A 1 1 ;; — « ) — . 



z — n y- 



•?. 



C elanl une conslanle qui df-pend dc I'origine r,, et du clicniin 
suivi par la variable. 



l38 nUPITRE MV. — FONCTIONS ANAI.YTIOXE? d'aPRKS CMCIIV. 

En nppli(Hinnl ccs considerations generalcs on\ fonc.lions ra- 
lioniiollcs, on rend inliiiliTs nn certain nonihre dc resullals liien 
connns. Ainsi, pour que linlegralc d'line Ibnclion ralionnellc 
soil cllc-memc une foncUon ralionnelle, il est necessaire que celte M 
inlejjrale n'ait pas de pcriodes, c'esl-a-dire que tons les residns 
soient mils. Cette condition csL d'aillcnrs siifllsante. J-,'inlegrale 
definie 

admel un senl point critique z = a^ et la periode correspondanle 
est iTzi: c'est done dans le Calcnl integral que se troii\e la veri- 
table origine des valeurs multiples d<; Log (z — r?), comme on Ta 

r^ dz 
deja explique en detail pour / -^ (n" 292V Prenons de nieme 

linlegrale definie 

'^-.[^^ 

elJe adinet les deux points critiques logaritlimiques + / et — /. 
niais il n'v a qu'iine seule periode qui est r. Quand on se borne 
aux valeurs reelles de la variable, les diverses determinations 
de arc tangx se presentent comme autant de fonctions dislinctes 
de la variable x. Nous vojons au contraire comment la concep- 
tion de CiUicliv nous conduit a les considerer comme autant de 
brandies distinctes d une meme f'onction analvtique. 

Jiemarcjue. — Lorsqu'il y a plus tie trois periodes, la valeur de I'inte- 
irraie definie en un point queiconque z pent ctre tout a fait indeterminee. 
Rappeions d'abord ce resultat, emprunte a la llieorie des fractions con- 
tinues P) : Elant donne un nonnbre reel incommensurable a, on pent 
toiijours tiouver deux nombres entiers p et </, positifs ou negalifs, tels 
que Ion ait \p -r- q'x.\ <C t, ^ etant un nombre posilif arbitraire. 

Les nombres p oA q etant choisis de celte facon, imaginons que Ton 
forme la suite des multiples de /> h- ^ a. Tout nombre reel A est egal Ji Inn 
de ces multiples, ou compris entre deux multiples consecutifs. On pouna 
done aussi trouver deux nombres entiers in el n tels que \ni-^ n% — A| 
soil plus petit que t. Cela pose, considerons la fonclion 






~^d 



Cj On en trouvera un peu plus loin une demonstration directe (n* 324 ). 



IV. — I'KUlOItKS Ill-s IMi:(;il U.IS IIKIIMKS. i3<) 

It. b. r. r/i''I;iril qiintro piMc^ ililVi'ienl «, ot x, 'i (lt''-ji;;nanl <li'S noinl)rp<> ri'ds 

inroiniii(Mi-iiriil)li'«. L'iiit(''i,Mal«; / J\z)(l: ndinet \a qiKilrc ix-rloflos i, 

2. /, t3. Soiciil \(z^ la valcMir i\<- l'iiili'-i;ial(' priso suivaiit iin fli(Miiin par- 
liculicr <1«* •: • on z, el M -+- i\ / iiii nomltre cninploxc qiicleonquc. On poul 
loujouis lionvcr qiialre nonibie? cnlicis /«, n, ni' , n' tels qne le module 

.1.; la (lilV.Mvii.'i' 

\{ z)-^ in -h iiyi -\- ii m'-h «' j3 ) — ( M -4- N / ) 
s >il inlVi ii'iif a nil MDriihie pnsilif t. II siilliia potir ccia (inc idn ait 

I /« -I- H a — A I • ' ' , I /» ' -f- /t' J — B ] < - , 

en posant M -i- N« — I( :;) = A -f- iV>. 11 osl done possible de faire dt'criie 
a la variable tin rlieinin rennissant ilenx points donnes a lavance, z^, z, 

lid qne la valeur de rinlegrale I f^ :• > <"'- pii«e le long de ce chemin dif- 

IVre d'aussi pen qu'on le vent de tout nonibre donne a I'avance. Nous 
vnyons une fois de plus le role preponderant du cliemin snivi par la variable 
jiour la valour finale d'une fonction analyliqnc. 

312. Etude de I'integrale / ^ " • — Le Calcul iiilZ-ral 

(^xpliqnc de inrine de la fycoii la plus simple les valeiirs iiiiilll|iles 
(le la tonclion arc sin:;; dies proviennent en efTet des diverses 
(li'termlii illoiis de iinU'tirale definie 



5;) F(-) 






>iiivanl le cliriniii (b'ciil par la \arialilc. Pour fixer les idees, nous 
snpposerons que Ton pari de Torigine avcc la valeur iniliale + i 
pour le radical, el nnus designerons par I la valeur de celte inle- 
grale, prise siiivnnl un chemin delennine (ou chemin direct), par 
cxemple, suivaui la ligne droite lorstpie le |)oinl :; n'esl pas silin' 
sur Taxe reel el en dehors du segment oompiis entre — i el -{- i ; 
lorsque z esl reel el|^|>>i, nous prendrons pour chemin direct 
un chemin siliic aii-dcssus de 1 axe ri'el. 

Cela pose, les points j: = + i , :: — — i eiant les seuls points 
criliipics de ^''i — ;-, tout rlieinin eondiiisaiit de Torigine an 



\\i> CIIAIMTIVi: \IV. — rONCTlONS ANALYTIQl i:S d'aIMUCS CAUCIIV. 

|K>iiil c neiit eire roiuplaec |t;ir imc siiiIl- de laccls docnls aiiloiir 
(Ics deuK points crili(|iu's -;- i cl — i, siiivis du clicniin diiccl. 
Nous soinines done coiidiiils a eludicr la valeiii' de rinU'grali" 
le loiii; dim lacet. (A);isid 'ions, par o\cniplc, le lacel oaniao, 
ilccvil antonr du j)oint c n^ -i- i ; ce lacet se compose du seg- 
ment oci allant de lorigine an point i — £, dn cercle ama de 






.^^.iO'J 



-i> 



ra\i>n s dcciil de z- = \ commo centre el du segment ao. L'inU' 
i;rale le long du lacel e>l done egale a la soninie des inlc'-grales 



v'.^ 



/ 



dz 



V ' 






lintegrale le long du [lelil cercle tend veis zero avec 3, car le 
produit (z — \)f[z) lend aussi vers zero. D'autre part, lorsque - 
a decril ce petit cercle, le radical a change de signe et, dans I in- 
legrale le long du segmenl ao^ on doit prendre pour y i — x- la 
\aleur negative. L'inlegrale le long du lacet est done egale a la 

limile de 2 / ■ lorsque ; lend vers zero, c esl-a-dire a ~. 

•'0 ' 

Nous remarquerons que la valeur de celte integrale ne depend pa> 
du sens dans lequel le lacet esldecrit, mais on revientau point de 
de|)art avec la valeur — 1 |»()iir le ladical. 

Si Ton decrivail le meine lacet autour du point :; = -|- i , le 
radical a\ant la valeur iniliale — 1, la valeur de riutegrale le long 
du lacet serail egale a — -, et Ton reviendrait au point de depail 
avec la valeur +1 pour le radical. On voit de la meme facon 
tpiiin lacet decril autour du point critirpie r= — i donne — t. 
oil -f- - dans riutegrale, sui\aiit (pie Ion part de Torigine avec la 
valeur iniliale + i ou — i pour le radical. 

Si nous faisons decrire a la variable deu\ laccls successifs. on 
re\iendra a 1 origine avec la valeur initiate -t- 1 pour le radical. 



IV. — i'i;ui()i)i:s i)i:s im kcu vi.i:s di-iimls. lii 

el 1,1 \:il(Mir di' I I n I i''i;r;il(' li' loni; <l(' cos driix hirt-ls sera -\- ■>.— , o, 
oil — ■>.—, siiiviml I itidrc (l;iii>; lt'([ii('l (■(•<. dciix l;ir<'ls soul |);ii- 
cotinis. In Moiiihrc ji;iir dc liiccls doiincrii done •>ni— noiir \;d('iir 
^i- rinl(''i;i;ilr, ct iMnirncr;! Ic rndicnl ;'i s;i v;dc(ir inili;dc -f- i . ( ii 
nond)i(' impair ^\{' laccls donncia an coiilran'c (•>./// -f- i )— pour 
valeiir dc rinle^ralc. d la Nalcnr linale dii radical a roriiiino 
sera — i. II s'cnsnil epic la \al<>iii- de liiilegralc F(-) sera dc 
I'linc dcs deux l\)rMi('s 

I ' III —. I > in -^ \ ]— I, 

siiivanl (pic Ic ( licniin di'ciil par la variahlc jiciil clrc i-cni|ilacc 
par Ic clicniin direcl, piect'de d'uii noml)rc pair on dim iionihrc 
impdir ^\r laccls. 

313. Periodesdes integrales ultra-elliptiques. — ()ii |)cnl cln- 
dier dc la meine lacon Ics valours divcrscs de rinlcgralc dc'linic 

..„, ., , V[z)dz. 



J. vli(-; 



on !*(; ) ol I> ( c) soul (\v\\\ pol\ noinos en 1 1 its, don I Ic second Ia(c ), 
de dcgre /?, s'annnlc pour ii valcnrs dislinclcs dc ;, 

1{ ( c. I = A ( ; — f'l 1 1 z — e i) . . . \ z — r,., ). 

\ous suppose ions (pic Ic poinl r,, csl disl incl dcs |>oiiils ^i , ('o. .... i',,: 
r«''fpialion /<■- = H ( ;„) admcl alors deux racinos dislinclcs, + //„ 
cL — //„; nous appcllcrf)ns //„ la Nah'uc inilialc (.In ra(Jieal y'1^(--)- 
Si Ton fail d('crirc a la \ai lahlo z iin (dicniin de forme fiuclconfiuc 
DC passant par aiictin dcs points cnlupics C| , <:'o, . . . , ('it-, '■' \ alciir 
du I'adical y/Hl^r) en cliarpic |)oinl dc vc (licinin est (h'lciniiiK'o 

par la com innilc'. JinaL^inons (pic dc ( liaciin dcs poinls r, . c^ c,,. 

on trace dans l(^ plan iinc coupiiro in<l('liiiic, Ar lacon (pic ccs 
coupiircs nc sc croiscnt pas cnlie cllcs. L inl(''i;ialc, prise depnis ::„ 
jusfpi'a un point (piolconrjuc ; suivant iiu clicmin assiijclli a ne 
traverser aucune dc ccs coupurcs (on clicmin dircetV a iinc 
valcnr hicn (k'lciin im'c Mz) pour eliaipic poiiil z dii plan, \oiis 
avons encore a eliidicr rinllncnce d'nn laecl (l('-eiil. a p.iilir ilc c,,. 
aiilonr dc run cpielconipic dos jmiiiiIs eiilKpies c^^ snr la \alciir 



I '\i CIIAIMTUI-: XIV — FO.MMIO.NS ANAHTK>IK:^ 1»'M'IU:S CUCllV. 

lie rinlcgrale. Soil 2 1^/ la \aleiir ilc riiilc'i^rale jtiise Ic loiiy d'nii 
conloiir Icrinc, pailanL de ::o ^^ enloiiranl Ic soul point ciillque c/, 
la valciir iniliaic tin radical clanl ;/„; celle valeur ne depend pas 
du sens dans lc([ucl cc couloiir est decnt, niais senleinent de la 
valeur iniliaic du radical au point :■„. Vppelons en eflel aE^- la 
valeur de i'inlegrale prise Ic lon<; du mcnie contour dans le sens 
oppose, la valeur iniliaic du radical cLanl la nicnic (/^. Si nous 
laisons dccrire a la variable z le contour considerc deux fois de 
suite et dans deux sens opposes, il est clair que la somnie des 
intej^ralcs oblenues est nullc; niais Tintcgrale le long- du |)reniier 
contour est 2E/, ct Ton re\ientau point Zq a\cc la valeur — //„ 
pour le radical. L'inlegrale le long du contour decrit en sens 
inverse est done egale a — 2E|-, et par suite E|- ^ E/. Le contour 
ferme considere pent se reduire a un lacet forme par une ligne 
droite :?o'^ 's cercic r/ dc rayon inliuinicnt petit decril aulour de 



73. 




Ci ct la droitc c/^o {J^S- 7"^)' I'inlegrale le long de c< est infininicnl 



P (^ I 



petite, puisfiuc le produit (z — e;) ^ lend vers zero a\ec le 

' ' ' ^ ' )Jl\{z) 

module de ^ — ei. Quant aux inlegrales le long de ^^rt et le long 

de rt^oj leurs elements s'ajoulent, et il rtste 






?iZ)flz 

) 



IV. — I'KUioDiis iii;s i.M i;(.UM.i:s uiiii.MKS. I |3 

I iiili'l^iale rlaiil prise .siii\aiil la lii;iic ilioiU'. cl la valciir iiiilialc 
(Jii radical clanl //„• 

Cela elaiil, I'inlegialc pnsc Ic Juny d'uii chcniiu (jiii se laiiiciic 

II la suilc de deux lacels dccrits aulour dcs poinls e^, e«j, «!»l 
t'j^ale a li E^ — '- l-p> car, apros Ic piciiiicr lacel, on rcvieiiL an 
point Zti avoc la valcur — i/q pour Ic radical; el liulcj^ralc Ic lonj; 
du scconil lacel est ci;alc a — alv^. Aprcs avoir dccrit cc uouvcau 
lacel, on revienl au |)()inl j^ avcc la valcur inilialc priiiiilisc //„. 
Si le clieniiii dccril par la NariahIc se ramene a uu nondjrc pair 
de lacels decrils aulour dcs |)oiiil.s fa, c^, Cy, eg; • • ■ ■> <-'/.■> <'X suc- 
cessiveinenl (les indices a, j, ..., x, A, elant pris [)arnii Ics 
iKunljrcs I, 2, ...,/<) sui\i du clicuuii direct allanl de ^o t-'u z, 
la \alcur lie linlcyralc l(; loiij^ de cc cliciuin est. d'apres cela : 

V{z } — J -H -^l Ka— l^,Sj -+- '^{^:~ ^o) +-. • •— y-( l■^/.— E>.). 

Au conlraire, si le ciieniiu suivi par la variable pent se rameuer a 
un nondjre impair de laccLs decrils successivement aulour dcs 
points crili(}ues e^. e^, . . ., fy.. cy, pj;., la valeur de Tintcgrale est 

l^"intei;rale considcrcc adnict douc pour pcriodes loules les exprc>- 
sions 2(E/ — Ea), niais loules ces periodes se ramcnenl a (/? — i ) 
tl enlrc dies 

fj, = -2 ( Li — E„ ), oj. = -J. ( 1-2 — E,v ), . . . , oj„_, = 1 ( E„-i — 1'^,, ) ; 

il est clair en cITct f|uc Ton peul ecrire 

■2 ( E/ — I-:/, ) = VI ( !•:/ — E„ ) — V. ( E/, — E,., ) = (Mi — to/. . 

Conunc d'aulrc |)arl on a 2Eja = (0[a + ^^E,,, on voil (jue loules Ics 
valeurs de Tinlegrale dclinie E(^) au point c sont comprises dans 
les deux forinides 

V {z ) = A E„ — \ -.' niitoi-^. . .-+- /»„-! to„-i , 

/;/,, ///:>, . . ., f'i,i-i clant dcs nondires enlicrs arbitraires. 

Ce rcsultat domic lieu a un certain nomine de remai(|m> 
iniporlanlcs. 11 est a pen prcs evident que les pcriodes doivcnl 
elre indcpendanles du point z^ choisi [)our origiuc; il est facile de 



FONCTIONS ANVLVrrQIKS DAPIiKS rMCllV. 



l.jl CIIAPlTlli; \!V 

le verifier. Considerons par exeni|ilc la j^eriode al-^/ — aE^; cellc 
ix'-riode est egale a la valciir do rinlra;rale Ic long d'lin contour 
iVrnie V passant |)ar le point ;„ ft ne renferniant qne les deux 
points (-ritifpics c,, C/,. Si, pour (Ixcr li'S icK'-rs. nous siipposons 
(pTil n"v ait ancun autre point critique a linlciiCMr du triangle 
de soinnicls ;,i, e,-. e/,, ce contour fciinc- pout sc rarncner an con- 
lour />///)(•' c ni (fig- "3) et, en laisanl (liiniiiiuM" itidcfiuimcnt 
les layons des deux petiles circonferenres, on voil (pic la pi'-iiode 
est eirale an double de Tinteo^rale 



f 



v/irr-7' 



prise le long de la ligne droite rpii joint les deux points cri- 
tiques Pi, Cf,. 

II jieut arriver que les (n — i) periodes (•),. (Oo, .... i<)„^\ 
ne soient pas distincles. (Test ce qui a lieu toules les fois que 
le jiolvnotne \\(z) est de clrryie pair, pounu que le degre 

lie l'(^) "fo// infi'iieii r a - — i. I)n point r-o comme centie 

decrivons nn cercle (j de ravon assez grand pour f[ue ce cercie 
renfeime tons les points critiques, ct imaginons, pour siniplifier, 
que Ton ail numerote ces points critiques de i a n dans I'ordre 
oil ils sont rencontres par une demi-droite indefinie lournant 
autoiir de Cn daii> le sen^ direct. 
F^ Integra I e 



■/ 






prise le long du contour fernie ^oAMA;,,, lorine du ravon ^qA, 
du cercle C et du ravon Aco parcouru en sens inverse, est nulle. 
Les integrales le long de ^^o^ et le long de A:?c se delriiisent, car 
le cercle (^ renferme un nombre /?<7t/" de points critiques et, apres 
avoir deciit ce cercle, on re\ienl an |)oiMl A avec la nieme valeiir 
pour le radical. D'autre part, linlegrale le long de C tend vers zero 
lorsqiie le ravon augmente indefiniment, puisqu'il en est ainsi du 



prodiiit — 



''^) 



v/H(c 



dapres I'livpotliese faite siir le degre du po- 



iMioine V(Z): comme celte integrale ne depend j)as du ravon 
de C il s ensiiit quelle est nulle. 



IV. -- i'i;itioi>i;s ins imi:(;u \i.i;s dkiimks. i4"» 

Oi- !<• (HMiltjiir coiisid.ii'- c„AM\c„ |MMil so niineiicr ;i It siiilc 

(Jes liiccis (l('-«iil.s aiiloiir ik's points ciilifjiics ^',. r.^ c,^. (l;iii-> 

Tordre intMne dos iiulucs. Xoiis Jivons doric I;i rchiliun 



K.-^l-.-^l-:, 



(|ui |M'iii encore s ecrire 



to I — (0.> -H (On 



Ki 



y- 1-;-, 



K„ — II, 



, -^ a>,.,_, — o, 



et nous xovons (|ii<' Ics // — i pf'ilodcs tie 1 inli'grale so rtjduiscnl 
tmx /« — [i |)t}rio(les to,, dv,. • . • , w« j. 

ConsitltTons encore I inlrgrale tie foime plus gtjncrale 



i'(z) 



r 



V(z)dz 



oil 1*, Q, l{ sunt irois polyiKiino doiit It- dernier l^(^;;j no que des racines 
simples. Parmi les racines de Q_{z), quelques-unes peuvent apparlenir a 
R(.3); soienl ai, a,, ..., a,, les racines qui n'annulent pas R(x;j. L'inte- 
grale F(;; ) adinel coninic |)lus iiaut les periodes 2(Ej — E/i), 2E,- designant 
toujours rintt'grale prise le long d'un contour fermtj partant de Zq et lais- 
sant a t'exterieur toutes les racines des deux polynomes Q(z) et R(^), 
sauf €{. Mais elle admet en outre un certain nonibre de periodes poiaires 
provenant de lacets dt^crits autour des poles a,, a,, ..., a^. Le nombrA 
total de ces periodes est encore diniinut- dune unitti lorsque R(^) est de 
degre pair n, et qn'on a la relatiun 

/I 
p<q---^, 

/> et 7 t'tant les degrtjs des polynomes P et Q. 



Exemple. — Soit R(-j un polynome du quatrieme degre ayant unr 
racine mulliide. Chcrclions le nonihre de neriodes de lintL'^rrale / — " • 

bi R(j)a une racine dnnble c^ el deux racines simples e*, 63, I'integrale 



--/'^ 



ilz 



ei)<^\{z — ez)(z — e^) 



admet la p(!'riode 2E2 — 2K3, el en outre une ptiriotle polaire provenant 
dun lacet aulour du pole e, ; d'aprtis la remarque faite tout ;i I'heure, ces 
deux ptiriodes sont cgales. Si R(^) a deux racines doubles, on voit 
aussitotquc I'integrale a une seule ptjriode polaire. 

G., II. 10 



l4(J CIIM'ITIVK XIV. — FUNCTIONS AN Al.\ TKH ICS DAIMIKS CAICIIV 

Si K(.3)a line racine triplo, riiUoj;ialo 



F( 



-r 



(z — ei)\/(z — ei)yz — c^) 



admcl la peiiode aK, — >. K.. niais celle periode est nulle, d'apres la 
remarqiie geneiale. 11 en rsl do nienic si \\(z) a line racine quadruple. En 
resume, si \^(z) a line on deux racines doubles. I'integrale a une pe- 
riode ; si \\{z) a une racine triple ou une racine quadruple, I'integrale 
ii'a pas de periode. 

Tous res resultals sonl faciies a verifier |)ar rintcjjration directc. 



31-i. Periodes de I'integrale elliptique de premiere espece. 
l/inlegralc elli|>ti(|iie de premiere espece 



¥{z) 



f 



dz 



/K(^) 



ou R(5) est iin polviionie clii troisieme on dii qualrleme degre, 
premier avec sa derivee. admet deux periodes, d'apres la iheoiie 
generale qui precede. Nous allons demontrer que le rapport de 
ces deux periodes esl inia iiinaire. 

Nous pouvons sup|)Oser, sans nnire a la generalite, que R(:;) 
est du troisieme degre. Soit en efl'et R|(^) nn poljnome dn qua- 
si a esl une racine de ce poljnome, en posant 



Irieme degr( 

:; = a H » il vienl (I. n" 1 10, p. 2G0) 

dz r dy 



J v/H.(--) J 



v/R(r) 



R(y) etant un poljnome du troisieme degre, et il est evident que 
les deux integrales ont les memes periodes. Si R(^) est du troi- 
sieme degre, on pent supposer qu'il admet les racines o et i, car 
il sulfit d'une substitution lineaire ^ = a -h ^jy pour etre ramene 
a ce cas. En definitive, lout revient a etablir que I'integrale 



<59) 



Y{z) 



I s/zu 



■■)(a — z) 



ou a est diflferent de zero et de un, admet deux periodes dont le 
rajiport est imaginaire. 

Si a est reel, la propriele est evidente; si, par exemple, a esl 



IV. — i'i;iuoin:s i)i;.s imi;(.uam;s I)i;i'i.mi;s. 

niiix'ticui' a mi, I iiil(''i;ralc acJim;l Ics deux pi rnKlcs 

/• * / - /^ " I 



"47 



4 ^z{,-z){a-z) 



f 



^z(i-z)ia-z) 



(li)iil 1,1 premiere esL rt'-elle, lamli-^ (|m' la secoiicle est t'i;ale an pro- 
<liiil (le / |iar iiii iiomhrc reel. Amiine de ccs periuiirs no peul 
d'ailleiir> elr(! iiiillc. 

Siipposoiis maiiilcnanl (pie (t esl ima^iiiaire, par exemplc que 
le eoelluienl ilc / dans a est p()-<iiil'. < )ii pent encore prendre |»our 
June des pci lodes 

nous applKpuMons a (('lie iiile<;rale la lormiile do iM. Weierslrass 

(n" l281)V Lorscpie :; \aric de o a i, le faefeiir — reste |)0- 

s/z{i~z) 

silif, el le [)()iiil dallixe -—=^ decril une courbc L donl il est 
facile de se (aire une idee. Soil A le point d aflixe a; lorsque z 

iMg- 74. 



B 


A , 


\ 


//■7 
// ^^ a. 








varie de o a i, le point a — c decril le segnieiil AIJ parallele a O^ 
el de lorjgueur egale a iiii < //a'. 71)- 

Soient Op (;\ Of/ les hisscclrices des angles que font avec O.r 
les droiles OA el ()!!. ()/>' ct Of/' leurs symelricpies par ra|qiorL 
ii Ox. Si nous preuDiis pom di'lci iiiinalion de \/rt — :; eelle dont 
rarguniciiL est compris enlre o el ' • le pt)iul d'affixe ^a — z decrit 



i/iS niAiMTUi: \iv. — konctions awi.vtioi'ks d'aphes caiciiv. 

nil arc a3, allaiil d'uii point a sur Op a iiii poiiil [j siir ()y; Ic 

point decrira done nn arc a'Jj' allani dun poinl a' dc O// a 

un point jj' dc O (/ . La forinule do A\ cici'S trass nous donnc lei 



z, r 



/- ( 1 — ^ ) 



Zi ctant raffixc d'un |)olnt sitne a I'interieur de tout contour con- 
vexe cnveIo|ipant I'arc a'^'. II est clair que ce point Z, est situe 
dans Tangle //Oq\ ct cpiil nc pent t;lrc a Toriginc; so/i argument 

est (lone eompiis entre — - ct o. 

On pent |)rendre j^onr scconde periode 

on, en posant :; = r//, 

Pour appli(|ucr la formulc de M. Weierstrass a cetle intcgrale, 
rcmarquons que, t croissant de o a i , le point at decrit le seg- 
ment O A et le point d'af(i\e i — at decrit le segment egai et pa- 
railcle allant de ^ :^ i an point C. En choisissant convenablenient la 
valeurdu radical, on volt comme tout a I'lieure que Ton peutecrlre 



r dt _ 



Zo etant une quanlite imagluaire dilTercnte de zero, dont Vargii- 

- , , ,.,<), Z., 

enl est compris entre o et -■ J^c rannort des periodes — ^ ou^ 

' -2 ' ' ' ill Li 



ni 



est done imaginalre. 



EXERCICES. 

I. Devcloppcr la fonclion 

y =z - {x -\- \/x'^ — i)'" -H. - (x — '^x'^ — i)'", 
suivant les puissances de a*, m etant un nombre quclconque. 



KXERCICKS. 

Trouvcr !<• lavmi dii corcic do coiivcr-'cnco. 



•49 



"2. Tioiivl'i- les dilVoients <l('"voli)i)niMmMit-i do \,\ fdiuliou . 

" (-24-,)(-_2)' 

suivanl Ics puissances positives on negatives de z, d'ajnes la position du 
point z dans le plan. 

',i. Galculer I'integrale difinic / :;-Log| :^— — \c/z le l(jng dun cercle 

de rayon egal a •?., decrit di; loiigine pour centre, la valeur initialc du 
logarithnic an piiint c = •>. etant reelle. CaUuIcr rinl('i;rali' dclinie 

dz 






le lung (hi nienie contour. 

A. Suit /( c I une fonction holoniorphe a linterieiir d'unc courhe fer- 
inee C renfernianl I'origine. Galculer I'integiale defiiiic / f'(z)Lo<^zdz, 
prise le long de la courhe C a parlir d'unc valeur initialc ;;i,. 

a. Demontrci- la forniule 

dt \ .'\ .5 . . . ( 9.n — I) 



L 



en deduire les integrales definies 



■>.fi.(j...'i/i 



dt 



( A r^-+-2B / + €)"+' 



0. Galculer, au nioyen de la theorie des residus, les integrales definies 
suivantes : 



rsin wj .r d?' 

^ H- » 

/ cosnr.r 

/ r ""*"' 

— so I -^ -t" 

c 

, / _ {x''-—i'6ix 



f 



(.r2 — 2 ^ Lc — a- — a- )''-^' ' 
cos J7 dx 

— xy 



f 



dx, 
sin a .r — sin b.r 



1)1 et a etant reels, 



a etant reel 



a el 3 etanl reels, 



.7- 1 o e: r dx 



dx, 



.'o (i-f-^-^)^ 

a et h I'tant reels el positifs. 



lONCTIONS ANAI.VTIQl i:.< !) APKES CAICHV. 



I30 ciiAPnni: \iv. 

Pour ovaliior celte deinierc iiUi'irralc, on inleirro la fonclioii 



Ic long ilii contour de la figure fnj. j 

\n\<i I ■ 7; -! ; e«t egale, quand ellc a 

. '. A -i- ( I A — C ) co« 'i ' 



7. I.'intesrralc defii 



une valcur finie, a i > t etanl ejjal a ±1, et clxjisi de telle facon que 



le coefficient de i dans 



v/ac 



soil posilif. 



8. Soient F( .3 ) et G(z} deu\ fonctions Iioioniorplie?, et z = a une 

racine double de G(-j = o, n'annulant pas F(^j; le residu correspondant 

, ¥(z) . , , (jF' ( a)G'' (a) — -iF ( a)G"' ( a) 
de rz est esral a 



G(^) 



3[G"{a)\-^ 



F(z) 



Le residu de f-p: -v pour une racine simple a de G(z) = o est de 

[G{z)y- 



ineme egal a 



F' ( « ) G' ( « ) — F { a )G"( a ) 



[G'(a)]3 
9. E)emontrer la forinule 



r 



dx 



a) \/ 1 — x^ \/ \ — a- 



10. On considere Ics integrales 



danslesquelles 



I'integrale etant prise suivant I'axe reel, avec la valeur positive du radical, 
et a etant un norabre complexe ou un nombre reel dont le module est 
superieur a un. Preciser la valeur que Ion doit prendre pour \/ 1 — a'-. 

S et Si designent deu\ contours formes de la maniere suivante. Le con- 
tour S se compose dune droite OA (que Ton fait grandir indefinimenl) 
placee suivant Ox, du cercle de centre O et ile rayon OA, enfin de la 
droite AO. Le contour Sj est la suite des trois lacets qui enveloppent les 
points a, b, c, dont les affixes sont les racines de I'equation ^^-^-1 = 0. 
Etablir la lelation enlre les deux integrales 



r " dx r dl 



y/i -i- ar'» 
^ laquelle on est conduit par cette comparaison. 

11.. Ya\ integrant la fonction e-'~' le lonir du contour du rectangle forme 



KXKUCICKS. 



par les ilruilcs >• — o r - h. .r — i- R, x — — K, cl liiisaiit noitro 15 
indi'-liiniiKMil . I'lahlii' l:i tclalinii 



/ e~'' COS xbx dx — y -g-'''. 



\-l. «.>n iiilc^ro la tniiriinn ^---j'"', dii a c>l rocl cl positif, Ic l(jii- 
(I'tiii coiilitiii- foniic par ii'i rayon <),V placi- •^iiivaiit O.r, (run arc di- 
cercio AIJ ciccril tin pciim () pour centre et 0.\ pour ravon. el uti 

-' ^ ~ 

rayon BO lei que rani;lc 7. ~~ AUli soil cr.mpri> entre o el - • En faisaiil 

croilre OA imleliainienl, tleduire du resullal ul)lenu les inlegrales definies 

r-f- X . ^ I- 00 

u"-^ e-"^"^ COS hii (III . I ti'-'e-"">i\\/ji((/u, 

a el b etaul reels el |)o~itil"-;. Les foruiiiles oliteuues subsislenl pfoir 

a — , poiirvii (lue Ton ait n Ci. 
■1 

\'.i. Soieul /n, ni\ 11 des nonihres euliers posilifs {in <^ n, m' Z n > 
lUablir la fniniule 



12 III filll' 



cll 



77 r / v) /n -f- I \ /■ 2 m' --- I \ ] 

col - — col TT . 

■2 n I \ 2 n I \ -xa / j 



li. Dediiire de la forniulc precedenle la fornmle (I'l-^uler 



r^^ (i'l'dt _ 
.'0 I -I- f" ~ 



. / -2 Mi -4- I \ 

in sin 

1.'). Si la parlie reelle dt; a esl po^ilive el inferieure a I'unite, on a 

' e«-^ dx 77 



/ 



I -+- e-^ sinrtTT 



(Jn peul le deiiiiire de la foiuniit; iQ, pai^e iu3, ou inlegrer la fonc- 

(>az 

lion — "- le loni; dii contour du reelanijle i'lirnn' iiar les droites r = o. 

\ — e- ' 

y — i-r., X =z -^ \\, x =^ — W. el fair(; ei nit r<' en-uite H indenniinfiit. 
l(i. Di iMonlrer de tneine la forniule 

gax ghx 



f 



7:(cola7r — col At: ), 



les parlies reelle? de a el de elanl positives el |)lus petiles que uii. 



IJi CHVIMini; \1V. — I itNCTIONS ANVI.VTlQri.S OAI'UKS C.MCIIV. 

[On prciuliit pniii- conirmi- (I'inio^iiilion le rectangle forme par les 
droiles >• = o. r — -. r = l{, .r — — R, ol rmi se servira de I'cxercice 
precedent.] 



17. De la fonmil 

1 



(i-h z)" , . n(n — \) . . .(n — k~n\) 

dz = 'i-L 



^ ^^•-^' \.x...k 

(C) 



oil n et k sent de* nombres entiers positifs, el C iin cercle ayant pour 
centre I'Drigine, dcduire les formiiles 



/ {■i.C.0%11)"-^'' 



Ui — \M n — 'X) . . . ( n -^ k ) 

cns( // — k ) a all = - — -. ; 

\ .1. . . k 



/" ■ X-" dx 1 . 3 . 5 . . . ( 2 « — I ) 

/_^ ^/ , _ .^2 " " -2.4.0. ..2/J 

[On pose z— e-'", pni< co?,u^=x. et Ton icniplace n par 71 -f- A' et 
k par n.\ 



*18. I/integrale definie 

d'^ 



'^{x)-- j 



I — a ( a; -i- i/.r- — ■ i cos o ) 

quand elle 11 uiic valeiir (inic est egale a =: — " > siiivant les 

V I — 2 a r -4- a- 
positions relatives des den\ points y. ot r. Dednire de la I'expression du 
«"■'"' polynome de Legetidre, due a Jacohi, 



X„ = - / (r -f- v'-'- — I coso))" d-:,. 



do 

' X — a -4- Jx^ — T cos o 
deduire du resultat la formnle de Laplace 



19. Elndier de menie rintegraic definie / , '_ ■> et 



^"=i } /^— ^TTTT' 

•• ' ( X -+- v/.r- — 1 coso I 



oil £ — rbij suivant que la pailie reelle di> r est positive ou negative. 
*20. Elabiir cette derniere formule en integrant la fonction 



z" >-' v^i — '^^^ — ^' 

ie long d'un cercle ayant pour centre Torigine, et dont on fait grandir le 
rayon indefiniment. 



i:\i;iu;i(;i;s. 



i53 



'r^l. Sommes de Gauss. -- Snii T, — r " in ci .v ciiini miiii- i ci S„ la 
tiniiic To-f- Ti -^ . . .-r- T,,-]. llt'inonl I (M- hi iMiiiiiilr 



S„ 



(i-i- i){i-^i^") 



^.. 



[On ii|>|)li(|iii' !<■ lli(''(ncnn> dcs n'-sidiis ;"i hi fonrlioii o(c)=^ 



e^Tziz . 



<Mi prenanl pour ci^ntour ihiiih';;! alion h'« coles dii rectani^Ic^ forirK: par les 
droilcs .r — o, a: = «, i' — H, r — — U, en y joijiiiaiil din\ rh;mi-cir- 
roiiferences de ravnn t di'criles (h;s points .r = o, ./■ — /t pour cenlres, 
afin d'oviter les poles z ^^ o, z — /i de o( J): puis on fait croitrc H inde- 
liiiiinciK. I 

22. Soil /"(;:) line foni'l ion liolnmoiplie a linli'iiriir d'lin cnnloiir f(;i'nie F 
renlerinaiil les points a, ^, c, ...,/; a, 'i, ...,/. ilant dc^ noinhres en tiers 
posilifs, la somme des residus de la ronction 

relatifs aux poles a. b. r / est iiii polynonie F(.r) de degre 

a -(- P -^. . . -r- /. — I , satisfai~aiil aii\ re hit ions 



F(b)=/(b), F'(b)^-/'ih). 






[<)ii s'appuie sill' la ichition F|.ri= /'{.r)-:- ; / 's-i z ) t^/z. 

'23. Soil y'l c I line Iniictioii liolnmoiplie a I'inteiieiir dun eercli.' C de 
centre a, Soienl daiiti-c jiart ^,. o.^. .... a„, ... him- suite indelinie de 
|)oints intericurs a cc cercle C, le point (t„ avanl pour liinite le point a 
lorsque n croil indelininient. Poui' tout points inlerieiir a G, on a le deve- 

li)|)penienl 

// 

/( z . -/(a^ ) -4-. .-f- (c — rt, jfc — «., ) . . . ( ;; — r/.,_, ) V l.^-; -i-. . ., 

^^ r „ ( a/, ) 



V „{ z) ~ i z - <■/, ){ z ~ (lii . . . { z — n„ ). 
\ h\i iii;.NT, .loiiriKil (If Mdtht'-iivil icjuex, 5'" sriie. I. N III. p. J'/i.) 
I On s'appuie sur la fdiniiile -uivaiili-. larile a \ ('TirhT, 

I I X — a\ 

z—x z — «! (z — a\){z — a») 

(■r — ff- i). . .(.r — a„_,) ^ \ (.r — c?,). . .(.j «„) 

(c — ax)..Az — (in-\){z- a,,) = — .r (3 — <-/,).. .(g — a„) 

el Ton jirocede conimi' pnur I'tahlii- hi fiprmuli' de 'I"a\lnr.] 



l")4 illVIMTHi: \1V. KONCTIONS ANAI.YTIOVIS K.M'HKS CAICIIV. 

•il. Soil Zo = a — hi iine racinc d'orclre n «lo roqualion /"(c) = X -^ Y t = o, 
la fonrtion f{ z') t'Mant liolomoi|)lir clan« le v(>isinaj;e. l,c |)oinl x — a, y = h 
osl III) |tniiii niiiltipli' ddnlre n (!<'> (I<'ii\ couilit's X = o, Y =: o ; les lan- 
gentes en ce point a cliaciine cle cos combes ferment unc rose des venl< 
et les ravons de Tune sent les bissectiices des rayons de 1 autre. 

■T.\. Soil /( ^ t — X -t- A' = A,, -'" -r- A, ^"'-' -I-. . .-^ A„, nil polynomc 
d'ordre m a cooHlcients qiielconques. Toutos les asymptotes des deux 

A, 



courbes X — o, Y = o passent par'le point d'affixe 
posees ctuiimc Ie< ilroilcs de rexercicc prt'-codent. 



m k 



1 et sont dis- 



'26. Serie de Burmann. — Klant donnees deux fonctions /(.r), V{x\ 
d'unc variable .?-, la lornnilo dc Burniaim donne le developpement de I'iiik' 
d'cllis siii\anl les puissances de 1 autre. I'our preciser le probleme, pre- 
iioii* line racine simple a de I'cqiiation F(.r) = o et snpposons que ie-^ 
deux lonctions J\oc) et F(a7) soient liolomoi|>lies dans le domaine dii 
point a. Dans ce domaine, on a 

F(a') 



X — a 



o(x) 

la fonction o(.r) etant re^iiliere |)our x = a. si a est racine simple 
de F(j"i = o. En rei)rcsenlaiil F(.r) par y, la relation preccdente est 
cqiiivalenle a 

X — a — _/c.(j") = o 

et Ion cfi raniene a calcuier !e develo|)|;emeiil de f{x) snivant les puis- 
sances <le r ( I'orinule de Lagrange^ ). 

*27. Equation de Kepler. — I/equalion z — a — e sin^ = o, ou a tl e 
sont deux iioiiibi es posilifs, a < t, e < i , ailmet una racine reelle comprise 
entre o et -, deux raoines dont la partie reelle est comprise entre mir 
et (/n -^ i)-, lorsquc m est un nombre positif pair, ou negatif impair ; si rn 
est un nombre positif impair, ou negatif pair, il n'y a aucune racine dont 
la partie reelle soil comprise entre hit. et {m-v-i)~. [Biuor et BougrEX, 
Theorie des fonclions elliptiques, i" edit., p. igg.) 

[Oil etudie la courbe decrite par le point u = z — a — e sin ;;, lorsque a 
variable z decrit les quatre cotes du rectangle forme par les droites 
.r = m~, X = (m -+- i)~, y = -+- R, j = — R, R etant un nombre tres grand.] 

*28. Pour des valeurs tres grandes dc in, les deux racines de I'exercicc 
precedent dont la partie reelle est comprise entre -iniT. et (2//H-i)Tr soni 

a peu pres egales a im- - — '- — t log ( - ) -r- log {■iin--\ j • 

[GoiRiER, Anna/es de I'Ecole Normale, 2^ ierie, t. VII; p. jS.] 



CHAIMTRE XV. 

FONCTIOXS L'MI()[IMI-:S. 



I>;i premiere parlie ile cr (^liapilic fsl euDsacreea la (h'-inon-itia- 
lion i\('< llieoremes gent'raiix do Weierslrass (') el de .M. ^]llla<;- 
Lefller sur les foiiclions enlieres, et les fonclions uiiifoniies ayani 
line infinite de points sinmiliers. J'en ("ais ensuite ra|)plicalion 
aiix fonclions ellipli(pii'>. ,\v m- pouvais son<;er a de\ elopper ccllc 
llieorie d'nne (aeon (|iiel(|Me |)en complete dans iin petit tiotnbre 
de pages; aussi me snis-je borne a indupier a grands trails les 
points essenliels, de facon (|ne le leclenr puisse se rendre coni|)tc 
de I'importance de ces tonclions. (^iianl a ceux (|iii vondioni 
pousser plus loin letude dfs I'onctions ellipliqnes, on ci\ faiie des 
applications, un simple Coi//s d'A/ia/yse ne sauiait Iciii- -^nKire : 
lis snonl loujouis ohligt'S d avoir reeotirs atix I'lailes specianx. 



I. F\CTEUKS f^l{IM\IUi:S DK \V1:II:RSTRASS. — THIiORE.MI-: 
Di-: MITTAG-LEI'ILER. 

'Mo. Expression d'une fonction entiere par un produit de fac- 
teurs primaires. — lout ijoivnonic de degre /n est «'gal an prodnil 
d'une conslanle par ni faclcnrs de la forme x — r/, egaiix ou ine- 
gaux, el cetle decomposition nut en <'-vidrnce les racines de ce 
polvnome. Eiiler avail ohlenii le premier ponrsin:; un de\elo|)pc- 
inent en prodnil inlini analogue, mais les Caclenrs de ce prodnil. 
<jue nous v(Mrons |)liis loin, sont dn second degre en :;. Cauehv 



(*) Les theoremesde M. Weierslrass qui vontdire exposes onl ele publies dans 
son Memoire sur les fonclions uniformes dune variable {Menioires de I'Aca- 
demie de Berlin, iH-jtl). M. Picanl a doniiii une liaduclion de ce Mt-moirc dans 
les Annates de I'licole normale superieure (iS^cj). L'ensembie des reclicrches de 
M. Mittac-Lenier se trouve dans un Memoire des Acta Mallieniatica (I. It). 



i56 ciiM'irui; \v. — i-onctions imkormes. 

avail leconnii ijnc, dans certains cas, on est condiiil a adjoindre a 
chacMin des faclenrs binomcs, lels (|nc.r — r/, nii ("arlcur exponen- 
liel con\c'nal)lo. Mais c'est M. Weierstrass qui a Iraile le premier la 
question dans loiile sa i;tMn'M;ilile, en monlranl que tonte fonclion 
enlirre, adnietlant iinc infinite (ic racines, j)eut elre exprimee par 
Ic prodiiil dun nombre infini de faclenrs, donl chacnn ne s'an- 
nule que pour une seiile valeuf de la van;d)le. 

Nous connaissons deja une fonclion entiere ne s'annnlant pour 
ancune valeur de :;. c'est c^ \ il en est de meme de eo^-\ ^{^) etant 
iin polvnoine <»u une fonclion enliere. Recipro(juemenl, loule 
fonclion eniirre qui ne s'annnle pour aucune valeur de z est de 
celle forme. \Ln elTel, si la fonclion enliere G(s) ne s'annule pour 
aucune valeur de c, lout point z ^= a est un point ordinaire pour 



G(-) 



(pii csl p;ir conse(|uenl une fonclion enliere ^i (^j. 



G(3; 



^i(-); 



en inlei^rant les deuv niemhres enlre Ics limiles ;„, 3, il vient 

Log ^^^ = j gi{z)dz=~^ g{z) — ^q{z,), 
g{z') etanl une nouvclle fonclion enliere de ::, et Ton a 

I.e se(;ond memhre esl bien de la forme voulue. 
Si une fonclion enliere 0(;) nadmet que n racines «,, 
a>, . • .. «//, dislincles on non, la fonclion G(c) est evidemmcnl 

de la forme 

G(-) = ('^— a, )(- — a, I . . . ( z — a „) e^'^"\ 

(^onsidt'rons mainlenant le cas ou I equation 0{z) ■= o admet 
une infinite de racines. Comme il ne peul y avoir qu'un nombre 
fini de racines de module inferieur ou egal a un nombre 
quelconque R (n"299), si nous ranfj;eons ces racines de facon que 
le module n'aille jamais en diminuant, chacune des racines figure 
a un rang determine dans la suite obtenue 



(I) 

oil Ion a a 



f/o 



H\^\a 






et ou \a, 



O'lt+l^ 



augmenle indefiuiment avec 



I. — r\( iKi us ntiM viius ni: \vKii;iisrii ass. i jj 

liiiilico n. Nous sii |)|)(tscr(tiis (|iic cliaciiiii' (!(■> laciiics limine dans 
celle suiU" aiilanl dt; lois (|ii<' ICm^c son <lc<;r('' dc innlli |di<i tc, ct 
que I'on n v lail pas lii;nicr la racinc c^-o, si G(^oj = o. Nous 
allons d al)Oid inonlr<'r coninicnl on |)riiL lormcr une fonclion 
enticrc Gi(c) adniellanl poni* lacines Ics Icinics dc la suite (i), 
et celles-la sculmicnl. 

Lr prodnil ( i ^]e^'', on O./c) di'signe un polynome, est 

une lonchon cnlicre (|ni no s'annult; (pie jionr^ = a„. Nous pren- 
drons j)onr Qv( ^j "" polvnoine de deyre v que Ton delcrniine de 
la rnamerc suivanle; nous pouvons ccrire Ic produil |)rec(''denl 

Qv(r.i-i-l.u!,'(l-— ) 

e ^ "" , 

et en rcin|)la{;anl f^og ( i — — j par son developpement en serie 



enlirre, le developpement de I'exposant commencera par un terme 
de (leg re v -!- i . pourvu qtif^ I'on prcnnc 

Le noinhre entier v est' encore Indelerniint;. Nous allons raontrer 
qu'on pent choisir ce nonibre v en fonclion de n de facon que le 
produil inliiii 



(a) J-J(,_A ,0... 



n=l 



soit ahsolunicnt el unifoiiiK'incnl convergent dans lout cercle C 
de rayon K, decrlt de lorigine conime centre, aussi grand (|ue 
soil R. Le nonibre K tjlant lixe, soit a un nombre positil inlerieur 
a un. Mettons a part dans le produit (2) les facteurs correspondanl 

aux racines rt,^dont le niodulf- iie depasse pas — • S'il y a ry lacines 

satisfaisant a cette condition, le produit des cy facleurs 

n - 1 

repr(}sent(i c'videninienl uiu; loiiclion enticre de z\ considtjrons le 



I 38 



riiAi'irui: xv 



Rimini I (K'^ facloiirs ;i pnrlir dii [(j -;- i)' 



FONCTIONS LNIFORMKS. 
me 



"'^-no-^j 



ey-'-t. 



« = 7 + i 



Lorsiitic r rrsto a rinIi'ri(Mir du cerxle de rayon R, on a ] :;| !^R, 

ol coMunc lOii a | f7« | > ■• lorsqne n y- t/ , il s'ensuit (pie I'on a 

aiissi I c| -^ a| (7,, |. Un lacleiir de ce |)n)(liiil poiil done sccrire, 
d'aprcs la lacon donl on a pris Qv(^)i 

V «/// 
si I on designe ce factenr par i -{- i/,i, on a 

__L/±)^-*-__Lf±)''^-^_... 

Tonl revienl a denionlrcr qn en clioislssanl convenahlemenl le 
nonibre v la serie donl le leime general esl U„= j?/«| est nnifor- 
mement convergenle dans le cercle de rayon R^ (n° 284). D'une 
facon generale, m riant nn nonihre qnelronqnc reel ou imaginaire. 

on a 

|e'"— I i < ei'«l — i; 

on a done, a fortiori, 



U, 



>V-4-l|rt„| V V-f-2|rt„| V-(-3|(/„| '"/ I 



Oil, en observant que \z\ << a|6r«[, lorsfpie \z\ esl •< R, 

U„< e''-^''"'>l i-«— I. 

Mais, X elanl nn nonibrc reel el posilif, e-^ — i est inlerieur a xe-^'; 
par suite, on a encore 

1 I z !•/ + ■ 1 



u„ 



a,. I 



>V-!-l \rl„\ 1— X. 



-4- 1 I rt,, I — a 



Pour qne la serie donl le lerme general est U« soil uniforme- 
menl convergente dans le cercle de rayon R, il suffira qu'il en soil 

- V+l 

de menie de la serie donl le lerme sfencral est — • S'il existe 
nn nonibre enUev p lel que la serie N^ — soil convergente, il 



I. — r\<:Ti;nis imum vini;s di; \M;ii:u<rn \ss. iSg 

siifdra (If I ) ft' I M lie v = /; — i . S'll ii 'ex isle |).is ci<' nomhrr c]\\if\- /> 
|<)uissunl (le eclle propiu'le ('\ il siilliiti de pifiidic y -^ /i — -i. 

I^ii cUcl. la S(''ric iloiil le leniie :;et)eial esl — csl uniloi-nu'iiiciil 



coiiveineiilr (laiis le eeielf <le raxon l», car ses lerinos soul nins 
petit-; f|iie cciix <le la serie 7 



, el la laciiie //'""' ilii lerme 



^•'•iieral <l(! celle derniere sene, oil 



R 



|> lent! vers zero l()i>(|iie /i 



aiiL;ineiite indt'liiiimenl (- '. 

Oil pent done loiijoiiis clioisir le iioiiil>re eiilier v de laeoii (pie 
le |»rodiiIl iiiliiii Fo(;;) soil absoliimeiit el niiiformemenl eonver- 
i;enl dans le ecfcle de ravon R; ee produit peul elie reinplace |)ar 
la soinine d iine seiie iinifornn'iiieiil coiivergente ( n" !2(Si) donl 
tons les lerines sonL iKdomoiplies. Ce pioduil Fo*^-^) est dbnc 
[iii-iiieme iiiie JVjiiction lioloiiKu plie dans ce cerele (n" 298). Fn 
imilli|iliaiil 1*\, ( c ) pai' Ir piodiiiL V, { z) qui lie conlienl (|u'iiri 
notnbre liiii de facletiis lidloiiioi-plies, on voit que le ])rodiiiL 
infini 



<3) 



G,(^) 



n{'-~)^'"- 



est lui-iiieinc ahsoliiincnt el iiniforiiKMiieiil convcfgenl a I'inle- 
lieiir (111 cerele C de rayon R, el represenle iine I'onelion liolo- 
inoi|)lie tlans ce cerele. Comma le ravon R |)eiil «}lre pris arbilrai- 
renient t;[ que v ne di'-pend |)as de ce rajon, ce prodiiil esl line 
tonclion enti(''re G,(^) (jiii admel pour racines ies dillerenls 
termes de la suile (i), el celles-Ia seulemenl. 

Si la fonclion enliere 0(;;) admel en oulie If poiiil ; =^ o 



(') Soil par exempie a„ = log/i(rt ^ 3 ). La serie dont Ic termc general esl 
(\osn)~F esl divergenle, quel que soil le nombre posilif p, car la soriimc ties 

. n — I 

(n — I) premiers lermes esl superieure a —. » expression qui aiisnicnle in- 

' ^ ' ( liig/j )/' 

(tefinimeiil avec n. 

(-) M. Borel a fail rcmarquer quil suffit de prciulrc pour v uii iioinbre lei 

^„^ . , . , ^ ,,.._ ■-„.-. — .. , ^^^ | — I esl ronvcri;eule, 

R 



\t>giilog 



= n l"..l. A parlir dune valcur 



car le lerme general peul s'ecrirc e 

de H assez grande, — j^ sera superieur k e-, cl le lerme gend'ral infericur a — , 



I fin 



CIIMMTUK \V. 



KOXCTIONS IMFOIiMKS. 



coniine zero (I'didio /), lo (nioliciil ^Typ-^^ est ime foiiclion ana- 

Ivlique qui iradiucL dans lout Ic plan ni |)ole, iii ya'-vo. C'est done 
line lonclion enlierc de la fornii- e^'"\ » (^^ olanl i\n poljnome 
oil line fonclion enliere, et nons avons pour la fonclion G(s) 
lexpiession siiivanlc 



(4) 



G(-) ^ ef^^~^zP 



n 






La fonclion enliere i,'(^) peul a son lour elre reinplacee d'une 
infiDite dc nianieres par la somme d'une serie UDiformenient con- 
vergcnle de polvnomcs 



'(-) = . ^i(^)-t-^?(-) 



Sr„(z)-r-... 



et r.i fonmile pri'-cedenle peul encore s'ecrire 



G(.-) 



n 



"'11" 

n = I 



jQv(.-)-i-5-,.i;i; 



les faeleurs de ce produil, donl eliaciin ne s'aiinule ([ue pour ane 
valeur de :;, sont a[)\:)e\cs facleiu^s prima ires. 

Le produit (4) elant absoliiment convergent, on peut ranger les 
faeleurs primaires dans un ordre arbilraire, on les associer entre 
enx a volonli'. Dans ce produil, les polvnomes Qv(^) ne de- 
pendent que des racines elles-memes une fois qu'on a choisi la 
loi f|ui fait connailre le nombre v en fonclion de n. Mais le fae- 
leur exponenliel e^''^^ ne peul elre delermine si Ton connait seu- 
lemenl les racines de la fonclion G(s). Prenons par exemple la 
fonclion sinr:;;, qui admet pour racines simples tons les nombres 

enliers, nosilifs ou ne^alifs. Dans ce cas, la serie > — 
' ^ jJ* \a„\ 

vergenlc-, on peut done prendre v = i, et la fonclion 



est con- 



G(z) 



n 



- ]e" 
n 



OU Taccent place a droile de EI indique qu'on nedoit pasdonner a 
I'indice n\a valeur zero ( ' ), admel les memes racines que siuTz:;. On 

(') Ouand celte exception doit etre ohservee dans une formule, nous le rappc- 
lons en faisant suivre d'un accent ' la caracteristique du produit ou de la sommc. 



I. — KACTEIRS PniMAIRKS DK WEIERSTRASS. l6l 

a done slii-c = eo'= G(:;), mals le raisonncmcnl ne nous apprend 
lien sur le facteiir <?o'=^ Nous demonlrcrons plus loin que ce fac- 
te ur se reduil a tz. 

310. Genre d'une fonction enti^re. — luanl donnee une suite 
indefinie quelconque <7, , r/o, . . . , (t„, . - . , ou \a„\ augmente ind^- 
fininienl avec n, nous venons de voir comment on peul former une 
infinite de fonctions entieres admettant pour zeros tons les lermes 
de celte suite, et n'en admettant pas dautres. Lorsqii'il existe un 
nombre cnlicr /> lei que la serie S|«,;|~/' soit convergenle, on pout 
prendre lous les j)olvnomes Qv(^) de dcgre /; — i. 

Etant donnee une fonction entiere de la forme 

11 = 1 
ou P(;) est un polvnomc de degre /> — i au plus, le nomhi'c /> — i 
est dit it; ficnre de cette fonction. Ainsi la fonction I I ( i —\ 

n = \ 

est de genie zero; la fonction ~-^^ ecrile [)lus liaut est de genre 

un. L'etude du genre dune fonction entiere a donne lieu depuis 
quelques annees a un grand nombre de travaux(' i. 

317. Fonctions uniformes avec un nombre fini de points singu- 
liers. — - Lorsquuiic fouclion uniloirnc V [ z ) na dans lout le plan 
qu'un nombre fini de points singuliers, ces points singuliers sont 
necessairement des points singuliers isoles; ce sont des poles ou 
des points essenliels isoles. Le point ^ ^ cc est lui-meme un point 
ordinaire ou un [)oint singulicr isole (n"3IO). Inversement, 5« w/?^ 
fonction unifonne nd clans tout le plan ( y conipris le point a 
V in fini) que des points singuliers isoles, ees points singuliers 
sont en nombre fini. \in elfct, le point a I'infini est un point 
ordinaire pour la fonction ou un point singulicr isole. Dans les 
deux cas, on pout decrire un ccrfle (\ de in\on assez grand pour 

(') Pour les rcnscignemenls bibliograpliiqiics. voir I'Ouvrage dc M. K. Bouel : 
Lerons sur tes fonctions enlieres. 

C, II. II 



kom:tions lmformes. 



ibi ciiAiMiut: XV, 

qua I'exlerieur cle ce cercle la toncllon u'ail pas d'aulic poiul siu- 
giilici" que le poiul a I'inlini lui-uieuie. \ riiilcrlcur tlu cercle C, 
la foncliou ne peul avoir (|u uii uouibrc lini de |)oinls singuliers; 
cai', si elle en avail iine iufniile, il y aurail au iiioins un poinl 
liniile (n^SOQ), el ce poiul liuiile ne seiail pas un point singulier 
isole. Ainsi uiie jonclion aid forme qui n'a que des poles en a 
nrcessairement iiii noinbre Jini, car un ])ole est n\\ point singu- 
lier isole. 

Toule fonction unifoime qui est reguliere pour toutevaleur 
finie de z, et pour z- = yz, se reduit d uiie constante. — En 
ert'el, si celle fonclion ne se reduisail pas a une conslante, comnie 
elle est rcgulicre jjour loulc valeur finie de ;;, ce serait un po- 
lynonie ou une fonclion enliere, el le poiul a Tinfini serail pour 
celle fonclion un pole ou un poinl singulier essenliel. 

Gela pose, soil F(::) une fonclion uniforaie admeltant n poinls 
singuliers dislincls a^, a-,, •••, *'/// a distance finie, el soil 

G/( ) la parlie prlncijiale du developpemenl de F(^) dans 

le doniaine du poinl cii] G/ esl un poKnonie ou une fonclion 
enliere. Dans les deux cas cetle pailie principale esl reguliere 
pour loule valeur de z (v coinj)ris z = yz), sauf pour z =; ai. Soil 
de menie P(^) la parlie princi[)ale du developpemenl de F{z) 
dans le doniaine du point a I'infini; P(-s) est mil si le poinl a 
linfini esl un poinl ordinaire de F(s). La difference 

n 
i - 1 

esl e\ idenimeul reguliere pour loule valeur de z, y coni[)ris z ^^ yz] 
c'esl done une conslante G, et nous avons I'egalite (') 

n 

<|ui nionlre que la fonclion F(;;) esl coniplelenienl delerniinee, 

('j On arrive encore a celle formule en egalanl a zero la somnie dcs rcsidus 

de la fonclion F(j:)/ ; — ), ^, -o elanl considercs coiumc des con- 

slanlcs el x comnie la variable (coir n" 3IOj. 



II 



I. — I'AcTiaits i'iti.MAiiu..s III; \vi;ii;usiiiAs.s. i(j!i 

a line c<)ii>taiili' ;i(liliti\c pits, piir la coiiiiaissaiice cIl's parlies 
pi iiici|)ales clans le domaiiie cJe cliacun ties points singulicrs. 
Ces parlies principales, aiiisi que Ics poinls sinmilicrs, j)ouvcnt 
(.railleiirs elrc clioisis arhilraiieinenl. 

L(M.s<pic Ions les points siiij;iilicrs sonl tics polo, les |)ailic'S 
principales G/ sonl ties polvnoines; 1*(^^) esl anssi nn polynonie. 
5 il n'esl pas nul, el le second inenibr*; de la fornuile (5 ) sc rednit 
a une fraction r.il ionii<lle. Coininc, d'anlre |)arl, nne fonclion 
uniroiine qui n adnid (pie des poles comnie poinls singulicrs en 
a nil uoinbre lini. on en conc\n\. cju une fonctioii uiiifornie, clont 
lous les points singaliers sont des poles, esl une fraclion 
ralionncUc 

318. Fonctious uniformes avec une infinite de points sing-n- 
liers. — Si une toiiclion iiniforine adinel une inlinile de poinls sin- 
j^uliers dans nn doniaine lini, il y aura an nioins uii point lirnite a 
rinl('rieur on sur la Irontiere de ce doniaine. Par exeniple la 

l'oiicli<jn adinct comme poles toules les racincs de lecpia- 

sin - 

lion sin ( - | ^= o. c"esl-a-dire tons les poinls ; -^ j^, k c'lant iiii 
noinhre enlier queleonque; rorij:,ine est un point liniite. l^a 
fonclion — adniet de inenie pour points sinyuliers loutcs 

^■"i^) 

les raciiies de requalion sin | - 1 n: -j--_, parnii lesqnels sont tons les 

p(tiiils r- -^ T' /'■ t;l /' elanl deux nomhres enliers 

iIc't, -j- arc sin ( -.— j 

arbitrairo. Tons les poinls —,7^ sont des points limites, car si, 

/.' rcslaiit fixe. /. auginenle indeliniincnt, I'expression precedenle a 

pom liniile —,,_• H setail aise de former des exemples de pins en 

plus coinplnpies dn nieme i;cnrc en iiiNlli|ili,inl les sillies sin. II 

existeaus>i. C(jniinc n(iM> le venous un pen |)iu,s loin, des ftnu - 

lions adinetlant pour poinls singuliers tons les points dune lii;iic. 

11 pent se faire qu une lonclion nnifonue n'ait (juun noinbre lini 



j6J 



ClIMMTRE XV. — KONCTIONS INIFOnMES. 



de points singulicrs dans loiil doiuaine fini dii j)lan, quoiqu'elle 
en ail iinc inlinllo dans loul le plan. A rexlericur d'lin cercle C, 
aussi j;rand qu'en soil le rajon, il v a loiijoiirs line infinile de 
i)oinls singuliers, el nous diroiis que le point a I'infini est un 
point limile. Nous allons nous occuper, dans les Paragraphes 
suivants, des fonclions uniformes admcltant une infinite de points 
singuliers isoles, ayant pour seul point limite le point a Tinfini. 

319. Theoreme de M. Mittag-Leffler. — S'il n'j a qu'un nombre 
fini de points singuliers dans loule portion du plan a distance 
finie, on pent, conime on la deja remarque pour les zeros d'une 
fonction enliere, ranger ces points singuliers en une suite 

(6) rtl, «2. •••. ««, •••, 

de fagon que Ton ait |rt«!^|««+i|, et il est clair que |<7„| croit 
indefininient avec n. Nous pouvons supposer de plus que tous les 
ternies de cette suite sont differents. A cliaque terme at de la 
suite (6) faisons correspoudre un polvnonie ou une fonction 

enticre en i G/( ]■> pris d'une facon tout a fail arbi- 

Z — Ui \ Z — ttij ^ 

traire. Le theoreme de Mitlag-Leffler pent s'enonccr ainsi : 

IL exisle une fonction analylique uniforme, qui est vegu- 
liere pour toule valeur finie de z ne faisant pas partie de la 
suite (6\ et dont la partie principale, dans le domaine du 



point z = «/, est G/ ( ^7— — I • 

Nous allons deniontrer pour cela qu'il est possible d'associer a 
cliaque fonction G/( ^ ) un polynome Vi[z)^ tel que la serie 



2hC^j--'w] 



dc'finisse une fonction anulvtique jouissanl de ces proprieles. 

Si le point :: = o fait partie de la suite ((3), nous prendrons le 
j)olvnome correspondanl egal a zero. A chacun des autres points «<- 
faisons correspoudre un nombre positif s/ tel que la serie 2s/ soit 
convergente; dcsignons en outre para un nombre positif infcrieur 



1. — FACTliinS I>IUMAIIli:s Dli WKIEnSTH\S<. |()5 

;i liiiiilt'. Soiciil C/ le cercle avanl pourccnLre roriyiiie cl j)assaiit 
par Ic point <^//, G- le cercle concenlrif|ue an precc'denl et de ravon 

egal a a|rt/|. La f'oiicli(^n d, ( ^; \ elaiil liolonior|)lic dans le 

cercle C,-, on a, pour loul {)oiiil intciieur a ce cercle, 



G, 



x) 



5f/o-t- 3£/i-3 



La s^rie enllcre qui est an second menihrc est uniformement con- 
vergenle dans le cercle C^'; on pcut done trouver un nombre 
enlier v assez grand pour que Ton ail, ii Tinlerieur de C), 



(7) 



\z — a,] 



<£/, 



et It-' iioiiibic V elant ainsi determine, nous |)rcndrons pour P/(3) 
le polynonie — a/o — a,, ; — ... — y.^z''. 

Cela ])ose, soit C un cercle de rayon R avant pour centre le 
point c = o. Metlons a piirt dans la serie (6) les points singu- 

liers (li donl le module ne depasse pas — • S'il y en a c/, nous 
poserons 

(^uant a la serie 

elle est absolunient el unirorineinenl convcrgcnle dans le cercle C; 
car on a, pour lout point piis dans ce cercle, |5| <; R << a]a/[, si 
I'indice i est snperieur a q. D'apres rinrgalih' (7) et la facon dont 
on a j)ris le poljnome !'/(:;), le module du terme general de la 
scconde serie est infericur a £/, lorsque ; est inlerieur a C. La 
fonclion P\(c 1 est done unc fouclion liolomorphe dans ce cercle, 
et 11 est clair (pi'en lui ajoutanl F, ( c ), la somme 

-+- « 

/= 1 
aura dans le cercle C les memes points singuliers que F,(:;) avcc 



lOC) niMMTrE \V. — FOXCTIONS INIFOrtMIS. 

Ics mcnics parlies principalcs. Ccs polnls singulicrs sonl prccisi'-- 
nienl Ics lornics dc la serle (f)) donl le module est inferleur a R, 

el la pni-lie j^iincipale dans Ic doinaine du |inint Oi est G, ( ) • 

Conimc Ic ravon II est fpiclcoiupic, il s'ensiiil que la fonclion F(::) 
saiisfail a loutes les conditions de renonce. 

II est clair qn'cn ajoulanl a F(:;) iin polynome on unc fonc- 
tion enliere qtielconqne G(::), la somme F( 3) + G(:;) admel les 
memes points singuliers qne F(;) avec les nienies parlies princi- 
palcs. Inverscmcnt, on a ainsi I'cxpression j^eneralc des fonctions 
niiifornies possedant les points singuliers donnes avec les parlies 
principalcs correspondanles, car la diflerence de deux pareilles 
foDClions, etant reguliere pour Ionic valcnr finic de z, est un 
polynome on nne fonclion enliere. La fonclion G(^) pouvanl a 
son lour clre represenlee par la somme dune serie de poljnomes, 
la fonclion F(c)+G(;) pent done elle-meme clre representee 
T)ar la somme d'une serie donl cliaque terme s'oblicnl en ajoulanl 

a la partie priucipale G/(^ ) un polynome convenable. 

Si tonics les parties principalcs G/ sonldcs polynomes, la fonc- 
lion est nieroinorphe dans loutc region du plan a distance finie, 
el inverscmcnt. On voil done que tonic fonclion m(M-omorphe 
peulelre representee par la somme d'une serie dont cliaque terme 
est nne fraction ralionnclle ne devenant infinic que pour une 
valcur finie dc la variable. Celle representalion est analogue a la 
decomposition d'une fraction ralionnclle en elements simples. 
Toute fonclion meromorphe ^(^) pent aussi se representer par 
le quotient de deux fonctions entieres. Supposons en elFet que les 
poles de ^{z) soienl Ics tcrmes de la suite ('6), chacun d'eux 
etant compte avec son degre dc multiplicile. Soil G(^) une fonc- 
lion enliere admellant ces zeros; Ic produit <!>(;) G(:;) n'a plus 
de poles. G'esl done une fonclion enliere Qx(z')^ etlon a regalilc 

320. Etude de quelques cas particuliers. — La demonslralion 
precedenle du iheoreme general ne donne pas toujours le moyen 
le plus simple de former unc fonclion uniforme salisfaisanl aux 



I. — FACTEUns pniMMRITS DK WFIERSTn ASS. 1 fi; 

cnndilidns voiiliirs. Snpposons par oxf^mplo rpTII s'af^isso dc ron- 
slniiip line foiiction ft>(z) admcltaul pour piMcs dii prf-micr ordre 
ions Ics |»niiils t\(' la siiile (f)), lo rt^ldii ('•taiil <''!;al a iiii : nons <iiip- 
poserons (pic r ^- o iTosI pas iin jkMc La |)aili<' priucipalo rt'\i\- 

Iivo an pole r/, osl , cl 1 on pent cciirc 



;i nons pr(Mion- 



\\iz)= - 






(^X: 



lonl rcvlent a determiner le nomhre cnlicrven fonclion dc lin- 
dicc / de facon rpic la sc'-rie 



c — a, \ tt, 



2 



soil al)solnmenl cL nnifornicment convcrgenle dans font ccrcle 
(h'Crit dc I'orii;iiic ponr ccnirc, en ne^llgcant nn nomhre snffisnnt 

Ac termcs an dehnl. II siillil encore rpic la serie^( — ) soit 

ellc-meme absolnment «l iinifornK'nient converfrenle dans Ic 



meme domaine. S'il exisic nn nomhre p lei rpje la serie ^ 

soil convergcnle, il siiffira de prendre ^j zrzz p — i. S il n'cxisic pas 
de noml)re enlier jonissanl de cclle propriete, on prendra comme 
plus haul (n" IMo) v =^ / i , on v + i > log?. Lc nondjre v ('lant 
choisi convcnablemcr)!, la fonclion meromorphe 



^9) 



<I> 



'--)=y 






admetponr poles dn premier ordrc Ions Ics points de la snile [C^) 
avee nn rcsitln cgal a i'linih'. 

II csl facile den (h'-diiirc line nonvcllc di'monslral ion d\\ llico- 
rcine de .M . W eicrstrass snr la d<''Cf)mposilion d'nne fonclion 
enlierc en faclcnrs primaires. En ellet, on pent inh'-grcr icrme a 
Icrme la setic (9) tonl le long d'nn chemin qnelcontpic nc passant 
par ancnn dcs |ioles; car, si ce chemin est silu(' dans nn ccrcle C 



iG8 ciiuMTiu: \v. — lONcrioNs umformi s. 

ajanl pour cenlre I'orlgine, la serie (()) |)eut ette remplacce par 
line serie uniforniement convergenic dans ce cercle, aiigmentee 
de la somme dun nomhie /Ini de fonclions mcromorplies [cela 
resultc de la demonslralioii nuMiie de la fonmilc (())]. Si nous 
inlegrons en preuanl le point ; = o pour liniile inferieure, il vient 



et par suite 

(10) 



V 

1 = 1 



Lo- I 



-1 



I 



<I>|C.,(/r. 



11 esl facile de verifier cpie le premier inembre de celle formule (lo) 
est une fonclion enlitre de z. Dans le voisinage d'une valeur a 

de z, napparlenant pas a la suite ((3j, I'integrale / ^(:-)dz est 



le ; la fonction e " 



holomorphe ; la fonction e*^" est aussi liolomorphe, et diffe- 

renle de zero pour z ^= a. Dans le voisinage du point «/, on a 



/ 






a/)-H Q(- — oi), 



,,)e^^-".\ 



les fonctions V et Q ctant huluniorphes. On voit que cette fonc- 
lion entiere admet pour racines les lermes de la suite (G), et la 
formule (lo) est identique a la formule (3) elablie plus haul. 

La meme demonstration s'appliquerait encore aux fonclions 
eiitieres ajant des racines multiples. Si ai est une racine multiple 
d'ordre ;•, il suffirait de siipposcr que ^{z) admet le pole :; = ai 
avec un residu egal a /•. 

Clierclions encore a former iine fonction meromorplie adinct- 
lant pour poles du second ordre tons les points de la suite (G), la 

parlie piincipale dans le domaine du point ai etant (- ) • 

Nous supposerons que :; =: o est un point ordinaire, et que la 



I. — FACTElllS IMUMMRKS I)i: Wr-rKHSTBASS. iGf) 

serie > — csl convcriienlc; il esl cliiii- (iiiM en sera cic int-mc 

de la serie 7 — • Kn liiiiiliinl Ic ileveloppement de : siii- 

.^|"/i '' (z — a,)- 

vanl les puissances de ; a son premier ternie, on peul ecrire 

I 1 AdiZ — Z- KliZ — z"^ 



(- — «/j- 



a] ( z — 



el la serie 

( I I ) «!>(-) 



=2 



( c — ittY- 



"" "'(-1)' 



2 



1) 



ri'pondra a la (pieslion, poiirvu (|u'c!le soil uniformenienl conver- 
genle dans tout cercle C decril de lorigine pour centre, en negli- 
geant un nonibre suffisant de termes au debut. Or si I'on ne prend 
que les termes de la serie provenant des [)6les r//, pour lesquels 

on a [rt/[ > — J R etant Ic rayon de G et a un nondjre positif infe- 



neur a un, ic module ue i 



Cli) 



rcste infeneur a une certaine 



limite, et la serie dont le terme "eneral est -^ 



est ahsolu- 



ment et uniformement coiiverj^ente dans le cercle C, d'apres les 
hypotheses failes sur les poles ai. 

'^!21. Methode de Cauchy. — Elant donnee une ronctiou mero- 
morphe F(-; ;, le iheorrMie de M. Mitlag-Lelller permet de former 
une serie a termes rationnels dont la somme F, (5) admet les 
niemes poles (pie F(^) avec les meines parties principales. Mais il 
resle encore a Irouver la fonction enliere qui est egale a la diflfe- 
rence Y{z-'] — F,(;). Longtemps avant les travaux de M. Weier- 
strass, Cauchy avail deduit de la theorie des resitlus uiic melhode 
pour decomposer une fonction meromorplie en wno. somme d'une 
infinite de termes rationnels, moyennant quelques hypotheses 
d'un caractcre Ires general sur cette fonction. II est du resle facile 
dc presenter la melhode sous une forme plus generale. 

Soil F(^) une fonction meromorplie, regulicre dans Ic domaine 
de lorigine; et soicnt (^), Co, ..., C,,, .... une suite indelinie 
de contours I'ermes, entouranl Ic point c o, ne passant parauciin 



FONCTIONS TNI FOR mi: 



170 ciivriTtii: \v 

des poles, el lels qira parlir diinr vnleiii- tie n assez grnndc, la 
distance de Torigine a \\n poinl quelcoi)f|ne de C« resle supe- 
rieure a lotil nomhre donne. II est clair f|irnn pole quelconque 
de F( c) finira par reslcr compris a i'interieiir dc Ions les eontours 
siiccessifs C„, C„+|, .... |)our\ii rpic rindice /? soil asscz grand, 
l^'integrale definie 

_L_. r Zi£i ,,=. 

oil X est Nil puinl queleonque interlenr a C«, et different des 
poles, est egale a F(a:), angmenle de la somme des residiis relalifs 
aii\ din'ercnts poles de F(r) interienrs a C«. Soit a^ nn de ces 

poles; la parlic |)rincl|)ale correspondante G/i 



ni, 



est line 



fonclion rationnelle, et Ton a, dans le domaine dii point rt^, 



Y(z) = 



( - — r//, )' 



- — «/. 



Bo-^B,(3 — ^7,) + .... 



(5 — «/,)'"-! 

Dans le domaine de ce point, on pent ecrire aussi 

I T I ^ — a/,- (z — r//..)- 



X — «/ — ( z — a I,) 



X — rt/, (x — «/,)■- (x — a/,)' 

F(-) 



et, en faisant le prodnit, il est visible qne leresidu de ^-— — relatif 
an pole a^ est egal a 



A, 



A„,_i 



X — a/. (x — «/.-,)'""' ( -^ — <"'/./ 

On a done la relation 



-— G/ 



«/. 



(la) 



.^d \ X — a/, / ■j.-ij.. z 



Y(x) = 



F(z)dz 



le signe ^indiqnant une sommation rtendne a tons les poles a^ 



c„ 



interienrs an contonr C„. D'antre pnrt, nons ponvons remplacer 



xf> 



I /x\P^i 



I. - KvrTiMus i'niM\ini:s ni: wnrnsTnvss. 
et <''rnrr la formiilr |)rt''C('(lpiil(' 

I -i-i.'.. zP^^ 'x-iJ..z — .r^z 



fi3 



ch. 



. .. , , I / !• ( ; I ^/; ' 1 ' T-" ' -11 

L inlci;ral<> . / est cjralc a r ( o ), aiifjiiiPnU- d(,' la 

7. - / , / 1. :; "^ • ■ ^ 

somme dos resiclus dc - ¥ ( z) rclalifs aiix poles de F(::) inlt'rieiirs 

a Cj,i- D'lno manirrr j^c'-noralr, linlri^rale definie -^j-. / — "^ — ^ 

, , , F(''-> ( o) , , , ... 1 _^r— \ 

est rjrale a > iihis la sominc cles resuliis ne 3 '^ri;) 

" !.>...(/• I) ' ■ ' 

relalifs an\ piMcs dc V Z) inhTieiirs a C„. Si nous roprescnlons 
par aj^^ le ri'sidii de F( ;):;"'' rdalif an pole r//,. nons poiivons 
ecrire la Cormulc fi3 ) 



(\i) 



FCr) = F(o)— - F'(o) 



V 



.ri> 



\.x...p '' 






s'^^^sj^^x 



tTl>'\ 



I / V i z ) I .r 
ir. i ,1 ^. ^ z — :r \ z 



dz. 



Pour avoir une limite siiperieure dii terme coniplemcnlaire, 
ecrivons ce terine 

V(z) dz 



^^^ FT: 



z{z X }' 



F(z) 



siippnsons que, le loiii; de C„, le module de _ ^ resle iiilV-rieiir a M , 

et le module de z siiperieiii- a o. (loniine If nomhre /i doil croiire 
indefinimenl, nous pouvons supposer (pi'on la pris assez <;rand 
pour fpie soil superieur a \r\, el, le long de Cj„, on aura 



■ — .r I ^0 — \x\ 
Si Sfl est la longueur du eonloiir C„, on a done 



0(0 — |J7|) 



I^a CIIM'ITRK XV. — FONCTIONS I'NIFORMKS. 

Ou pouna aflinncr que ce lernie complenicnlaire tend vers zero 
lorsqiie a grantlll indefinimenl si I'on pent Iroiivcr uoe suite de 
contours ferines C|, Co, . . ., C«, ... el iin nombre enlier po- 
silif /? satisfalsant aiix conditions suivaiilcs : 

1° Le module de F(5);;~^ rcslo inferieur a un nombre fixe M, 
le long de tous ces contours. 

2" Le rapport -/' de hi longueur du contour C,, a la distance 

minima de I'origine a un point de ce contour reste inferieur a 
line limite L, lorsque n augmente indefinimenl. 

Si ces conditions sont verifiees, |R„| est inferieur au quotient 
d'un nombre i\\e par un nombre — \x\ qui croil indefiniment 
avec n. Ce reste R„ tend done vers zero, et nous avons a la limite 

I F(j-) = F(o)-^a7F'(n)-^...H '"-^^^ F(/'-'(o) 

I " °° c„ ' 

La fonction I'X-i') est done developpee en une somme d'une 
infinite de termes rationnels. L'ordre dans lerpiel ils se succedent 
est determine par la loi de succession des contours C|, Co, • . ., 
C„, .... Si la serie obtenue est absolument convergente, on 
pourra les ecrire dans un ordre arbitraire. 

Remarque. — Si le point ; = o elait un pole pour F(c), avec 
la partie principale G(-)i il suffirait d'appliquer la melhode 
precedenle a la foncliou F(c) — ^ G ( - ) • 

322. Developpement de cot x et de sin x. — Appliquons cetle 

methode a la fonction F(^) = cotc _-, qui admet pour poles 

du premier ordre les points z ^=z A-., k etant un nombre entier 
quelconque different de zero, el le residu etant rgal a un. Nous 
prcndrons pour contour C« un carre tel que BCB'C ayant pour 
centre I'origine el donl les cotes, paralleles aux axes, ont pour 
longueur 2n--\-—; aucun des poles ne se Irouve sur ce contour, 
et le rapport de la longueur S,; a la distance minima de I'origine 



I. — FACTEURS PRrHAIRFS OK WKIERSTRASS. 17^ 

a iin poitil du conloiir est conslanlc c[ e^ale a S. Lc carrr rlii 
nioJiilc dc col(\r H-J'/) est egal a 



e^y-+- e--y — -2 COS -J. a- 
Siir Ics cotes BC el B'C, on a cos2a;= — t, el le inodiilc est 





rig 


. -3. 








y 


B' 






B 













(n^.2j-r. 


C 






C 







inferieiir a iin. Siir les coles BE' et CC, le carre de cc module 
est inferieiir a 

e-y -+■ e--y-h ^ _ / I -H e--y\- 
e-y-^ e-y— x " ' I — e--y I ' 



on doil reniplacer dans celle formule 2JK pai' ri=(>./<+ i)-, el 
I'expression ohlenue lend vers I'linile lorsque n augtnenle indefi- 

nimenl. Comnie le module de - le long de C„ lend vers zero 

lorsque n augmente indt'finimenl, il s'ensuil que le module de la 

fonclion col; — - sur le conlour C« resle moindre qu'un nombre 

fixe M, quel que soil n. On peuL done apj)liquer a celle fonction 
la formule ( i6)^ en supposant/? ^ o. On a ici 



F(o)= lim 



X cos.r — siii.r 
X sin J- 

I 



)=o, 



cl $1 qui rcpresenle le residu de coir — — poui- le pole /. - est 



egal a ^^ • On a done 



(iG) 



cola" = liiii ^ 

X II ZZ X ^^ 

— n 



I I 

-7^ "^ /^ 



la valeiir / ;= o elanl exceplee dc la sommalion. La serie ohlenuc 



i;4 ciiAi'irut: \v. — ^■o^c^Io^s imkouaiks. 

on i'aisaiil croilre n indefinimenl esl absolmiienl com erijcnie, car 



lo lerme general pent s ecrire 



l<- k- k-U.- — x) k-^TJ 



cl Ic module du fucLciir — I'cslc infetieur a une cerlainc limilc. 



|H)iirvu (|iic X ne soil pas iin niullipic dc -. iNoiis avons done en 
dellnilive 

En integrant les deux nienibres de celte relation le long d uu 
clicniin parlanl de I'origine et ne passant |)ar aucun des poles, il 
vient 

(Toil I on tire 

(i8) sina- = a:'ll/i — - — j c'-'^. 

Le facleur e^^-*^' est ici cgal a I'uiiite. Si dans la serie (17) nous associoiis 
les deux teinics qui proviennent des valeurs opposees de k, nous oblenons 

la forinule 

+ 00 

- I V^ 1 
< 17 I eot:r — ijr y — 7- — -• 

1 

Kn associanl ilc menie les deux facteurs du jiroduil (18) qui cories- 

jjondenl a des \aleurs opposces de k, nous avons la nouvelle forniule (_') 



( 18 / sin^F = .r I 1(1— ,.,_., I 

1 
que 1 un peul encore ecrire, en remplacant x par -x, 

lieinanjues duerses. — 1° Les dernieres forniules mettent facilcinent en 

(') CelLc decomposition de sinj; eii produil infini est due a Eulci- qui I'd 
oblenuc par une voic eicmentaire {Inlroductio in Analysin infinitorum). 



FACTliLRS I'UIMAlHliS UE WKIliUSTUA^S. 



L'Vidciico la |icriudicile de siiij", qui ii'apparail pas avec le dtvolo|>|iL'iiiLiil 

ca soiic enlici 
(III |ii>l\ Home 



. . - . ^, ... SlIlTtJ , ■• ■ . . . 

ca soiic enlicrc. Aous xoyons ca cllcl que csl la liaiile |juur n iiiliai 



si 1 Oil > clianye x c\\ u-r-\, on voit facileaieiil que I'oa a 

/t -I- I -t- J" 



9„(j7-f- 1; = — '^nyx) _ 

CO qui lionnc, ca faisaat croilre n iadefiainienl, i\\\ i^~ r -r- - ) = — siu-^-, 
ou siai J — -) = — sin^, cl |)ar suite sin(.5 -f- 27:) =: sin z. 

■2° II est aise de se readie coiii|)lc, sur eel excaiple parlicuiicr, de la 

necessilc d'associer a cliacua des facleurs biaoaies de la loraie 1 — — ua 

Cl/,- 

faclcur expoaealiel coavenaLle, si Ion veul obleair ua pioduil absolu- 
nient convergent. Supposons, pour fixer les idees, x reel el posilil. La 

■M^rie > - etant di\eri:ente, le pioduil 

augiueate indclininicnt avec m, taadis que le pioduil 

lead vers zero lorsque n croit iadefiniment. 6i I'oa prend ni =^ n, le pio- 

Sl 11 ~.7' 

<luitP„jQ,;, a pour limitc — — — ; inais, si Ton fait croilre /n el n iadepcii- 

dammeal I'ua de I'aulre, la liiiiite de oe produit est couipleleaieiit iade- 
leraiinee (a" 283). II est facile de le verifier, quelle que soil la vaieur dear, 
au njoyea des facleurs priiaaires de M. NVeierslrass. Reaiarquoas d'abord 
que les deux produits ialiais 



n — l 



>uiil lull Cl 1 "autre absoluiaenl coavcrgeals, el leur proiluit ¥i{x jF^^x) 

. , , . sia-x 
est egal a • 



<iela pose, nous pouvoas ecrire le produit l'//j<^„ coiiiiiu.' il >uil : 

III II 1111 

V — 1 V = 1 ' 

l-orsque les deu\ aumbres //t cl /i augiiienlcal inilclini iieiil , Ic prui.luil 



176 



CIIAIMTRE XV. 



FONCnONS UMFORMES. 



de tons les facteurs dii second membre, en negligeanl le dernier, a pour 

sinT.r 1 • r 

(^uant ail dernier lactcur, on a vu que 



liniiie Fi(.r 


, p C 7,\ _ ■ 




I'expression 






1 

H !-. . 

2 



a pour limile logto, en designanl par w la limile du rapporl — (I. n"'19, 161). 

sin ~./' 
Le produil VmQ.n^ done pour limile - — - — e^'osw; on voit comment cette 

limitc depend de la loi sui\ant laquelie les deux nombrcs ni el n aug- 

menlent indefiniment. 

3° On peut faire des remarques tout a fait analogues sur le developpe- 

ment de cota*. Nous montrerons sculemcnl comment on peut dcduire la 

periodicite de cette fonction de la serie (17). Observons d'abord que la 

, . , , , , , I 1 I , ,,. 

serie dont le terme noneral est -; -. =- — -. — ; , ou 1 in- 

/-TT (A — I)- k{k — i)- 

dice k prend toules les valeurs entieres depuis — oc jusqu'a -1- cc, sauf A" =0, 

A- = I , est absolument convergente, et sa somme est ^ comme on le 

voit en faisant d'abord varier A de 2 a -i- cc, puis de — 1 a — x. \ous 
pouvons done ecrire le developpement de coix 



cola: 



- + -^ - ■ - S T — V - -7-^ 1 

X ./■ — - T. -^ [_ -r — A- ( A — 1 ):: J 



les valeurs A" = o, A = 1 elant exclucs de la sommalion. Cela revient a 

retrancher de cliaque terme de la serie (17) le terme correspondani de la 

2 
serie convergente formee par la serie prccedente augmentee de -• En 

changreant x en x -^ -, il vicnl 



col(ar 
ou encore 



X X ~ - - ^ \_x — {k — I)- {k — I ) 71 J 
^ ^ X ^lx—{k — \)- (A — i)7:J 



A" — [ prenant toutes les valeurs entieres sauf o. Le second membre est 
identique a cota". 



II. — FONCTIOXS DOUBLE.MENT PliRIODIQUES. 
FONCTIONS ELLIPTIQUES. 

323. Fonctions p6riodiques. Developpements en series. — Une 
foncllon ;inal>"li([iic unifornie ^i ;) est dile periodique s'il exislc 



II. — KONCTIONS nOUBLi:.Mi;.\T I'KIUODIQI'ES. I77 

un nombre w, reel ou eomplexe, lei (|uc Tou ail, quel <|uc solt^, 
J\z -{- io)=if[z)\ ce nombre (o est appele periode. Marquous 
dans le plan le point d'aflixe lo, el sur la droite indelinle passant 
par rorigine el par le point oj, |)orlons a parlir de I'origine, dans 
un sens ou dans I'autre, une lun^^ueur cgale a |o>|, un nombre 
quelconque de (bis. Nous oblenons ainsi Ics points to, p.w, 3 to, . . . , 
/2tL), ..., et les j)oints — w, — ito, ..., — /jto, .... Par ces 
diflereiils points et par Toriyinc mcnous des parallcles a une 




direction fjiielconque dillerentc de Oto; le plan est ainsi decom- 
pose en une infinite de bandes d'egale largeur {/ig. 76). 

Si par un point quelconque :; on mrne une parallcle a la direc- 
tion Oco, on oblicndra Ions les points de cette droite en faisant 
varicr le paramctre reel A de — ac a -f- ^ dans I'exprcssion :; -f- A(o. 
\in j)articulier, si le point :; decril la premiere bande AA'BIi', le 
point liomologue :; + co decrira la bande contigue BB'CC', le 
point c -h 2 (0 decrira la troisieme bande, et ainsi de suite. Toutes 
les valeurs de la fonclion /'(:;) dans la premiere bande se rcpro- 
duiront periodifpiement dans les siiivantes. 

Solent LL' ct MM' deux droiles indelniies parallcles a la direc- 

lion 0(j>. Posons u -^^ c "* , et clierclious la region dii plan des u 

decrite par la variable a lorsque Ic point z resle dans la bande 

G., II. la 



178 CIIAI'ITIUC XV. — FUNCTIONS IMKOIlMliS. 

indefinic comprise eiilrc los deux paralleles LL', MM'. Si x -\- |j^ 
esl ralfixc d'lin point de LL', on obticndra tons les aiilres poinls 
dc celle droile en posanl ;; ^ a -f- [iif 4- A'»J, et faisant varier ). de 
— X a -r- ^. II vienl alors 

If — gM — e^--r^"e " ; 

lorsqne X varle de — cc a + oc, u decrit iin cercle C) ajant pour 
centre I'origine. On voit de menie que, lorsque z- decrit la 
droile MM', 11 reste sur un cercle Go concenlrique au premier; 
lorsque le point ; di'critla bande indelinie comprise entre les deux 
droiles LL', MM', le point u decrit la couronne comprise entre les 
deux cercles C|, Co. Mais, tandis qii'a une valcur de z ne corres- 
pond quiine valeiir de //, a une valeur de 11 correspondent une 
infinite de valeurs de z formant une progression arithmelique de 
raison to, illimitee dans les deux sens. 

Une fonction periodique /"(:;), admetlant la periode (o, et holo- 
morphe dans la bande indefinie comprise entre les deux droites LL', 
MM', est egale a une fonction '-5(m) de la nouvelle variable u, holo- 
morplie dans la couronne comprise entre les deux cercles Ci et Co. 
En eflet, a une valcur de u correspondent bien une infinite de 
valeurs de z\ mais ces valeurs de :; donnent toutes la meme valeur 
dicfi^z), en vertu de la periodicite. D'autre part, si Uq est une va- 
leur parliculitre de u^ et ^o K'le valeur correspondante de ^, la 
valeur de z qui tend vers Zq est une fonction holomorphe de u dans 
le domaine de Uq ; il en est done de meme de '^{u)' Nous pouvons 
done appliquer a cette fonction '-^(w) le iheoreme de Laurent; 
dans la couronne comprise entre les deux cercles Cj, Co, cette 
fonction est egale a la somme d'une serie de la forme suivante : 

?(")= 2 A,„«'«; 

in = — 00 

en revenant a la variable z, on en conclut que la fonction perlo- 
dlque f{z) est egale, a Tinterieur de la bande consideree, a la 
somme de la serie 



(19) /(-)=21 



k,ne ^ 



II. — FO.NCTIONS DOIIII.KMKNT I'i'uiODInl i:S. I -9 

Si la fonclion perlodiqiie y(:;) est liolomorplie dans tout l«' plan, 
ou pciil siipposer que les deux droites LI/, ]\IM', qui liinltent la 
bande, s'eloignent indefiniiiient, I'line vers le haiit, Taiilre vers le 
has. Toute fonction prrioditjiie cnlii're eat done dcK'eloppable 
en line serie ordonnee siii\ant les puissances, positives et nega- 

lives, de e "^ , et convergenle pour loute valeur Jinie de z. 

3^-4. Impossibility d'une fonction uniforme a trois periodes. — D'apres 
un llieoniiiie celcbio ile Jacobi, uiio fonction uniforme ne |)i^nt adiiieltre 
plus de deux peiioile"^ dislinctes. Pour le nionlier, il siiffit evideminenl de 
pioiiver qu'une fonction uniforme ne peul avoir truis jx'-riodes dislinctes. 
Nous demonlrerons d'abord le lenimc suivanl : 

Solent a, b, c trois quantites quelconques, reclles ou iinaginaiies, el m, 
/», p trois noMibres en tiers arbitraires, posilifs ou negatifs, dont Van an 
moins est different de zero. Si Ton altribue aux entiers ni, n, p tons les 
systemes de valeurs possibles, sauf ni =^ n ^=^ p = o, la liinite infer ieure 
de \nia -i- nb -+■ pc\ est egale a zero. 

Imaginons I'ensemble (E) des points dii plan dinii i'affixe est de la 
forme nm -f- nb -x- pc. Si deux points correspondant a deux systemes 
d'entiers dilferents coincident, Ton a par exemplc 

ma -+- nb -r- pc ^= m^a -\- nib -^ pi c, 
ct par suite 

( m — mi)a -^( n — ni)b -h (p — /? j ) c = o, 

I'un au moins des nombres ni — nii, n — «i,/» — pi n'etant pas nul. Dans 
ce cas la proposition est evidente. Si tous les points de I'ensemble ( E) sont 
distincls, soit 9.0 la limile inferieure de \ma -r- nb -^ pc\; ce nombre tio 
est aussi la limile inferieure de la distance de deux points quelconques de 
I'ensemble ( E). En elTet la distance des deux points d'affixes nia -j- nb -+- pc 
et niia -h nib -h piC est egale a |(m — m,)a -^ ( n — ni)b -^ ( p — pi)c\. 
Nous aliens montrer qu'on est conduit a une conclusion absurde en sup- 
posant > o. 

Soit N un nombre entiei- posllif: donnons a cliacun des nombres entiers 
m, n, p, I'une des valeurs de la suite — N, — (N — i) . . . , o, . . . , \ — i, N, 
et associons de toutes les manieres possibles ces valeurs de ni, n, p. Nous 
oblenons ainsi (aN -!- i)' points de I'ensemble (E), et, par hypothese, ces 
points sont tous distincls. Supposons |«|l|6|£|c|; la distance de I'un 
quelconque de ces points a I'origine est au plus egale a 3N|a[. Ces points 
sont done situes a I'inlerieur d'un cercle G de rayon 3N|a| ayant pour 
centre I'origine, ou sur le cercle lui-meme. Si de chacun de ces points 
comme centre on decrit une circonferencc de rayon 8, tous ces cercles 
seront interieurs au cercle Cj decrit de I'origine pour centre avec un rayon 
egal a 3 \ |al -H 0, et seront exterieurs les uns aux autres, car la distance 



i8o 



ClUPITRIC \V. — FONCTIONS UNIFOnMES. 



ties centres <le deux irenlre eux no pent ctre plus petite que 20. La somme 
des aires de tous ces cerclcs est done inforieure a I'aire du ccrcle Gi, et 

Ton a 

(3\|n| -^o)2>(2N-M)3o2 



3 \ I a I 



(2N^-I)2— I 



Le second menibre lend vers zero lorsque N croU indefinimenl; cette 
inegalite ne pent done etre verifiee, quel que soil N, par an nombre |)ositif 0. 
Par consequent la limite inferieure de \ma-i- nb -i- pc\ ne pent etre un 
nombre positif; cette limite est done zero, et le lemma est etabli. 

Nous voyons done que lorsqu'il n'existe pas de systemes de nombres 
en tiers /», /i, /> (sauf m = n =/? = o), tels que Ton ait ma -f- nb -1- pc = o, 
on peut toujours trouver pour ces nombres entiers des valeurs telles que 
\ma -^ nb -^ pc\ soit plus petit qu'un nombre positif arbitraire t. Dans 
ce cas une fonction uniforme f{z) ne peut admettre a la fois les trois 
periodes a, 6, c. En elTet soit ^0 un point ordinaire dey(^); du |)oint z^ 
comme centre decrivons un cercle de rayon t assez petit pour qua I'inte- 
rieur I'equation /(;;) ^ /(zq) n'ait pas d'autres racines que ^ = ^„ ( n° 299). 
Si a, b, c sont des periodes dc f{z), il est clair que ina -\- nb -r pc est 
aussi une periode, quels que soient les nombres entiers /?i, «, />, et Ion a 

f{z.Q-^ ma -I- lib -^ pc) =/[ Zq). 

Si Ton a choisi m, /i, p de facon que nui -h nb — pc\ soit < £, I'equa- 
lion fiz) = /(zq) aurait done une racine Zi, diflcrente de Zq, et telle que 
1^1 — ^u| ^t'il < £, ce qui est impossible. 

Lorsqu'il existe entre a, b, c une relation de la forme 



(20) 



nb -h pc = o, 



sans que les nombres m, n, p soient tous nuls, une fonction uniforme /(z) 
peut admettre les periodes a, b, c, mais ces periodes se reduisent a deux 
ou a une seule. Nous pouvons supposer que les trois nombres entiers m, 
n, p sont premiers entre eux dans leur ensemble. Soit D le plus grand 
commun diviseur des deux nombres m, n\ m = Dm', n = Dn'. Les deux 
nombres m! , n' etant premiers entre eux, on peut trouver deux autres 
nombres entiers m", n" tels que m' n" — m" n' ^= i. Posons 



i'6 = 



m' a -^ n" b ^=^ b\ 



on aura inversement a = n" a — n' b', b ^= ni b' — m" a' \ si « et 6 sont des 
periodes de /{z), il en est de meme de a' et de b', et reciproquement. 
On peut done remplacer le systeme des deux periodes a el b par le systeme 
des deux periodes a' et b'. La relation (20) devient Da' -+-pc = o; D et p 
etant premiers entre eux, prenons deux autres nombres entiers D' el p' 
tels que Dp' — D'p = 1. et posons D' a' -h p' c = c'. On tire des relations 



II. — KONCTIONS DOLUI.EMKNT I'KRIODIQUES. l8l 

procedenles «= — /)c', c — Dc', el Ton voii que les Irois periodes a, b^ c 
sont des conibinaisons dcs ilcu\ periodes b' el c'. 

Peniitrcjue. — On di'-duit romine cnrolhiire dii lemme prcoodenl que, 
si a el ^ sonl deux ([uantites rrolles el in, n deux nombres ciiliers arbi- 
tral res (donl I'un au nioin< n'est pas nul ), la I i mite inferieure de | //la -i- // ^| 
est egale a zero. Car si I'oii pose « — a, b = 2,, c = i, \c module de 
771 a -!- AJ 3 -r- /> i lie peul elre iufi'iicur a un rioniJjre £<i que si Ton a 

p ^= o, '/nx -T- n'^\ < 1. II en resiilte qu iine fo net ion un'ifovme f{z ) ne peul 

o 

adiiicllM' (liMix poiiixles reelles di-l Iiiclcs a el 3. Si le raniiorl — est iiirom- 

a 

mensurable, on pourra trouver deux nombres ni el n tels que ]/na -f- /i^] 
soil < ;, el le raisonnement s'achevera comme lout a I'heure. Si le rap- 
port - est commensurable el c"a\ a une fraclion irreduclible — > choisissons 
'a n 

deux notnbres m' el «' lels que /)in — ni /i = i, el posons ni' ol — /i"^ == T* 
Le nonibre y est aussi une periode, et des deux relations men — n 3 = o, 
ni' X — /i'3 = Yj on tire a = — /j v 3 = — my, de sorte que a el ^ sont des 
multiples de la periode unique y- D nne iacon plus generale, une fonction 
uniformc /(z) ne peul admetlre deux periodes dislincles a et b dont le 
rapport soit reel, car la fonction /(az) admellrail les deux periodes 

^' 
reelles i el — • 

a 

32o. Fonctions doublement p6riodiques. — Une fonction doii- 
l)leinenl [X'rioilique est tine lonclion uniforine admeLlanl deux 
periodes. donl le rapport est iinaginaire. Pour nous confornier 
aux nolalions de M. W'eierslrass, nous designerons la variable 
independanlo par //, les deux periodes par 2 to et 2w', et nous sup- 

poserons rpie le coefneient de i dans — est posilif. Marquons 

dans le plan les points 2(o, /\0)^C)(ji, . . . et les points au)', 4^'^'y 
Go)', . . . ; par les points o.mM menons des paralieles a la direc- 
tion 0(o' et par les points 2/>?'(o'des |)arallrles a la direction Ow. 
Nous deconiposons ainsi le plan en un reseau de parall('Ioji;ramnies 
egaux (fig- 77). Soity(w) une fonction uniformc adineltant les 
deux periodes 2(0, 2(0'; des deux relations y(// + 2(0)1=: /"(«), 
/{u-{-'2io') = f(u) on deduit aiissitot/(M4- 2//7(o-t- 2/«'w'}=/(«), 
de sorte que 2mo> -+- 2m' to' est aussi une periode, quels que soient 
les nomlires cntiers m et m'; nous la representerons j)ar 2(T'. 

Les p()inl>-j)('riodcs sont j)re<is('inenl les soinmcts lIii reseau de 
parallelograinnies preceJenls. I^orsque le jioiiil a dc'crit le pa- 



i8'2 riiM'iTiu-; XV. — i-onctions lniformes. 

rallclogranime OABC, ajanl pour soiiiiiiels Ics points o, 2 to, 
2(0-1- 2(o', 2(o', le j>oinl 11 -f- 2<r decril le paralleloi^rainine ajaiit 
pour somniels les points at\-, aiv-l- 2 to, 2 »V'-i- 2(0 + 2 (o', 2(V'+ 2(0', 
cl la foiictioii /^(^//) repioiid la nieinc valour aux points liomologucs 
dcs deux parallelograniincs. Tout parallt'logranime avanl pour 
sommets quatre points ^/„, Uq-\- :i<.<), u^^-^-'im'^ //© -|- 2 (o + 2 to' 
s'appelK^ \\n parallelograniine dcs pcriodes; on considere en 
general le j>arali(3lograinme OABC, niais on pourrait remplacer 



Fig. --. 



ZW«20>^2UI 




I'origine par un point quelconque du |)lan. La periode 2(o-i-2(ij' 
sera designee, pour abreger, par 210"; le centre du parallelo- 
granune OABC est le point to", tandis que les points (o et co' sont 
les milieux des cotes OA et OC. 



Toiite fonclion entiere doublement periodique est iine con- 
stante. En effet soiiy(M) une fonclion doublement periodique; si 
elle est enliere, elle est bolomorpbe dans le paralltilogramme OABC 
el le module (\c f[u) reste loiijours inferieur dans ce parallelo- 
gramme a un nunibre fixe M. JMais la valeur deficit) en un point 
quelconque du ])lan est (3gale, d'apres la double periodicile, a la 
valeur de /( n) en un point du parallelogramme OABC. Le module 
de cette fonclion reste done inferieur a un nombre fixe M ; c'esl 
une constante, d'apres le tbeoreme de J^iouville. 



II. — KONCTIONS l)()UllI,i:.Mi:\T I'KIUODlyl KS. \H'i 

320. Fonctions elliptiques. Propri6t6s g6nerales. -- II K-Milie 
(Id lin'oiriiic |)i«'c('(l(iil (jiriiiic ("onclion (l(iiil)lciiiciil pc-riodiqiie 
ailinct (les |)()iiils .sinmiliers ;i clislance liiiic, a moins cJe sc rodiilrc 
a uiu' consiaiilr. On i\\\\nA\Q fonctions elliptiques les runclions 
incioiiiorplics (loiiblciiuiil periodiques. Dans iin parallelogramme 
des periodes, line fonclion ellipliqiio a iin certain nombre de 
jkMcs; on appelle 01 die de la fonclion le nond)re de ces poles, 
chaciin deux elanl coinplr avec son dof^re dc mulliplicile. Ucniar- 
(juons (|iie si uiie fotuiioii cllipli(|iic' y(//) a un [lolc u^ snr le 
cole OC, le j)oinl u^ -\- 2 (o siliie sur le coh' oppose AH est aiissi un 
pole; niais, en evaliiant le noinhre des poles conipris dans OABC, 
on ne doil compter (jii'iin soul de ces poles. De menie, si I'ori- 
gine est uii pole, tons les soniniets dii reseau sent anssi des poles 
dey(/i), niais on ne doit en compter qn'un dans chaqne paral- 
Iclogrammc. 11 sufflrait par exemple de dej)lacer infininipnt pen le 
somnu'l (111 rt'scaii qui est a Torigine pour que la fonction consi- 
deree f{ii) n'ait plus aucnn pole sur le contour du parallelo- 
graminc. Quand nous aurons a integrer une ionction ellip- 
liqne y(//) le long du contour du parallelogramme des periodes, 
nous suj)poserons loujours qu'on a deplacc, s'il est necessaire, ce 
parallologramme de facon que ./(«) n'ait pas de poles sur le 
contour. L'ajiplication des tlieoremes generaux de la tlieorie des 
fonctions analjliques conduit bien aisement a des propositions 
fondanien tales : 

i" La sonime des residus d'u/te fonction ellipticjue, 1 ehitifs 
aux poles sillies dcins an parallelogvanime des periodes, est 
/tulle. 

Supposons, jioiir fixer les idees, que f(u) n'ait aucun pole sur 
l(j contour OAB(^0. La somme des residus relatifs aux poles 

silucs a rinlerieur du contour est egale a ■--^. I f(u) du, linte- 

grale elant prise le long de OABCO. Cettc integrale est nulle, car 
la somme des inlegrales prises le long de deux c(^tes opposes est 
nulle. On a, par exemple, 

^ -1 2(1) ^ piuy 

/ /{u)du.-= / f(u)dn, j f{u)du= / f{u)du\ 

•- ((tAi • ^ lite.) *- 2(i)+2(i)' 



l84 CHAPITRE XV. — FONCTJOKS UNIFORMI>. 

si nous reniplarons clans ccltc dernierc inlogralc, u par u + aw' 



on a encore 



/ f{u)du— I /(it -^- iw') du = I f{u)du = — / f{u)du. 

«-iICi •- 2(0 •^2(1) "^ (OA) 

On verrait de nieme que la somnie dcs inlegrales Ic long de AB 
ct de CO est nulle. Dn restc, la propricle est presque evidente 
sur la figure {Jig' 78); considerons en effet deux elements corres- 




pondanls des deux inlegrales le long de OA et le long de BC. Aux 
points m et m' la valeur dey(/^) est la meme, tandis que les va- 
leurs do dii sont opposees. Le theoreme precedent prouve qu'une 
fonclion elliptique f{u) ne pent avoir un seul pole du premier 
ordre dans un parallelogramme des periodes. Une fonction ellip- 
tique est'au inoins du second ordre. 

'.)P Le nombre des zeros d' une fonction elliptique dans un 
parallelogramme des periodes est egal d I' ordre de cette 
fonction (chacun des zeros etant compte avec son degre de 
mulliplicile). 

Soit/(/<) une fonction elliptique; le quotient ~^^ — - = '^(u) est 

aussi une fonction elliptique, et la somme des residus de '^{u) 
dans un parallelogramme est egal au nombre des zeros de f(u) 
diminue du nombre des poles (n" 306). En appliquant le theo- 
reme precedent a la fonction '-^(u), on en conclut la proposition 
enoncee. D'une facon generate, le nombre des racines de I'eqiia- 
tiony(w) = C, dans un parallelogramme des periodes, est egal a 
I'ordre de la fonction, cav f(u) — C a les memes poles que f[u), 
quelle que soil la conslanle C. 



II. — KONCTIONS noini.lC.MKNT I'liuiODIQl ES. |S) 

.')" La (Ii(fcreiicc cut re la aomme dcs zeros ct la somnie dm 
pnlcs d' line fonction eUiptiqiie, dans un parallelogramme des 
prriodes, est egale d une periode. 

Considerons rintrjrrale . I ii ^ da le lonfr dii contour dii 

o -J.- 1 J J{U) " 

parallelogramme OABC. Cetle inlcgrale est cgalc, nous I'avons 
VII (n"306), a la somme des zeros de/(n) sitnes a rinlcrieur de 
ce contour dlminuee de la somme dcs poles de /(n) dans Ic meme 
conlour. Evaluons la somme dcs inlegrales proveiianl des deux 
coles opposes OA et BG 

I u ^ du '- I u ^. ail ; 

si nous cliangeons, dans la dcrniere inlegrale, u en a -h 2 to', celte 
somme esl encore ciiale a 



/ II ^. du -r- (u -i- -KM ) ^ r- «"» 

' /[in L / ( a -i- 2 to ) 

ou, en ajanl egard a la pcriodicile i\e /(u)^ a 



r 



■IM ^—. (III. 



^. du est egale a la variation dc Logr/(//)l 

lorsquc u decril le cole OA;/(m) revient a sa valeur iniliale et 
par consequent la variation de Log[/(«)] esl egale a — ^.m^ru^ 
nio etanl un nombre entier. La somme des inlegrales le long des 

cotes opposes OA et BC esl done egale a ■^^^. (im-yTUio') = •i.ni-.M' . 

Ou veriail dc nienie cjue la somme des inlegrales le long de AB el 
dc CO est de la forme ^^nl^t'). La diderence consideree est done 
egale a 2/;i,(o-t- 'itn-yO)', c'esl-a-dire a une periode. 

La |)roposilion s'appli(|ue aussi aux racines de I'equalion 
y(/<) z= C, com])rises dans uu parallelogramme de periodes, quelle 
que soil la conslanle (1, |)Our la meme raison epic plus haul. 

4" E litre deux fonct ions ellipliques , aux menies periodes, il 
existe une relation algehrique. 



1 80 CHAPITRE XV. — FONCTIONS IMFOIIMES. 

Soienl /(u) , /^(u) deux fonclions ellipliqucs, adinellanl les 
inemcs periodes, 2 to, 210'. Dans un parallelograinine des poriodes 
prenons les points <7, , a^, . . . , a„i qui sonl des poles pour I'une ou 
Taulre des deux fonclions /"(;/),/",(//) ou pour les deux a la fois, el 
soil |Ji.,- Tordre de nuiUiplicilo Ic plus eleve du pole <7/ relalivenienl 
a ces deux fonclions; nous poserons pi, -!- ijij +• • • H-[J'-/m= N. Soil 
d'aulre pari F(jt', y) un polvnome enlier de dej^re n a cocfficienls 
conslanls; si Ion remplace dans ce polynonie :r el y \^^^ f{f^) 
el y,[u) respeclivemenl, le resullat est une nouvelle fonclion 
elliplique ^(w) donl les poles ne peuvenl elre que les poinls r/(, 
a-i, . . . , a,„, elceux qui s'en deduisent par I'addilion d'une periode. 
Pour que celle fonclion ^{u) sc reduise a une conslanle, il faul 
el il suffil que les parlies priucipales disparaissenl, dans le 
doniainc de cliacun des poinls «,, <7j, .... a,,,. Or le poinl a/ esl 
un pole d'ordre au plus egal a n^i j)our <!>(«). En ecrivanl que 
lous les coefficienls des parlies principales sonl nuls, on aura done 

en lout au plus 

niixi— iM-- ... -h [im ) = N n 

relations lineaires el honiogenes enlre les coefficienls du po- 
Ijnonie F(.r, j)'), le lerme independanl de x el de y n'y figuranl 

pas. Ces coefficienls sonl au nonibre de ; si Ton cholsit n 

assez grand pour fpie Ton ail /?(/i + 3) ^ aN/?, ce qui est pos- 
sible, pulsque /?(/^-|-3) — -aiV/i croil indefininienl avec /?, on 
aura un svsleme d'eq nations lineaires el homogenes, avec un 
nomhre d'inconnues superieur a celul des equations, Ces equa- 
tions adniellenl toujours un sjstenie de solutions non toutes 
nuUes; si ¥(x,y) est le polynome ainsi oblenu, les fonclions 
elllpllques /(?/), y, (m) satisfont a la relation algebrique 

F[/(")./i(«)] = G, 

C designant une conslanle. 

Remaiques. — Avanl de quitter ces generaliles, faisons encore 
<pielques reniarques donl on aura besoin par la sulle. 

Une fonclion uniforme/(M) esl/?«//-e, si Ton a/( — u^=f(^u)', 
clle esl impalrc si Ton a /(— u)-=^ — /(")• ^'^ derivee d'une 
fonclion paire esl une fonclion inipaire, el la derivee d'une fonc- 



II. — FO.NCTIK.NS I>()1 Ill.K.MMNT PKIIIODIQI ES. 1 87 

lion linpaiie i;sl uiio fonclioii pairo. D'unc faron grrK-ialc, les 
ilorivi'cs tl ortlrc pair (riiiie rdiiclioii pairc sonl ellrs-ni»'''!ncs des 
lonclions paircs, el los cltrivees cl'orclie impair des foiiclions 
inipaires. Au conlraire, Ics derivres d'ordrc pair d'une fonclion 
impaire sonl des ronclions impaires, el les derivees d'ordre 
impair sonl des fonclions paires. 

Soil f{ii) line fonclion elli|)licpie im|)aire; si (T' est line demi- 
periodo, on doil avoir a la l'ois/(a')= — /( — (v), el/(<V')=y*( — a'), 
puisque \v ^= — (\' -+-•>.» v. II i'aul done (niey((T') soil mil on infini, 
c'esl-a-dire que (v soil un v.vvo on iin jiole de /(w). L'ordre de 
mulliplicite dc cc zero on dc cc pole esl foi'cemenl impair; si (t- 
elail nn zero d'ordre pair 9.11 i]e/(u), la derivee /*-"'(«), qui 
est imjiaire, serail holomorplie el difFerenle de zero pour u = iv. 
Si «• elail un pole dordre pair de f[ii), ce serail un zero d'ordre 

pair de -7 En resume, tonic demi-pcriode est un zr/o on un 

pule dordte impnir d' une fonclion clliptique inxpdire. 

Si une louelion ellipLl(|(ie |)aire /"(«) admel unc demi-pi'riode (V 
jxtur pole ou pour zero, V ordre de multlplicile dc CC pole ou 
dc ce zero est un nonibre pair. En elVel, si par exemple w elail 
un zero d'ordre impair a/i-f- 1, ce serail un zero d'ordre pair de 
la derivee /'(?<) qui esl une fonclion impaire, el de meme pour 
les poles. Comme Ic double d une periode esl aussi une periodc, 
tout ce que nous venous de dire des demi-periodes s'applique 
aussi aux periodes elles-memes. 

327. La fonction y^u. — Nous avons deja remarque cpie loule 
fonclion elliplique a au moins deux poles simjiles, ou \\n pole 
double, dans un parallelogramme de periodes. Dans la notation 
de Jacobi, on prend pour elements simples des fonclions ayant 
deux poles sim|)les; dans la nolalion de Weierstrass, on prend au 
eonlraire pour (denienl simple une louelion elliplique avanl un 
>cul pule (bjuble dans un paralli'lo^ramme. Comme le residu doil 
elre nul, la parlie prin(;i|)ale, dans le domaiiie du pole rt, doil 

elre de la lorme — • l\)ur aebever de iireclj?er le nroblrme, il 

{u — a)- ' ' 

suffil de prendre A = i , el de stipposer ([lie les poles de la (onclion 
sonl Torif^ine // = o el lous les poinls-periodes t>. tv'= 2 niLa -f- -x ni' ^^i' . 



1 88 CHVPITRE \V. — FONCTIONS UN'IFOnMES. 

Nous sommcs done condulls a resoudrc d'abord Ic problcme sui- 
vant : 

Former unr fonction clliptiquc, admctlant comnie poles du 
second ordre tons les points .nv z= 2. mto -i- 2 /n' to' , on m et ni' 
so/it deux nomhres entiers quelconques, et n\idmettant pas 
d' (lutres poles, de telle f aeon que la partie principale, dans le 

domaine du point 2 it-, soit -• 

• 1 // — 1 u' )■- 

Avanl d'appllquer a ce problemc la inelbode generale du n" 320, 
nous denionlrcrons d'abord f|ue la serie double 



t 



iiiiu -\- 1)1 CO \V- 



oil m el ni jirenncnl toutes les valeurs entieres de — ^00 a +00 
(la combinaison ni = m' =^ o elant exceplee) est convergente, 
pourvu que V exposant 'x. soit un nonibre positif superieur d 2. 
Considerons le Iriangle avaiit pour sommels les Irois points u = o, 
u = mto, u = mw + /?/(o'; les trois cotes du triangle sonl respec- 
tivement [/;? to[, \ni'to'\, |/;i(o + /;«'oj'[. Nous avons done la relation 

I into -i- nt' m'\'- = ni^\ w |- -4- m'- \to' \- -h 2 inni'\ mis>' \ cosO, 

h etant Tangle des deux directions 0(o, 0(i)'(o ■< B < ")• Soit 
pour abreger |(o| = r/, |to'|r=/;, el supposons a'^b. J^a relation 
precedente pent encore s'ecrire 

I //tio -f- /;i'oj'|- = in- a- -4- ni'-b'^ ± >. nun' ab cos0, 

Tangle elant egal a si 0^ -» el a - — 0, si () > - ; cet angle 

ne pent elre nul puisque les trois points O, (o, 10' ne sonl pas en 
ligne droile, et Ton a o ^cosB << 1 . On a done aussi 

|ma) -f- ni L'S [- = (i — cos6 )(/«-«- -1- in'-b-) -f- (•ost)( nia± m' b)-, 

et par suile 

\nno -\- /«'io']- ^Ci — ro?,Q)i m-a- ^ ni'^b-) -l{i — r()S0)a-(m-+ m'-). 

11 suit de la rpie les termes de la serie (21) sonl respeclivenienl 

inferieurs ou (•i;aiix a ceux de la serie > ( — : r, ) ; multiplies 

" ^ \ //; - -t- in - ] ' 



II. — FONCTIONS DOIBLKMENT PKIUODIQUES. 189 

par un facleur constant, et nous savons que ccllc tU rniere s^rie 

est convergcnlc si I'exposanl - est plus ^rand rpie uii [\, n" 172). 

La seile (21) est done convergente si Ton fail u. = o, ou [jl =: 4. 
D'aprt-s un resultat demontre plus haut (n° 320), la scrie 



?( 



u } — - „ -h ^ — (" (r = ni u) -I- /n'oj') 



represente une fonclion meromorplie adniettant les memes poles 
avec les menies parties principales que la fonction elliptique 
cherchee. Nous allons monlrcr que cette fonction o(m) adniet pre- 
cisement les deux periodes 2co el ?. w'. Considerons d'abord la 
serie 

y'( — ^ 1-1 

OU 2(T'= xiiHii -r 2//i'ci>', la somaialion s'elendanl a toules les va- 
leursenlieres de in et de ;?^', sauf/?? = /;«'= o, el //^ = — i , /?i'=: o. 
•Cette serie est absolumenl convergente, car c'est la serie '•^i^u) ou 
Ton aurail reniplace u par — 2oj, aprcs avoir suppriine deux 
lermes. On voil aisement que la somme est nulle, en la conside- 
rant comme une serie double, et en evaluant separemenl chacune 
des lignes du tableau. En relrancliant cette serie de '>^{ii), nous 
pouvons done ecrire encore 



?( 



«) = -^, -^ -— ' — , - A -y'T — ' — > ' 1 



les conibinaisons (m = ni' z= o), (rn = — i , /?«'= o~) elaiil loiijours 
exclues de la sominalion. Changeons niainlenanl u en ;/ — aw; 
il vienl 



Oi U — i. (O I 



U- ^^ L(« -JLtO — -JUl' )- (2 IV — 2C0 j'' J 



la conibinaisou /?i =^ — i, /n' ^= o elanl seule cxclue de la som- 
niatiou. Mais le second menibre de celle egalite est idenlique 
a '^{11). Celle fonclion adinel done la periode 210, et Ton verifie- 
rail de meme ([u'elle admet la jicriodc 20/. C'esl la fonction que 
M. Weicrslrass represente par la notation pu, cl qui est ainsi 
definie par I'egalile 



{■11) 



J'" = ~; -^ ^ 7 :, — -, — ; ((p = mco — /n'co'). 



igo ciiAririvB xv. — konctions inifohmks. 

Si Ton fait // = o dans la difTerence pM — — :. Lous Ics lermes de 

'' u ' 

la sommc double sonl nuls, et celte dillerence est nullc elle-meme. 
l^a fonction pu jouit done des proprietes suivanles : 

1° Elle est doublement periodique, et adinct pour poles tous 
les points 2(v', et ceux-la seulement; 

2" La partie principale, dans le domaine de I'origine, est-^; 

3" La didcrence p« — — ; est nulle pour a = o. 

Ces proprietes caracterisent la fonction pu. En efFet, toute 
fonction /{u) possedant les deux premieres proprietes ne difTere 
de pu que parune constante, puisque la difference est une fonc- 
tion doublement periodique n'ajant aucun pole. Si la fonction 

est telle en ouire que f{u) soit nul pour u = o, /( u) — pu 

est nul pour « = o ; on a doncy"(M) = pu. 

La fonction p( — u) possede evidemment ces trois proprietes; 
on a done p[ — u) =■ pu et la fonction pu est paire, ce qu'on voit 
aussi facilemcnt sur la formule (2 a). 

Consideroiis la periode dont le module est le plus petit, et soit 5 
son module. Dans le cercle Cg de rajon 0, decrit de I'origine 

comme centre, la difference pu — ■ —; est holomorphe, et pent etre 

developpee suivant les puissances positives de u. Le ternie general 
de la serie (22), developpee suivant les |)uissances de u, donne 

( I -2 a 'ill- ( n -+- 1) «" 



et Ton s'assure aisement que cette serie admet pour fonction 
maiorante —r-, — : ■> et a plus forte raison I'expression 

obtenue en remplacant i — - -, — : par i — ^- Comme la serie 7 - — - 

est convergente, il en resulte que 1 on a le droit d'ajouter terme 
a terme les series entieres obtenues (n° 2G7). Les coefficients des 
puissances impaires de u sont nuls, car les termes provenant des 
])eriodcs opposees se delruisent, et nous pouvons ecrire le deve- 



II. — KONCTIONS DOnU.EMnNT PKHIOniOlKS. IQI 

loppcmcnl dc p// 

( 23 ) r " — ~r, -^ ^2 »- -(- r3 //'• -^ . . . -f- c). u-^'~- -+-... 



en posanl 






Taiidis que la forimile (22) s'appli([uc dans tout le plan, lo 
nouveau dcvcloppeincnt (28) n'est valable qii'a I'inlerieur dii 
cercle Cg, a\ant pour centre I'orif^ine et passant par le poinl- 
periode le plus voisin. 

La derivce j)'/<est elle-meme une foncllon elllpliquc, admetlant 
pour poles du Irolsieme ordre tons les points 2(T'; elle est repre- 
sentee dans tout le plan par le developpement en serle 

D'une facon generale, la derivee d'ordre /«, p^"ii, est une fonc- 
lion elliptlque admettant tons les points 11 = 'aw pour poles 
d'ordre n -h ■>. 

(26) ,p'"'« = (—!)« ' ' ^ " " _^" -t-( — i)" 1 .9.. . .(n-h \)^ 



(» — •2(r)''+2 



Nous laissons au lecteur le soln de verifier la logitiinile de ces 
developpemenls, ce qui n'ofTre aucune difficulte, d'apres les pro- 
prietcs elablies plus liaut (n'" !298 el 319). 

328. Relation alg^brique entre pu et p' u. — D'aprrs un 
tlieort-inc general (n" i^^O), il exisle une relation algcbriquc 
enlre pu et p'u. On I'oblient aisement comme il suit. Dans le 
domaine de I'oiigine, on a, d'apres la formule (23), 

p u = ; -T- •'. C2 « -^ -J C3 «•* -f- . . . , 

4 «f' 

I 3 Co 



up. CIIAPITRE XV. — KONCTIONS UMFOUMIiS. 

les lermes non ccrils elanl tons mils pour « = o. La difTe- 
reacc j)'-(;/) — \p^ tf atlniel done Toriglne coiiimc pole du sceond 
ordre, et, dans le domainc de ce point, on a 

p'2(«) — 4p'" = — ^^ — 28C3 -I-..., 

les lermes non eerlls etant nuls pour u = o. 

La fonclion cllij)li(pH' — -ioc^pn — 28C3 possede done les 
nienies poles avec les menies parlies principales que la fonclion 
elliptique p'- — • Ip'', el lenr diderence esl nulle pour 11 r= o. Ces 
deux fonclions ellipliques sonl done idenliques, el nous avons la 
relation cliereliee que nous ecrirons 

(2;) (p'")-= 4p^« — .5'235« — ^3. 

en posant 

^,=2oc,=6o2 ('.J^)^ .-3-28c,=,4o2 (-'-)'• 

La relation (27) esl fondamenlale dans la llieorie des fonclions 
ellipliques; les quanliles ^o et ^3 sonl ap[)elees les invariants. 

Tous les coefficients c\ du developpement (9.3) sont des fonc- 
lions enlieres des invariants g^ et g^ ; de la relation (2-) on deduil, 
en effet, en prenanl les derivees et divisant par aj^'w, 

<28) J3"if ==6j)2»— ^. 

D'aulre part on a, dans le doniaine de I'origine, 

J 1" «< = —7 -i- 2 C2 -^ 1 2 C3 «' -T- . . . -1- ( 2 }. — 2 ) ( 2 ). — 3 ) cx u^^~'^ -i- . . . . 

En remplacant pit el p" a par leurs developpements dans la rela- 
tion (28), el en idenlilianl les deux niembres, on oblient la rela- 
tion de recurrence 

V 

qui permet de calculer de proclie en proche tous les coeffi- 
cients c>, au moven de Co et de C3, el par consequent de g2 et 



II. — FUNCTIONS DOLBLKMKNT PKniODIQlKS. igS 

de ^:( ; on troiivc ainsi 

'2'.o. J- .i*.:>.7. 1! 

Ce calciil nicl en t'\iclcnce ce fail algt'bri(|ue reniar(|iialjli'. (|uo 

loules les sonimcs 7 — s'exprinicnt par dcs fonclions cnlieres 

dcs deux premieres. 

Nous connaissons a priori les racines de p u. Celte foDctiou, 
elant du troisieme ordre, adinet Irois raeiues dans an parallelo- 
grainnie. Comnie elle est inipaire, elle adniel les racines u = co, 
u = o)'. u = 10" = t.) + co' (n" 312(3. liemarques). D'apres la rela- 
tion (27), les racines de requalion \p^ — g>p — ^3=osonlpre- 
cisement les valeurs de pit pour u = co, to', oj". On represenle ces 
Irois racines par e,, eo, e^ '• 

ces Irois racines sonl difTrienle.s. En efTet. si Ton avail j)ar 
exeniple <?| = e-2^ i'equalion jj« = Ci aurait deux racines doubles oj 
el co' a rinlerieur d'un parallelogramme des periodes, ce qui est 
impossible puisque jjwesldu second ordre. On pent encore ecrire 

4j^'« — ^2j'« — eTs = 4(P" — ei)(j)» — e. ;(].£.' — ej) 

el, enlre Jes invarianls g-^. g^i el Jes racines e,, e-,, c^a, 1 on a les 
rehilions 

ei-^ e.)^ ^3= o, t'i€'2 +- e;e:j-i- f2e3= — --, ^162^3=^^- 

4 4 

Le discriminant — ("■;! — "J-' s'i) est necessairement difTerenl de 



329. Lafonction ^«. — Si nous inlegrons la fonclionpw ^, , 

suivant un chemin (juelconque parlanl de I'origine el ne passant 
par aucun pole, nous avons la relation 

La serie qui est an second membre represenle une foiiclion 
jneromorphe admellanl luus les points u :== liiv, sauf //^^o, pour 
G., 11. ,3 



{■in-pj 



194 CIlAPITRIi \V. — KONCriONS IMKOUMES. 

poles du premier ortlrc. En cliangeanl le signe el en ajoiilanl la 
fraclion -> nous poserons 

la relalioii precedenle pen I sV'crii-e 

r" / r ^ 

et, en prenanl les derivees des denx incinLres. il vienl 

(3i) r'« = — p«. 

On veil facilement, sur I'linc ou J aiiUe de ces formules, que la 
ionclion w^/ e>t impalrc. Dans le domaine de I'origine, on a, 
d'apres le developpemenl (28) el la formule (3o), 



La fonclion ^a ne pent adjnellre les periodes ^>CJ el 2 to', ear 
elle n'aurait qu'un pole du premier ordre dans un parallelo- 
gramme de periodes. Mais, les deux fonclions ^(w -\- 2(v) el w?/ 
avanl la meme derivee — j3«, ces deux fonclions ne difierent que 
])ar une conslanle; la fonclion ^_u augmenle done d'une quantile 
eonslanle lorsque rargument u augmente d'une periode. 11 esl 
facile d'avoir Texpression de celte eonslanle. Ecrivons, pour plus 
de clarle, la formula (3o) sous la forme 



X"(-^)"'-^ 



en changeani a en u -^ 'i^i el en relranchanl les deux formules, 
il vienl 



w(« — 2W) 



^^vdv. 



Nou 



s poserons 



— I Pi'dl-, 2 7,'=— I 



pvdv 



7, el y,' sonl des constanles. independantes de la limile inferieure // 
et du chemin d'integralion. Ce dernier poinl esl evidenl a priori, 



11. — FONCTIONS Dot IILi:.Mi;.\r I'KIUODK'l I ^. lyi 

piiisqiie Ions les residus dc pr smil mils. I, a foin lio;! "Ci/ snlisfail 
done aux deux relations 

Z{U -r- -2(0) = ^11 ~- y-r, ^( // -i- ko' I = X.U -+- >.r'^ . 

Si Ton fail dans ccs forninlcs ;/ =r — (.>, (jn a z=z — (,)', on Iroiivo 

Enlre les (jualre quanlites (o, (o', r, , y,' il cxisic line relation 
lix-s sini|)le. Pour rc'lahlii-, il siiflil di'valiier dc deux facons 

rinleyralc / X^udu^ prise Ic Inni; d mi |)arall(''loj;raimnc de soin- 

niels //„, //„— ^(o, //j, -h 2(u -i- :>. (o'. u^^-\- .>.ix)! . Nous supposerons 
que v// n'a aiiciin pole siir le coiiloiir el (pic le coeflieienl de / 

dans — est ])osilif, dc faeon ciue Ton rencontre les soniniets dan-^ 
CO ^ ' ' 

lordie oil ils sonl ecrils qiiand on decrll le conlour de ce paralle- 

loyramnie dans le sens direct. II y a un senl pole de X^u a Tinlc- 

rieur de ce conlour, avec un residu egal a + i; Tinlegrale consi- 

derce est done egale a 'ir.i. D'aulre part, la somme des inlegrales 

prises le long du cole joignanl les sommels Wq) ''o+ aw, et du 

cole oppose est egale {voir n° 326, p. i84) a 



( 



Wu — ;| ( 1/ -h 2 (>/ ) ] du = — I cor/, 



cl Toil voil de nienie (|ue la somme des inlegrales provenanl des 
deux aulres coles est egale a /{(o'y,. On a done la relation annoncee 



KSi) 



lOf, = — i. 



^ II 4-20) 

Calculons encore I'inlc'grale definie F(//) = / "Cvclv. pri>e 

le long d'un cliemin quelconqiie ne passant par aucun des poles. 
On a 

F'( « ) = w( " -^ 2 w I — ~ " = '^ r, , 

de sorte cpie F(") ^^^ ^^'' ''' ^'^''"^ V (u) — ^rjt ^ K, la cou- 
slanle k n'elanl deterniinee qu"a un imilliplc dc i-i pres, car on 
pent loujours modifier le chcmin d'inti-gration. sans clianger les 
exlremiles, de facjon a augmenler I'integrale d'un multiple quel- 
conque de ira. Pour Irouvcr celte conslanle K, calculons I'm- 



19<> 



CIIAPITRE W. — FONCTIO.NS IMI' OKMKS. 



h'ijrale definic / i'tv — ; ) '^'''' Jt; loni; dun clicniin lies voisiii 
« (i) 

dii segment de droite qui joint Ics douN. points to el — w. Celle 
integrale est nulle, car on pent remplacer le chemin d'integralion 
liar le clieniin rcctiligne, el les elements de la nouvelle inle- 
i,Male sc detruiscnt deux a deux. Mais, en reinplacant // par — co 
dans la Ibrmule qui doune F(«), Ton a 



/." 



r f th 



1 r, CO + K , 



et rinlegrale / - dv est egale a ±-i^ de sorte que Ton peul 

•^ — w 
prendre R= 27,10 ±-/; en ne faisant aucune liypolhese sur le 
chemin d'inlegralion, on a done, dune facon generale. 



(33) 



,{ 



^ V dv = '2 r, ( /< -1- iO ) -r- ( 2 /?i -i- I ) - i, 



m tlanl un nonibre entier, cl Ton a une lormule analogue pour 



'integrale / 



'. V dv . 



330. La fonction 7 a. 



En inlc^rant la fonction X.u le 



long d'un chemin quelconque partanl de I'origine et ne [)assanl 
par aucun pole, nous avons 



/ i'Cu ) du =7 L02; ( I — — 

Jo V' "-^ ^ L "\ •^'i 

el, par suite. 



—.1 



1 |e 

■>. (I 



1 r 



La fonction entiere qui est au second membra est la plus simple 
des fonclions enlieres qui admetlent pour racines simples toutes 
les periodes 2(v; c'esl la fonction 711 



(35) 



n['-^.y 



II II' 

w 8vv» 



II. — l-ONcriO.NS DOrill.fCMKNT PKRIODlQLIiS. 

I/cgalih- (3^) pciil s'ecrlre 



'97 



ijii = ue^ 



(34 bis) 

el, en prenani Ics di'rivces logariiluiiiqucs des deux menihros, il 
vienl 



(3r.) 



'y " I „ I 
— = — h Zii 



La fonclion 7 ii , c'lanl line fonclion cnliere, ne peul elrc doublc- 
menl pi'-nodique ; quanl rari^uincnt aiigmenle d'unc periode, elle 
est imilliidiec par uii facloiir cxponenliel que I'ori |)eul deter- 
miner comme il suit. On lire par exeinple de la formule (S/j bis) 



^(u 



>) u -^ 1(1) f y III f 



1 a u 

ee facteur a ele calculc j^liis haul, el Ton a 

On Irouve de meme la fornuilc 

(38) cr(« -f- 9.w') = _ e2ri(" -»-"'' 7?/. 

Les formules(35) ou (?>\ bis) mcllent en evidence Tunc el I'aulrc 
(pie ~ II esl uue fonclion inipairc. 

Si Ton develoj)|)e celle i'onclion r:u suivanl les puissances de«, 
le developpenienl ohlenu sera valable dans loul le plan. II esl 
facile de monlrer (pie lous les coefficienls sonl des fouclions 
enlieres de g^ el de ^3. Nous avons en elTet 

/ {'Ck —~)da = — ^ li'— ~ u' — . 

el, par suile, 



'lh{lK — \) 



i„l__i.„r_.. 



On voil qu'il n'j a pas de lerme en u' , el qu'un coelficienl 
qucKonque esl line fonclion enlierc des c\ el par suile des inva- 
variants g^ el _^.t ; les cinq premiers lernies sonl les suivanls : 



A' -2 "' 



{^)^U=U-~:^.^ 



23.3.0. 



A'] " ' 

'2-'. 3- . < , 



2". 3-. 3-. 7. I I 



u)8 ciiu'irni: \v. — ionctions imformes. 

Los hois roiiclions pii, "Cii, y u sont Ics ek'inents essenliels de 
la llieorio ties fonclions ellipli([iies. Les deux premieres se dediii- 



7 a 



v/ 



sent de 7U an iiioven des deux relalioiis ^ // = — > p« = — ^ n 



nil 



331. Expressions generales des fonctions elliptiques. — Toule 
fonclioa elliplique /(«) l)eut s'cxprinicr, soil an mojcn de la 
seule fonclion lu, soil au inoven de la fonclion X^ii el de ses 
derivees, soil au moven des deux (nuclions pa et p' a. Nous expo- 
serous succiucleuienl les Iruis uielliodes. 

i" Expression, de f{u) ftu nioyen de la fonclioa in. — 
Soieut r/i, c/^, . . ., a,i les zeros de la foncliou /'(//) daus un paral- 
lelogianiuic des poriodes, et ^,, Z>2, • ■ • :■ h,i les poles de/(«) d;ins 
le nieine paralKdograuime, cliacun des zeros el des poles elaut 
coniple autant de fois (|ue I'exige sou degre de niulliplicile. Eiitre 
CCS zeros et ces poles ou a la relation 

2^ elaut une periode. Ccla pose, considerous la fonclion 

s(k — a^) . . . <i{iL — rt„) 



'(«) = 



i{ii — 6'j . . . n( a — b:i — u <> ) 



CeUe fonclion a les menies poles el les menies zeros que la fonc- 
lion f{if), car les seuls zeros du facleur 7(1/ — ai) sont u = cii et 
les valeurs de u qui ne dilTerent de at que dune periode. D'aulre 
part, celte fonclion '^(^11) est doublenient periodique, car si I'on 
change a enw+aw, par exemple, la i*elation (S^) prouve rpie 
le numeraleur et le denomiualeur de '-^{u) sont multiplies respec- 
livemenl par les deux facteurs 

et ces deux facteurs sont egauxd'apres la relation (io). On verrait 

de nieme (lue I'on a 'o(u -\- "n^ii) ^ 's>(u ). Le fiuotient , est 

done une fonclion doublenient periodique de «, n'ayant aucun 
infini, c'est-a-dire une conslanle, et nous pouvous ecrire 



M ;< — /-'i)7( a — 0.2) . . . 7i u — b,i — ill) 



t 



II. — FONCTIONS DOUBLICMKNT PEIUODIQUl-S. I99 

Pour tletorminer la constantc C, II siiflira de donncr a la variable u 
line valeiir <|iii nc soil nl un pule, ni iiii zc'ro. 

D'liiR' tac'on |)Ius g^nerale, pour expriiner la ionctiori cllip- 
liquc f{u) au moven de la fouclioii tu, quand ou connait ses 
poles et ses zeros, il suffira de choisir n zeros (rt, , a'.,, . . ., a'^) 
et n poles {b\, //,, . . ., b'^)^ de facon que toute racine de f{u) 
s'oblienne en ajoulant une periode a I'une des quantltes a\^ cL tout 
pole dey*(«) en ajoutant une periode a I'une des quantites A), et 
que Ton alt en outre l\/^= X^j. Cos poles et ces zeros peuvent 
elrc situes tlaiis le plan irune faeon quelconque, pourvu ([u'ils 
verilient Ics conditions precedenlcs. 

l^'' Expression clef {it) ou nioyen de la fonction ^ et de ses deri- 
K'ecs. — Considerons k poles a^.^ a>, . . . , Ou de la fonction y(«), 
tels (]ue lout autre pole s'obtieiine en ajoutant une periode a I'un 
de ceux-la. On pent prendre par exemple les poles situes dans un 
nienie parallelogramme, niais cela n'est pas necessaire. Soit 

A'/' A'/> a;/; 



a — Ui (a — (li)- (u — ai)"i 

la partie prlncipale de J\u) dans le domaine du point ai. 
r.a difference 

k 



Jill)— X\ A/' a « - «/) - A," l'{n- a, ) 

■ )«'-' A j/;^ 



("/—•) 



^(''.-»''(« 



«/•)] 



est une lonclion holonior[)he dans lout le plan; c'cst de plus 
une fonction doublement periodique, car lors(|ue Ton change a 
en /^ + 210, cctte fonction est augmeutee de — 2r,SA,'', quantite 
(jui est nulle, puisque SA*," represenle la somine des residus dans 
un parallelogramme. Cetle difference est done une conslante et 
Ton a 

I /( » ) = G -^ y r A /: ^( « - Oi) - A/ ;'( u - ai) 



I. ■>.... («/-l)^ 



200 CIIAI'ITUIC XV. — KONCTIONS INIFORMES. 

La fonmilo precedenle esl due a JM. IToimitc. Pour pouvoir I'ap- 
pliquor. il fanl connailrc Ics poles de la foticlion elli|)lifiue /"(?/) 
ot les parlies principales corresjiondanles, Dc nieme que la for- 
niule (40 e-^'t Tanalogue de la formule qui donne rexprcssion 
d'une fouclion ralionnelie par un quotient de deux poljnomes 
decomposes en leurs facleurs lineaires, la formule (4^) est I'ana- 
logue de la formule de decomposition d'une fraction ralionnelie 
en elements simples. C'est ici la fonction X.(u — a^ qui joue le 
r61e d'element simple. 

3" Expression de J\u) a a moyen de pa el de p' {u). — Con- 
siderons d'abord une fonction elliplique \)^\re f{u). Les zeros de 
cette fonction, qui ne sont pas des prriodes, sont deux a deux 
opposes; nous pouvons done trouver n zeros (<7|, a-^, •• •, ci,i) 
tels que tous les zeros aulres que les periodes soienl compris dans 
les form u les 

lira, -4- 2(1', -±1 a^—- rnv, ..., =i= «„-+- 2 «'. 

On prendra, par exemple, le jmralleloyianime avant pour sonimets 
les points to -\- co', to' — to, ■ — o) — to', w — co', et les zeros situes 
dans ce parallelograniuie du nieme cute d'une droite passant par 
I'origine. Si un zero «/ n'estpas une demi-periode, on fera figurer 
ce zero «/ dans la suite r/,, a-,. • • ., «« autant de fois qu'il y a 
dunites dans son degre de multij)liciLe. Si le zero rt, par exemple 
est une demi-periode, ce sera un zero d'ordre pair 2/' (n" 326, 
Remarques); nous ferons figurer ce zero /■ fois seulement dans la 
suite «,, a.2, . . , c(„. Cela etant, le produit 

( pu — pai)(j>u — pa,) . . .1 pu — pa„) 

admet les menies zeros que /'(«), au ineme degre de mulliplicite, 
sauf si Ton a/io) = o. On formera de meme un autre produit 

{^p u — p b^ ){ p a — pbi ) . . . { p a — pb ,„), 

aduieltanl pour zeros les poles de J\u) au nieme degre de multi- 
piicite, en laisant abstraction des points periodes. Posons 

^ {pu — pai)(pu — pa,_)...(pu — pan\ 

{pu — pbi) ( jj « — J) 62 j . . . ( J) u — J) b,„ ) ' 

le quotient - — - est une fonction ellipliciue qui a une valeur finie 

^ ^iU) 111 



II. — FONCTIONS nOUBI-EMKNT PKRIODIQUES. 2()1 

cL cUffi'iCDte dc zi'-ro |)onr loiile valeurtlc u i\\\\ n'esl pas une pc- 
riode. CeUe fonclion ellipli(|iic so icdiiil a line constanle, car elle 
ne |)oiirrail avoir pour poles cpie les periodes, cl, s'il en elail 
ainsi, rin\erse naurail pas de p(')les. On a done 

_ (p» — pa|)(.pf< — pg,). . .(.pu — pg.-, ") 

''" ~ (Jl// — p6,)(jWf — p6,) ...(J)H— J)6,„)' 

Si /, {u'^ est une fonclion cllipiiqtic iinpaire, —, — est une fonc- 

lion paire, et par consequent ce quotient est une fonclion ration- 
nelle de y>u. Enfin une fonction elliptique quelconque Y { u^ est la 
somme dune fonction paire et d une fonction impairc 

^, , FfM)-f-Fr— »i YiiD — V^ — iL) 

f(h) =^ i — -; 

en apj)li(jiianl les resiiltals j)rect'dents, on voil que toulc fonclion 
elliptique pent etre inisc sous la forme 

C43) F(") = R(p«)-t-p'"Ri(P«)) 

II et R| etant des fonclions rationnellcs. 

332. Formules d'addition. — La formule d'addilion pour la 
fonction siiij:: perniet dexprimcr sin(rt + 6) au moyen desvaleurs 
de cette fonclion et de sa derivee pour x ■= a et :r = b. II existe 
line formule analogue pour la fonction p/^; seulemciii I'expression 
de jd(z^ -f- (') au moven de p/^, pc, p'//, p't^ est un pen plus com- 
pliquce, a cause de la j)resence d'un denominateur. 

Projiosons-nous d'ahord d'ap|>lirpier la formule generale (4 0' 
oil figure la fonclion i u ^ a la fonclion cllipli(jue j)// — pr. On voit 

immediatement riue --^ est une lonction clM|)tique 

^ z- a ' ' 

admettant les memes zeros et les memes poles que p« — jx'. Ou 

a done 

\Mi — pp= (>. : 

pour determiner la conslanlc C, il stilfil dc mtdtiplier les deux 
mcnibrcs |iar t-//, et de faire tendre u vers zero. On Irouve ainsi 



•>03 CII \IMTHI-: W. — l-ONCTIOXS IMFOUMKS. 

la relation i = — ('a-'-c, (Toi'i Ton lire 

Prcnoiis les derivecs loi;arilliiiii<|iies ties deux membres, en regar- 
(.lanl r comiiie unc constaiilc ct n conime la variable independante. 
1! vionl 

]'" — .1"' ■ . . 

cii permutanl u et r dans cetle formule, elle devient 

" ^^ — = Z{u -r- i') — Z( a — I') — ■^ll'■, 
,P" — J"' 

endn, en ajonlant les deux tonuules, on obtientla relation 

(45) r(«-^r)-r«-r.= i^l^^^^^i^, 

■ 2 JJ « " JJ C^ 

(jui conslitiie la formule d'addition pour la fonction "Cn. 

En differenlianl les deux memlires par rapport a n, on obtien- 
drait I'expression de p(u -'r v)', le second membre renfermerait 

la derivee seconde jy ?^ qu'il faudrait remplacer par6p-« — ■— • Le 

calcul est un pen long, et Ton arrive au resultat d'une lacon plus 
elegante en demontrant d'abord la formule 

Considerons toujours a coaime la variable independante; les 
deux membres sont des (onctions ellipti((ues admettant comme 
poles du second ordre w = o, « =^ — i^, cl loutes les vaieurs qui 
s'en deduisent par I'addilion d'une periode. Dans le domaine tie 
i'origine, on a 

^(u -^ v) — !^i<--^r=:^t>-4-«^V-!-... — Zn — Z_v 

= r- « r t' -T- a «- -T- . . . 

a 

et, par suite, 

[^(u-^ V ) — 'Ca — llvV^ = '2 ^ V — -A a M -+- 

u- 

Laparlie principale est —,, conime pour le premier membre. Com- 
parons de meme les parties principals dans le domaine du 



II. — I'ONCTIONS DOIRI.KMKNT PKRIoniQllCS. 'o'J 

pole II ^=^ — r. Ell posaiit // = — r + h, nous avons 

r /* — r ( — f -i- /m — r f = '- — // r v -f- 3 //^ - . . . . 
ii 

I.a parlic |irincI|)aIo tin setond mcniljre de la formule ( i<Jj, dans 

le domaiiie du point // = — v, rst done -j conimr; pour le 

' ( a^ V)- ' 

premier meinbre. \a\ diderencc iie pent done eire cpi "uiio con- 

stanto. Pour evaluer celte eonstanle, coniparons par exemple les 

developpeinenls dans le doniainc de I'orlgine; on a, dans ce do- 

inaine, 

J ) ( // -- r I -^ J ) « -i- J1 1^ = -T, -t- 2 J1 1' -H M Jl t' -I- . . . . 

En comparant ce developpement a celui de \^iii -\- v) — ^" — ^^]'i 
on voit que la difference est nulle pour w = o. La formule (46) 
est done elablie. En rapprochant les deux foi mules (45) ^t (46), 
on oblient la formule d'addilion pour la lonclion pii 

333. Integration des fonctions elliptiques. — La formule de 
dl'■compo^ition de "SI. Hermitesc prele iminedialement a linlegra- 
tion d'une fonclion elliplique. On deduit en elTet de la formule (42) 

k 
\ ff{'i)(lii- = '^" -^"y ' A /' LogfT^f/ — Ui 1] - A/ l(u — ai)-^... 
(18)/ ,^,' 

( «, — I ) ! \ 

Nous vo}ons c|ue I'integrale d'une fonction elli|)tlque s'exprime an 
moyen des memes transcendanles 7, ^, j), (pie les fonctions elles- 
m^mes; mais la fonclion t// pent y flgurer sous le signe log. Pour 
(pie rintegrale d'une foncti(jn elliplicpic soit elle-meme uue fonc- 
lion elli[)lique, il faut dabord ipie Tintegrale ne presente pas de 
points ci-itirpies b)garillimi([uos, c'est-a-dire ipie tons les re- 
sidiis A", soient nuls. S'il en est ainsi, rint('grale est une lonclion 
meromorplie; pour rpi'dle soit ellipli(pie, il suffira quY'lle ne 



2o4 ciiAi'iriu: \v. — i-onctions iNH'oiiMiis. 

change pns pr\r Taddilion d'tino pi't-iodc, c'csl-a-dirc que I'on ait 

1 C (o — ■). T, 2, '^ -P ~ o, ■?. C to' — •>. r/ \ AV = o, 

dou Ton lire (> ^^ o, SA',"^=:o. Si ces condiiions sont remplies, 
rintegrale se trouve mise sous la forme indicjuee par le iheoreme 
de jNI. Herniiie. 

Lorsque la fonrlion ellipliqiie qn'il s'agil (rinlcgrer est cxpiimce an 
tnoycn ile p u el de p' u, il est souvenl avanlageux de parllr de celte forme, 
au lieu d'employer la melhode jjenoralo. Soil a iiUei;;rer la fonclion ellip- 
liqiie R(p« ) -^ j)'» Ri (j>«), R. el Ri etanl de-^ fonclions ratiomielles. IVoiis 

n'avons pas a nous occiiper de rintegralc / Rj fp u)p' « c///, que le cliange- 

menl de variable pu = t ramene a I'inlegraie dune fonclion ralionnelle. 

Quanl a Tintegrale / \\(p ii) di/, on ponirait, par des operations ration- 

nelle«, rombinees avec des inlegraiions par parlies convenablemenl clioi- 
sies, la ramener a un cerlain nombre d'inlegrales types, mais cela revien- 
drait a refaire sous une autre forme des calculs qui ont ete deja cirectues 
(Chapilre V, pages 255-259). Si nous faisons en elTet le changement do 
variable pu = t. qui donne p u du = dt ^ ou 

dt dl 

du 



P'U ^^f,_g,^J-g., 

I'integrale / \\{pu)du prend la forme 

R{t)dt 



f 



/4/:i_ o.,^_ 



Nous avons vu comment ceLte integrale se decompose en une fonction 

ralionnelle de / el du radical v i '* — ,•?'•> ^ — o'3i en une somme d"un cer- 

r t" dt 

lain nombre d'inlcs;rales de la forme / - > el enfin en un 

certain nombre d'inleijrales de la forme 



/ 



r t" dt 

J v/-i f -git — S-, 
ne 

Qf/) dt 



J V(t) ^'^iz_ g,t-g,, 

P(f) elant un polynome premier avec sa derivee et avec \t'^ — S'!.^~~ Sit 
et Q('/) un polynome premier avec P(0) ^^ ^^ degre moindre. 

En revenant a la variable u, on voit done que I'integrale / R(p «)<■/« 

est egale a une fonclion ralionnelle de pu el de p u. augmentee d'un cer- 



ir. — FONOTIONS DOLBLKMKNT rKIUODIQLES. iO ! 

lain iiombrc d'intcgrales idles qtic / (pu)"clu, el d'aulres iiilograles di 



la f( 



jiine 



el celle leduclioii peul elio ellecluee par des operalious ralioiiiielles 
( inulliplicalions el divisions tie polynonies) oonibinees avec ceilaines in- 
le-^ralions par parlies. 

On oblienl aisenient line fornuilo de recurrence |)Our Ic calcul des inle- 

grales l„— I ( pit }" dit. Dans la reialion 

^ [(r«)""'r'«] = I « — i){pu)"-^p'ui ^-(jjt<j"~'j>"" 

remplacons p'^ u el p" u par 4j'^" — o''2j'" — ^3 et Gj)2« ^j respecli- 

vemeni; il vient, en ordonnant par rapport a pu, 

= (4n-^2)(pa)"+' — (/t— M^2(pw)"-' — (« — i;^3(r"j" --, 

el Ion en tiie, en integrant les deux uienibres, 

( JO) (p «)«-'])' a =(4/t-l-2)I„+i— ( « — ; ji'jl/;-! — (/« — l)i':jl/4-2- 

Kn faisanl successivenient dans cette forniule n = i, i. 3. .... on oalcu- 
lera de proclie en |)roclie toutes les inlegrales I„ au uio\en des deux [)re- 
niieres l^= u, li= — Zu. 

I^our pousser plus loin la reduction des integrales do la rorine (49), il 
faudra connallre les racines du pol\ nonie P(^). Si Ton connail ces racines, 
on ramenera le calcul a celui dun cerlain nonibre dinlcirrales de la forme 



/ 



^/, 



pu - pi> 



pv etant dilTerentde ej, 62, 63, puisque le polynonic P(/)cst premier avec 
.\l^— ffii — ^3. La valeur de v nest done pas une demi-periode, et p' v 
n'esl pas nul. La formule 



pu — pv 
elablie plus haul ( n" 'i'.\lL} nous domic alors 

<ji I / '- = -7— I Loi:7( u-r- V ) — Log7( u — i' ) — xulv} — C. 

J pu — pv p V 



•2oG CIIVPITIti: W. — KONCTIONS IMFOH.MKS. 

334. La fonction 0. — Lcs «tMios par Icsquollos noii? avons defini les 
f'onclioiis pu, Zu, (J It se prelenl (liflicilement au\ caloiiis numoriques, 
y coinpii? le developpomenl cti scrie enlieie de (7 it, qui csl valable dans 
tout le plan. Les fondateuis de la iheorie des fonclions elliptiqucs, 
Abel el Jacobi, avaienl intindnii inu' luilie tianscendanle remarquable, 
deja renconlice par Fourier dans ses Iravaux sur la llu'-oiie de la chaleur, 
el que Ion peut developper en une serie Ires rapidemenl convergente; 
ccsl la fonclion 0. Nous allons elablir biievenicnl les principales pio- 
juieles de ceUe fonction, et nionlrer comment on pent en deduire aisc- 
ment la fonclion sit de i\I. Weierstrass. 

Soil T une quanlilc imaginaire r -i- si, oil le coefficient .s de i csl posilif; 
r designanl une variable con)plexe, la fonction 0(r) est definie par le 
develo])|ien)ent en seiie 






(52) 0(,f ) = -T > (— l)''5r -'/ e(2«H-i)m<'^ ^ ^ (,r.t~^ 

que Ton peut regarder conime une scrie de Laurent, ou Ton aurait rem- 
place :■ par e'^'". Cetle serie est absolument convergente, car le module U„ 
du terme general a ])our expression 



U„ 



Ti(«+-_^) — .2n-(-li7:|i 



si r = a -h ^f; '{/{],! tend vers zero lor.-ique n augmenle indcfininient par 
valeurs positives, el il en est de menie de \/L_„. La fonction 6((') est done 
une fonction transcendanle entiere de la variable v. C'est une fonction 
impaire; en effet. si nous rennissons les lermes de la serie qui corres- 
pondent aux valeurs n el — n — i de I'indice (en faisant varier n de o 
a H-cc), le developpement (j2) est remplace par le siiivant 



(53) ii{i') = -iy{-i)"c/''^^-) 



sin('2« -^ i)-i>, 



qui monlre que Ton a 

0(^— r; = — Oi r}, 6(o; = o. 

Lorsque r augnicnte de I'unile, le terme general de la serie (02) est 
niultiplie par e'2"+i)W= — |. Qn a done H{y-^i) = — On'). Lorsqu'on 
change v en p -!- t. on ne voit pas immedialement de relation simple 
entre les deux series. Mais nous pouvons ecrire 

+ " / 1 5 

0(p-t-T; = ^ > (— i)"<7V -' e'2«-+-))7ti<'; 

changeons dans cetle serie n en n — i, le terme general de la nouvelle 
serie 

( \)'t — ig 2/ g(2n+l)7:if g- 27:/f 



lONCnONS 1)1)1 IlLKMENT PlilllOIMQl KS. 



c'-^l <\nal an teiiiif ijriu'ial (If la |iiemii'rc seric(52), inulliplie par - - y-' f- -""'. 
La fonclioii 0(i'i satisifail iluiic aii\ doiix rclalioiis 



(54) 



0(,--:-,)=-0^i-), 0(r-+-T) 



'■»'0(r): 



ces lolalions niontroiU que la fouclion 0(v) adinet pour zeros lous les 
|)oinls mi~- rn-yz, nil cl /»2 t'tant lies nombies eiuieis arhitrains, positifs 
ou negalils, puisque roiii^iiic est iiiie ra( inc. 

Cc soul la les seules raciiios lie Icqualioii Oi^i^) = o. Coiisidcixms cii 
elTet nil i>aiall<'l(igiaiiiiiie a\aiil pour sonimets les qiiatre pniiils p^. t'o-l- i , 
Vo-H I -i- T, t'o-H ~, Ic premier sonimel I'u elanl pris do telle facoii qiraiicune 
des racines de 0( r ) nc soil sur le contour. Nous allons inoiitrer que I'equa- 
tinii 0(r) =o a lino souic ratine dans cc |)arallcloj;raninie. II snflil pnur 

cela de calculcr I'intc^ialc / -; — ih' i)rise Ic Ions "-In conloni- dans le 

, / ( r ) ' ° 

sens direct; d'apres riiypolhesc faile sur t, on rencontre les soninicls dans 
I'ordre oil ils sonl ecrits. 

Des relations (')/\) on di'duit 

0'(y -M) _ 0'(c) 0'((> -l-T) _ 0'(t' I 



La premiere de ces relations inontre qu'aux jjoints correspondants /i {Jif^. ~\) I 

el II lies deux coles AD, HG, la lonclion ■; reprend la mcme valcnr. 

Commc ces deux cotes sonl dccrits dans des sens opposes, la soinme des 




^(l>o* I J 



^(uoj 



intcj,M-aIes corrcspondantcs csl nullc. Au conlraire, si nous prenons deux 

noints corresi)ondants ni. ni' siir les cnlcs AIJ, DC, la valeiir de ,- — -- au 
' ' 'K<') 

point m' csl egalc a la valcnr dc la memc fonction au point m, diminuee 

de 'ir.i. La sommc des integrales provenant de ces deux cotes est done 






■}.T.id\,\ c'csl-a-dire a i.~i. Commc il v a cvidcmmcnl dans 



le paralleli>i;iammc AI5GD un point cl un senl donl Taflixe est dc la 
forme //? i -(- //?iT, il s'ensuil que la fonction 0(C) n'a pas d'autres zeros 
que ceux-la. 

Kn resume, la fonction 0(c) csl nnc function enlicre impairc, admcUanl 



2o8 CIIAIMTRE XV. — KONCTIONS INIFOllMES. 

pour zeros simples tous les points nii-h m^-z, el ceux-Ia seulemcnt, el 
verifiant les relations (54). Solent niainlenanl -ato, aco' deux periodes tellcs 

quo le coefficient de i dans — soil posiiif. Kcninlacons dans 0(p) la 

1 CiJ ' ' 

• 1 1 " ''^' ■ 1 f • 

variable v par — el t iiar — i el soil o( u) la lonclion 
aoj u) • ' 

(53) o(„;^0f-^); 

\ 2 CO / 

tt(«) est une fonclion entiere inipairc, adnieltanl pour zeros du premier 
ordre toules les periodes -iw = ini m -,- -2 ni' tW , el les relalions (54) sont 
remplacees par les suivanles : 






(56) c(k -f- 9.io) = — o(;< ), ci( « -H -20/ ) — — e - w /o(«). 

Ces proprietes sont tres voisines des proprieles de la fonclion (ju. Pour 
retiouver zu, il suffil de multiplier 'i« par un facteur exponentiel. Posons 
en effel 

(5;) .S(«) = ^^e'-'^ o(ii), 

Tj elanl la fonclion de to el de to' definie coninie on la vu plus haul ( ni^ 329); 
'\'( u) esl encore une fonclion entiere impaire admetlanl les memcs zeros 
que csi H). La premiere des relalions (56; devienl 

(58) 'i/( « -f- 2w) = — ^- e^ " ' ' o{u) = —e~''S"^<^^'ii{u). 

INous avons ensuile 

2 CO — (/(-(-3CjO i' UH-W I , 

•i/(H -i- 2C0 ) = — ,-; e-"' e '^ '-^('O) 

tJ ^O ) 

. II- , . ~f 

ou, en tenant comple de la relation y,co — r, o) = — , 

(59) 'l( u -H 2co') = — e2r/'H+a)'),i,( u). 

Les relalions (58) el (59) sont idenliques aux relations etablies plus 

haul pour la fonclion -ju. Le ciuolienl admet done les deux periodes 

2CO el 2co', puisque les deux termes de ce rapport sont multiplies j)ar un 
meme facteur lorsque u augmenle dune periode. Les deux fonclions ayant 
les memes zeros, ce rapport esl constant; d'ailleurs le coefficient de u dans 
les deux developpemenls esl egal a un. On a done 111 = '^/iu), ou 

( bo ) 7u = e2w e / — 

(O) \2CO 

el la fonclion 7u esl ramenee a la fonclion 0, comme nous I'avions 



III. — INVERSION. — cornnics nv phkmikr gknrk. 209 

annonce. Lorsquc I'on donnc a I'argiiment c des valeurs reelles, le module 
de q t'tanl infcrieur a runile, la .*crie (53) est ires rapidoment convcrgcnlc. 
Nous lie developpcrons pas davanta{];c ces indicalions, qui suffisent pour 
taire prcvoir le role fondarnculal de la fonclion dans les applicalions des 
fonctions ellipliques. 



III. — INVF.RSION. — GOURDES DU PREMIER GENRE. 

33o. Relations entre les p6riodes et les invariants. — A tout 

sysleme cle deux nombrcs complexes (>>, to', dont le rapport — 

n'est pas reel, correspond line fonction ellipliqiie pit^ complete- 
inent deteiininee, adinellant les deux periodes 2co, 210', et regu- 
liere pour toutes les valeurs de u qui ne sont pas de la forme 
2nito -{- ini' Lo', toutes les periodes elant des poles da second 
ordre. Les fonctions "^n et 711, <pii se deduisent de pu par une ou 
deuK inteijralions, st)nt egalenient determinees par le svsteme des 
periodes (?. w, 2 to'). Quand il J a lieu de mettre ces periodes en 
evidence, on pent einplojer la notation p[u\u)^ co'), l^(m|(,j, co'), 
7(«|co, 0)') pour designer les trois fonctions fondamentales. 

Mais il est a reniarrjuer que I'on pent remplacer le sjsteme (oj, o/) 
par une infinite d'autres sjstemes (Q, Q') sans changer la fonc- 
lion pa. Soient en efFet /n, m\ /?, /?' qualre nonibres entiers, 
positifs ou negatifs, tels que I'on ait m/i' — ni' /i :^ rt i. Si nous 
posons Q = mio 4- /iw', il' =: m' to -^ n' u)' , nous aurons inverse- 
inent to = ±{n'Q — nil'), to'=±(/;?l>' — m'Q), et il est clair 
fpie loutes les periodes de la fonction elliptique pu sont des coin- 
binaisons des deux periodes ?.Q, 2!!', tout aussi bien que des 
dmix periodes 2 to, 2 to'. On dit (pie les deux systemes de pe- 
riodes (2 to, 2 to') ct(> Q, 2 0') sont equivalents, i^a fonction p'^u |0, t)') 
admet les inemes periodes, les ineines [)oles avec les memes par- 
ties princi|)alcs (pie la fonclion p(u | to, to'), et leiir dilfi'-rence e.-5t 
nulle pour // = o. Elles sont done idenli<pies : ce (pii rt'-suilc aiissl 
dii develo|)peinent (22), car i 'ensemble des qnanlites 2 m to -\- 2 ni' to' 
e^t idenli([ue a i'ensemble des qtianlil(}s 2/«Q -h 2 ni'iV. On a, pour 
la meme raison, ^(u 1 12, Q'y =: '^{u\ to, to'), 7{u\Q, Q') := 7(u[(^i, to'). 

De meme, les trois fonctions p 11 , Zit, in sont enticrement 
dtilcrminees par les invariants t^-^, i^i. ?s'ous avons vu en cfTet que 
la fonction ill est represent(}e par un developpcment en serie 
G., II. ,4 



2IO CIlAl'ITRE XV. — FONCTIONS fXlFORMnS. 

enliere donl tons les coefficients sont des jiolynomes enlicrs 

en iTo, !?■■. ; Ton a cnsuite Zt/ = — > puis ]:> u = — "C' u. Pour iiidi- 

quer les foncllons qui cori'cspondent au\ invaiianls fr.^ el ^3, 011 
cmploie la nolalion p{u; go, g-^), t{u; g.,, g..^), o-(//; o-.,, 0-3). 

Icl se presenlc une question essentielle. Tandis qu'il est evident, 
d'apres le mode meme de formation de pu, qu'a un systeme (to, (./) 

correspond une fonction elllpliquc j)/^ jiourvu f[uc le rapport — ne 

soit pas reel, ricn ne prouve d priori qu'a lout sjstenie de va- 
leurs g2i g3 pour les invariants correspond une fonction ellip- 
lique. Nous savons bien que I'expression gl — 2-^3 doit elre 
diderenle de zero, mais il n'cst pas certain que cetle condition 
soit suffisanle. Le probleme qui! s'agil de trailer revient au fond 
a resoudre les equations transcendantes elablies plus haul 



(61) 






„„2' 



par rapport aux inconnues to, to', ou toutau moins a reconnaitre si 
ces equations admettent, lorsque gi — 2^^^ n'esl pas nul, un sjs- 

Irme de solutions lei que — ne soit pas reel. S'il existe un seul 

svsleme de solutions, il en exisle une infinite d'aulres, mais I'titude 
direcle des equations precedentes parail inabordable. On arrive a 
la solution par line voie detournee en etudianl d'abord le ])io- 
bleme de Tinversion de I'lntegrale elliptique de premiere espece. 



Remarque. — Soienl oj, to' deux nombies complexes tels que — ne 

OJ 

soit pas reel. La fonction p(tt|aj, to') correspondante satisfail a Tequa- 
tion difTerentielie 

/ <'/p u ' 

\ du 



= 4P' 



fiV — gi, 



gi el g3 etant definies par les equations (61). Pour « = oj, pw est egal a 

I'une des racines ej de I'equation 4p' — g^p- — o's = o- Lorsque u varie 

de o a OJ, pu deciit une ligne L allanl de rinfini au point ^i ; comnic on a 

do , I , • . • 1 

J on en conclut que la demi-penode cd 

dp 



la lelation du = — z 

est egale a I'inlet^iale definie 



i v/4 



p' — giP-gi 



111. — INVKHSION. — COlHni:S DU l'lli:.MIi;H (JBMU:. 211 

prise suivanl la ligne L. On a une expression analogue p<uir lo'. que Ton 
oblicnt en remplafant e, par e^ dans rintegrale precedente. 

Nous avons ainsi les deux demi-periodes lo, to' expriiuees au movcn des 
invariants ^2, ^3. Pour pouvoir en drduire la solution du problt-ine qui 
nous occupe, il faudrait elablir que ce nouveau sysleme est cifuhalent au 
systemc (Gi), c'esl-a-ilire qu'il dofinit g-i et g^ comine fonctiuns uiiifoimes 
de to, to'. 

336. La fonction inverse de Tint^grale elliptique de premiere 
esp6ce. — Soil I>.(^) un polvnoiiie du Iroisic-me 011 du ([ualiK'nic 
dt'i^i'c, prcinicf avec sa d('ilvee. Nous ecrirons cc polvnome 

R(-) = A(^-«,)(- — «2)(- — a3j(- — «4), 

a,, rto? (f-sj (I; desii;nant rjuatre racines diflerenles, lorsqne ^^{^■) 
est du (jualrieme degrt'; si 11(5) est du Iroisieme degre, nous 
designcrons les trois racines par «, , a-^, (t.s et nous poserons en 
outre ai = y:j en convenant de reniplacer z — :c par I'unite dans 
I'expression de R(5). L'inlegrale elliptique de premiere espece 
est de la forme 

f" dz 



(G2) 



I'origine ^o elant supposee, pour fixer les idees, difTerenle d'une 
des racines de R(5) et a distance finie, et le radical ayant une 
valeur iiiitiale determinee. Lorsque K(5) est du quatriemc degre, 
le radical ^ K(:;) admet quatre points critiques a,, rto. c/^, a.,^ et 
cliacunc des determinations de y'R(;;) admet le point c = x pour 
pole du second ordre. Lorsque ll(-3) est du troisieme dei;re, le 
radical y'R(5) n'a plus que trois points critiques «,, «o, ^3, a 
distance finie; mais, si la variable z decrit une circonference ren- 
fermant les points «,, a,, «:t, les deux valeurs dti radical se per- 
mutent cntre elles. Le poiiit c = sc est done un point de ramifica- 
tion pour la fonction y'KfcV 

Rap|)elons encore les pro|)rietes deja etablies pour lintegrale 
elliptique n (n" 313). Si a(z) designe une des valeurs de cetle 
inlegrale quand on va du [)oiiit c:^ an point :; suivanl un (•Jiciuin 
determine, celte inlegrale pent acquerir au meme point z une 
infinite' de determinations cpii sonl comprises dans les formules 



( ()!i ) « = « ( c ; -t- 2 //I oj -I- 1 ni 0/, u = \ — u(^z) -r- inuM -~ i in' to' 



212 Cll.VPlTRE XV. — FO.NCTIONS I NIFOR.MES. 

Dans CCS formules, in cL tn' sontdetix iiomhres entiers tout a fait 
arbilraires, 210 et 2 to' Jciix periodcs dont Ic rapport n'est pas reel, 
et I uuc conslanle que Ton pent j)rendre ej;alc, par exemplc, a 
I'inlegrale le lonj; du lacet decril aulour du point a^. 

Soit p(«|(o, to') la fonction elliptique i'ormec avec les periodcs 
2to, 2co' de I'integrale clliplique (62). Remplagons dans cetle 
fonction la variable a par I'integrale (G2) elle-meme diminuee 

dc - ) ct soit ^{~-) la fonction de z ainsi ohlenue 



(G4) *(^) = P 



/ 



dz 



S/V\{z) 



= p ( if CO, to 



Celle fonction ^{z) est une fonction uniforme de z. En effel, 
si ion rcmplace a par I'une quelconque des determinations (60), 
on trouve toujours, quels que soient /?i, in' ^ 

*(-) = P "(-=)— - w, w' ou *(^) = J)| ^ — «(^)| to, to' , 

c'esl-a-dire une valeur unique pour ^{z). 

Cherchons quels peuvent etre les points singuliers de cetle 
fonction ^(^)- Soit d'abord ^, une valeur finie de 5, differente 
d'un point de ramification; supposons que Ton aille du point;,) 
au point Zi par un chemin determine. On arrive en ce point avec 
une certaine valeur pour le radical, et une valeur ;^, pour I'intti- 

grale. Dans le domaine du point ;, 



S/K(.-) 



est une fonction holo- 



morphe de :;, et Ton a un developpement de la forme 



on en tire 
(65) 

I 



a,( 



,)4- 'j.i{z — z^y--^. 



•^09^ o, 



ao(^ 



I .a 



Si ;/, n'est pas egal a une periode, la fonction piu — ) 

est holomorphc dans le domaine du point u^, et, par suite, 'i>{z) 
est holomorphc dans le domaine du point z,^. Si U\ — - est une 
periode, le point «, est un pole du second ordre pour pf // \ 



INVKRSION. 



COIRBES DU PREMIER GENRE 



2l3 



et, par siiilc, c, csl iin pole dii second oidre pour *I*(^), tar, dans 
le doniaine dii polnl //,, on aura 

Pill — III) 
( " — «i )^ ' 



P « — 



Pt'liinl une fonclion holomorphe. 

Supposons en second lieu cjue ^ Icnde vers un point crilirpie «/. 
Dans le doraaine du point «/, on a 



Pj elanl lioloinorplie pour z = Oi, ou 

T I 



on en tire, en integrant terme a lerme, 

(G6) U = H,-r- \/z 



■iXo- 



'Ji,(Z 



di)- 



ai) 



••]. 



■]■ 



aoT^o: 



Si //(• n'est pas une periode, ,p(// — ^7) est une fonclion 

lioloniorplie de u dans le domaine du point iti. En rcmplacant 
dans le developpement de celte fonclion suivant les puissances de 
u — Ui, la difference u — «/ par sa valeur tiree de la formule (66), 
les puissances fracti on n aires de(^ — rt/) doivenldisparailre, |Miisque 
nous Savons que le ])remier membre est une fonclion unif'ornie 
de c, ct la fonclion <I^(^) est liolomori»lie dans le domaint; du 

point cii. Ceci monlre, reniarquons-le en passant, que Ui — - doit 

elre e<;al a une demi-jxjriode. On voit de la nienie faron (pie si 

Ui — est egal a une j^eriode, le point «, est un pole du premier 

ordie pour ^^{z). 

Eludions cnlin la fonclion ^(^) pour les valeurs infinics dfe z. 
Nous avons deux cas a distinguer suivant que R(^) est du qua- 
trienic dcgre ou du Iroisieinc degix-. Si le poljnome R(^) est du 
qualrieme degre, a I'exterieur dun cercle G decril de i'origine 
pour centre et renfermant les (pialre racines, chacune dcs dcler- 

niinalions de , est une fonclion holomorphe de - • On a, par 



9.l4 CIIAPITRn XV. — KONCTIONS UMFORMES. 

exemplc. pour I'une d'elles, 

' "o ''^I Of* 

; -f- -^ -h -t +..., ao?^ o. 



v/bTT) 



ct il suflirait de changer Ions les signcs pour avoir le drveloppe- 
ment de la seconde determinalion. Si le modide dc z aiigmente 

indefinimenl, le radical , ayanl la vaieur quo Ton vicnt 

d'ecrirc, I'inlegrale a tend vers une vaieur finie w„, el Ion a, 
dans le domaine du point a I'infini, 

//. s ^0 ^1 ^3 

(67) " = ""--:^-i^-3^----- 

Si if^ — - n'est pas une periode, la fonction p(i{ ) est regu- 

licre pour Ic point u^, et par suite le point z = yz est un point 
ordinaire pour *I^(^)- Si if^ — - est une periode, le point i/^ est 

un pole du second ordre |)Our pin- )' et comme I'on peul 

ecrire, dans le domaine de z ^^ y:^ 



■)■ 

le point z = y:, est aussi un pole du second ordre pour la fonc- 
tion ^{z). 

Si R(^) est du troisitme degre, a I'exterieur d'un cercle ayanl 
pour centre I'origine et renfermant les Irois points critiques «,, 
a-2, CI3, on a un developpement de la forme 

I I / ^1 a, \ 

et, par suite, 

(68) u=u^ — ( 2ao-f- -^ - — .. . ). 

En raisonnant comme plus haul, on voit que le poinl a Pinfini 
est un poinl ordinaire ou un pole du premier ordre pour ^{z). 
En definitive, cetle fonction ^{z) n'admet que des poles pour 
points singuliers; dest done une fonction rationnelle de z^ et 
rint^grale elliptique de premiere espece (62) satisfait a une rcia- 



I 



III. INVEUSION. — COLUBIiS Df I'llLSIlLU UEMliC. Vil5 

lion dc la lorinc 

<l>(c) c'lanl line fonclion rali(jiiiicllc. i\ons ne connaissons |)as 
encore lo dcgre de cclle fonclion; nous allons nionlrcr (juil csl 
ej^al a t/n, et pour cela nons allons clndicr la lonclion inverse. 
En daulres lerines, nous allons niainlenaul considerer a coinnie 
la variable independanle el rechercher les proprietes de la limile 
siiperioiirc :; dc i'iiiU'i;ral(! (0:>.), considerce coninic fonclion de 
celle inU'gralc it. Xous diviserons ccllc etude, qui est assez deli- 
cate, en |)lusieurs parties : 

I" ui toute valeitr finie de u correspondent m valeurs de z, 
si ni est le degrede la fonclion rationnelle ^(^). 

Soil en elVet ;/, unc valeur (iniede u; ['equation <IJ(:;)^= J^ ( "i ) 

dolerniine, pour z, ni valeurs, en general dislincles et finies, 
(|iielques-unes de ces racines pouvant venir se confondre oii 
devenir infinies pour des valeurs partlculieres de a^. Soit^j I'une 
de ces valeurs de z\ les valeurs de I'integrale ellipti(|ue a qui 
correspondent a celte valenr de :; satisfont a I'equalion 

Nous avons done I'une des deux relations 

u = »i -T- 2/ni CO -4- Kin^oi'^ u =^ I — «i -H inii to-f- iniiU}' ; 

dans run et Tautre cas, nous pouvons faire dccrire a la variable z 
un ebeniin allant de :;o a Zt et tel que la valeur de I'integrale prise 
le long de ce cbemin soil precisement i/,. Si la fonclion <I>(^) est 
<le degrc /n, il y a done m valeurs dc z, pour Icsquellcs I'inle- 
giale (6'^) prend une valeur donnee a. 

>° Soit «, une valeur finie de u a bupiclle correspond une 
valeur (iiiie ;, de z] la valeur df z qui tend vers ;,, lorsque a 
tend vers «,, est une fonction holoniorphe de a dans le doniaitie 
du point Uf . 

En edcl, si z, est difTerent d'un poiiil crilicpie, les valeurs de u 
ct de c (pii tendent respectivement vers «, et :;, sont liecs par la 
relalion \^G5) etablie lout a I'lieure, ou le coefficient ao n'est 



2lG ClIAPITnE XV. — lONCTIONS LMFOUMliS. 

pas mil. l)*a|)ies ]c ihcori'inc general sur les fonclions impli- 
ciles (I, n" 187), on en deduil invcrsemcnl pour z — ^i un deve- 
loppement suivanl les puissances cnllcres et poillives de n — //|. 

Si, pour la valour parliculiere «/, z elail egal a la valeur cii- 
tique rt/, on jiourrait de meme cousiderer le second mendjrc de la 
formule ((36) comme un developpemenl suivanl les puissances de 
^/z — Oi] ao nVHanlpas nul, on en lirera inversenicnl pour y':; — ai, 
el par suile pour z — «/, un develoj)pemenl suivanl les puissances 
enliercs de u — w/. 

v^" Soil «„ une des valeurs que prend I'inLegrale u lorsque \z\ 
augmente indefiniment; le point u„ est un pole pour la valeur 
de z clont le module augmente indefiniment. 

En elTet, la valeur de Tinlegrale u qui Lend vers u^ esl represenlee, 
dans le domaine du point a rinfini, par Tun ou I'aulre des deve- 

loppemenls (6^) ou (68). Dans le premier cas on obliendra pour - 

un developpemenl en serie enliere ordonnee suivanl les puissances 
de u — w„, 

dans Ic second cas on aura un developpemenl analogue pour -^ » 

el par suile 

• = (h — «x j-[3i + 3i('« — «=c) + .. .]•'. 
z 

Le point u^ esl done un pule du jiremier ou du second ordre 
pour z suivanl que le polvnome R(^) esl du qualrieme ou du Iroi- 
sieme degre. 

4° Enfin nous allons demonlrer qii7> une valeur de u il ne 
peut correspondre plus d' une valeur de z. Supposons en eflPel 
qii'en faisanl decrire a la variable z deux chemins allanl du point 2^ 
a deux points differenls S), :;o, les deux valeurs de I'inlcgrale 
prises suivanl ces deux chemins soienl eg.des. On pourrait aiors 
trouver un cliemin L joignanl les deux points z^, z-,, el lei 

- — -^^ — soil nulle. SI nous representons Tinle- 

grale u =X-i-tY |3ar le point de coordonnees (X, Y) dans un 
sysleme d'axes reclangulaires OX, OY, nous voyons que le point u 



III. — INVKHSION. -- cm HIIICS I)L IMIKMIER GENRi:. •;>, 1 7 

(li'ciiriiil line coiirhc fcrnicc T Ii)ts(nic le poinl z (k'ciil la lignc 
non lonnt'c L. Or, ccci csL incoinpiilllilc avec les |)ro|)ricles qui 
viciincnl d clrc clahllcs, comme nous allons Ic clcinoiilnT, 

A cIhkhic vali'iir de //. la I'clalion p ( u )= ^(^) Tail cor- 

respondrc iin nombrcy//a dc valours de ^, donl cliacunc varle 
d'une nianicrc conliniie avec u pourvu (|iie Ic clicmin decril par la 
variable u ne passe par aiicun des |)oii)ls qui correspondent a la 
valeur^ =oo('). D'apres ce qui a eU; aduiis, lorsquc la variable u 
decril dans son plan la courbe ferniee T, en parlanl du poinl A(«o) 
et revcnant a ce poinl, ::: decril un arc dc courbe conliuu non fernie 
allanl du poinl z, au poinl Z2- I'renons sur la courbe F deux 
points M cl V {Jig'. 80), el soienl z' , z" les valeurs avec lesquelles 




A ruo/ 



on arrive en ces |)oinls M el P lorscpie, la vaieiir iniliale de z 
elanl ;,, on fait dccrire a 1/ les cliemins AM el AMM*. Soil 
encore z'[ la \aleur avec hupielle on arrive au point P lorsqu'on 
lail decrire a 11 Tare AQP; j)ar hjpolhese z" et z'[ sonl difFerenls. 
Joignons les deux poinls M ct P par une Iransversale MP inle- 
ru'ure an contour F, el inia^iiions (pie la variable n decrixe 
I'arc A/;?M puis la Iransversale Mt^; soil z", la valcur avec laquelle 
on arrive an point P. Celle valeur z", sera diirerenle de z" on 
de z'[. Si elle est difTerenle de z'[, les deux cliemins A/>?MP 
el AOP ne conduisent pas a la mrine valeur de z au point 1^. 
Si :;" cl z", sonl dilTerents, les deux cliemins A;;2MP el A/nMjNP 
ne conduisent pas a la memc valeur en P; done si Ion j>art du 
|toint M avec la valour z' pour ; cl (proii aillo do i\I en P par le 



(') Nous admcllons les propriclcs qui seronl elablies plus tard pour les fonc- 

lioiis iiiijilirilcs (Cliaii. WII). 



•2 1 8 cirAi'iriiK XV. — ionctions UNiroRMus. 

chciiiln jMI' ou par Ic cheniin MNP, on ol)Lit'iidra pour c des 
valeurs ililTerenles. Dans les deux cas on voit que I'on pent rem- 
placci' le contour ferme T par un contour ferine plus pcliL T), en 
partie intericur a F, lei que, u decrivant ce contour ferme, z 
decrivc un arc de courbe non feruit';. En repelant la ineme ope- 
ration sur Ic contour T,, ct ainsi dc suite indcnniinenl, on 
ohtiendrail nne suite illimilee de contours fermes F, F,, Fo, . . . 
posscdanl la meme propriele que le premier contour F. Comnie 
on peutevidemment s'arranger de facon que les dimensions de ces 
contours successifs decroissent indefiniment, on en conclul que 
le contour F„ tend vers un point limite \. D'apres la facon dont 
ce point est defini, a I'interieur d'un cercle de rayon t decrit du 
point )> pour centre, il existerait toujours un chemin ferme ne 
ramenant pas la variable ^ a sa valeur initiale, aussi petit (pie 
"oit z. Or cclaesl impossible car le point ). est un point ordinaire 
ou nn pole pour les difTerentes valeurs de z; dans les deux cas, 
c est une fonction uniforme de a dans le voisinage du point X. 
Nous sommes done coTiduils a une contradiction en admettant 

(lue rinte"rale / — -^^ — , prise le long: d'une liqne L non fermee, 

puisse etre nulle, ou, ce qui revient an meme, en admettant qu'a 
une valeur de u correspondent deux valeurs dlllerentes de z. 

Nous avons remarque plus haul que si Ton a, pour deux valeurs 
difVerentes de ::, $(::, )^= $(;,>), on pent trouver un chemin L 

allant de z, en :;., el lei que linteijrale / , soil nulle. 11 faul 

done (]ue la fonction rationnelle ^^(^) "C puisse prendre la meme 
valeur pour deux valeurs difTerentes de z, e'est-a-dire que ^l^{z) 

soit du premier degrc, <I)(3)= " — j- On deduit alors de la rela- 
tion ((Jq), 

b — dp{u — 
(70) z= - 



et nous arrivons a I'importante proposition que voici : La liinile 
snperieiirc z (V une integrale eliiplique de premiere espece, 
consider ee conimc fonction de cette inlegrale, est une fonction 
ellipticjiie du second ordre. 



i 



« 



III. - iNvicnsioN. — colubks du pnEMimu ijicnrk. 219 

Lcs iiilryrales elliplif[ucs avaient etc eliidiees (riincfacon apprn- 
fondic par Legendre ; niais c'esl en rcnvorsant lo prohlrmc rpiAhel 
el Jacol)! ont ete couduils a la decouveiledcs fonclions cllipliqucs. 

La dolermlnalion elFcclive de la lonclion elliplicpie r = /(«) 
conslitue \e probleme de I'inversion. De la relation (f)'2) on lire 

dz 



</u 



dx 



et par suite y K(^) =zf{^u). Nous vovons que le radical y/K(5) esl 
lni-nu}nie unc fonclion clliplicpie de a. En langagc geonictriqiie, 
on pcutresumer tons les resultals qui precedent de la facon sni- 
vante : 

Soil \\{jc) lui polynonie du Iroisicme oit du qualvieme degre, 
firemicr avec sa derivee ; lescoordonnces d'un point quelconque 
de la courbe C, 

(-1) y-=R(x), 

peuvenl s'exprimer par des fonctions elliptiques de I' Integra le 
de premiere espece 

•^ 

de telle facon qa'd un point {x,y) de cette courbe ne corres- 
ponde qu'une valeur de u, abstraction faite d'une periode 
quelconque. 

Pour elablir la dernirre parlie de la proposition, il suffil 
d'obscrver qne loules lcs valeurs de u qui correspondent a une 
valeur donnee de x sont comprises dans les deux forniules 

Toulcs les valeurs de //, comprises dans la premiere formule, pro- 
vicnnent d'un nombre pair de lacets decrits aulour dcs jioinls cri- 
tiques, suivis du cliemin direct allant de ^0 en x, et corres- 
pondenl a une meme valeur du radical y/Il(a:). Les valeurs de u., 
comprises dans la seconde formule, proviennenl d'un nombre 
im|):iir de lacets decrils aulour des points critiques, suivis du 
cliemin direct allant de Xo en x; la valeur correspondanle du 



220 CIIAPITRE XV. — FONCTIONS IMFORMKS. 



radical ^/U(^.i') esl opposee a la premiere. Si I'on se donne a la fois a.' 
cl J", les valeurs correspondanles sont done comprises dans line 
seule des deux formules. 

U resulle des ealculs qui onl ele fails plus liaul que la fonclion 
ellij^tique x:=/(u) a un pole double dans un paralielogramme 
si 11 (.^') est du 3'^ degre, el deiix poles simples si R(a:) esl du 
4^ degre; y =f'(^u) est done du troisieme ou du quatrienie ordrc 
suivant le degre du polyuome R(^). 

Remcwqiie. — Sup|iosons que, par unmojen quelconquc, on ait 
cxprime les coordonnees {x,y) dun |)oinl de la courbe v- ^= Pv(a ) 
par des fonclions elliptiques d'un parametre r, soil ^r=c2(t'), 
y =^ 0\ {v). L'integrale de premiere cspcee u devient alors 






la fonclion ellijUique ' ne |)eul avoir de j^ole, puisque u doil 

conserver une valeur finie pour loule valeur fiuie de v\ elie se 
reduil done a une conslante k, el I'on a ?/ = Ar + /. La conslanle / 
depend evideninienl de la valeur elioisie pour limile iuferieure de 
l'integrale u ; quanl au eoeflicienl A', il suffira de donner a v une 
valeur parliculiere pour le determiner. 

337. Nouvelle definition de pu au moyen des invariants. — II 
est maintenant bien facile de re|)ondre a la question posee plus 
haul (n" 335). Etant donnes deux nombres g-^, gi tels que 
g't— ^'j g'l nesoit pas nul, il exisle Lou jours une fonclion ellip- 
lique pu donl go et g^ sont les invariants. Le poljnome 

est en efTet premier avec sa derivee et l'inte"Tale elliplique / , 

admet deux j)eriodes aco, 20/ dout le rapport est imaginaire. 
Soil j3(// 1 oj, to') la fonclion elliplique correspondanle. Nous rem- 
|>lacerons dans celte fonclion rargnment u par Tinlrgrale 

(7^) ^"' '^' 



4 v/iH^) 



IK. — INVERSION. — COlRnKS DU PHRMIF-R GKNIli;. ill 

H etant une constanlc choisic tie Icllc faron que Tunc tics valeiirs 
de u, pour :; ^^ cc, soil egale a /I'lo. On prcntira par cxcniple utic 
deini-tlritile iiuK'linic L |)artanl de :;o cl Ton prendra pour II lu 

valcur (le riiileirralc / , suivanl cellc dcnii-droilc L. Mou- 

trolls (labord que la fonclion ainsi ohlenue est une fonction uni- 



I-ifi. 8i. 




forme de z. Soil z iin point quelconque du plan; designons par v 
el v' les valeurs de rinte"rale 



r dz ,_ r clz 



prises, avec la meme valeur iniliale pour y/R(^), le long des deux 
chtmins z^mz^ z^nz qui, par leur reunion, forment un contour 
I'erme renlermant les Irois points critiques e^, Co, t'3 du radical. 
Coiisidcrons le contour tVrnie ;„ /;? ;/?:;oZiMiNZso forme par le 
contour Co'^^^/'^o? Ig segment Co/-, le cercle C de rajon tres grand 



el le segment /-•Zc.. La (oncliiui 



v/K(-) 



est holomorplie a 1 inle- 



ricur de ce contour, et nous avons la relation 

r'' dz r _^^ C'' ^^ _ 

<pii tlevient, en faisant croiire indi'finimcnl le rayon du cercle C, 

V -\- v' — 2II =0. 



aaa ciiapitue xv. — i-onctions cniformes. 

Les valours tie // provcnaul des deux chemins Zo'uz., z^nz salis- 

foiil done; a la rclalion i/ -i- // = o. On er» conclut que la fonclitm 

est line fonclion uniforme de :;. Nous avons vu que c'est une 

fonclion llneairc de la forme — >■ Pour deLermincr a, h, c, d, 

il suffit d'eludier le developpemcnl de celle fonclion dans le 
domaine du point a linfini. On a, dans ce domalne, 



2^- 



V/RU3 ^J\ 4^- -i- 



i6z- 



la valeiir de u, qui est nulle pour z inlinl, est done representee 
par le developpenient 

On en tire 






de sorte que la difference \^^u — z est nulle pour z =^ cc. Mais la 

dillerence -^^- — -, — z ne peut s'annuler pour z infini que si Ton 

a c = o, b = o, a = d^ ct la fonction p(ii | o), to') se reduit a :;, 
quand on y remplace u par I'integrale (72). Cette inlegrale peut 
encore s'ecrire, en prenant pour limite inferieure le point a I'lnfini 
lui-meme, 

et cette relation entraine la suivante pa = z, la fonction p// clant 
formee avec les periodes 20J, aoj' de Tinlegrale / , " « En com- 

parantles valeurs de -r: deduilesdeces relations, onaj3';f= y/R(:;), 
ou, en elevant au carre, 

(73) ])'2«< = R(^)= 4j>3m — i'2P" — ^3- 

Les nombres ^o, g^ sont done les invariants de la fonction 



iti. — iNVKiisioN. — i:oi uiiKs DC I'I(i;mii;i< (.i:mu;. iii 

elli|)li(|iic ))//, fonnec avec Ics pt'iiodcs ao), Ato'. Vav la sc Iroiive 
resoluc la queslioii posc'e plus liaiil (n"33o). Si i'!! — ■'■' fi'i n'est 
pas mil, Ics oqualions (61) sonl veriliees par unc iiiliniie de s^-s- 
lemes de valeiirs de (.), to'. Si r,, e.2, e-i soiit les liois laciiies 
de n(c)=4^' — g-i^ — i,'':t = <>) <"' aura im svslrme de soliilions 
en posant, par exeniple, 

dz 



v/H(^/ 



cl Ton cii deduira Lous les aiilres syslcmes de solulious eomme il 
a ele explique. 

Dans les ;i|)))li('ali()iis ile ranalyse oh inlerviennent les foiuiiims clli|)- 
liqiies, la ii)ticlion p« est le plus scjuvcnl definie par ses invarianls. Pour 
effecliier les talculs nuineriques, il faiit |)(>uvoii' calculer uii systeme cle 
periodes, coiinaissant ff^ et gi. el en oiilre savoir tiouver une lacine de 
I'eqnalion pi< = A, la constanle A etant donnee. Pour les details de la 
nielliode a suivre,ainsi que pour tout ce qui concerne i'usage des Tables, 
nous ne pouvons que renvoyer au\ Ouvrages specianx ('). 

338. Application aux cubiques planes. — Lorsque i,' ' — '-^'j gi 
n'est pas mil, Tequation 

i; 75 ) V^ = \ .r* — g, V — fi:i 

represenle une cidjique sans point douhle. On satisfnil a celle 
('■qualion en posant j^- n^ p«, y =p'u, les invarianls de la fone- 
lion pu elant preeist'inent g'-, et ^'"3. A lout point dr la cubi(jue 
correspond une seule valeur de it dans un parallcloj^raniine des 
periodes. En efTet, I'equalion pa = u: a deux raeines //, el 1/2 dans 
un parailf'dogramme des periodes; la sonime iif-~f(.2 est une 
periodi', el les deux valeurs Jj'«i, Ji'«2 soul op[)oseos. J'Jies sont 
done ejj;;ales respeclivenienl aux deux valeurs de^i'qtii correspon- 
dent a unc nienif valeur de ./:. 

I) unc facon gcnerale, les coordonnees d'un point d iinc cul»if|ue 



( ' ) La formuic (Sg) qui (loiinc Ic tlcvcloppenjcnt en seric cnticro de tm, ct 
colics qu'on en ileduit par dciivaliijii, peimctlent, du moins iheoriqucmcnt, de 
calculer aw, s'h, ■j"h, el jnir suite la cl pu, pour lous Ics sysleines de valeurs 



•ia{ CHAIMTIIE XV. — roNCTlONS LNtFORMES. 

plane sans point double peuvent s'exprlmer par des fonctions 
ellipliques d'nn paramolre. On sail en elTet que Ton pent, par 
une Iransftninalion liomographiquc, raniener I'eqnalion d'une 
cubique a la I'ornie (70), mais on ne pcul eirecLuer cclte Irans- 
(brnialion ([tie si Ion connail un point d'inllexion do la cubique, 
el la determination des |)oints d'inllexion de|)end de la resolution 
d'une equation du neuvieme degre, d'une forme sprciale. Nous 
allons montrer cjue Ton pent oblenir la representation parame- 
trique d'une cubique par des fonctions elliptiques d'nn para- 
metre, sans avoir a resoudre ancune equation, pourvu que Ton 
connaisse les coordonnees d'un point de la cubique. 

Supposons d'abord que Tequalion de la cubique soit de la 
forme 



^76) 



y- = box^ -\-3biX- -h 3 62 :r -4- 63, 



ee qui exige que le point a linfini soit un point d'inllexion. 
On ramene cette equation a la forme precedente en posant 

y = 4- v\ X = — -r- -i- ^- x' , ce (lui nous donne 

les invariants i^o, ^3 ayanl les valeurs 

xiib"-- h„ b. ) 3 Ao bju_ — ■>. //.' — b-^ A , 



16 



iG 



On obtient done pour les coordonnees d'un [)oint de la cubique ('jG) 
les expressions 



by 



b. 



p "1 



y = 



JJ u. 



Considerons maintenant une cubique C3, et soient (a, ,3) les 
coordonnees d'un point de celte cubique. La tangeute a la cubique 
en ce point (a, 3) rencontre la cubique en un second point (a', ^') 
dont les coordonnees s'obtiennent rationnellement. Si ce point 
(a', |i') est pris pour origine des coordonnees, I'equation de la 
cubique est de la forme 

?:i^^, y) -+- ?2(-2',:i'j-i-?i(a^, y) = o, 

'^/(j:",^) designant un polvnoine liomogene de degre /u ':= i, 2, 3). 
Coupons par la secatile y^=tx; x est determine par I'equation 



III. — INVERSION. — COLIIBKS I)L' I'RKMIKIt CKMll 

ilii .second tlfj;!!'; 

x^O;i(t . n-h r-i.,t \, / )-(- 'i| M . /) — '>, 
do II Toll lire 

— ^.,(1, Oz'z \/\u7') 



•■*?3(l, t) 



r = fx. 



R (/) tlosignaiU le |)oImi«)iiic 'vi](i , t) — 'i'-pa(i , 'f i (' ' T" '^^l f'' 
general dii (|ualrieine degre. Les racines de cc polynonie sonl pie- 
cisemcnl les coeflicicnls angiilairos des langenLes a la cubicjiie (iiii 
jiasscnt par rorigine. Nous connaissons a priori nne racine do 
ce polynome, le coefficienl angulalrc Iq de la dioile qui joinl lori- 

ginc ail poiiil (^a, ^i). Eii posanL L = /„ H — ,, il vicnl 



\c poKiioine y/R,(/') iiY'lanl plus (iiic dii li'olsirnie degre. f.es 
coordoiinees (.f*, )')d'un poinl do la ciil)if)ue C3 s'exprlinenl done 
ralionncllenicnl an moyen d'un paranielrc l' el de la racine carree 
d'lin p(d\nome R,(^') du Lroisieinc degre. Nous venons de voir 

comment on pent exprimrr /' cl y ^^il') P^"' ^^^ fonctions ellip- 
li(|U('s criiii paranirtrc it, el I on aiiia aiiisi |)Oiir ^' cl y des loiic- 
lioiis eilipli<|iies de //. 

iJaprrs la lac on meme donl on a operr, a iiii poiiil (./', j) de la 
ciibique correspondent uiie valeiir unicpie de t et une valenr Ijien 
delerminee dey/R(/), par suite des valenis l)ien determinees de /' 
el de y/R, (^^). Or a lout sysleme de valenrs de /'cl de \/l\, (^') nc cor- 
respond, comme on I'a fait remarquer, qu'une valeurde m dans uii 
parallelogramme de j)oriodes. Les expressions obtcnnes .r =_/'(«'), 
j'=y, (</) |)oiir les coordonnees d'un point de C.-) sont done idles 
(pie toiiles les valeurs de u qui donnent le meme poinl de la cuhicpie 
s ohlit'iiiKMil CI) ajfjiitant uiic pciiode, d aillciirs (pKdcoixiuc, a 
rune d clh.'S, 

Celle rcprcsentalioii parainetriquc des cubi(|iies planes an nioNcn dos 
fonctions ellipliqucs est Ires iinporlante ( ' )• Nous monlrerons, pour 
donner uii oxeinple, coniMUMil elle perinet de ilt'icniiiiiur les points diii- 

(') Clebsch, Ueber diejeiiigen Curven deren Coordinaten sich ah elliptiscke 
Funclionen ei/ies I'aramcter darstcllen lussen (Jounuil de Ci elle, t. Ci). 

G., II. i3 



•2 .>.(•) 



Cll M'llIlK \V. — IUN(.T10NS I MFOU.MliS. 



lle\ioii. Soieiit x=J\u), y=/i{u) Ics exprossioiis cics cooriloniiecs ; 
les argiiiueiUs ties points d'inlcisecliou ilc la cubiquc avec la tlroitc 
A J- -H B^' -1- G = o sunt laiiiies ile rrqiialioii .\/\ii}-i-\y/\(ii)-i-C=o. 
(AMiimc a uii point {j-, j- ) no cuiiospoml (|iriiiie vaicMii- do u dans un 
paralleiogianinie iles peiiodcs, 11 scn^iiit (jiic la lonction ellipli(|ue 
A /"(«) -T- By*! («)-}- C doit clie du troisicnie ordrc. Les poles de cette 
lonction sont o\idonunent indi'pcndanls do A, B, G; si «i, u-,, 113 sont 
Irois air;nm('iil-i conc-pondant lespcrl i\ cMicnl aii\ Irois points tl'intei- 
seclion do la culji(|iio ct d'uiie droite, on duil lionf a\oir ( n" 'A'iVi } 

It 1 — II , -H u.i = k --- -z III 1 w -H •>, hum', 

K clanl la soninic dcs |)6les duns un paiallolograninie. En reniplacanl, 

ilaiisy eiyi, a par — -r- u, la lelalion pent s'cciire plus simplenient 



"1 



[JLTIOUC. 



Inverseinenl, ectle coiulition est sul'lisante pour que les irois points AIj ( iii ), 
M2(«2), M3(«aj^oient en ligne droite. En eflet, soit MJj le tioisieme 
point de rencontre de la droite 1M1IM2 avec la cubique, et u'.^ I'argument 
corrosponilant. La soninie «i -f- u-i -r- «Jj etant eijale a une periode, u^ et u'^ 
ne diilerent que il'une periode, et par suite 1M3 coincide avec iMs. 

Si u est I'argument dun point diidlexion, la tangenle en ce point ren- 
contre la courbe en 3 points coulondus, et in doit etre ej^al a une 

1 Illy (0 -f- lin^hi 

periode. On doit done a\oir u = — 



} et il suflit e\ideninient 



de donner au\ entiers in^ et in-i les valeurs o, i, 1 pour obtenir lous les 
points d'inflexion; il y a done «<?«/ points d'inllexion. La droite qui passe 

par les deuv points d'inflexion 



•I. Ill 1 IXt 



Mil-, i<J 9.1)1, to 

'— et ! 



3 " 3 

contre la cubique en un troisienie point dont rargnment 



■> 1 1)1] 



III' )l<) -+- ■>.( 1)1-1 -+- 111'., )o>' 



i 



est encore le tiers d'une periode, c'est-a-dire en un nouveau point d'in- 
llexion. Le nonibre des droites qui rencontrent ainsi la cubique en 3 points 

d iullexion est ei;al a — ^ > c'cst-a-dire a douze. M 



liemarque. — Les points d'intersection de la cubique norniale (73) avec 
la dioite y =:■ 1)1 j: -^ II sont donnes par Tequation p'« — nipu — /i = o, 
dont le premier inembre admet le pole tiiple u = o. La soninie ties arj^u- 
nients des points d'intersection est done tigale a une periode. Si w, et u^ 
sonl les arguments de deux de ces points, on peut prendre —Ui—u-i 
pour argument du dernier point d'intersection, et les abscisses de ces 
tiois points sont respeclivement pui, pu-i, jj(«i-t- u-y). 



lit. — INVKUSIOV. — COIIIBKS l»U I'RE.MIEIt UEMU:. •2T.7 

Oil peul (letluiic tic lii iiiic- iiuuvclle dciiiuiislialioii tie lu foiiiiiilc daddi- 
lioii |)Our pu. liii cllel, les abscisses des poiiUs d'iiilcrsccliun soul lacines 
do Icqualioii 

■1 '-^ — ni ■^' — i' J = ( /« ^ -i- /» /- ; 
on a done 

Xi-i-x.,^Tj= piii^ pi'i-^ p(iii-^ Ui)= -T' 

D'auUe part, l.i droite passant par Ics deux points Mi(f<|), M-j.{ u-i), on 

a les deux relalions j/ »i = /// j) //, -r- //, y i(y^^ /n p u-i-r n , d'oii I'on lire 

p u^ — J>' "1 , , , . .... 

in = » ct par suite nous obtcnons la relation deia Irou- 

pu, — pui 

vec (n" 33:2). 



J)»,-T-J)«,-^ J)(H,-i- Ui) = -, 



4 \ p«i — ji"i / 



331). Formules generales d'inversion. — Soil U(x) im po- 
lyiiome du <]iialricine degrc, prciiiici' avec sa dei-ivee. Coiiside- 
rons la courbe C-, representee par requalioii 

(77) y'= l^(-r) = t'ii-'"'*-i- if^i J^''-i- ()</•> J:---r- |rt:j.Z- -1- rt, ; 

nous nous projjosons de inotittcr eoniiiieiit on j)eiit exprinicr les 
coordonnees ;r et J' dun point de cetle courbe par des fonctions 
elliplifjues d'un paraiuelre. Si Ton connait una raclneade ['equa- 
tion R(x) = o, on a deja vu, a propos des cubirjues, comment 

on |)cut operer. \'ln posant x = a -\ ,, la relation (77) devient 



r-^n(a- 1) 



n,(.T') 



K,(x'') etanl un ()ol\nome dii Iroisieine dej^re. La courbe i)ro- 
posee Cj correspond done point par jioirit a la courbe C!, du troi- 
sieine ordre (|ui a pour e(|uali(Ui )'- -^ 11, (x'), an iiiovcn des foi- 

niules X ^ cf H ,? }■ z:^ —• Or on peul cxpriuier x' el y' au moven 

d'un paranielre u |)ar des expressions de la lorme w' = oLpti -t- [i, 
y'=%p'u., en clioisissanl convenablemenl a, j3, el les invariants 
de pu. On en deduil pour ^et k les lormules suivanles : 

/ o ' ap'if 



XpU-r-'^ {7.pU -h 'fi )-' 

on en lire clii = — — > de sorle ([ue le paramelrc u est identinuo, 



.>.>8 <;iiAi'irui: \v. — ionctions LMroiuiiiS. 

:mi si"no iircs, a rinU''y,iale cle picmirre csnrce / — ; — ^rr- > cl los Idt- 
^ ' "^ ' ' ,/ ^\{(.r) 

Mitilos (78) rosoKcnl coinplcteinoiiL In piohlriiie cic I'mvcr'^ioo. 

l^reiions mainlcnaiiL le cas j^cncral 011 Ion iie coiinait auciine 

lacine tie re(|ualioi) Il(.r) = o. ^J(>ll.s allons inoiilicr quo /'o/? 

neiit, S(ins init oditirc (Vaulre iridlionalilc quiine raciiic 

ciivrce, (\rj)i liner rulionneUcment jc cl y au moyen duucfoiic- 

lion eUlpli(iuc yii. diiniiriaiils conniis, cl de sa dcrWce p'u. 

Uoinnlacons pour uii inonieiil x el r par / cL r respecllveiiiCDt, 

do sorle rpie la rolalioii (77) doxiciil 

Lc polvnoine l\(l) pent se mellre clinic iiuliiilc de maiiiercs sous 

la ionne lU/) = [c52( 01' "" ?' (O'f :i(')i 'f"' 'f-^ r-i ^'•-3"'' *Jes po- 
lyuomcs dun dcgre marque par lour iudice. Suieiil en efl'et (a, 3) 
les coordonnees dun point quelconque de la courhe C.-,. Prenons 
iin polynonu; '^^(j) lei que '■^■>[y-) = ^i, ce que Ton peuL (aire evi- 
(leinnienl d'unc infinite de inaniercs; l'e(|ualion 

iidiuellra la racinc / = a, el Ton pourra poser 0\{l) =^ I — x- Le 
polvnome ll(/) ctant mis sous la forme precedente, consid«'rons 
la cubique auxiliaire C3 representee par ['equation 



<:o) r'.,(^)-^. .,'-...(£ 



si nous cou|30ns celte cubique par la secante j'=i= Ix^ les abscisses 
des deux points variables d intersection sont racines de Tequalion 

J72'^3(/)-+-'2.r'^,(0-f--v,(/j = O, 

rl ont pour expression 



-^,( n 



^' «''iaut deterniinee par I'eqtiation (77 his). On voit qu'inverseincnl 
t el t-' peuvent s'exprinier ralionncllemenl au moven des coor- 
donnees x,y d'un point de C3 par les formules 

(80) i^-^, . = .,.f|)_..(^). 



III. — iNVEHSioN. — coinnics ni piikmikr gkmm: 



•i>.(j 



Or on |)eiil cxiiiliner j:: el r piir ties functions olli|)li(|ucs cl'iin 
paranitlrc //. |)iii.squ'on connail un point de la ciiijif|uc C:,, qui 
esl rorigine. II en est done de niemc de / etde c. I.e proeede pent 
evidoinmenl rlrc \arie de bien des nianieres, et Ton n"inlr(jdiiil 
{|iie rirralionnclle |j = y/K(a), a reslant arbilraire. 

Nous allons di'velopper le caleiil en sup|)osant, cc que Ion peul 
loujours faire, qii'on a d'abord fait disparaitre le cocffirienl «, 
di' /' thins ll(/). On jxHit alors ecrire 

a^, l\{t ) = (ao^-)--^ 6rtya2/--i- ^a^,a^( ■+- a^a-^, 
el poser 

La ciibiqiie au\iliaire Cu a pour tMpialion 

(8i I 0)0(^0 ,:ry--\- \ a^ya^x-y H- rtu«iJ"^-i- 2«oJi - — ^ = ". 

Conforineiiicnl ;"i la inetliode generale, coupons celle ciibifp.f 
|)ar la secanle i':= tx\ i'eqiialion obleniie pent s'ecrire 

( - ) — '/.a^t- ( Gaya., /--f- 4 «o«3' -^ <^o«v ) = <>• 

\x J X ' 



el I on en tire 



= «o /■--♦- \/a^i\\{l 



Inversemenl, nous poiivons expriiner / et \/f/yli(/)au nioveu 
de X el de r 



(8>t; 






/«„ Wyl } — 



y\ 



I) a II I re part, en resolvanl Iripialion (Hi) |>ar rapport a j', nous 
avons 



_ — '->. <7.(,rt3a"--4- )/ \alalx'' — x( o„a,r'^ — i )( (irto«» J" -- '>-f'i> > 
GdoO-iX -+- j-aQ 

Le polvnoine sous le radical adinet la racine a: = o; en appli- 
quanl la methode qui a (He expliquee, on pourra done expriiner 
.c el J' [)ar des fonclions cllipli([ues d'un parametre. En develop- 



23o <:iiAPiTni: \v. — ionctions i mfohmks. 

|)anl I«'s caKnIs, on airivc au\ forniiih^s 



(8») --r 



r = 



■?.aopii — a., - 'i.(a^^pu~ 02)(-^aopu — a-i) 

les invariants g\,, g-^ dc la ionclion cllipliqiie })// ajant les valeiirs 

suivanles : 

CT.ifl'i -!- 3<7; n^^n.^O' — a1 — <7,,flf^ 
(81) .-.- ^^-, .-..^— ~ 

En rcmplaranl .r c\. y par los valeurs j)rc;ce<Jcnles dans les for- 
imiles (82), il vionl 



])ii^ -^ 



(83) 



r 




L 



On j)eul ecrire ces lormulcs sous iine forme iin pen plus simple 
en observant que les relations 



(86j 



P'^ = — T^' V 



o^ 



sont comjKilihIos da pros la valenrdes invariants «"o el i?"3. D' autre 

I r /p'« — p'c \ - / s 

part, on pent reruplacer - f ^ ^ 1 par p(/^ -f- r) H- p// -|- pp. 

En reunissant ces resullats, el en remplacanl t et yK(^) par x 
vA y respeciivement, nous ponvons done cnoncer la proposition 
suivanle : 

Les coordonnces [x^y) d' an point quclconque de la courbe Cj, 
representee par V equation (--) {oil «, = o), peavent s'exprinier 
an moyen d' an parametre variable 11 par les formules 



(87) 



J^ 



P '' 



■X p u — p V 



y = v/«o[j>« — ,p( «-^ (')K 



les invariants g^ el ^^ ayanl les valeurs donnees par les rela- 
tions (84), ct ^-iv, jo' 4' etant determinees par les equations com- 
patibles (8G). 



HI. — iNVEnsioN. — conutKS i)u pnrMiKR genre. a3i 

Dc la fnrmiilo (i')) ('lablic |)liis liaiil (ii" 332) on lirr. on (IKl*-- 
rcnlianl Ics dciix incnihics, 



•>. (ill \ p a — J) I' 

, , ,■ ilr V I — fir T 

c csl-a-(liro -^ = -=: — i on iIii = k o,, — ■• Lo paraniolrc ii ropi(; 

— r fir 



scnic (lone riiih'i;rale ollipliiine Ai^ proniirrc csprce v/r/o / -7= 
Cl Ics (bnmilcs (8-) rcsolvenl Ic prol)l("nic do rinvcrsion. 

3iO. Courbes du premier genre. — Unc courhe plane yl^^''*- 

hiiqnc \j„ <Ie degie n ne pent avoir phis ne ^ ponils 

doubles sans se decomposer en pliisieurs coiiibcs dislincles. Si la 
couibe C„ est indcconijiosable et possede d points doubles, la 

dillerence /> = d est appelec Ic genre cJc cello 

courbe. Les courbes dc genre zero son I les courbes unicursales 
dont Ics coordonnees peuvent s'cxprimcr par des fonclions rallon- 
nellcs d'nn paraniolrc. Les courbes les pins simples api-os cellos-la 
sonl los courbes dc genre iin on dn premier genre ; unc courbe (1„ 

, . , , I /?. — I ) ( /I — •?, ) ji{n — Z). 
dn promior genre possodt? -_ — i ^ -^ poinis 

doid)lcs. 

Les coordonnees d'un point (rune coinhe du premier genre 
peuvent sexprimer par des fonctions ellipiiques d'un para- 
metre. 

Pour (b'monlrcr cc lliooromo, considorons les courbes adjoin les 
d'ordrc // — 2, c'esl-a-dirc los courbes C„_2 qui passcnl par 

Ics prnnis (IouImcs dc L>n- (^onimo il laul 

•2 ' 2 

poinis pour di'lermincr unc combo dordre n — a, ics courbes ad- 

. . ^ „ ,, 1 . 1 f«— 2j(n-M) — n(/i— 3) / , 

joinles Crt_2 dependent encore do ■_ = (/* — ') 

paranirtros aibilrairos. Si Ton assujellit ces courbes a j)asser encore 

par// — .') |)oints sim|)Ios |)ns a volonlc' sur C„, on obtiont un ro- 

1 I I • • • . ,., n{n — 3 ) 
seau de courbos adjointos, qui out en commun a\ec L.,; los 



23-2 (llVl'lTUi; W. — FOXCTIONS IMFonMKS. 

points cloiil)lcs dc C„ c[ n — ) points simples. Soicnl F(x, l') ^ t> 
Icfpialion do C„ el 

/i (>> y)-^ '>'M^, y) -+- \\fi{^: y) = <», 

leipialiv)!! de ee reseaii dc coiiihes C„_25 >'■ <^' |^- ^-laiit deux para- 
inrtres arbitraires. Uiie CDiirbe qiieleoiKpie de cc rescau ren- 
contre C,, en li'ois points variables senlement, car cbaque point 
double compte [)Our deux points communs, el Ton a 

n( n — !> ) + /i — 3 = /i{/i — •>.) — 3 . 

Posons niainlenanl 

ACr, y I , f:ti r. y ) 

lorsfpie le point ( j", j)^) decrll la courbe C,,, le point (x',y') decril 
nne courbe algebrique C donl on obtiendrait Tequalion en elinii- 
nanl x cly enlre les equations (88) et F(x, y)^o. Les deux 
courbes C et G/, se correspondent point par point par une trans- 
forniation hiralionnelle , c'esl-a-dire qu'inversement les coor- 
donnees (x, y) d'un point de C« s'expriment rationnellement 
au nioven des coordonnees {x', y') du point corrcspondant de C. 
II suflit, pour le prouver, dc montrer qu'a un point {x , y') de C 
il ne pent correspondre qu\in point de C,/, ou que les equa- 
lions (88), jointes a F(^", j') = o, ne peuvent avoir en x &l y 
(piun seul sjsteme de solutions variable avec x' et i'', 

Supposons en eflfet qua un point de C corres|)ondent deux 
points («, ^), («', b') de C«, ne faisant pas partie des points de 
base du reseau de courbes Qn-i- O'l aurait 

f\ia\ h' ) _ fi{a, h' ) _ /)(«', ^' > 
/,(«, 0) ~~ '/oia, b) ~ J\{a, b) 

et tuules les courbes du rcscau qui passent par le point («, b) 
passeraient aussi par le point («', 6). Les courbes du reseau qui -^ 
passent par ces deux points dependraient encore lineaireinenl h 
d'un parametre variable, et rencontreraient la courbe C/, en un 
seul point variable. Les coordonnees de ce dernier point d'inler- 
seclion avec (^„ seraient done des fonctions ralionnelles d'un para- 



f 



III. - INVERSION. — coifinKs 1)1 i-nKMiicn (;iiNni:. o.'Vi 

mclrc variiihle, cl l;i coiiiIjc C,^ sciiiil iiiiiciiisale ; cc (|iii esl iin- 

- 1 I • 'II ' n ( n — 3 1 1 II 

possible' |>iii>(jii die II a (|ii(' |>(>iiils (loubles. 

A iin poiiil (x', t' ) (Ic C IK- correspond |)ar con.sc'qiicnl (|ii iin 
point (jr,j)') (le C„, el l<'s coordonnees de ce poinl soul, d'apres 
la llieorie de rclmnii.ilioii. dcs foiielioiis raliuiiiiclles de J:',^^', 

( ^9 > X — -Jfii .r'. y' }, V — o-iiT, r' ). 

I'oiir a\ oil- le de^re de la coiiihe (>', clicrchons le nonihre des 
points enininims a celle eouibo el a nne dioile (picleonqne 
o x' -{- Oj' -\- c = o . Cela revienl a cherclier le noinbrc des poinls 
cominuns a la courbe C„ el a la courbe 

pui-sqirii nn poinl de C correspond nn seni point de C„ et inver- 
senicnl. Or ii n'j a qne trois points d'inlerseclion variables avec a, 
b, c. La conrbe C est done dii 3^ degre. En resume, les coor- 
donnees d'nn j^oinl de la eoiirhe C„ peiivent s'exprimer ralion- 
nellement au nioven des coordonnecs dun point dune cubicpie 
plane, et, ccjininc les coordonnees d'un point d'une cubiqne sont 
des functions ellipli(pie> dun paraineire, il en est de nieine des 
coordonnees d'un point de C/,. 

1! resulte aussi de la deinonslralion, ct de ce qui a etc \ ii pin- 
liaut pour les cubiijues, (pie Ton pcul fiiire cette represenlaiion 
de telle facon qua uii point {jc^y) de C„ ne corrcsponde (piiiiie 
valeur de u dans un parallelogramine des periodes. 

Soient J" = 'L(;/), J' ;= 'L, (//) les formules (pii donncnt ./■ et t; 

loule iiili'-yiale abelienne (v i= / \\(j',y) dx allacliee a la courbe C„ 

(I, n" 108) se rainenc par ce cliangeinenl de variabli; a ii iilt'grale 
dune fonclicMi elliptique; cette inlegrale tv s'expriine done elle- 
nieme a Taidc des transcendanles jj, v, G* de la llieorie des fonc- 
lions elliptiques. L'inlroduclion de ces transcendanles dans TAna- 
hse a double la [iiiissance <\n ealcul inl<''gial. 

I'2\i;.\iiM,ii. Quartiijues bicirctilaires. — I ne courlie du 4" clfgrr ayaiit 
«lcux points tlouijJes e?l du premier genre. Lorsque ie> points doubles 
sctiil les points circulaires u riiilini, la courbe ۥ, est uiie <juarti(juc hi- 
circulaire. Si luii a |m is pniir origine un poinl ile celle courbe, on pent 



23 1 (IHriTRF, \V. — FONCTIOXS IMKOnMlCS. 

prendre pour courbcs adjointcs C„_2 ilos ccrrlos passant par loiij^ino 

:r- -f- T- -j-l.r -h ixy — o : 
pour avoir nno cublqiio correspoiulanl point par poini a la qnarlique C,, 

il siiflll, <l'apr("s la im'lliodc sjcnorale, do poser .r' ^= '■ , v' = — '■ • 

3---r-j-'- .r--f-y- 

x' v' 
On a inverscment .r = — r- -, y — —7-^ ~, el ecs formnlos dcfinissont 

nnc inversion par rapport aii cercle de rayon ini di'crll de I'oripine pour 
centre. Pour a\oir I'equation de la eubique C^, il suffira de remplacer .r 
et ^' par les valeurs preeedcnles dans I'equation de Cj. Supposons, par 
exemple, que lequation de la qiiarllqne G; soit (.r--^j-^)- — a)- = o; la 
eubique Cj aura pour equation <7J''( j'^-r- .r'-) — 1 = o. 

Be/mrfjue. — Lorsqu'une courbc plane €„ adnict dcs points singuliers 
d'espece superieure, elle est du premier genre pourvu que tons ces poiiils 

n( n — 3) 



singuliers soienl equivalents a 



points doubles ordinaires. Par 



exemple. une courbc ilu quatrieine ordre ayant nn scul point double, ofi 
deux branches de coutbc sent tangenles I'une a lautre sans presenter 
aueune singularite, est du premier genre; il sufllt, pour le voir, de couper 
cette quartiquc par un reseau de coniques tangentes aux deux branches 
an point double et passant par un autre point do la quartique. La courbe 
y^= ri(^), oil R(a7)est un polynomedu 4'^'legre premier avee sa derivee, 
prescnte une singularite de cette cspece a linfini. On la ramene a une 
eubique par une transformation birationnolle en posant 

x = x', y = J'' -^ yaax'-, 
ce qui permet de retrouver facilement les formules d'Inversion (87). 



EXERCICES. 

1. Demonlrer qu'une fonction doublement perlodique entiere est une 
constante, au moyen du developpement 



A=)=2 



\„e 



I 



[La condition /( 3 H- w') =y"(^) exige que Ion ait A,; = o, si n ;^ c] 
2. Si a n'cst pas un multiple de -, on a la formule 

sinfc H- «) 



=(-^)n' 



I'XERCtCEP. 



fOn flian^ic z en z -i- a i\i\n< \,\ formiilc iini duniii" !<• ili'vrln|i|)0iii('nl 
«Ie col J, pui< oil inlegre enlrc li"i liinili'* o il :; | 

'A. Deduiio ilo la fiinniilo imiCimIimiIo Ic-^ noiivi>aii\ produils iiifiiiis 

OS a \ ' rt -f- 7T / i X L '^' — ( ^ '' — " ) " J 

\ %)\ a-r--/±l\ a-Hv./J7:/V (un— r)- — a/ 

'■-^)fr('-^T^) 



ro<;( 
c 



■iina 


— sin :; 


;* 


n a 


COS 3- 


— cos a 



I — COS X 



■III- — 1 I 



Tian«^rormcr COS iioiiV('au\ produils on produils tie facleurs primairo? 
>ii en produils ne renfonnant plus dc racteurs exponenliels, tcls que 

,.,., = f,_J4:)(,_J,^;)...(,_ ';'.. ).... 



i. Dcmonlior les formules 



lanir-3 — iz 



9~- 



( ■>. n -^- I )- t:- 



I _ r 

sine e 



[^-.^ 



(-!)•■ 



•■] 



KlaLlir des formules analogues pour 



sine — sin« cose — cos a 



.'). l-lablir la formule 



i(z'--\) zUz-^—l){z'--^) , 



I ( I . ■>. )■- ( I . -2 . 3 )2 

z-i e- — I > . . . ( z- — «-) 



(-'/'- 



I 1 .V. . . . ( « -h I)]- 



(1. Dcconinoscr en clcinenls simples les I'unclions — — > —7- — • 

7. I.orsfjue ^2=^ o, on a 

y( xii: o, g':,) = '■J.]Aii\ o, fr^), p'('xii: o. ir-^) — j.'(«; o, .^3), 
elanl une racine oiibiijuc do Iiiiiih''. liii deduire la tleeom|)0-;ition en 



eleincnls sim|)!fs dt 



J' " — J' 



M-(|ue ^., ^ o. 



23G ciimmtiif: \v. — fonctio.np iNironMLs. 

S. I'^lanl il(>nii(''i'< lc< iiiir'L;ialos 

. ■ ti .r -^ b , Pa .r- -i- h , 

/ .— d.r, I -7^= <f'. 

/dx r aT^-- ^l> 

y.i ^/yi _ .^. J ^/^ , _ .,.2 ){^i — l^iy.) 

on licmando d'expiimcr la variable .r ot rune qiielconqiie cie ces integrates 
ail moycn ile* transcenclanles ji, L, <t. 

J). Ktablir la fornuile de decomposition de Al. Ilerniitc (n" 331) en cga- 
lanl a zero la somme des rcsidus de la fonclion F( ^)[ ^(j- — z) — "Cir^ — ^)| 
dans un paraiiologramme de periodes, F(;)etanl nne fonclion cllipliqne, 
et T. u?\, etant considerees coninic des constantes. 

10. Dednire de la lorniuie ( (>o ) la relation r = ^rr — -• 

rioju (o) 

I On observe que la serie z n ne renferme |)as de Ici'nie en k^.] 

*ll. ICsprinier par des fonclions elliplit|ues dun parametre les coor- 
donnees ./• et ^ de I'une des courbes suivanlcs : 

j'^— \\{x — a)ix — b)(x — c)Y, y^— A[(.r — a){x — b}^, 

y''= \{x — ay-{x — bf{x — c)-', y*= A(.r — a)2(,/- — b)^. 

r'*= h.{x — a)Hx — bf, 

y^' — k{x — af{a by*(x — c)~', y'^ = A(.r — ay*(x — b)', 

;■«— \{x — af{x — by', r« = Aix — ay(x — b )■', 

y^-h {Ix--^ m.r — n )j'--i- A [ (,7' — (t)(x — b ){ x — c)]- = 

S'* A* 

4^ As\2 



y^ATy^-^(lix-'^^^^^--y=o, y^-^Xxy^-^x^(nx-^^j 



4' A*\2 



Le parametre variable est egal, a une constante pres, a 1 integrale / 

1/ y 

I iJnioT et BoLQLET, 7 hc'orie des fonclions doiddement pcriodifjues. 

'J.' edition, p. 388-4 12. j 



CIIAIMTKE XV[. 

1. 1- riu)ij).\(ii:Mi:.\T ANAivngui- 



F. - l)i:ilMTIO\ hi NI-: I-ONCTKtX VN\LMI<,>li: PAI{ IN 
l>K SES KLKMK.NTS. 

3il. Premiere idee du prolongement analytique. — Soil /\z) 
tiiic loiiel loll liuloiiiui [)lic chilis mic |)urli<jii ccjiincxe A dti |)l;ir», 
liiiiilce par iiiic on pliisiciirs ooiirbes, feiint'cs ou noii ; nous prc- 
iions loiijoiii's It' iiiol dc co/z/'^^.v Jans lo sens t'lciiienlaiie liahihicl 
comnie nous I a\ons fail jns(|n id. 

Si Ton ion nail la \ a leiir dc la (one I ion / ^^r i cl tie lonles st-s dtjil- 
\ees successiN fs en iiii poiiil iliSeiiniiit; a tie la it''i;ion A, on |i(iil 
eu dd'tiniit' la valour dc cclle lonclit)!! en un autre point (|ii(l- 
con(jue /j de la nuMiie lej^ion. l*t)ur lo ilt^inonlrer, j(jignt)ns lis 
deux points n el A par un eliciiiin L siluti lout entier dans la 
rt''<;i()ii A. par exeniple j).ir uiie li^iit; poK i;onal(\ t)U |)ar nut; 
courl)e de fornu; ipielcontpn;. SdiI o la liniite inlt^neuie de la tiis- 
lancc dun pt)int ipielcontpit; tin elioinin I. a un point (pieletjiupie 
tin eiuilour de la it'ijitni A, tie lelli; sorle ijii ui) e'oiele de raNon o 
uyant ptxir eentre un |)t)iiil (pieli:ont|iie de Jj soit siliit- lt)iil eiilnr 
dan> cello it'yion. l*ar lijpolliese, nous connaissoiis la valour tie 
la lonclioii J'{cf ) el dc ses dtirivees successives/''(rtj, /""(«), . . ., 
pour z--fi. Nous pi)uvt)ns tloiio eorirt; la serie onlioie tpii re|)rt'- 
sonle la (ontlion /( r i tians lo doniaiiie du ])oinl c/, 

(I) /,.-,=/,«)- ^^ /'(«)-•••- ^T^ITT^ /'"'(«)+•••• 

Le rajon dc convergence de cclle serie est an moins egal a o, 
inais il pout cli'c plus j^rand. Si Ic point est siluc dans Ic corcic 
dc eonvcrj^cnce Co *Jc la serie prtjcodentc, il sulfira iTv reinplaeor c 
[),ir h pour avoir y(/y). Supposons quo le point soil evleiieui" 



a3S (IIM'ITUK \M. — LE PIvOLONGIiMliNT ANALVIIQLI'. 

a Co, el soil a, Ic |)uiiil oii le clieniin |j sort dc Co (') {fig. 8ui). 
Sur ce cheiniii piciioiis a rinlorieur dc Co un poliiL z^ voisiii de a, 

Icl ([110 la dislaiicc dos deux, jioiiils c, el a, soil iiifcricurc a - • La 

serie (i) el colics que loii cii dediiil par dcs dillViciilialions siic- 
cessives permclleiil dc calcidcr Ics valeurs dc la fonclion /(c) 
et dc Ionics ses derivees J\z^), y''(c,), ..., /'"^(^i), •••, 
pour ; = ;,. Les coeflicienls dc la serie (pii re[)rcsenle la fonc- 




lioii /'(;) dans le doinaine du point c, soul done dclerniines si 
Ton counailles coenicicnls dc la [)reniiere serie (i), et I'on a, daiis 
le voisinage du point ;,, 



i-i-) fi^) =/t-i) 



fi^-i) 



(z 



f^'H^i) 



Le ravon du eercle de convergence C, de cette serie est au nioins 
egal a ; ce eercle renfernic done le j^oint ai a I'inleiieur et, par 
suite, ilaune parlie en dehors du [)reniier eercle Cq. Si le points 
est dans ce nouveau eercle C|, il suflira dc faiie :• =^ b dans la 
serie (2) pour avoir la valeur de f{b). Supposons que le point 
soil encore en deliors de C| et soil ao le point ou le chemin Zsb 
sort de ce eercle. Prenons sur le cliemin L un point z-y interieur 



( ' ) La valeur de/(5) au points ne dependant pas du chemin L, tant que ce 
cliemin ne sort pas de I'aire A, on pent supposer, coninie c'est le cas de la figure, 
que ce cliemin ne rencontre qu'en un point le eercle C„ et en deux points au plus 

les cercles successifs C,, C, Cela revient, si Ton veut, a prend re pour a, le 

dernier point de icncoiiUc de L el de C„, cl de nieme pour les autres. 



1. — I»I:KIMTIU.\ 1)1 Mi KONCTION ANM.MlylE. a'Jy 

;i (1, cl Icl (|uc la ilisUmcc clcs dciix poiiils c^ cl a. suil iiifriiciirc 

a • La sciic (•.>) cL ccllcs (in'oii fii dcduil par dcs diU'crciiliations 

siiccessi\cs pci ineUroiiL dc caliidcr Ics \alcuis dc /"( r ) cl dc ses 
derivees /(;.),/'(;;:,), /"(;.), ..., mi point :;.. On pom ra done 



lornici" unc notivelle scnc 



ll( 



(:J) /\^)=A- 



/'{=-^) 



( - — ^2 )" 



/""(-2) 



(pii rcprcscnlcra la I'oncllon /[::■) dans nii nonscan ccrcle C^, do 
ra\on snpcrlcnr on t\i;al a o. Si Ic point est dans cc cercle Co, on 
rcniplaccra z par ^ dans l^'i^alilc prcccdente (o); sinon, on conli- 
nnera a appli(|ner Ic menie |)ioct'dc. An Ijonl dnu noinljio lini 
d operations, on (inira par obtenir un cercle rent'erinant Ic point b a 
I interienr ; dans le cas ilc la (i^nrc, esta I'intericnr de C^. [In edel, 



on pent loujonrs choisir les points ,:;,, 



, dc lacon (jnc la 



distance dc dcnx points con seen lifs soit snnerien re a "* ; soi t dan lie 

part S la longiienr dn clicniin L. La lonyneur dc la liync polvgo- 
nale a z^ Z-, ■ . . z-p_^ z pb est tonjonrs iulericnrc a S ; ou a done 

I' ~ -'r {^-p — ^1 <C ^- Soil /> nil noinhrc enlier tel (jnc ( -^ + i ) o >> S. 

L'incgalite |>ieccdcntc pronve (luaprcs p (j[)eralions an pins on 
loinbcia snr nii [xjinl Zp du clieinin L dont la distance an point b 
sera inlerienre a o, le [)oint b sera a lintericur dn cercle de con- 
vergence C^ de la serie enliere (pii represente la fonclion f{z) 
dans le d(jinainc du point Zp^ ct il snflira de I'emplacer z par b 
dans cetle serie [)onr avoir f{b). On ponrra calculer de nieine 
loules les derivees /' (b), f" {^)i • • • • 

Lc raisonncnienl cpii precede pronve (pi'il est possible, dn inoins 
llieoricpieincnl, de calenlcr la valenr dune fonclion bolomorplic 
dans une region xV, el de tonics ses derivees, eu nn poinl ciucl- 
conque de celle region, pourvu (|ue Ton connaisse la suite des 



valeiirs 



/(«;, /'(«;> /"(«), 



/'"(«), 



de la fonclion el de ses derivees successivcs en nn point cleLci- 
imiii'. a de la nieine regicjii. II en resnile (pie toule fonclion ludo- 
niorplie dans I'airc A est coniplclcment d('leriniiiee dans tonic 



v>|o CUVIMTIll-: XVI. — lk prolongement analytiqik. 

c«'llc aire, si ellc e^l comiiie dans line region, aiissi |)elile (jii on la 
siinpose, cntouranl un poinl quelconcjue (( jiris dans A, el inenie 
•«i clle esl eonnne loiil Ic long d'lin are de eoui he, aiissi pelit qu'on 
le snppose, ahoiili^sanl an points/. Si, en ellel, la foncliony(;) 
esl deU>rniinee Ion I le long dim arc de conrbc, il en esl de menie 
dt" la derivee y (r), car la \alenr /"'(^i) en nn point (pielcon(|ue de 

eel arc est egale a la liniite dn rap|)orl ■ — —_ •_ lorsqiie le 

poinl z> se rapproehe de ;, en re^lanl sni- Tare considere; la 
deriveey(;) elanl eonnne, on en dednira ile nienic _/"(;), puis 
/""(;), .... Tonles les derivees suceessives de la fonclion J{z-) 
seronl done delerniinees pour r :=: a. Nous dirons, pour abr(''ger, 
(lue la connaissanee des valeurs niuneri(|ues de lotis les Uu'ines de 
la suile(4) delennine un element de la fonclion /{^)- I-e resullal 
oblenu pent alors s'enoncer comme il siiii : Une fonclion holo- 
morplie dans Caire A est conipb'tenient delerniinee si I'on 
connait un (juelconqiie de ses elements. On peu( dire encore que 
deux Ibnclions lioloniorplies dans la ineine region ne piMivenl 
a\oir un eleinenl coniniun sans elre idenli<|ues. 

j\ous avons suppose, pour fixer les idees, quil s agissall dune 
lonclion lioloinorpliey(:;), inais le raisonnemenl peul elre elendii 
a une fonclion analjliqne quelconque, pourvu que le clieniin L 
sulvi par la variable pour aller de a en b ne passe par aucun poinl 
singulier de la lonclion. II suffil |)0ur cela, coniine nous lavoiis 
(b'ja fail (n"'2l)l), de decomposer ce cheinin en |)lusieurs arcs, 
lels que cliacun deux jiuisse elre renlerine dans un coiilonr ferine, 
a i'inleiicur diiqiiel la brancbe consideree de la lonclion y(;) soil 
lioloinorplie. La connaissanee de releinenl inilial el du clieniin 
dccril par la variable suffil, du inoins en llieorie, pour Irouver 
relenienl final, c'esl-a-dire les valeurs iiuiiieii(|ues de loiis les 
lerines de la suile analogue 

.3) /(6), /'(^), ..., f'Ub), .... 

312. Nouvelle definition des fonctions analytiques. — f^es fonc- 
lions aualvti([ues (pie nous avons eludiees jusqu'a prcsenl elaient 
definies par des expressions perniellanl de les calculer pour loule 
\aleur de la variable, dans le eliainp oii on les ('Uuliail. Nous 
conccvons niainlcnanl, d'apres ce qui precede, qu il soil possible 



I 



I. — [)i;iiMii()N iii.m: lONcnoN \.\Ai.vnyi i:. -iji 

(Ic Jcriiili" line foncliuii ;miiKli(|nf |Hmr unc vulciii- <|ii<'lconr|ue dii 
I.I variiihic ties (|ir»ni eontiiiil im mmiI (•li'incnl dc. hi loiieliuii. Mai>, 
poiir e\|iii.scr hi iIk'oiic ;'i rr iioiinciiii |)iiiiiL (h- \ iic (rune ("aeon 
< i)iii|ih"lt', il ii()ii> l.iiil ;i|(nil(r .1 la (h'liiiil iitii di-s loiiclioii^ aii.i- 
I vli(|iies d a pies (^aiieli v iiiie iioiivcile com en I ion, (|iril nous narail 
ulile irenoneer (rune (aeon evplieile. 

SoieiiL /,ir), y'oic) deiix ("onclions lioloinor|)lics resneclive- 
MienL dans deux aires A,, Aj, a\aiil iiik; |)iiilic eomniunc el unc 
senle A' ( //>. 83 ). 

Si dans la pailie eoininiine A' on a /o ( '; ) =y, ^::), ce (iiii aura 
lieu si ces deux fonelions oiil iin seiil element coniniun dans eelle 

Fig. S3. 




(') Pour pi-Muvir (iiie l;i convenlion pnicedcnle est distiiicle de la dL'Tiniliixi 
des loiiclioiis aiiiilv liiiiies, il suflit de leiiiaiqucr qu'elle enliaine iminediaLemeiil 
la coiisequiiice siiivaiile : si u/ie function f{z) est liolonwrphe dans une 
region A, loule autre fonction /,(-). 7"t coincide a^ec f( z) dans une portion 
de I'aire \. est identif/ue d /(z j dans A. Or, consideroiis uiie foncliuii l-Vc) 
duliiiiedc lu iiiiiiiiOre siiivaiiLc puur loulcs lf» Vdlciiisdc la \ai'iablc coiiiplcxc z : 



I'iZ,.. 



'^■) 



Quel(|ue bizarre que paraisse telle coiivciilioii, cllc u'a rieii dc coiiliadirloii e 
avcc ia dcliiiilioii aiilciieurc des foiicliuiis aiialyli(|iies. La loiicliuu aiiisi deliiuc 

l''(z) scruil liuloiiiurplic pnur loule valeur ilc z, sauf j)our c : '" , iiiij >eriiil iin 

■J 

G. 11. i6 



l\l CllAIMTRIi XVI. — l,i; I'UOI.ONGtMEM ANAI.VTIQIK. 

Ccia pose, coiisiderons uiie siillc iiifmic do iiombrcs reels on 
i III nuin aires 



( (> > 



«,., rt,, a-i, ..., a„, ... 
assujellis a la sciile condition de rendre la seiic 



(7) 



do -h a I 



;•- -h. . .-+- ci„^"-4-. 



convergenle pour quclquc valeur de z differenle de zero. (Nous 
prenons z = o pour valeur iniliale de la variable, ee qui ne res- 
Ireinl |)as la generalile.) La serie (7) a done j)ar hjpolhese un 
eercle de convergence Cq donl le ravou 11 n'esl pas nul. Si 11 est 
infini, celle serie est conveigente pour loule \aleurde z, el repre- 
senle une fonclion enlierc de la variable. J^orsque le rayon R a 
line valeur finie, diflerente de zero, la soinme de la serie (7) est 
une fonclion holomorphe f(z) a Tinlerieur du eercle (-o- Mais 
comme on ne connait que la suite dcs coefdcienls (0), nous ne 
Savons rien a priori sur la nature de cette fonction en dehors du 
eercle Cq. Nous ne savons pas s'il esl j)Ossible d'ajouter au 
eercle Co une region voisine lorniant avec le eercle une aire con- 
nexe A, telle qu il c\iste une fonction holomorphe dans A, coj'n- 
cidanl avec /*(:;) a I'interieur de Co- La methodc du paragraj)he 
precedent permet de reconnaitre s'il en est ainsi. Prenons dans 
le eercle Co un point a dilTerenl de I'origine; on pent, au ino>en 
de la serie (7) et des series obtennes en derivanl terine a terine, 
calculer I'elcnicnl de la fonclion f{z) cpii correspond au point a. 



point singulier d'une espece parliculiere. Mais les proprietus de celle fonclion 
F(s) seraienl en contradiclion avec la convention que nous vcnons d'adopter, 
puisque les deux fonclions KC^) et sin^ seraienl identiques pour loules les 

valeurs de z, sauf pour z= —■, qui serail un puiiil singulier pour une scule 

d'enlre elles. 

M. Weierslrass, en Allemagne, et .M. Meray, en I''rancc, out developpe la 
th^orie des fonclions analyliques, en s'appuyant uniqueinent sur les propricles 
des series enlieres; leurs reclierches sont d'ailleurs complelement independantes. 
La iheorie de M. Meray est exposee dans son grand OuvrageZefo/^5 nouvelles sur 
I 'Analyse infinilesimale. Nous monlrons dans le texte coninient on peul defiuir 
de proclie en proche une fonclion analylique, connaissant un de ses elenicnls, 
mais en supposanl toujours connus les llieoremes de Caucliy sur les fonclions 
liolomorphes. 



I. — DhFIMTKtN DIM-; TONCTION AN ALVriQLi;. J^i 

el, [)ur siiiU", Idiiiici' la st'iic ciiIu'tc 

(8) /(„)-^^~^Vv«;-r-...4-^-^^^/('"(.o-- .. 

c|iii rcpit'x'iilc la Idmlioii /^ c-^ ilaiis Ic duinaiiic ilii |)uliiL (t . Ccllc 
seric est ccrlaincnu'iiL coiiNciyciile Jans uii cercic dc cenlie a cL 
de ravoii \\ — \a\ (ii" !2(30), uiais elle peiil elre corivcigenle dans 
iin c«-iclc' plus grand. Stipposons d abord (|ue le rajon du ctM'cIc 
de convergence de la sc'ru; (8) soil loujonrs egal a Jl — | « |, 
<[nel que soil Ic jfoinl (t pns dans le cercle Cq. Alors il u'exisle 
auciin niojeii de ])rolonger anal vli(|uenient la fonclion /{^) en 
dehors i\n cercle, du inoins si I'on iremploie qne des series 
eiiliercs. AOiis poii\ons allirnicr (pi d ii exisle pas tie fonclitui 
iiolomorplie l'\;) definie dans une region A dn plan plus grande 
(|ue le cercle Co el coincidanl avec /{^) dans Coi car la melhode 
du prolongeinent analjti([ue permetlrait, comme nous I'avons vu, 
de delerniiner la valeur de celle fonclion en un |)oint exterieur au 
cercle Cq. On dit alors que la porlion du plan exlerieure au 
cercic Co est un espuce lacunaire pour la Ibnclion /(;;). Nous en 
verrons des exemples un pen plus loin. 

Supposons en second lieu (|u'en choisissanl convcnablenienl Ic 
point a dans le cercle Co, le cercle de convergence C| de la 
serie (8) ail un rajon plus grand que 11 — \a \. Ce cercle C| a une 
parlie exlerieure a C© {fig- 84) el la somnie de la s6rie (8) est une 
function holomorphe /'i (^) dans le cercle C|. A I'interieur du 
cercle *' de centre a, f|ui est tangent inlerieurenient au cercle Co, 
on a /", [z) ^ J\z) (n° 26G) ; done cctlc egalite subsisle dans loutc 
la region commune aux deux ceicles Co, C|. La serie (8) nous 
fait connailre le prolongement analjtique de la fonction J'{z) 
dans la portion du cercle Cj exlerieure au cercle (^o- Soit a' un 
nouveau point j)ris dans celte region; en operant de la menie 
faron, nous formerons une nouvelle serie entiere ordonnee sui- 
vant les puissances de ;; — «', qui sera convergeute dans un 
cercle C^. Si cc cercle C^ nest pas tout entier a linLerieurde C|, 
la nouvelle serie donnera le prolongement dey(:;) dans une region 
plus etendue, et ainsi de suite. Un congoit done (ju'il est possible 
d'elendre aiusi de proclLC en proclie le doinaine d'existence de la 



•24 I ClIAl'ITIli; \VI. — l.K I'llOI.ONCiKMIiNT ANALVTHJIK. 

fonclion /{:■), 411I n'ckiil ch'linic ^riiljoicl (pi a riiileiiciir du 
ci'icle Co- 
ll est clair (|ii on pciiL fairc Ics ()|)('Talioiis piccrilciilcs (rune 
iiilinile (.\c nianKTCS. Pour s'v roconnaitrr, il faul clrlinii- avcc 
|iiccision le clieniin sni\i par la \aiialjli'. ^iolls picsenlerons 

(1 al)0rd quclt|nes reniarcjucs. Soil (>'„ le ccrcic de ravon — dt'cril 

i\r loriylnc poiii" cenlrc; a cUml un point (|uclcon(|n(' de C'„, le 

Fia;. 81. 




lavon du ccrcic de con\cigence dc la srrie ((S) csL au iiioius eyal 

l> . . . |{ 
a — ) niais ocul cUc plus i^rand. Soil [- /• la liinile iiiferieure de 

ce rayon lorsquc a decril C[, ; on ne jieiiL cuoir r >> o. Si. en eflel, 
/• elait posilil, il exislerail une foticlion F( r ) holonioiplie dans le 
corcic de ravon 11+ /", avani [lonr cenlie lorigine el coi'ncidanl 
avecy^(;) a rinlerlcurde Cq. I'om nne\aleurde z donl le module 
serail compris entie R el Rh- /', V ( z) serail ei;al a la soniiiie de 
I line (pielconf|nc des series (8), (i elanl un point de C'„ lei (pie 

liiii ail I r — « j <C \- I- 1) api-es le llieorrnie de Canclis . J' ( z) 

serail egal a la soinine dune serie enliere convcrgeiilc dans le 
cercle de ravon 11+/-, el cellc seric devrail elic idenlique a la 
serie ( -), ce qui esl impossible. 

II lant done (pie la liniile inli rieure en (pieslion soil (-gale a — - 
Je dis en second lieu qii'il cxisle au moins un |)oinlrt du c(rele C,',. 
pour leqnel le rayon de con\cri^ence dc la Sc'rie (8) csl ('gal a — ♦ 



I. — nKFINITION l> INr: KONTTION ANAI-YTIQl'li:. ' i 'i 

Soil, on cllfl. £,. r_. z„, ... uuc siiile dc nonihrrs pnsilils 

tlecfoissnnls, s„ (eiulcinl vers /,<io lois(|iio /t croil iiidcliiiitiiciil . 
All iiDiiihrr :, on pciil (aire coi rcs|>(>ii(lio iiii |iiiiiil (^/,(lii ccrcle (.,',, 
|ii»iir kM|iitl le lavon tie ronvorgcnco de la ji'iic corrcspomlanle (-Sj 

csl inri'nciir a hi/- ^<OllS ohlcnons ainsi line siiilc Indi'fiiilo do 

jioInH f/,. It. (f„ sitiios siir le ccr« lo (-,',. II v a done 

an moms iiii point liinilo siir cp ccrcle; soil a iiii de ccs points 

liinilos. Lo ravon de convorgenco dc la sorie (8) pour ce point 'i 

, U c 1 rr ' I ■ '^ 
no poiil otic siipenoiir a — • l5npposons-lc on ollcl oi;al a v.; 

|Miisqii ij V a dans lo ccrcle dc rayon - di'oril dii poinl ii pour 

centre line inlinil/' i\{^ points r//, on pent on tioiiver iin pour 
l<'(piol Ic ra\(in do convergence corresponilanl est pins |)Ctit (jiio 

K T . . , . .... 

- -I- '• Mais ce |)oint <'tanl a nno distance dii point a infoiieiiro 

.V' , \ • K • , 1 . 

a ) 00 ravon {\e convergence doit olio an inoins o^al a 



11 lant done qne Ton ail r, = o, el le ccrcle de convergence qui a 
pour centre le point a est langent inlerieurement an cercle Co an 
|)oinl a on lo i'a\on Oa rencontre ce cercle. f.e poinl a csl mi 
point sin i: II Iter (\e f( z) sur lo cercle Cq. Dans nn cercle r. ayaiil 
pour centre lo poinl a, aiissi polil f]no soil le ravon, il ne |!onl 
(jxisior de fonclion liolomorplic cpii soil idonliqne a y(;) dans la 
parlie oonininno aii\ doux cercles (\ et c. II est clair aussi qne lo 
cercle de convergence de la serie (8) ayant pour centre nn poinl 
(|nelconque dn ravon Oa csl tangenl inlerieureinenl an [)oinl y. 
an cercle Co- 

Considerons mainlciianl nn clicinin \j parlnnl do I'origine el 
al)onlissanl a iiii poinl fpielconqiic Z on dehors dii oorcie (.,,, ot 
imaginons nn niohile docrivanl ce cliomin en niarclianl loujours 
<lans le meino sons de O vers Z. Soit '/, lo point on lo moi)ile sort 
dn cercle; si ce poinl a, olait nn point smgulior, il serail impos- 
sil)le de poursuivre snr le clieniin L an tlola dc ce poinl. Xoiis 
supposerons quo cc n'esl pas nn jxiint singulier; on peul alors 
former une sorie enliore ordonnoo suivaiit ios puissances do r — y, 



5! |6 niMMTnr WI. — I.IC PUOLOXGEMnNT ANALYTIQUE. 

c\ convcpii^cnle clans iin ccrcle C| do cenlrc a,, donl la somiiie 
coVncifJe avec /{:■) dans la paiiio comniiino nii\ (\cu\ ccrcles Co 
fl C|. Pour calculer y(a, ), /'(a, ), .... on poiirra par exemple 
emploYor tin jioinl inlermcdiaire snr Ic rayon Oa,. l^a somme de 
la seconde srric nous lail connailre le prolongrmcnt analyli'qne 
c\c f(z) le long dii cliemin L, a parlir dc a,, lani que Ic mol)ilc 
doonvant no sorl pas du ccrcle C|. En j)arlicMlier si loni ce 
clicmin a parlir de c/.f est silne a linlerieur de G|, celte serie 
donnera la valour de la lonclion au point Z. Si le cliemin sorl du 
ccrcle Ci au point a,, on (orniera de iiiome une nouvolie serie 
enliere convergente dans un cercle Co de centre y.-,, et ainsi de 
suite. Nous admellrons dabord rpvau bout d'un nondjre fini 
d'operations on arrive a un cercle C,, de centre y.p, renfermant 
Idiile la portion du cbeinin L qui suit a^,, et en parlieiilier le 
po/int Z. II suffira de reniplacer c par Z dans la derniore serie 
employee el dans cellos qu'on en lire en dilTorentiant terme a 
lorme pour avoir les valeurs de /"(Z), /"(Z), /"(Z), .... avec 
lesquelles on arrive au point Z, c'esl-a-dire relement final de la 
fonclion. 

II est clair qu'on arrive en un point queieonque du cliemin L 
avec des valeurs bien determinoes pour la fonclion et toutes 
SOS derivces. Remarquons aussi qu'on pourrail reniplacer les 
cercles Cp, C,, C^, .... C^ ])ar une suite de ccrcles definis de 
la memo facon avant pour cenlres des points quelconques z-,, 
z.,, ..., Zj du cliemin L pourvu quo le cercle do centre ^/ rcn- 
lerme la portion du cliemin L comprise entre Zi et zi^ ,. On pent 
aussi modifier le cliemin L, on conservanl les memes extremiles, 
sans changer la valour finale dc f(z), /' (z), f" (z), .... Kn effel, 
les cercles C„, C|, . ... C^ recouvrent une portion du plan for- 
nianl une espece de bande dans laquelle est silue le cliemin L; 
on pent reniplacer le cliemin L ]iar tout aiilre cliemin IJ allant 
de c = o au point Z, el situe dans cette bande. Supposons, pour 
fixer les idces, qu'on soil oblige d'emplover Irois cercles conse- 
cutifs Co, C), Co (/j'g. 8;")). Soil L' un nouveau cliemin situe dans 
la bande forniee par cos Irois cercles; joignons les deux points ;?? 
et /?. Si Ton va de O en m d'abord par le cliemin Oy-^m^ puis par 
le cliemin Onm, il est clair qu'on arrive en ;» avec le nieme 
clement, puisqii'on a une fonclion liolomorplie dans la region 



I. — PKIMMTION DCNK rONTTION AN \I.YTIQ( E. 247 

((irni('<' |);ir Cq ct (1|. \)c mriiu' si I On \ ;i dc /// en / p;ir lo 
clicniin ///y.^'/ on p;ir le ilioniin i/u/'A, on arrive tlans les denx cas 
an point Z avec le mcnic elemcnl. Le clieinin L esl done- eipii- 
valenl an elieniin 0///;?//Z, c'csl-a-clire an clictnin I/. La nielliode 

Fis. S5. 




esl la mtMUC, f|iicl que soil le nonibre des cercles successifs. En 
parliculier, on pent lonjonrs remplacer nn chemin de rorme 
quclconqiie j)ar une lii;ne brisee ('). 

3i3. Points singuliers. — En procedanL coninie il vicnl d'eUe 
explique, il pent arriver qu'on ne piiissc Irouver nn cercle ren- 
jermanl tonle la partie dii clicmin f^ qni resle a decrirc, aussi loin 
(pie Ion ponrsuive les operations. II en sera ainsi lorsque le 
point Tip sera un point sinynlier sur le cercle Cp_t, car on sera 
arrele a ce monienl-la. Si I'operalion pent elre conlinnrc indefi- 
niment, sans qn'on arrive a nn cercle I'enfermanl Ionic la portion 
du clicniin L qni reste a decrire, les points a^_,, a^,, y-p^\^ .. ., 
tendent vers nn poinl-liniite A du chemin E, qui pent elre soil le 
j)oinl Z iiii-meme, soil nn point compris cntre o el Z. Ee j)oinl A 
esl encore un point siniiulier, et il est impossible de poursuivre 
le prolongemenl analvliquc de/(c) le long du cliemin E au dcla 
du |)oinl A. Mais, si A est diU'erent de Z, cela ne prouvc pas ([ue 
le point Z soil lui-meme un point singulier, el qu'on ne puisse 



( ' ) Le raisonnemeni exige un pen plus d'allention lorsque le chemin L pre- 
senle des points doubles, parcc qu'alors la l)andc formee par les cercles suc- 
cessifs Cj, C|, Cn, ... pcul se recouvrir parlicllcmenl cllc-nicme. Mais il n'y a 
au fond aiK unc difficultc verilahle. 



>\X (IIAPITniv XVI. — IE PROI.ONGEMKNT .\NALYTIQI:E. 

;il!er (!«■ O en Z, |iar iin ;Hilrc clirniin. Prcnons par rxcm[)le Ics 

foiu'lions yi 4- c oiiLog(i + c ) ; on no pourrait allcr de I'orl- 
i;ine an poinl r =z^ — 2 Ic long de lave loel, pniscpTon nc pour- 
rail Irancliir le jioint singnlier :; = — 1. Mais si I on (ait decrire 
a la \aiial)le r im clicmin nc passanl pas par ce poinl, il est clair 
(pidn an i\ ( la an point c = — lianbonld iin nomhre fini d'opera- 
lions, car Ions Ics cercles succcssifs passcronl par Ic poinl :; = — 1 . 
Iicinarrpions rpic la definition preccdcnle dcs points singnliers 
<lt'|)end (In clieniin siiivi par la variable; un |)oinl A jietit elre nn 
point sinmilicr ponr nn elicniin delerniine, ct ik; pas IV'tre |)onr un 
autre chemin. si la (onction adniel |ilnsienrs branches disiinctes. 
Lorsque deux cliemins L,, L', , allant de I'origine an point Z, 
<ondnisent a des elements (liflerenls en Z, il existe an moins un 
point sinynlicr a rinterienrde Tairc qui scrait balavee |)ar lun de 
ces cliemins, L, ])ar exeniple, si on le deformait d'line manu're 
continue en conscrvant les extreinites de facon a I'amcner a coVn- 





cider avec I/,. Siipposons, ce qiron pent toujours f'iiire, que les 
deux cliemins L,, L', soientd(!s lignes brisees d'lin meme nombre 
de cotes Oa, fj,c, . . . /, Z et Oa\b\ . . . I\7. {fig. 86). Soient r/o, 
Ao, (■■,, .... I., Ics milieux des segments a,a\, h\b\^ .... /i /', ; le 
cliemin Lo forme par la ligne brisce 0(i-^l>., . . . I^L ne pent 
etre equivalent a la fois aux deux cliemins I.,, L, , lors(p»'il ne ren- 
firiiKj pas de point siiigulicr. Si ce clicmin Lo rcnferme un point 
>iugulier, Ic tlicoieme est etabli. Si les deux cliemins L) ct Lo 



I. — m':i"iMTt(>\ him: ionction wvl^tiqi k. ' i'.) 

iH' -onl jiii-^ i''(|ii I v.th'iil s. (Ill CM (Icdiiiia iin iioiixcaii < liiiiiin I,. 
(•(tin|)ns ("iili'O li, el I._, |tar \r iih'miic nriict'ih'-. \j\ cdm I iiiii.iiil (U- 
la soi'le. on hicii on airivcra ;"i tin cIkmiiim I,^, n'ii(('iiiiaiil iiii iioinl 
s!ni;nlicr. on Im-n <ni aura iinc >^nil(' indt'-liii ic di- cliriniiis L,. 

Lj (.!•-< cliciiiiiis Iciidnnil xci-; iin clicMiin liniilr A, car Ics 

|»oiiil-. Iff, (t2. fff, ... Icndfoiil \cis nil |ioinl liiiiil<! coiiiiiri^ 
enlio (ff (i //|. ... ('[ de iiumiic pour Ics anlics. Cc clKniiiti- 
limilc A <loil rciilt'inicr iK'ccssairrim'nl iin |)Oiiit smellier, niiisfiiic 
Ton [K'nl Irarri-. do j)ait c\ danliT (\c A. dciiv cliriniiis in liiiiiinMi L 
voisins dc A el (-oiuliiisiiiil a Jcs ('demoiils dillV-renls pour hi I'onc- 
lion an pcnnl Z. II ne j)Oiirrait en clrc ainsi. si A nn rcni'onnnll pas 
(le poliil sini;idi('r, piiis(|ue les clioniins iniiniiiHiil \oisins dc A 
doiveni rlrc /-(piis alcnls a co clicinin ini-nirme. 

La d(''liiiilioii pr»'(;rdenle dcs poinls sinj^iiliers esl piireincnl 
negative, el ne nous npprend rien snr la nature de la fonclion 
rians le \oisinage. Auennc lispoiiirse siir ces poinls sing^iiliers on 
sni- leiir dislr'hulion dans le plan ne pent elre ecarlee apriori, a 
moms d iinj)lif[ner conlradiclion. (^cst I'etude senle dii prolon- 
genienl analjlirpie qui pent nous apprendre les Jiflerenles circon- 
stances possibles. 

3ii. Probleme general. — II n'snilc de ce (jui precede (|ii"uiic 
fonclion analylique est virldpUcnwnl detenninee qnand on en 
connait uii ('li'-nienl, ccst-a-dire f|nand on connait une suite de 
coeflicicnts r/„, ^/,, a-i^ .... a„. . . . Icis (|ue la serie 

«D -i- « 1 ( -^ — 'X) — . . . — a,i{x — a )■' -1- . . . 

ail nn ravon de convergence dillcienl dc /.I'ro. (]es cocKii-ienls 
elant connus, on est conduit a se poser le probleme genc'ral sui- 
vant : Uoincr hi i-alriir tie la fonclion en nn point quclconijiic '^ 
du plun (jiKintl on ftiil dccrirc d la variable un cliemin deter- 
mine allant dii pinnt y. an point j. On pent anssi se pioposer 
de determiner a priori les jioiiits singnliers de la fonclion ana- 
Ijticjiie; il esl clair dailleurs rpie les deux |)rol)lcmes soul <''li'oilc- 
ment li('s Inn a I'aiilre. La m('llio<le nicme du prolongemeni ana- 
Ij'lifpie fournit uiic solnlion, an moms llicornpie, de ces dcuv 
problrmcs; niais elle n'cst pralicabic rpie tians des cas tics par- 



•25(> riiAPiTRi' XVI. — i.i: pnoi.oxcKMnNT .wm.ytioi'K- 

liciiliors. I'iU" o\cm|»I«^ coinino licn irindiqiic (7 priori le nonihre 
(Ics series inlermodiaires qiril fatulra omplover pour aller du 
poiiil y. ail point |j, ct rpi'oii no pent oalciilor Ics sommcs de ces 
series qu'avec line cerlainc approxiinalion, il paraiL impossible de 
se rendre comple de rapproximalion linale que ron obliendra. 
Aiissi la icehcrclic de sohilions plus simples, au moins dans des cas 
paiiieuliers, elail-elle necessaire. Ce n'csl cependanl que depuis 
qiielqties anneei que cc probleme a fait Tobjcl de Iravaux suivis, 
(piionl di'ja conduil a d'imj)ortants vesultals ( ' ). Si ces reclierclies 
sonl anssi rccenles, ce nVsl jins uni(piement a la difficulte de la 
question, qnelcpie considerable quelle soil, qu'il faut I'allribuer. 
En ellel, les fonclions qui onl ele eLudiees successivemenl par 
les geomelres n'onl pas etc clioisies par eux d'une facon arbi- 
Iraire; lelude de ces fonclions simposail par la nalure meme 
des j)roblemcs qui s'offraienl a leurs cfTorls. Or, a pari un pelll 
nombie de Iranscendanles, loules ces fonclions, apres les fonc- 
lions expliciles elementaires, sonl definies soil comme racines 
dequations non susccpliblcs dune resolution formelle, soil comme 
inlei;rales d equalions diflt'renlielles algebriques. On concoil done 
tpie lelude des fonclions impllciles el des fonclions definies par 
di-s equalions differenlielles a du preccder logiquemenl lelude 
du probleme general dont ces deux problemes ne sonl au fond 
(pie des cas Ires parliculiers. 

II esl facile de montrer commenl lelude des equalions differen- 
liellcs algcbri(jues se raltaclie a la llieorie du prolongement ana- 
Ivlique. Cousiderons, pour fixer les idees, deux series enlieres 
y{^), ^(•2^)» ordonnees suivant les puissances posillves de x et 
convergenles dans un cercle G de rayon R decrit du point ^ = o 
pour centre. Soild'aulre pari F(x,j>', j',y, ...,y^P\ z, z\ ..., z^t') ^| 
un poljnome eniler en X, J)', jj', . . . , y''P\ z, z' ^ . . . , ;jf^'. Suppo- ^1 
sons que Ton reniplace dans ce poljuome j)^ el :? par les series pre- 
cedenles,!'', y", . . .,1''^^ par les derivees successives de la serie 
y{jc)^ el z' , c", ..., z'-t^ par les derivees de la serie z{x)^ le 



(') Pour tout c- qui conccrnc ccUe question, jc renverrai Ic lecleur a I'exccl- 
Icnl Ouvrage de M. Hadamard : La serie de Taylor et son prolongement ana- 
lytirjue (Naud, 1901). On y Irouvera des rcnscignemenls bibliograpliiques Ires 
( omplels. 



il 



I. — DKKIMTION l)"uNr FONCTIOX ANALVTtOt F.. y5l 

rrsiillnl ost encore line s<''iir (Miliere cnnvcrqonle, dans le eercle (]. 
Si Ions les cocllicienls cle eellesenc soul niiU. les fonelions liolo- 
niorplics j'(a') cl ^■{■^) salisfonl. 'Ii/ns /c rrrclc C, ;'i la ccliilion 

Nous allons inainlenanl rlalilir (|ne It's fonelions olilrnnrs jKir Ic 
jtrolongemcnl onalylique dcs series y{x) el :-{.v) salis/onl a la 
wenie relation rlans toni leiir domnine d^exislence. D'nnefaeon 
|tliis |(rt'(ise, si Ton lail dcW^riic a la vii'iahie .r nn clieniin L par- 
latil (Ic rorii;ine el sorlani dn ccrclc C potir alionlif a im |)Oinl 
(|nelconf|ne a dn j)lan, et si 1 on pent poursnivre le prolongemenl 
anahllfpie ^<:-> denx srries i'(.r) el r(.r) lonl le long dc ce chemin 
sans renconlrer ancnn poinl singnlier, les series enlieres \ (r — a) 
el Z(.r — a) avec lescpielles on arrive an poinl a represenlenl dans 
le doniaine de ce point denx fonelions holomorplies qui verifient 
la relalion (9). Soil, en efTel, .r, nn poinl dn cheniin \a inlerienr 
ai': eercleC el voisin dn poinl on ce clicmiii I^ sort dn cercle (^ ; du 
poinl J^i coninie cenlre on pcnl decrirc nn cercle C|, en parllc 
exierienr an cercle C, el il exisle denx series enlieres j'(x — r,), 
^(.r — jTi) convergenles dans le cercle Ci el dont les sommes sont 
idenli(pies aux sommes des denx series j)''(:r) et zi^x') dans la parlie 
commune aux deux cercles C, C(. En remplacant dans F les 
fonelions y et z jiar ces deux series, le resnilal oblenu est line 
serie enliere P(.r — .r, ) comergenle dans le cercle Ci- Oi", dans la 
parlie commune aux denx cercles C, »C,, on a P(x — .r,) = o; la 
serie P(j: — J"( ) a done tons ses coefficients nnis, el les deux nou- 
vellcs series jj"(x — ^1) el z{x — .r,) salisfoni a la relalion ((;) 
dans le cercle C|. \Ln conlinnanl de la soric, on voil que eelle 
relalion ne cesse jamais d'eire vcrifiee par les prolongemenls ana- 
lyliqnes des deux series y{x) et z{^x), quel que soil le chemin 
sui\i p;ir la variahl(^; ce (pii demonire la jtioposilion. 

L'elude dime fonclion delinic par une tupialion diflerenlielle 
n'esl done au fond (pi'un cas |>arlicidier du probleme general du 
prolongemenl analvliquc. INIais, dun auire cole, il est aise de com- 
prendre que la connaissance d'une relalion parhculiere cnlre une 
fonclion analjtl(|ue el (pichpics-unes de ses derivees puissc dans 
certains cas facililer la soliiiion du |)rol)leme. Nous aurons a revcoir 
sur ce poinl dans rrludc drs ('-(pialions dillt'-iciil leilcs. 



CIIMMTHK \\ I. — l.i; PUOLONT.KMKNT \N \I.\ TIQI K- 



H. — KSPACKS LACLNAIRES. — COUPURES. 

L('-liiile (lt"S fdiiclions inodiiliiires «'lli|tli(|ii('s nvnil, foiiriil ,"i 
M. Ilcrmite le proniier r\cni|.le d iine fonclion an;il vl i(|iic (Ic'fiiiic 
ilans tine portion dii plan scnlonient. Nous allons indifiiior uiic 
uielliodo Ires si?jipie pour ohlenir des fonctions analvlirpies adnicl- 
lanl [Oiir espace laciinaiic line region cpiclconqnc dii plan, nioveri- 
nant coilaines livpollieses, d'un caraclere Ires gen('ral, snr !a 
coiirhc (|iii liniilo cclte region. 

3io. Lignes singulieres. Espaces lacunaires. — Nous demon - 
Irerons d'abord nne proposition preliminaire ('). 

Soienl r/| , <72, . . . , a„. ... et C|, Co, . . , , r„, ... i]eu\ series, 
a lermes fpielconqnes, dont la scconde est absohimont conver- 
g<'nie et a tons ses termes diflerents de zero; soit C nn cercle de 
eentic ^o ne contenant a son inlerienr ancnn point a, et passant 
|)ar fffi seal de ces points : la serie 

(lo) F(..) = y-^^:^ • 

j^ a., — J 

V = l 

represenle dans le cercle (j nne fonclion liolomorplie fpii pen! 
elre devclopjice en serie ordonnee snivanl les puissances de ^ — :;ii. 
Le cercle de convergence de re tie serie est prec(s<hne/it le 
cercle C. 

On jient evidemnient snpposer qnc ^0= o. car si Ion change c 
en Zq-\- z\ r/v est I'emplace par n., — r,,, et c., ne change |ias. Nous 
sn|)poserons aiissi que Ion a |rt||^R, en designanl par R lo 
ravon dn cercle C, et l<7/]>-R, pour / >• i. Dans le cercle C, le 

lernie general ^'—_ pent elre d(-veloppe en serie entiere, el celte 

seiie adinet, comuie il est facile de le voir, la fonction inajo- 

ranic ~ -• O'apres une proposition generale demontree plus 

'-R 



(') PoiNCARE, Acta Societalis Fennicee, t. XIII, i8Si ; Goursat, Bulletin dcs 
Sciences mathematiques, i' j-erie, t. XI, p. 109 el t. XVII, p. 'i'-\-. 



I 



II. — i:si'\(:i:s i.vci n\iui:s. — coL'i»fRi:s. v.ii 

liiiiil ( m" -07), la st'iie ^\c\\ (jlaiil coiiverf^enlc, la fi)ncli<)ii !'(:;) 
pcul rirr (levelo()|)(''e en serie oiiIk'tc dans le cfrcio (I, el ccllt' st'-rif* 
|>c'iil t'li'c (»l lien lie rii a|()ulaii I I ciiiif a I ciiiic Ics sf'-rics ('iili(rr> (i ii i 
r('|)rt'St'iileiil Ics tlillV'i'i'iils U'riiii-<. On a (jdiic, tl;ins cc ccrcic (>, 



( lO)' l'\3)= Ao-T- A, :: -r- \-,Z--r-. . .-+■ \„ 






(]li(n>is>()iis nil iioinhi'c ciilici/^ Icl (|ii(" \ |r.,|s()il pin-. |i('lil 

<|iie-|f,|. ce qui esl |)()ssil»l(' |iiii.S(|iic r, ii csl pas mil el <pi(; la 

st'iie -jCv] fsl conver^c'iilo. Le iiomhic /> <'laiil elioisi de cellc 

(aeon, nous pouvons eciirc F(c) = 1" i ( :; ) -h l'\>(^)j en |)(>sanl 

,) +« 

F,(^)=>— ' , V,(z)^ L" -t- > ^; 

l''i(;;)esl unc loiiclion lalionncllc <|ui na(|ut'(lcs poles cxleiiciiis 
ail eercle (^, elle esl done dexcloppahle en serie enliere dans un 
eerele C de laNon ll'>> II. ()uaiil a b'-.f^V on a 



(") 
oil 



V.^{z ) = IJo-i- 15 1 c +-. . .-T- l^«-' 



'■/.-f-i 



f,.+i 



()ii pen I cneoic eeriie ce eoefficienl 



I5„- 



in.iis on a p.ir li\ polliese 






-- <;; I , el Ic moduli' de la soniine 



<■'</! 



y ,..Y"'V 



cs!, (^ilple^ l<i liiron ilonl on a ( lioi^i le noinhie /'. inf«'rirnr ;"i 

|r,|. I.e module du eoefliclenl \\„ ol done eonipii s cnlre —^r;^y \<'\\ 

el — ^ IcI, el le module du Iciiiie iii-neral de la ^e^ie ( i i) e^l coin- 



•254 CHAPIXnE XVI. — \.K l'nOI,ONOKAII-.\T ANM.VTIQIK. 

\c,\ z " 3ki I ^ " , . I ,. 

oris enlrc — It tt el ^ ir ; celle serie csl tloiic divcrjiciile si 

I'on a ];;[ >» R. En ajoulant a la serie F2(:;), converjjenle Jans le 
cercle de ravon R, une serie F)(^) convergeiile dans uii cerele de 
rayon R'>» R, il est clair que la somme F(;) admet le cercle C de 
ravon R pour cercle de convergence; ce qui demonlre la pioposi- 
lion enoncee. 

Cela pose, soil 1^ une courbe, ferinc'C on iu)n, adnieUant en 
chaque point un ravon de courbure delernilne. La serie S|cv| elant 
absolunienl convergenle, supposons que les points de la suile rti, 
a-,, • ' • 1 ('/, • • • soienl lous sur la couibe L, et } soienl disliibues 
de telle sorle cpie, sur un arc (ini de la courbe L, il y ail loujouis 
une inlinile de points de cette suite. La serie 



(1-2) 






est convergenle pour lout point z-o n'apparlenanl pas a la courbe L 
el represenlc une Ibnction lioloniorphe dans le doniaiue de ce 
point; il suftirait de reprendre la pieniiere partie de la denionslra- 
lion preci'denle, en |)renanl pour IccercleCnn cercle quelcoucpu^ 
de centre z^ et ne renfernianl aucuu point rt/. Si la courbe L n est 
pas ferniee et ne presente jias de point double, la serie ( i a) repre- 
senlc une fonclion bolomorpbe dans toule lelendue du plan, 
sauf pour les points de la courbe L. Nous ne pouvons en conclure 
que cette courbe L est une ligne singuliere; il Caul encore etre 
assure que le prolongemenl analjtique de i^[z) n'est pas possible 
a Iravers une portion, aussi petite (|u'elle soil, de L. Jl suKil de 
verifier pour cela que le cercle de convergence de la serie enliere 
qui represenle F(^) dans le doniaine d'un point (pielconcpie z^, 
non silue sur L, ne pent jamais renttruier un arc de cette bgne, 
quelque petit qu'il soil. Supposons en eflet que le cercle C de 
centre ^o renferme un arc a,S de la ligne L. Sur cet arc a^ prenons 
un point «/, et sur la normale en cii a cet arc prenons un point ;•' 
assez voisin du point ai pour que le cercle C/ decril du point :;' 
coninie centre avec \z' — a/| pour ravon soil tout enlier a I'lnte- 
rieur de C el n'ail pas d'autre point coniniun avec Tare ot.[i (|ue le 
points, lui-inenie. D'apres le llieorenie qui vienl d'etre demonlre, 
le cercle C/ est le cercle de convergence de la serie enliere (|ui 



It. — KSI'ACKS LACl.NAlllKS. — «;t>l I'l IIKS. .>')', 

represeiile F( :;) tiaiis lo (lomaine cJu point z' . Mais ccci c^l en 
conlradiclion avcc Ics piopiiclt'S j^ciic rales cles series eulicres, 
car 06 cercle de converj^eiicc no peiiL rii<; plus pclii (pn- It: ccicu; 
de cenlre :;' qui csl lan<;ciil iulericurenicDt an cercle (^. Si la 
ligne L esl lerniee, la seiie ( i vi ) repri'sciUc deux fonclions aiia- 
l\li(]ues tlislincles, douL I line nCxisle (pic dans Taire A inli'-- 
rieiire a la ligne 1-, cl pour la(pielle la portion ilii phin e\l»'rieiii (• 
a celte ligne esl im espace laciinaiie; laiilic lonclioii, an con- 
Iraire, n'existc (jn'a I exlerieur dc la lii;nc L el admel la ii'-gion 
inlerieure pour espace laciinaire. On dit aussi (pie la ligne L esl 
line coupure cssenlicUe |)Oiir cliacune de ces (bnctions. 

Etanl donnees pliisieiirs ligncs, ferinees on non, L,, L^,, ,.., 
L^, on ptjurra loiincr de celte lac-on des series de la lorine (i'.-*.) 
adniellanl ces lignes pour couj)ures essentielles ; la soinnie ile ces 
series adnieltra loules ces lignes pour conpures essentielles. 

;{l(j. Exemples. — Soiont \\\ uii sei;iiu'nl de (.liuilo cl a, 3 Ics ul'lixcs 

ni u. —1— ji 3 

(Ics exlicinil(}s A, 13. T(jiis Ics ixjiiils -/ = -, oil in ct n soiit <lcii\ 

ni -T- II 

nombres enliers posilil's variant (Je i a -f- x, sont situes sur le segiiieiil Ali, 

el sur une i)orlion finie de ce segment il y a loujours une iiifinitt^ de p(jints 

de celte espece, puis(|ue le point y divise le segment Al> duns Ic r.ip- 

porl — • Soil d'aulre part <>,«/, le terme g('n(iral dune scrie a deux 
n 

indices absolument convergcnle. La s(''iie a dciix indices 

IH-)-- > -— -T. 



represenle une fonction analylique adinettant le segment AB pour cou- 
pure essenlielle. On peut, en cflTet, transformer celte S(irie en une s(irie a 
iin seul indice d'une inlinile de manid'ies. II est clair qu'en ajoutant plii- 
sieurs stiiies de celte esp(jce <jn pourra former une fonction anal\lii|uc 
admeltant pour espace lacunaire un polygone qnelconqiie. 

Voici un autre excmple ou la ligne L est une circonft!'rence. Soient a mi 
nombre posiiif incommensurable, ■/ nn nombrc ciilier positif. Poson- 

a =■ e-'~'^, cl; = a' = l'-'~''^; 

lous les points a' sont disliiicls ct sitnc> sur le cercle G tie ia\nn nn 
ayant pour centre I'origine. De plus, nous sa\ons qu'on peut Irouxer deux 
nombres enliers in el n lels que la diireience ■?.-{n'x — m) soil moindre 
en valeur absolue quun nuinbre i, aussi petit qu'on le suppose. 



V.5G cii.vi'iTnf XVI. — LI-; prolongemknt anm.vtiqie. 

II c\i?lo done ilos puissances cle a doiil raii^nnuMil est aussi voisiii cic 
/Aio qu'oii le MMit cl, par suite, sur uii arc liiii tic la circonfereace, il \ 

aura loujiuirs uuc iiiliiiilt- <ic points a'. I'osons cnsultc ("v = -7; la scrie 



F(^)- 



2 



represenlc. d apres Ic tlicorcnie general, une fonction liulnnioiplie dans le 
cercle C, qui admet coninie espace lacutiairc loutc la portion dn plan 
exlerieure a ce ceicle. En developpanl cliaqnc tcinie suisani Ics puis- 
sances de c, on trouve pour le «leveloppenjenl de F(^) la serie enliere 

(iS) l'(z) = \-T- _" H -^ — -—■■■' n — :-"■■■■ 



\ 



II est facile de verifier directenicnt que la fonction representee par 
celle serie enliere ne pent pas elre prolongee analytiquemenl au dela du 

«ci-clc C. Si nous lui aiijulons en diet la scrie 1 il \ienl 

!•(-)- — '— =-i-^z( ' -,)^.,,^-J ' :-,)-...= ■?.F(a: 

i — z \ia — 1 / \>.(i'—i ) 



tn changeanl ilans celLe relation z, en az^ puis en a''-z, .... on trouve 
la relation gcncralc 

i V.n''z. = ^V{z)- 



■x'w — ^1 •.'. ' ^ ' I 1 — a c ; '2 1 I — « •' ' - 

• [ui niontre que la didcrence -^''^ia'^z) — F( s 1 est une fonclioa ralion- 

linnnclle of^i aduietlanL les n poles du orcniicr ordre 1, -) ••• ? ^, • 

' ' ' ' a «'-' 

La formule (1 4 > a ete etablie en supposant que Ton a |^ | < i, et | c/ 1 = i. 

Si I'argunient de a est coniniensurable avec -, la iormule {\'\) nionire 

que F(z) est une fonction ralionnelle; il suffirait de prendre pour a un 

n'unljre enlier tel que a"=i. Si I'argument de a est inconiniensurable 

a\.c -. il est impossible que la function F(-) soil liolomorplie sur un 

arc K\\\\ AB de la circonference, aussi petit qu'on le suppose. En elfel, 

soient a-i> el a" -/' deu\ points situes sur Tare AB (n ]> />). Les nonibres n 

et p elant ainsi clioisis, imaginons que I on fasse tendre z vers a-f , a" z 

tcndra vers a"-i', el les deux fonclions I' ( z ) et F(a"z) devraieni lendre 

\ers des liniites finies. Or, la relation ( i4 ) inontre que ceci est impossible, 

pui»quc la fonction 'f( -j adnicl le pole a-/'. 



II. — ESI'ACKS LACINAIBES. — COl I'l ItliS. 9. >- 

Unc inelliode analogue s'appliqiie, comme I'a denionlic M. Hadamard, 
a la sorie considercc par M. Woierstiass 

(i5) f(z) = I.b"z"", 

oil a est un enlier posilif, ol b tine conslante de module inferieur a un. 
Cetle serie esl convergente pourvu que |3| ne depasse pas I'unitc, el divcr- 
genle si |3| > r. Le cercle G de rayon un est done le cercle de conver- 
gence. La circonference esl une coupure essentielle de la fonclion F(s). 
Supposons en cIVet que «ur un aic (ini a3 de la circonference il n'y ail 
aucun poinl singulier de cellt; fonclion. Si Ion remplace dans F(z) la 

^ariable z par ze <'' , /i el h elanl deux culiers posilils, el c un diviseur 
de a, lous les lermos de la serie (r5) ne cliangenl pas a parlir dii lerme 

de rang h, el la dillerence l'"(^) — F\se'''' / esl un polynouie. La fonc- 
lion F(.3) n'aurail done pas non plus de poinl singulier sur Tare a/; 3/,. que 

Ion dcduil de Tare ^3 par une rotation dun ;int;le — ^ aulour de lori'nne. 

Prenons h assez grand pour que —j- soil inlerieur a Tare aj; en faisanl siic- 

cessivemenl A* = i, 2, .... c'', il esl clair que les arcs aj ^|, ct.^'i.,, . , . recou- 
vriraient completemenl la circonference. La fonclion F(s) n'aurail done 
aucun poinl singulier sur la circonference, ce qui esl absurde (n"3i2). 

Gel exem|)le ollre une parlicularile inleressanle ; la serie (i5) est abso- 
lumenl el uniformement convergente le long du cercle G. Elle represenle 
done sur ce cercle une fonclion continue de I'argunienl ('). 



(') M. l-"reedlii)|in a ilcmunUv- dc tnc'-inc <iut; la soniine de la serie ^ a" z"' , 



oil a est une quanlile positive inferieure a I'unite, uc peul ("'tre proIoDgcc au dela 
du cercle de convergence {Comptes rendus, •.>.'\ niars 1S90). Cel exeniplc conduit 
<i une consequence qui merile d'etre signalee. Sur le cercle de rayon 1, la serie 
esl convergente et la somme 

F(e) = i:«"[cos(rt-0) 4- /sin(«-6)] 

esl une fonclion continue de rargumcnl 0, qui adnicl une inlinite de derivees. 
Cepeiulanl celte fonclion F (0) ne peut clre de\cloppee par la lorniule de Taylor 
dans aucun intervalle, aussi petit qu'il soil. Supposons en effcl que, dans I'inter- 
valle (0„— a, 6„ -i- a), on ait 

F(0) = A„-i-A,(0-0.,)-:-... f .\„(0-0,)"^-.... 

La serie qui est uu second iiicuibre rfpi'csentc unc fonclion liolornorplic dc la 
variable conijilexe dans le cercle c de rayon a decril du poinl O, pour centre. 
A ce cercle c la relation z = e*' fail correspondrc, dans le plan dc la variable z, 
une aire fermee A renfernianl Tare y du cercle de rayon i allant du point d'ar- 
gunienl 6„ — a au poinl d'argument 6„ -H a. II existcrail done dans cclle aire A 
unc fonclion liolomorplie de z coincidanl avec la somme de la serie £a"c"' le 
long de y; ce qui est impossible, puisqu'on ne peul prolonger la somme de cclle 
Serie au dela du cercle. 

G., II. I- 



258 CIIM'ITHK \VI. — LK I'ROI.ONGEMENT ANALYTIQIE. 

3i7. Singiilarit6s des expressions analytiques. — Toutc expres- 
sion analvliqne, lellc (|ii'iine serie donl les diflerents termes sonl 
des lonclions (I'lme variable :;, ou line inlegrale dcdnie dans 
laquclle eellc variable figure conime parami-lre, repn'sciiLc, mojen- 
nanl cerlaines conditions, une lonclion bolomorpbe dans le voi- 
sinage de cbacune des valeuis de z- pour lesquelles elle a un sens. 
Si Tensemble de ces valeurs de z recouvre complclenienl une 
region connexe du plan A, I'expression consideree represenle une 
fonclion liolomorphe dans celte region A. Mais si I'ensemble de 
ces valeurs de :; forme deux ou |)lusieurs regions dislinctes sepa- 
rees, il peut sc faire que I'expression anal\ tique consideree repre- 
senle dans ces dilTereules regions des fonclions coniplelenieni 
dislinclcs. Nous en avons deja renconlre un exemple au n" 297. 
Nous avons vu, en ellet, comment on peut former une serie a 
termes rationnels, convergenlc dans les deux triangles curvi- 
lignes PQRj P'Q'R' i^fig- 68), donl la somme est egale a une 
fonction holomorphey(«) dans le triangle PQR el a zero dans le 
Iriangle P'Q'R'. En ajoulanl deux series analogues, on obliendra 
une serie a termes rationnels dont la somme seia egale a /^(s) 
dans le triangle PQR, et a une autre fonction holomorplie '-5(5), 
absolumcnt quelconque, dans le triangle P'Q'R'. Ces deux fonc- 
tions y^(^) et '>i(^) etant arbitraires, il est clair que la somme de 
la serie dans le Iriangle P'Q'R' n'aura en general aucun rapport 
avec le prolongemenl analytique de la somme de cette serie dans 
le triangle PQR. 

Voici encore un exemple tres simple, analogue a un exemple 

signale par Schnuler etparM. Tannery. L'exjiression ^, ou /« 

est un enlier posilif (jui augmentc indefinimenl, a pour iimite -\- i 
si |;:| << 1 5 et — I , si |;| >- 1 ; si |^ | = i , cette expression n'a pas 
de Iimite, sauf pour ^ = 1. Or la somme des 11 premiers termes 
d«e la serie 

est egale a I'expression precedente. Cette serie est done conver- 
gente pourvu que | :; | soit diderent de I'unite; elle re[)resente + i 
a I'interieur du cercle C de rajon un qui a ]:)Our centre i'origine, 
el — I a I'exlerieur de ce cercle. Cela pose, soienl/(^), '-p(^) deux 



f 



lui-Difinc, I iiilcgrale ;-^. / '—_ reprcsenio /(a') si le point 



II. — ESI'ACES L\CrN.VIBi;S. — COLPUKES. I^f) 

loncliuiis lUKiKliques qiiclconqucs, par cxcniplc deux fonclions 
enlieres; rcxprcssion 

^iz)= ^[/(-)+9(c)]--- ^ ^iz)\fiz)—oi z)] 

est egale a /(z) a rinlcriciir dc C, cL a '-^(v) a rcxlcricur dc C La 
cifcoiifercMce clle-ineine est pour cetle expression une coupitre, 
mais dune nalurc bien dinV-rciile dcs coupures essenlielles dont 
nous venous de parlcr. La lonclion qui est egale a '\i(z) a lintc- 
lieur de C petit cire proloui;!''!; aiialyliqueinenl en dehors du 
cercle, et de menie la fonction (pii est egale a 'j/(^) a rcxlerieur 
de C peut etrc prolongee aualytiquement a Tinterieur. 

Des singularltes analogues se presentent pour les fonctions 
representees |)ar des integrales definies. L'exeniple le plus simple 
est r<)urni par I'integrale de Cauchy; s\ /(z) est une lonclion 

holoniorplie a riiilerieur d'un contour ferine F et sur ce contour 

f{z )dz 

reprcsenio f{x} si le point s 

J, - -" 

est a I inteileur de V. La memc integralc est nullc si le point x est 

a iCxhrieur du coiilour Y. car la fouclion - — ^ est alors liolo- 

niorplie a riulcricur du contour. La ligne Y est encore une cou- 
purc non essentielle pour Tinlegrale definie. IJc meine I'integrale 

dcdriio / cot( ^^ '—\dz adnu-t coinmc coiipure Taxe reel; elle 

• u \ ■ / 

est egale a + 'i — i ou a — ■j.-i^ suivant que le jioint j^' est au-dessus 
<)u au-dessous de cettc cou|)ure (n" 303). 

3i8. Formula de M. Hermite. — On peul rallaclier au nienic 
ordre d idccs iiu ic'Millal inleri'ssanl du a ^L Jlcriuite ('). Soient 
F(/, v), G(<, z) deux fonclions liol()inorj)lies des d(uix variables / cl :;, 
par exeniple deux polynoines, ou deux series entieres convergentes 
pour loules les valcurs de ces deux variables. L'inlegrale dcfinie 

prise suivant le segment de droile (pii unii les deux points a et jiJ, 
represente, ainsi (pie nous le demoulrerons plus loin (n" 353), une 
fonction holoniorplie de z. saiif jxuir les valeurs de ; qui sont 

(') Hermiti;, Sur que/ques points de la theorie des fonclions [Journal de 
Crelle, t. iJl ). 



•i6o CllAl'lTRE XVI. — I.K I'HOLONGEMEXT analytique. 

raciiies de 1 cqualioii G(/, ^) = o, / elaiil I'affixe d'lin poiiil pris 
sur Ic sej^merU a|3. Cetle equalion determine ainsi iin noinbre fini 
ou iiillni dc courbcs pour lesquelles I'inlegrale 4>(z) cesse d'avoir 
un sens. Soil AB una de ces courbes, ne presenlanl pas de point 
double; nous su|)poserons, pour nous placer dans un cas bien 
precis, que lorsque t decrit le segment a^, une des racines dc 
Tequalion G(/, ;;) = o decrit Tare AB, et que toutes les autres 
racines de la meuK* ecjualion, s'il en exisle, restenl en dehors 
d'un contour feruK; convenablement choisi entourant Tare AB, 
de telle facon que le segment a^3 et I'arc AB se correspondent 
point par point. L'integrale (i6) n'a aucun sens lorsque z vient 
sur Tare AB ; nous nous proposons de calculer la difTerence des 
valeurs de la fonclion ^(^) en deux points N, N' infiniment voi- 
sins d'un point M de la ligne AB, pris de part et d'aulre de celte 
ligne. Soient J^, ^ + £> ^ + -' les affixes des trois points M, N, N' 
respectivement. A ces trois points la relation G(/, z)=.o fait 
correspondre dausle plan de la variable / le point m sur a,y et les 
deux points infiniment voisins /?, // pris de part et d'autre de ajii; 
soient 6, O + r,, (j -h r/ les valeurs correspondantes de I. l*renons 
dans le voisinage du segment a,3 wn point y assez rapproche pour 
qu'a I'interieur du triangle y.fj-'^l^Jig. S'j) I'equalion (;, J^ -|- s) = o 




n ait pas d autre racine que t = H -}- r,. La lonction ; de 

1 ' (j ( /, ; H- £ j 

la variable t n'a done qu'un seul pole H -h r^ a I'interieur dn 
triangle a|'iv, et, d'apres les lij|)otheses qui ont ete faites, ce pole 
est un pole simple. En apj)liquanl le iheoreme de Cauch_) , on a 
done la relation 



(•7) 



\i: 



Gil, ^- 



dt 



^Ja G{t, 



•- r 









dl 
dt 



F(6 



G,(<J 



r, , w -I- £ j 



it. — I:SP\CKS I.ACINAIRES. — COIPLRES. 261 

Lcs deux inlt'gralcs / , / sont de la int^ine (brme fine <I>('c); 

elles n'presentent respecllxeincnt deux fondions <I>,(v). <I*j(^) 
qui sonl liolonior|»lies lanl que la varlajjle ii'esl pas silure sur 
cerlaines couj)ures. Soienl A(^ el HC les coupures qui correspon- 
dent aux deux segments av et ^iy du plan des t, el qui soul in(i- 
niment voisines de la coii|)urc AB de ^(z). Doduimis mainlenant 
a :; la valeur ^ -f- z': la valour correspondante de / est + r/, repre- 

senlee par le point /i', el la fonclion „ ' ^ ^ de t est liolomorphe 

a rinlerieiir du trianj^le a|iv. Nous avons done la relation 

^ 1 8 ) / , ^ dt -I- / -- — r^ clt -f- / ' • 7^ clt = o: 

(Ml rclranc!iat)l membre a niembre Ic'* deux forniules (r -) et (i8) 
on pent ecrire la relation oblenue 

*(^^--0— *(^+s')H-[«i>,(C-+-s)-*,rr--s')]-^[*2(r---0-^i'2(^ + E')l 

^ F(9-^r„ ^^E) 

Mais les deux fonclions 'P,(:;), (t>2{z), n'admettant pas la 
ligne AB comme coupure, sont holomorplies dans le voisinagc 
du point ^ = ^ et, en faisant tendre s cl t' vers zero, on obtient 
a la liniite la difTerence des valours do *I*(^) en deux points inli- 
niment rapprochi'-s de part el d'autre de AB. Nous ecrirons le 
resullal sous lornie abr»'-gec 

F(0, r) 



(i()i 'l>(N j — 'I>i -N'} 






c'est la forniule de M. Heruiile. On voil qu'elle sc rallaclie Ires 
simpleuient au iheoreme general de (,>aucliy ('). J^a demonslra- 
tion indique bien comment on doit prendre les deux points N 
et N': le point N(^ H- z) doit etre tel qu'un observateur dccrivant 
le sfi^menl 7. j laisse a sa gauche le point + r, correspondant. 

II osb a remarquor quo la ligne AB n'est pas uno coupure 
essenlielle pour laf'onction ^*{:^). Dans le voisinage du point >i', or/ 
pout remplacer, d'apres laformule(i8), <I>(5) par — [4>, (2)4-^0(5)]; 
or, la somnic *!>,(::) -J- '^J (^) est une fonclion holomorphc dans le 



(') GouusAT, Sur un the'orenie de M. Herniite [Acta Mathematica, I. I). 



262 ClIMMTIU: \V1. — LK I'ROLOXGEMENT ANM.YTIQUE. 

Iriangle curvilii;iu' \{A\ ol siir la ligne AB elle-nienic, ainsi que 
dans le voisinage dc N'. On pent done faire traverser a la variable z 
la ligne AB en un point quelconque M de celle ligne, diHorent des 
exlremitos A el B, sans renconlrer aucnn obstacle an proionge- 
nienl anal vliqnc. lien serait evidiMninenl dc nieme si I'on faisail 
franchir a la variable c la ligne AB dans le sens oppose. 



Exemple. - 


— Considerons 1 


inlegrale 


(20) 


<i>{Z) = 


/\f(t)dt 



I'inlegrale elant prise suivant nn segment AB de Taxe reel, cl f{t) 
designant une fonction holoniorphe le long de ce segment AB. 
Representons c snr le meme plan que t. La fonction ^{:-) est une 
fonction holoraorphe de z dans le voisinage de tout point non 
situe sur le segment AB lui-meme qui est une coupure pour I'in- 
tegrale. La difference <I>(N) — <I>(N') est ici egale a ± 9.-1 f{Z), 
Z etant un point du segment AB. Lorsque la variable z franchit la 
ligne AB, le prolongement analvtique de ^{z) est represente par 

^\z)zh2-if{z). 

Get exemple donne lieu a une remarqiie imporlante. La fonction ^(z) 
e>;t encore une fonction lioloinorphe de z, sans que/(0 soit une fonction 
analylique de t, pourvu qu'eile suit continue entre y. et 3. Mais, dans ce 
cas, les raisonnements precedents ne s'appliquent plus, et le segment AB 
est ea general une coupure essentielle pour la fonction ^(z). 



EXERCICES. 

1. Trouver les lignes de disconlinuile des integrales definies 

«- '' 

prises suivant la ligne droite qui joint les points (o, 1), ou (a, b); pre- 
ciser la valeur de ces integrales, pour un point z non situe sur les cou- 
pures. 

2. On considere quatre cercles de rayons — , ayant pour centres les 

points -i- I , -T- i, — I, — i- L'espace situe a I'exterieur de ces quatre 
cercles se compose dune aire fuiie Ai renfermant I'origine, et d'une 



i;xi:n(:i<:i:s. ^63 

aire indefinie Ao. Former, par la inellio<le ilu ii";297, une scrie tie fonclians 
ralionnelles qui converf^e dans ces aires, ct donl la somme soil »''f;ale a i 
dans Aj el a o dans A.>. N frilier lo ri'siillat on faisant la soninie do la serie 
obtenue. 

3. Trailer les memcs questions en consiileianl Ics ileu\ aires inte- 
rieiires an corcle de rayon i ayant pour cenlre I'oriyine, el exlerieures 
aux dmix cerrles de rayon i ayanl pour cenlres les poinls -i- i el — i res- 
pectivrrniMit . ( Api'KI.i,, Acta miitlicnidtica. I. I.| 

i. I>'iiitrj;rai(' (IrliDJc 

r^^ /«sin- 
^(z)= I -clt, 

J^ I -t- -2/ cos 5 -f- t- 

prise !e long de I'axe reel, admel cominc coni)!!! es les droilesa: = {ik -\- i)-k, 
k elanl enlier. Soil ^ = (aA' 4- i j - -i- i; un poinl de I'nne de ces coupures. 
La dilTorence des valeurs de rinlegraio en lioux poinls infinimenl voisins 
de cclui-la, de pari el d'aulre de la coiipure, esl cgale a izie"^ -h e-"^). 

[IIermite, Journal de Crelle, t. 91.] 

o. Les inlegraics dofinies, |)rises le long de I'axe reel, 

r^" />i{t~z) r'^"^ p-it-z) 



r-"-^ g-i t-z) 
dl, Jo= / ^_ . dt, 



ailniL'llenl comme coiipure I'axe reel dans lo plan de la variable z. Au- 
dessus de eel axe, on a J = 'it'-, Jq = o. el au-dessous on a J = o, 
.10 = — ■>.i~. Deduire de ces fornuiles les valeurs ties inltjgrales definies 



/■"S-. f 



t — Z 

s i n ( / — z) 



dt. 



t — z 
1 Iliiit.Miri:, .louriKil de Crelle, I. 91.] 

0. I'llahlir, au moyen des coupures, la fonuiile (|). i 5 1 . Ex. i5) 

^f T 

— dl = -r-^ • 

- e' sin a — 
[Ukkmitk. Journal de Crelle, I. 91.] 



r 



— '- rdt. qui adinct coinnie 

coupures loules les droiles^ = (2/1-1-1)71, el qui resle conslanle dans la 
bande comprise enlre deux coupures conseculives. Puis on t'lablil les rela- 
tions, z cl z -^ iir. elanl deux poinls separes par la coupure^ = ir, 

<t>(z -^ '?.i-) — 'P(Z)-^ ■2t-e'"«', *(- -4- ■2f-) — e2/7tacl>(3). 



CHAIMTUE XVII. 

FONCTIONS AXALYTIQUF.S DE PLUSIEURS VARIABLES. 



I. — PHOPiaKTES GKNKHALKS. 

Xoiis alloiis nous occuper tians ce Cliapilre des foochons ana- 
Ivliqucs do pliisieurs variables complexes indi'-pendiinles. Pour 
simplifier le langnge el Ics forinides, nous siipposerous qu'il y a 
c^ew.r variables seulement; inais II n'y a auciine diflictdlea etendre 
les proprieles generales aiix fondions d'lin nombre qiielconqiio 
de varialjles. 

349. Definitions. — Soieiit z = a -\- iv, z'=iv-{-it deux va- 
riables couiplcxes indepeudanles ; loule autre quanllle complexe Z, 
dont la videur dej^cnd des valeurs de ; elde ^ pent elre dite foiic- 
lion des deux vaiiables ; et ;'. l\epresenlons les valeurs des deux 
variables ; el :;' par les deiix |)oints de coordonnees (u, v) 
el ( «v, t) daus deux svstemes d'axes reclangulaires, situes dans 
deux piaus P, P', et soient A, X' deux portions (ptelcouques de 
ces deux plaus. Nous dirons qu'uue fonction 7j=f(z, z') esl 
holomorphe dans les aires A, A', lorsque, a tout systeme de deux 
poinis z, z', pris rospeclivenienl dans les aires A, A', correspond 
une valenr bien determinee de /{z, z'), variant d'une nianiere 
continue avec c et ;', et lorsque cliacun des i-npports 

f(z^ h, z') — f(z, z') f(z. s'^A-) - f( z, z') 

■ ir" ' ■ Jc 

lend \ers unt; iiniile determinee lorsque, z et :;' reslant fixes, les 
modules de It et de k lendenl vers zero. Ces limiles sont les 
derivees parlielles de la fonction /"(s, :;') et on les represente par 
la meme nolnlion rpie dans le cas des variables reelles. 

Separons dans f{z, z') la parlie reelle el le coefficient de /, 



I 



I. — I'nOPRIETES GENERALES. ■iC't 

f(^z, ;;') = X 4- iY ; X et Y sonl des fonctions reelles dcs qiialro 

variables independanles reelles //, tv, iv, /, verifianl les qualre 

rolalions 

o\ _d\ 0\ _ o\ ^ _ !^ "^ _ _ !!1 

Oh ~ di> ' Ov <)u Ow 01 Ot Ow 

donl la signiticalion est evidenle ('). On peiil eliminer Y de six 
maniercs diflV'rcnles, en passanl aiix derivees du second ordre: 
iiiais les six rclalions olilcnnrs se rediiisenl a qtialic f'f|iialions 
senlement 

— o. 



Oil ot Of Ow ' Oil Oiv Ov Ot 

o-^X o-\ _ <PX 0^ _ 

Oil- Oi- ' Ow- Ot- 

[^a iiiiiliiplicite de ces relations explique aisemenl poiircpioi 
Ton sen esl pen servi jnsqu'Ici pour I'etnde des fonclioiis ana- 
l^yliqnes de denx variables 

3oO. Cercles de convergence associes. — Les proprieles des 
series enlieres a deux variables reelles ( [, n"* I80-I86) s'elendenl 
aisement an cas on les coefficienls et les variables ont des valeurs 
complexes. Soit 

(1) Y{z, z')^^a,„:,z"'z::-. 

nne serie double a cocrficicnis quelconques. Si la serie 

(2) ^A,„„R"'R'", 

on Ato/, := |<://M.7|, et on R et R' sonf des nombres posilifs, est con- 
vergenle, on si dn nioins tons les termes de cette serie (2) sorit 
plus petils fpi nn nomine fixe M, la seiie ( i ) sera absolnment con- 
vergenle pouivu que Ton ail [ :; | < R, |;'| << U'. Soit C le cercle 
decrit dans le plan de la variable z de I'origine conime cenlrc avcc 
nn ravon R; soit de menie C le cercle decrit dans le plan de la 



(') Si - et z' sonl dcs fonclions analyliqucs diino autre variable jr, ces rela- 
tions pcrmcltent aisement d'etablir que la derivee de f{z, z' ) par rapport ci x 
s'obtient par la regie liabitisellc qui donne la derivee d'une functidii composee. 
Les forniules du calrul dilTerenliel, en particulicr les formules du ( liangcment 
de variables, s'dtendenl done aux fonctions analytiques de variables complexes. 



>(U) 



ClIAPITHE WII. 



FONCTIONS DE rH'SJEURS VVUIABLES. 



variable z' dii |)oinL z' = o comine centre avec Ic rayon IV ( /i^'. 88). 
La soninie de la serie (i) est une fonclion bien deterniinee des 
deux variables :; et z\ lorsqiie ces variables reslenl comprises 
respeclivement a Tinlt'-rieur des deux cercles C, C. Soil Ci un 
cercle de rayon U, «< R concenlrique a C; soil de nienie C, un 
cercle de rayon R', <! R' concenlrique a C; lorsque les variables z 
el z' rcslent conij)rises respectivemenl a rinlerieur des cercles Ci 



Fig. 88. 





el C, , la serie ( i ) esl uniforniemenl convergenle ; la somme F(:;, z') 
esl par consequent une fonclion conlinuedes deux variables z, z\ 
a I'inlerieur des deux cercles C et C. 

En diflerenliant lerme a lerme la serie ( i ), par rapporl a la 
variable z par exemple, la nouvelie serie oblenue 



(3) 



esl encore absolunienl convergenle lorsque ^ el z' reslenl respec- 
tivemenl dans les deux cercles C el C Posons en efTel 1^1 = /', 
|s'| = /''; en remplacanl chaque lerme de la serie (3) par son 
module, on oblient une serie double a lermes posilifs dont les 
lermes sont au plus egaux a ceux de la serie double 



m M 

I "IT 






K' 



I. — PnnPBlETES GENERVLKS. ^67 

or celle dernif-re serie est convergcnlc el a pour somme 



M I I 



' R V" H 

Soil — la somme de la serie (3); nous designerons dc mrmcpar— -, 

la somme de la S'-rie ohteiiiie en dilTerenlianl terme a lerme l:i 

serie (i) par ra|)porl a z\ el, d'une lacon generale, par ^^^^ ^,^^ 

la sornme de la serie oblenne en dilTereniiant successivemenl 
cliaque terme de la serie ( i ) m fols par rapport a ^ el /? fois par 
rapport a z'. 

Prenons a I'liiUM^ieur de C iin point (pielcoixnic c dt' module /• 
el de ce point comme centre dccrivons un cercle c de rajon R — /■ 
tangent interieuremenl au cercle G. Soient de nieme z' un point 
quelconque de module /•' ■< R', et c' le cercle docril du |)oint;' 
comme centre avec R' — /•' pour rayon. Soient enlin z -\- h 
et z' -\- k deux points quelcoiifjues pris respcctivement dans les 
cercles c el c', de telle sorle que Ton ail 

\z\ + \h\<}^, \z\^\k\<K. 

Si ion remplace z ei z' |)ar z -\- h el ;'-f- k dans la serie ( i ), on 
peul developpci' cliaquc lermc en une serie ordonnee suivanl les 
puissances de // et de k, cX la serie multiple ainsi oblenue est 
absolument convergenle. En ordonnanl cctte serie suivanl les 
puissances de li et de /,■, nous [)ouvous <''crire le residlal 

()in-\-n p 






( 4 ) Fi ;: -^ // , j' -f- /. ) = Z^ h'" A''. 

■^^ 1 .1. . . /n.i .-i.. . . n 

En raisonnant comme dans le cas dune seulc variable, on en 

, , , . <jF OF . II.-. • 1 , 

conclut que les series -p el — 7 represenlent les derivees parlicllcs 

de la fonction F(:;, z'). La serie entiere (i) represenle done une 
fonction holomorpbe desdeux variables a rinterieur des cercles C 
el C D'une faron generale, la somme de la serie (jiie nous avons 

representee par ,^^ a la meme signification que si les variables 

elaient reelles, el la formule (4) est idenlique a la Ibrmule de 
Taylor pour le cas de deux variables. 



a68 ciuiMTRi: wii. — fonctions dk pmsieirs v\nivnLt:s. 

Toules ces pro|>rieles ollVenl la [)lus grande analogie avec les pro- 
prielosdes series cnticres a uneseule variable. 11 j a cependanl une 
difference essentielle entre les deux cas. Dans le cas d'une seule 
variable, il v a iin scul cercle C separant les points oii la serie est 
convergente des points on la serie est divergente. Dans le cas dc 
dcnx variables, on doit considerer une inilnile de svstemes de 
cercles associes jouanl lo nienie role que le cercle iini(|ne de con- 
vergence. 11 existe, en eiret, en general, une infinite de sjstemes 
de deux cercles C, C, de rayons R et R' respectivoment, lels que 
la serie double (i) soit absolunient convergente pourvu que I'on 
ait a la fois |::|<:;R, [:;'|<c;R', et divergente si Ton a en nieme 

lemps ;::'>R,1::'|>R'. Parcxempio, la serie ^ ^-^-frT^ -"'-''S 

que Ton obtient en developpant ; p' est absolunient con- 

vergente pourvu que I'on ait |z|H-|5'| << i et dans ce cas seulement. 
Tout sjsteme de cercles C, C, dont les rajons R, R' satisfont a 
la relation R H- R'= i, est un systeme de cercles de convergence 
associes. II pent aussi arriver epic Ton jiiii^se sc borner ;'i consi- 
derer un seul sjsteme de cercles associes; c'est ce qui a lieu pour 
la si'rie S;'"^'", qui n'est convergente que si Ton a a la fois \z\<i. i ? 

351. Integrales doubles. — Oiiand on se propose d'etendre 
aux fonclions de pliisieurs variables complexes les ibeorcmes 
generaux (pie Cancliy a deduits de la consideration des inlegrales 
definies prises entre des limites imaginaires, on rencontre des 
difficultes, qui ont ete completement elucidees par M. Poincare ('). 
Nous n'etudierons ici qa\i;i cas particulicr bien simple qui nous 
suCfira pour la suite. Soit /(5, z") une foncliou liolomorphe 
lorsque les variables z^ z' reslent comprises respectivement dans 
les denx regions A, A' {fig- <^9)- Considerons une courbe ah 
siluee dans A et une courbe a' b' dans A', et divisons cbacune de 
ces courbes en arcs plus pelils par des points de division en 
nombre quelconque ; appelons ^o? ^i > z-x^ • • • , ^A-i » «a? . • • , Z les 
points dc rlivision de ab^ Zq et Z coincidant avec a et 6, et z\^^ z^, 
-.,' • • • , z'f^^^, z\^ . . . , ^'„j..,, Z' les points de division de a' b\ z'^ et 

( '■ ) I'oi.NCAi'.i:, Stir les residits des integrales douh 'es (Ada Mathematica, l. IX ). 



I. — I'ROI'RIETES UKNKRALES. 

Z' cornciciaiil avec rt' el b' . La sonime a deux indices 



Vlf.CJ 



n in 



(5) 



S =^ ^/^ -/■-!' -/i-l )(-/.— -/.-l)(-/i— -/i-1 ) 
A = 1 ft --- 1 



lend vers line liniile lorsqiie lesdeu\ nonibres ni el n augmeiilenl 
indefinimenl de facon que lous les modules |^;i — -a-i| ^M^/^ — -^yi-il 
tendenl vers zero. Soil f{z^ r') = X-HfY, X el Y elanl des 
fonclions reelles des qualre variables //, c. (\\ /; j)osoiis encore 




Zh^=- Uk-^ i'^'ki Zh=^ iVh -{- iifi- Lc ternie general de la soinrne S 
peul s'ecrire 

[X( UA—,. t7,-i; ««7<-i» f/i 1 ^ -i- ' Vi //■, 1, cyt-i ; it'/i-i- '//-I )I 
X [ «/, — «/,_! -h f ( t'/, — i>t-t ) J I <f /I — <i//-i — i^tn — ii,-\ t J . 

el, si Ion elleclue les [)roduils indiques, on a liuil produils pai- 
tiels. Denionlroas par exeniple que la somme des produils parliels 



(6) 



V Vx^f//,-,. r/._,; ir/,_,, //,_ , )U//. — ?^._, )C (17, 



(!/,_, ) 



A- = 1 /i = 1 



lend vers une limile. Nous supposerons, comme c'esl le cas dans 
la (igure, que la courbe ah n'esl renconlrec qu'en un poinl par 
une paralleic a I'axe Ov, el de nienie (ju'une parallele a laxe Ol 
ne renconlre qu'en un poinl an plus la courbe a' b' . Soienl 
r = '^(«), ^ = '|(iv) les equalions de ces deux courbes, Uq et U 
les limiles cnlre lesquelles varie ;/, (Tq et W les liniiles enlrc 
lesquelles varie (v. Si Von renipiace clans X les variables v el / 



•>70 CIIAPITRE XVII. — FONCTIONS I)E PMSIKIRS VARIABLES. 

par '-5(//) cl '}(^»v) rospcclivemeni, elle dcvienl une fonctlon con- 
liinie 1*(//, iv) ties variables // el iv el la somme (6) peiil encore 
s ecrire 

{6)' 2 ^P(»;;._,, UV,_| !(«/. — «/,_,)( (IV,— (r/,_,). 

t 1/1 I 

LorS(|iie m ct // croisscDL ii)(Jefiniineiil, cellc soininc a pour 

liniite linlegralc clouhle / / !'(//, \\)f/u d\v elendue au rectangle 

liniile par les droites ii = k^, 'f = U, u' = tVy, tv = W. 
Celte intcgrale doidjie a aussi j)oiir expression 

on encore, en inliodiiisanl les inlegrales curvilignes, 



(7) 



I (lu I \( u, i--. iv, t )dw 

{.lib) ^ ia'b'i 



'-■ i.iilj) 



Dans celle deinirre expression, on suppose cpie a el v sonL les 
coordonnees dun point quelconcpie de Tare ab, et iv, t les coor- 
donnecs dun point quelconque de Tare a' b' . Le point i^u, v) 
elant suppose fixe, on fait decrire au point (n', l) Tare a' b' el I'on 

prend Tinlegrale curviligne I \dir le long de a' b' . Le resullat 

est une fonclion de //, v, soil R('/, f), et Ton calcule ensuile lin- 

l('-grale cur\digne / Ri //, v t du le long d(! Tare ab. 

La derniere expression oblenue (-) pour la liniile de la 
sonime (6) s'a|>pli(pie quels que soient les chcmins ab et a' U . 
II suffit, coinnie on la deja lait plusieurs lois, de decomposer 
chacune des courbes ab et a' b' en arcs assez petits pour satis- 
faire aux conditions requises, d'associer de toutes les manieres 
|)Ossibles une portion de ab a une portion de a' b' ^ puis d'ajouter 
les resultats. En operant de la menie facon a\ec lonles les somrnes 
de produils parliels analogues a la somine (6), on voit que S a 
pour liniile la somme de huit inlegrales doubles analogues a I'in- 

legrale (7). Representons celte limite par / /F(c, z')dzdz\ 



I. — I'HOPIUKTKS CKNKItAI.KS. }.'] \ 

nous axons r«':;alilt'; 



(8) 



'J 'J • ah • ah • ah ' ah 

— f till f Y t/t — f flv f Y da- 
-^ i f du f \ chv — i 1^ dv f Y df 

•• .lib) •-'(/I'//. • (tih •- itihi 

-^ i f du f Xdt^i f dv f X^/«r, 
{|ue Ion peiil ccrire il unc laron abregee 

/ / Viz, z' 'dz dz' = I ( du -+- i dv ) j ( X — i Y' ) ( dw ■+- idt ) 

•' * •' iiib) ^>n'b't 



Oil encore 



^9) 



f f\'i z. z')dzdz= f dz f F(z,z')dz'. 



La toiinule ( (;j esi Loul a (ail seniblaljle a celle (lui pcrmet do 
calculer line integrale double ordinaire, elendue a la surface d'un 
rectangle, au inoyeu de deux quadratures successives (I, n" 123). 

On ealcule d'abord Tintegrale / F(c, z')dz' le long de Tare a' b\ 

en V siipposant ; constant; Ic resullat est une fonction ^iz-) de z, 
que ion intt'gre ensuite le long de Tare ah. Comme les deux 
chemins ab el a' b' jouent un role analogue, il est clair que Ton 
peul intervertir lordre des integrations. 

Soil -M un nombrc positif superieur au module de F(c, z' ) 
lorsque ; el z decrivent les arcs ab el a' b' \ si L el L' designent 
les longueurs respectives de ces aixs, le module de I'inlegralc 
double est inferieur a MJ^L' ( n" 287). Lorsquun des cbemins, a' h' 

|)ar cxeinpie, loniie une coiirbe lerniee, I'intt'grale / F(;, z')(/z' 

sera nulle si la fonction F(c, z') est lioloinorplie pour les \aleurs 
de c' a Tinterieur de celle courbe et les valeurs de:;situees sur ab. 
11 en sera done ib; nienic de l'iiil(''i;rale double. 

352. Extension des theor^mes de Cauchy. — Soient C, C'deux 
courbcs fermees sans poinl (Joiible, situees respeclivemenl dans 
les plans des variables z el :;', V( :■, z') une fonction bolomorplie 



■l-]-l CHAPITRE XVII. — FONCTIONS DE PLUSIEL'RS VAIUABLIiS. 

lorsque z et z' reslent aans les aires limltees par ces deux courbes 
ol sur ces courbes elles-memes. Gonsiderous I'inlegrale double 



1= { H.( ^^'-\ 



X ) 



oil X est un poinl iiilerieur an contour C eL x un poinl inlerleur 
au contour C el sujiposons ces deux contours decrits dans le sens 



ilirect. L'inlegralc 



L 



Viz. z')dz 



,Y { z, x ) 
oil :; designe un point fixe du contour C, est egale a i~i ^'" 

On a done 

. r V{z. x'\ 
I = 2 - < / dz 

' ,. ;; — X 

el, en appliquant encore une fois le llieoreme de Cauchy, 

I = — !\T^-V i^x, x )\ 
ce qui nous conduit a la forniule 

Lout a Tail pareille a la tormule fondamenlale de Caucliy, et d'ou 
Ion peul tirer des consequences analogues. On en deduit Texis- 
lence des derlvees partielles de lous les ordres de la fonctlon 

F(^, z') dans les aires conslderees, la derivee -r— — t-t^ ajant pour 
expression 

^fm+„Y _ \ .-).... m. 1.1. , .n r r Y{z, z')dz' 

' "'' dx"' dx'"- ~ ~ 47t2 -'ci^ "^ (C (-— ^)'"'^H'5'— ^')"'^*" 

Pour obtenir la formule de Taylor, supposons que les con- 
lours C et C soient des clrconlerences ; soienl a le centre de C 
el K son rajon, b le centre de C et R' le rajon. Les points x ct x' 
elant pris respectivement a I'interieur de ces circonferences, on 
a jx — a\ = I- <. R, et \x' — b\ = ;•'■< R', et la fraction rationnelle 



{ z ~ x){z'— x' } [z — a — (x — a)\[z' — b — {.r — b )] 



I. — l>ROI>lllKTi;s (iKNKU.U.ES. 9.-3 

|)cul circ (Jeveloppee suivani les puissances dc j; — a etde^r' — />, 

-(- oo -H SO 

■^ ^ ix — a )'" ix' — by> 



{z—x){_z' — x) ^ ^{z — a)"<^U z' - - b]"^'^ 

la st'iic dii second niembre elanl nnlformenienl con\crgenle 
lorsque z el :;' dccrivenl respcclivement les cercles C el C, car 

le module dii lernie general est rj-rr-, (^ j ( tt; ) • O" pent done 

remplacer ; -— -; -r l>iir la serie nrecedenle dans la for- 

' {z — x){z — :r ) ' ' 

nuile (lo) el inlegrer lernic a lernie, ee qui donne 

-t- 00 -4- » 

^"■(or, .r'j = — -!_ V ^ (x — a)"'{x'—b)" I clz f "" '^,,'' ^ -: 



/« = « := 



en lenanl compte des fornuiles oblenues en reniplacanl x el x' 
par a et 6 dans les relalions (lo) ct (i i), on relrouve la forniule 
de Tajlor 

(12) V(x, X ) = ¥{a, b) -^ y > J ; — -, 

' ' ^ ' ' jLd Jmd iki'" Ob" m I nl 

m=0 n=:0 

la combinaison ni = /i z= o elanl exclue de la sommalion. 

Remarque. — I^e coeflicient cimn de (.r — a)'"(x' — b/' dans 
la serie precedenle esl egal a I'inlegrale double 

_-L_ fdz f '''"'">^" . 

si M est la liniilc snperieure de |F(;, ;•')] le long des cercles C elC, 
on a, d'apres une reniarque generale, 

La ronclion — ; -. — est done une fonction nia- 

/ X — « \ / X — b 

I — 



K / V IV 

joranle |)our F(a:, x') (I, n" 186). 

1353. Fonctions representees par des integrales definies. — Pom- 
eludier certaincs lonctions, on clierciic sou vent a les exprimer par 
C, II. ,8 



27-i ciivi'iTut XVII. — KoNCTia.NS 1)1-; i'LLSii;ius \AiuAm,i;s. 

des inlegrales dofinics, on la variable InJcpendanle Jigure coimiie 
|)arainclrc sous le sigiie integral. Nous avoiis deja donne des condi- 
lioiis suflisaiilos pour (|u"on puisse appli(picr la foriniile hahiluelle 
de dillerenliation lors(|ue les variables sonl reelles ( I, n"*il7, 173). 
Nous alloiis repreiulre la (pieslioii pour les variables complexes. 
Soil F(c, z') une lonclion lioloiuorplie des deux variables z el s', 
lorsque ces variables rcslenl comj)rises respeclivemenl dans deux 
regions A et A'. Prenons dans la region A un cliemin determine L 
de loneueur linie, el considerons I'inleiirale defiuic 



( i3) 



^^(x) = I F{z, .r)dz-, 



ou X esl un poinl quelconque de la region A'. Pour demonlrer que 
celle fonclion <I^(.rj est une fouclion holomorphe de x^ decrivous 
du point X comme centre une circonference C de rayon R, situee 
tout enliere dans la region A'. La lonclion F(z, z') elanl liolo- 
morjihe. on a. d'a|>rcs la ("ormule Ibndamentale de Cauchy, 



9.-1 I 



" F(;. z')d:.' 



el linlegrale (i3) pent encore s'ecrire 

'' '■ • .1., • (i: 
Soil ^ H- Ar un poinl voisin de x dans ie cercle C ; on a de meme 



>{X -r- \X) — ——. I i/z I 



r F( z. z' If/.-' 



el par suite, en reprenanl un calcul deja fait(n" 293), 



4>i T ^ \x ) — <i>(x ) 



/" I'^i z, z' ) dz' 



^. I dz j Li^ ^, 

'^-t./|; .',(;. iZ —Xy- 

\x r , r Y{z, z')dz' 
-^ ■ I '^- / — ; ^T-; 



Ix) 



Soienl M un nombre positif superieur an module de F(z, z') 
lorsque les \ariables z et z' decrivent respeclivemenl les lignes L 
el C, S la loiigueur de la ligne L, et p le module de Ax. Le module 



1 



2-5 



I. — I'UOIMUKTKS lilCMCKM.IiS. 

(le la socoiide iiilegralo est inferieur a 

•2r ir(H — p) H( K — p) 

el par consi-cjuenl lend vers zero lorsijiie le poiiil x -f- A.r se rap- 
proclie ind('linimcnl dii poitil^-. La f'onelion <I>( j:) adniel done iinc 
derivee iinicpie (jui a pour expression 



Mais on a aussi [l^" 293) 



F{z, z)dz' 

{z'-xy- 



Ox 



■ l \z, z')c/z ' 

(z' — xy 



el la forniiilc precedenle |)eiil encoi'c; s'ecrire 

'(I.: 



(i4) 



^'(x ) 



,/. Or 



dz. 



Nous relrouvons la forniulc liabiuielle.de dinerenlialion sous le 
signe inlegral. 

Le raisonnenienl ne s'applique plus lorsque le cheniin d'iu- 
tegralion L s'elend a Tinlini. Su|)posons, pour fixer les idees, 
que L soil une demi-droile indefiiiie issue d'un poinl a^ el faisanl 
un angled avec I'axe reel. Nous dirous que linlegrale 

^(x) = f V{z, x)dz 

esl uniformemenl conxeigcnlc si a loul nonihre posilif £ on peul 
(aire correspondre un nonibre posilif N lei que Ton ail 

/ F( ;:, X) dz\ < e, 

pourvu (pie soil supcrieur a N, quel que soil x dans A'. En 
reprenani un raisonnenienl employe j)our les variables reelles (L 
n° 175), on demonlre que loule inlegralc uniforniement conver- 
genle est egale a la somme d'une serie uniforniemenl convergenlc 
donl les lermes sonl des inlegrales prises le long de cerlains seg- 
ments dela denii-droile indefinie L. Toules ces inlegrales sonl des 



276 CIIAPITUK WIl. — FONCriONS DK I'l.LSIEURS VARIABI.KS. 

fond ions holoinorplics de .r; il en est done de menie de Tinle- 

On voil de la nienie fa^on que Ton peiil appllqncr la forrnule 
liabiluclle de diirercnlialion, ponrvu que I'inlegrale obleniic 
dF 



f 



dx 



dz soil elle-nienie unifornieinenl conveiiienle. 



Si la fonclion F(^, :■') devienl inlinie pour une liniile Oo de la 
ligne d'inleoraiion, on dira de meme que riulegrale esl uniforme- 
nienl convergenle dans iin certain domaine si a tout nombre 
posilifs on peul faire correspondre sur la ligne L un point Oq + '^i 
lei que I'on ail 



/ F{z,.r)dz 



b elant un point quelconque de la lignc L compris a^ elao + r,, 
cetle inegalite devant avoir lieu pour toutes les valeurs de a" dans 
le domaine considere. Les conclusions sont les m^mes que dans Ic 
cas oil une liniile de rintegrale est rejelee a I'infini, el s'elablissenl 
de la meme facon. 



!5oi. Application a la fonction 
I'axe n-el 



(i5) 



'(-)= /' 



l,"iiil(''i;ialo iltfiiiie prise le long Jo 



t^-U-tdt, 



que nous n'avons etudiee que pour les valeurs reelles el positives de z 
(I, n° 92 j, a une valeur finie pourvu que la partie reelle de z, que nous desi- 
gnerons paictK-s), soil positive. Soil en cKel z = x -\- iy ; on en deduit 

l<=-'e-'| = t^-^e-^^. Goiuiue i'iiilt'j,n;ile / t^-^e^'dt a une valeur finie 

lorsque x est positii. il en est evidemment de iiicnie de rintegrale (i5 ) 
(I, n"' 89-90). Cette integrale est uniformemenl convergenle dans tout le 
domaine defini par les conditions N > S\.(z) > t], IN et ■/; etant deux nombrcs 
positifs arbilraires. Nous pouvons ccrire en elTel 



l\Z) 



j: 



tz^ie-'dt 



j: 



t'-U-^dt, 



el il suffit de prouver que cliacune des integrales du second membre est 
uniformemenl convergenle. Demontrons-le par exemple pour la seconde. 



i 



I. I'KDIMUKTKS GK.NKUAI.KS. 

Soil / iin iioiiil)rc |)Osilif siipri ifiir a un ; si <.'fl ( ;; ) ■< N, on a 



277 



f 



/t-\e t(// 



f 



t^-^r~'dl. 



et I'liti |ieul iH'ciidrc / asso/. t;iaiiil |)iiiir i[iii' la ili'iiiit'ie iiilt'f^rale soil infi'- 
rieure a tout iioiuhre positif i. I. a I'oiulion rt^jtlefinie par rintei^rale (i5) 
est done uno foiiction hoiomor|)lie dans toiile la irs^ion du plan siluee a 
droite de I'axc Or. Otto fonctixn V(z) satisfail encore a la relation 



(16) 



1\- 



r(- 



obtenue par une iiiU'-j^'iation pai parlies, et par suite a la relalioii pins ijene- 
rale 



(17) 



V { z -\- n ) = z{ z -^ \) . . . { z -{- n — i ) T f :; t 



qui en est une consequence immediate. 

Celte propriete permel d'elendre la definitiiMi de la fonction r(^) au\ 
valeurs de -3 dont la panic n'eiic est negative. Gonsiderons en e(Tcl la fonc- 
tion 

T{z-^ a) 



(18) 



'lizA 



z(z -^ I) . . .■ Z -Jn II — I j ' 



oil n est un nombre enlier positif; le numeratcur Y{z -1- n) est une fonc- 
lion liolomorpbe de z, definie pourvn que Ton ait cR(-;) > — n; la fonc- 
tion <b (5) est done une fonction meromorpbe definie pour loutes les valeurs 
de la variable donl la partie reelle est superieure a — n. Or cctle fonction 
'L(\3) coincide avec la fonction liolomorpbe T{z) a droilc de I'axe Oy. 
<rapres la formule (17); elle est done identique au prolongement analytique 
de la fonction liolomorpbe r(^) dans la bande comprise entre les deux 
droites ^{z) = o, c*l(2) = — n. Comma le nombre en tier n est arbitrairc, 
on en conciut qu'il existc une fonction meromorpbe, admeltant comme 
poles du premier ordre tous les points 5 ^ o, ^ = — i, 5=: — 2, ..., 
z = — n, ..., et qui, a droite de I'axe Oj', est egale a I'integrale (i5). 
On represente encore celte fonction meromorpbe par r(-), mais la for- 
mule (i5) ne permet de calculer sa valeur numerique que si Ton a ..'R (-:)> o. 
Si c^l (5) < o, il faut en outre se servir de la relation (17) pour avoir la va- 
leur numerique de cette fonction. 

Voici une expression de la fonction Y{z) qui est valable pour toute valeur 
de z. Soit S(5) la fonction entierc 



S(s)-^]^' 



qui admet pour z<'tos les poles de r(-3)' '-e produit S(5jr(-) doit etre 
une fonction enliero. On ilenioiitre que cette fonction entiere est egale 



1-S rilAPITRK WII. — FONCTIONS DE Pl.LSIEURS VARIABI-KS. 

i\ e-^', C elanl la conslante il'lMiler (') (I, p. ii6), et Ton en dediiit la 
flip mule 

n = l 
I 



n = \ 

I ... 

(Mil montro que est iino traiisrondnnti" rnlicre. 



3oo. Prolongement analytique d'une fonction de deux variables. — 
Soil ?f — F(5, z' ) une fonction holomorphe des deu\ variables ^ et ;: 
lorsque ces deux variables reslent respectivement dans deux regions con- 
nexes A et A' des deux plans ou on les represente. On demonlre, commc 
dans le cas d'une seule variable (n" 341), que la valeur de cette fonction 
pour un systeme quelconque de points ^, ^' pris dans les regions A. A' est 
detenninee si Ton connait[les valeuis de F et de toutes ses derivees par- 
tielles pour un sysleme de tieux points z =: a, z' = b, pris ilans les memos 
regions. II semble facile, d'apres cela, d'etendre aux fonctions de deux 
variables complexes la notion du prolongement analytique. Considerons 
une serie a deux indices "Za,,,,, telle qu'il existe deux nombres positifs /•, 
r' , jouissant de la propiiete suivante : la serie 

(•20) ¥{z, z') = I.a,„n^"' z'" 

est convergente si i'on a a la fois |^| < r, \z'\ < /•', et divergente si Ton ei 
a la fois |3|>r, \z'\^?-'. La serie precedente definit alors une fonc- 
tion ¥{z, z' ), qui est holomorphe lorsque les variables z, z', restent res- 
pectivement dans les cercles C, C, de rayons /• et /•' ; mais elle ne nous 
apprend rien sur le mode d'existence de cette fonction lorsque Ton a |z| >• r. 
ou l^'l >■/■'. Imaginons, pour fixer les iilees, que I'on fasse decrire a la 
variable'.3 un chemin L allant de I'origine a un point Z exterieur au cercle C, 
et a la variable z' un autre chemin L' allant du point z' = o a un point Z' 
exterieur au cercle C. Soient a et p deux points piis respectivement sur 
les deux chemins L et L', a etant a I'interieur de G et p a I'interieur de C. 
La serie (20) et celles quon en deduit par des differentiations repetees 
permettenl de former une nouvelle serie entiere 

(21) S6„,„(z — a)'"(c'— ,3)« 

qui est absolument convergente lorsque Ton a \z — «| < I'l, el\z' — PI < r, , 
Tj et r', etant deux nombres posilifs convenablement choisis. Appelons G] 
le cercle de rayon r'l deciit du point a pour centre dans ie plan des z,et C, 
le cercle de rayon r\ decrit du point 3 pour centre dans le plan de la va- 
riable z'. Lorsque z est dans la parlie commune aux deux cercles G et Gj. 
et la \ariable z' dans la parlie commune aux deux cercles G' et G',, la somme 
de la serie (21) est identique a la somme de la serie (20). Si I'on pent 

f) FlEHMiTR, Courx d'analyse, 4'"' cililK.n, j.. \\<. 



I. — PnOPUIKTES GENKUAI.KS. 779 

choisir les (lou\ noinhies /•, n i\ do facoii que Ic ccirlo Cy soil cu parlio 
eMt'rieiir an cercic C, on Ic cercle (,\ en parlie exlorieur au ccrcle C, on 
aura etcndu la (Itllnillon de la fonclinn F(j, z') a un dornainc en parlie 
exlerieur au premier. l']n conlimiaiit de la sorte, on coneoit bien la possi- 
bilile d'ctendrc de prnclie en prnclic la fonclion FCj, z'). INIais il inter- 
vicnl ici un nnuvel elemenl imporlant. En edet, // est necessaire de tenir 
rompte >/es inaniercs relatives dont les vaiiables se deplncenl sur leurs 
rhernins respectifs. En voiei un cxemple Ires simple du a i\I. Sauvage (' ). 
Soil u = \' z ~ - z' I ; nous prenons pour valeurs inilialcs ^ = c' r-r: o, m = i , 
et les chemins deerits par les variable? z, z' snnt definis comme il suit : 
1" le chemin decrit par la variable z' se compose du segmenl recliligne 



Fi; 



90. 




allanl de lOrigine au point z' = w, 2° le cliemin decril par z se compose 
de Irois demi-circonferences, la premiere OMA {Jig. f]o) a son centre sui- 

Taxe reel, a gauche de I'origine, et son rayon inferiour a - ; la seconde ANU 

a encore son centre sur I'axe reel, el place de telle facon que le point — i 
soil sur le diametre AB ; enfin la iroisieme BPC a pour centre le milieu du 
segment qui va du point B au point G(4; = i). La premiere ct la Iroisieme 
de ces denii-circonfcrences sont au-dessus de I'axe reel, el la seronde au- 
dessons, de facon que le contour O.MANBPCO enloure le point ^ = — i. 
Cela pose, choisissons les marches suivanles : 

1" z' reste nul, et z di'crit tout le chemin OABC; 

•>." z reste egal a i, ft z' flecrit tout son chemin. 

Si I'on considcrc la \ariable auxiliaire < = s — z' , on voit farilemcut qnr 
le chemin decrit par la variable t, si Ion represenle ccttc variable t par uii 



^ ' ) Sauvagk, Premiers princlpes de la Theorie generale des fonclions de 
plusieurs I'ariables (Annales de la Facidfe dcs Sciences de Marseille, t. \IV). 
Cc Memoire est une exccilcntc iutroduclion a reUitIc des fonclions anniyliques 
de plusieurs varinhies. 



.•8o CllAIMTlu; Wll. — KONCriONS 1)E I'M SIEURS V.VRIMlI.i: S. 

point ilii plan des*, est precisemcnt lo contour ferme OABCO qui entourc 
lo point criliqiie t = — i <lu radical // -+- i . La valeur finale de u est 
done tf = — 1 . 

Choisissons an conlraire les marches suivantes : 

1° z 'reste nu! et z' varie do o a i — t{t ctant un nonibre positif ties 
petit); 

1° z' reste egal a i — t oi z decrit tout le chemin OABG: 

3° z reste egal a i, et 2' varie de i — s a i. 

Lorsquez' varie de o a i — s, la variable auxiliaire t den it un chemin 0' 
jihoutissant a un point O' tres voisin du point — 1 sur I'axe reel. Lorsque z 
ilecrit ensuile le chemin OABG, / decrit un chemin O'A'B'C superposablc 
au precedent et aboutissant au point C'(OG'=£) sur I'axe reel. Enfin 
lorsque z' varie de i — s a i, / ira de G' a I'origine. La variable auxiliaire / 
decrit done le contour ferme OO'A'B'G'O qui laisse a I'exterieur le 
point — I, pourvu que t soit pris assez petit. La valeur finale de u ?era 
done egale a -+- 1. 

La nature des singularites des fonctions analyliques de plusieurs va- 
riables est beaucoup moins bien connue que celle des fonctions d'une seule 
variable. Une des plus grandes difficultes du probleme tient a ee que les 
cou[)les de valeurs singulieres ne sont pas isoles (i). 



H. — FONCTIO.NS LMPLICITES. — FONCTIONS ALGEBRIQUES. 

336. Theor^me de "Weierstrass. — Nous avons deja etabli (I, 
n" 187) I'exislence des fonctions iniplicites definies par des 
equations dont le premier membre peut etre develo|)pe en serie 
ordonnee suivanL les puissances positives et croissantes des deux 
variables. Les raisonnemenls, qui ctaient faits en supposant les 
variables et les coefficients reels, s'appliquent sans modification 
lorsque les variables et les coefficients ont des valeurs quelconques 
reelles ou imaginaires, pourvu que Ton conserve les autres hypo- 
theses. Nous allons etablir maintenant un theoreme plus general, 
et nous conserverons les notations deja employees dans cetle 
etude ^ les variables complexes seront designees par x eiy. 

Soit ¥{x,y) une fonction holomorplie dans le domaine dun 
sysleme de valeurs .r = :t.^y ^ (i, et telle que Ton ait F(a, ^3) = o; 
nous supposerons, ce qui est toujours permis, a ^ j5> =: o. L'equa- 



( ' ) Pour lout ce qui concerne cette question, voir un Memoire de M. Poincarc 
dans les Acta niatliematica (t. \X\I). 



11. — lONCriONS I.Ml'I.ICITKS ICT M.r.lMtUIOL'KS. 0,81 

lion F((), ^)= o adinnL la racine y = o a nn ceilaiii (l(';^rt; de 
imihiplicile. Le cas qui a ele eludie est celui 011^ = osl unc 
racine simple; on va niainlenanl eludicr le cas general oix y = o 
est line racine nuilliple d'ordre n de requation F(o,j)')=o. Si 
Ion ordonne Ic developpement de F(:r,y) dans le doniainc dii 
poinl X =y = o, suivanl Ics puissances de )', ce developpemenl 
est de la forme 

{■11) F(x,y)= Ao -i- A,7 -^. . .+ A„ y«-f- A„+,r"^* ^-- • • • 

les coefficients A, rtant des series enlieres en x donl les n pre- 
mieres sont nulles pour x = o, landls que A„ ne s'annule pas 
pour X = o. Solent C et C deux cercles de rajons R et R' decrils 
de I'orlgine comme centre dans les plans des x et des y respoc- 
tivement. Nous supposerons que la lonclion ¥[x^ y) est liolo- 
niorpiie dans le domaine defini par ces deux cercles el aussi sur 
les cercles eux-memes; comme \„ n'est pas nul pour x = o, nous 
pouvons supposer le rajon R du cercle C assez petit |)0ur que la 
foncllon A/2 ne s'annule pas a I'inlerieur de C, ni sur ce cercle. 
Soil M la limitc superieure de |F(:r,jj^)| dans le domaine prece- 
dent, et B la limite inferieure de | A^]. D'apres le iheoreme fonda- 
menlal de Cauchv, I'on a 



l'{T.y) = - . / — -^ 



x el y etanl deux points (pielconques pris dans les cercles G et C; 
on en conclut que le module du coefficient A„, de j)''" dans la for- 

niule (22) est inlcricur a -^r^^' quelle que soil la valeur de x dans 

le cercle C. 

Ccla pose, nous pouvons fjcrirc 

(23) F(^,j; = A„j"(i+P^Q) 

en posant 

A /J A,t 

^ A„ I A„_, I 

*- A„j«^ A„ y 



a8a ciiMMTRi: wir. — i-onctions dk Pt.isiEuns varixblks. 

Soil le moiliilc (Ic V ; on a 



PKiHT^ W-"if5 



lUi' 



K' 



ct ce niocUilc sera inferlciir a - pourvii que ron ait 

niV" 

Soil tlaiilre pail 'Ji.(/') la valcur iiiaximuiu du module des fonc- 
lions Ao, A,, . . ., A„_, pour loutcs les valeurs de x donl le mo- 
dule ne depasse un nombre r<<R- Ces n fonctions etant nnlles 
pour .r = o, }>■{'') tend vers zero avec r, et Ton |)eut toujours 
prendre /■ assez petit pour que Ion ait 

, r-. •■!( r) / \ I I \ , ' 

(9,5) - 






p etanl nn nombre posilif determine. Les nombres /■ et p ayant 
ele choisis de facon a sallsfaire aux conditions precedentes, rem- 
placons le cercle C par le cercle C^ decrit dans le plan des x, 
du point .r = o pour centre, avec le lajon r, et de meme le 
cercle C, du plan de la variable j-, par le cercle concentrique C', 
de rayon p. Si Ton donne a x iine valeur telle que |^|5''? ^t fji'*' 
I'on fasse decrire a la variable j' le cercle C'p, tout le long de cc 
cercle on a, d'apres la facon dont on a choi.si les nombres /• et p, 

|P|< -7 |Q|<^-' et par suiie |l^ + Q| < i • Lorsque la variable^' 

decrit le cercle Cp dans le sens direct, I'argument de i + P -4- Q 
revient a sa valeur initiale, tandisque I'argument du facteur A„jK" 
augmenle de 2/?-. L'equntion F(x, y) ^= o, ou \x\^r, a done 
n racines dont le module est inferiear d p, et n seulement. 

Toiites les autres racines de I'equation ¥[x, j/) = o, s'il en 
exisle, ont leurs modules supericurs a p. Comme on pent rem- 
placer le nombre o par un nombre aussi petit qu'on le voudra, 
inferieur a p, a la condition de remplacer en meme temps /■ par 
un nombre plus petit verifiant toujours la condition (2o), on voit 
que It'cjualion F(.r, y) = o admet n racines et n seulement qui 
tendent vers zero en meme temps que x. 

Lorsque la variable x reste a I'interieur de C^ ou sur ce cercle 



II. — l-OXCTIONS IMPMCITES KT Al.r.KRniQLES. '283 

lui-meme, les n racines >'| , j'a* •••' ^'/o 'I'^'it 'c modulo csl inf<'- 
rieur a o, restoiit dans le cercle (jI. Ccs racines ne snnl pas en 
i^cneral des fonrllons liolomnrphes de x dans le cercle C;-, inais 
route fonclion svrnetri([iie enlirre de ces n racines est une fonc- 
lion liolomorplic de x dans ce cercle. II siiffit evidemmenl de le 
demontrer pour la soinnie y* H- t* + . . .H-JK*> oil A^est un nonihre 
cnlier posilif. C.onsiderons pour cela Tinlegrale double 

oV[.v\r') 

I = f ^ dy' f yx 



i)y' (It 



ou Ton suppose |.r| < /•. Si ] j'| = p, la fonclion ¥ {x' , y') ne pent 
s'annuler pour aucune valeur de la variable x' a Tinlcrieur de Cr 
ou sur Cr, el le seul pole de la ("onction sous le signe integral a 
linterieur de Cr est le point x' ^= x. On a done 



J{C. 



d¥iT\y') dVjx, y') 

oy' dx . ,, dy' 



'(Or) 

el par suite 



V(x',y) x'~x " ' -^ t'^z-,/) 

OF(x,y') 
\ = o.T.i I y'X —r-- — '■ ; — dy'. 

f 

D'aprt'-s line proprirle <;enerale (n" 300), cetle inlcgrale est egale 

a — -i -'{}''', +yt + - ' -+7^)1 X\yy-2, yu elant les n racines 

de Fequation F(:e', v') = o de module infcrieur a p. D'autre pari, 
I'integrale I est une fonclion bolomorphc de x dans Cr, car on 

pent developper — ; en serie uniformement convergenle or- 

donnee snivant les puissances de .r, et calculer ciisuite I'inh'grale 
terme a terme. I^es diverses sommes Srf claiit des fonclions bolo- 
morplies dans le cercle (%, il en est de memc de la somme de ces 
racines, de la somme des prodiiits deux a deux, etc., et par con- 
sequent les n racines jKi , j^2. • • • > JK« '^'^'it anssi les racines d'line 
(■(pialion de dei;r(' // 

(26) /(■^,7) = y"^ (7i7«-'-t- rt27"-2-r-. . .-\- a„-iy -+- «„ = o, 

dont les coefficients «,, r/o, .••, 0,1 sont des fonclions liolo- 
morphcs de x dans le cercle (],-, s'anniilant pour x := o. 



a84 CIIAI'ITUK XVII. — t'ONCTlONS DK I'LlSliaiiS VUtl VIU.ICS. 

Les deu^ fonclions F(.r, y) el /(.r, y) s'anmilenl pour les 
memes svslemes de valeurs des variables x, y, a I'inlerieur des 

cercles Cr el CI. Nous allons monlrer (iiie le rapnorl ^ ' . est 

une fonclion holomorphe dans ce domaine. Prenons pour ces 
variables des valeurs delcrmlnees lellcs (juc \x\<^r, | ) | << p, el 
considerons rinlcgrale double 

r , , r F I .r'. r' ) d.r' 

Pour une vaieur de y' de module p, la fonclion /(x' ^ y') de la 
variable x' ne peul s'annuler pour aucune vaieur de x' inlerieure 
a Cr ou situee sur ce cercle. La fonclion sous le signe integral 
admet done le seul pole x' =- x a I'inlerieur de C^, el le residn 

'" F(x,y) dy 



correspondanl est ^: — — — ; Par suite, on a encore 



J = -1-1. / — -—r- 



/ -J' 

mais les deux fonclions holomorphes F{x^ y')^ f{^i y) ^^ '^ 
variable j^' ont les memes zeros avec les menies degres de mulli- 
plicile a Tinterieur de Cp. Leur quotient est done une fonclion 
holomorphe de y' dans CI el le seal pole de la fonclion a inlegrer 
dans ce cercle esl y' = y; on a done 

^ ¥(x.y) 

.1 = — 4 t:'' — 

J{x,yi 



D'aulre liart, on pculrcniplaccr, dans 1 inlciirale, ■ — ; ; 

par une serie entiere uniformemenl convergenle, ordonnee sui- 
vanl les puissances positives de x el de y. En integrant terme a 
terme, on voit que celle integrale est egale a la somme d'une serie 
entiere ordonnee suivant les puissances de x et de y, el conver- 
genle dans les cercles C^, C'p. iNous pouvons done ecrire 

F{^,y) =/(-^. ^jHC-y, JK), 
ou 

(27) F(a:, jk) = (>«-+- a, ^"-'^...-i-a„) 11(3", r), 

la fonclion H(^, j) elanl holomorphe dans les cercles C^, C^. 
Le coefficient A„ dej'" dans F(x^y) conlient un terme constant 



II. — l-ONCTIONS IMI'LICITKS ET AI-CiKBRIQUKS. 283 

clifTtM-enl lie zero; coMime (t, , a^, .... '(,i ><>iil mils pour x = o, Ic 
developpemenl cle H(.r, r) conliciil lurcrincnl iin Icrme constant 
ciillorent de zero, el la cleeoin|)osition donnee par la lormiile (-''.7) 
met en evidence ce fail epic luiilcs les raclnes de F(x, y) = o cpii 
teiident vers zero avec x sOblienneiil en uiiniilanl le premier 
faeleur. L'imporLanl tiieoreine (pii pr<'(;ede est dii a M. Weier- 
strass('). II i^eneralise. tin moms aiilaiil ipic cela est possible pour 
line fonclion de pinsieurs variables, la dccomposilion en facleurs 
des fonclions d'line seule variable. 

'X'u . Points critiques. — ?Sons sommes done ramenes, pour 
eludier les /i lacincs de Tecpiation F(a-, r) ::= o, qui sont Infini- 
menl pctiles en memc temps que .r, a etudier, pour les valeurs 
de X voisines de zero, les racines d'unc eipialion de la forme 

(•28) /(^, r) = y"-^ «ijK"~'-i- «2;'"'"--i-. • •+ <'u~]r -t- «« = o, 

ou a,, rto, ..., 0,1 sont des fonctions holomorphes s'annulant 
pour X = o. Lorscjue n est ^ 1 (seul cas dont nous ajons a nous 
occuper), le point x=o est en general un point critique. E\i- 

minons y entre les deux eciualions /=o et^-=o: le resul- 

taut A(.r)est un polvnome enlier par rapport aux coellicients <7|, 
a.2, . • -, (1,1, eL pai' consi'-ipient une fonction holomorplie dans le 
domaine de I'origine. (^e resultant (-) est nni pour ^ := o, et, 
comme les zeros d'une fonction liolomorjjlie forment un sjstenie 
de points isoles, nous |)ouvons supposer qu'on a pris le rajon r 
dii cercle C,- assez pelit pour qii'a I'interieur de C,- i'equalion 
A(.r) = o n'ait pas d'autre racine que x = (>. Pour lout point .r,, 
pris dans ce cercle, autre que I'origine, lequation y(:ro, j)') = o 
admettia /i racines distinctes; d'apres le cas deja etudie(I, n" 187 ij 
les n racines de I'equation (28) seront des fonctions holomorphes 
de X dans le domaine du point x^. II ne peul ilonc v avoir a I'inte- 
rieur du cercle Cr dauire point critique (jue I'origine. 

Soienly, ,1^2' • • ■ 1 .'■// 'cs n racines de I'equation /'(xa, y) = o. 

(') Abliandlungen cms dcr Funclionenlehic von K. H'eicrstrass (Ber- 
lin, i860). 

(') iNous ccarlons Ic cas ou ce resultant serait idcntiqucincnt nul. f)ans cp 
cas /{a;, r) serait divisible par un facteur [/, (r, }')]'', oil A" > i, /i(-r, r) 
etant de nieme forme quey'(x, j;. 



286 cuAi'rriii; xvii. — fonctions dk I'lAsiiii us vvi\i.\hlks. 

Faisoiis dt'crii'c a hi variahlc ./■ iiii lacel aiiloiir tin j)t)ml jc = o, 
vn paiianldu poinlXo; loiiL le lonj; de cc laccl, les n racines de 
rc(|ualion y"(^^, -)') = o soul dislincles el varienl d'uiie inanirre 
coiiliniie. Si Ion ])ail dii [tonil .Vq ave(' la racliic i', par excMij)lt', 
en suivant la varialion continue de cetle racinc louL Ic long dn 
lacel, on reviendra an point de de|)ail a\ec nne \aleur linale egale 
a une des raciiies dey"(xo, j)) = o. Si tx'lle valeiir linale esl I'l, la 
racine consideree esl nnifornie dans le doniainc de rongine. Si 
ce lie vale ur finale esl dill ere nle de i) , snpposons cpi elle soil egale 
a v-,. Ln nouvean lacel deciil dans le iiienie sens conduira de la 
racine I'.j a une auUe des lacines •)•, , y^, . . .,.1'/,- La valeur linale 
ne peul elre j's^ puisque le clieniin inveise doit conduire dej'a 
a )',. Celle valeur linale doit done elre une des racines jk«, 
1':,, ...,y,i', si c esl i,, on ndiI que les deux lacines y( c^ y-2 se 
pcrnuilenl tpiand la vaiiahle decnl iiii laccl aiilour de 1 (jiigine. 
Si celle valeur iinale nest pas j,, c'esl une des i^/i — a) racines 
reslanles; soil )':( eelte racine. Un nouveau lacel decril dans le 
nieme sens conduira de la racine ):, a une des lacines j', , j'o, j^3, 
1%. . . . , }'/,■ Ce ne peul elre j/., jMHir la inenie raison que loul a 
riieure; ce n'est pas non plusj)'^, pui^que le clieinin inverse con- 
duit de y^ a JKi • Celle valeur finale esl done Vi nii une des (n — 3) 
racines reslanles j'^, 1'^, . . ., J'//. Si c est j', , les liois racinesj',, 
y-ii J'i ^6 permulenl circulairenienl quand la \aiialjlc x decril un 
lacel aulour de I'oiigine. Si la valeur finale e?l dillerenle deyt, 
on continiiera a (aire louirier la variable aulour de 1 origine, el, 
au bout d'un nonibre lini d'operalions, on reloinbera I'orcemenl 
sur une racine deja oblenue, qui sera la racine >',. Supposons, 
par exemple, que cela arrive apies p operalions; les p laeines 
obtenues j^i , j'^, • - • , .i> se permulenl circulairenienl quand la va- 
riable X decril un lacel aulour de I'origine, on dil qu'elles fornienl 
nn systeme circulaire de p racines. Lorsque p^ ii, les n racines 
forincnl un seul s\slrine circulaire. Lorsque p esl < /i, on reconi- 
jnencera le raisonnemenl en j)artanl dune des n — p racines res- 
lanles. el ainsi de suite; il esl clair qu'en conlimianl de la sorle 
on liuira par epuiser tonics les racines, el 1 on |)eiit enoncer la 
pro|josilion suivante : Les n racines de Vequalion F(x,^) = o, 
qui sont nuUes pour x ^^o, forment un ou pUisiears systenies 
circulaires dans le domaine de Vorigine. 



II. — roNcno.Ns i.\ii'i.i(;iri:s i;t algi;i»uk»l ks. -287 

Pour la geiieralile dc I'enoncr, il Millil dc coiivcnir (|ii*iiii s\s- 
leme circulairc peulse composer d'uiio stuilc racinr; ccilc rucine 
est alors iiiic (onclioii iiiiilormc dans le voi.sina":c dc rori"iiic. 

Les racinos d'liii inciiic >\>lriii{' cn'culiiirc pciiNenl «''li<' icnrt'"- 
sentecs par uu dL'vclopj)eiiiciil iimI(|iic. Soiciil t,, i\,, ..., Y ,, 
les p raciiies dun sysU-nie tiirculairc ; posons ji=:ix'P. (^Iiaciiiic 
de ces racines devionl iiiie ronclion lioloinorphe dc x' pour loiilc 
valeur de x' autre que j:'=o; daulre part, quaiid x' decril uu 
lacel aulour de x' = o, le point x dccrit/> lacels successlfs dans Ic 
niemc sens auloiir de rori<;inc. Cliaciinc des racines -j',, 7'^, ... r„ 
rexicnt iloiic, a sa \aleiir inilialc. Cc soul done des I'oiKiions iiiii- 
Ibriues de x' dans le doniaine de I'orij^ine; coiunie ces racines 
tendeiit vers zero lorsqiie x' lend vers zero, lorigine x' ^= o ue 
pen I elre qu iin point ordinaire, et Tune de ces racines est repn'- 
senli'e j)ar iin drveloppeinciil dc la lorinc 

(•>.i)) y = ai-r'-f- a^a.-'-^-f-. . .4- a.,nx'">'^. . ., 

1 
oil, en rcinphicaiil x' par x'\ 



( Jo ) 



J' 



7.;\X>' ' 



\ X^' } 



Jc (lis niainleiianl i\yic le deK'eloppenient (^Zo) j-epfescnlc toules 
les idcines cl'iiii Dienic syslenw circulairc , pourKii <jiic ran 

attribuc a x'' scs p clctermiiKil ions. En cH'ct, supposous (pi'cn 

/' — 
prciiaiil pour Ic radical ^ ./• nne de scs delcriuiiial ions on ail Ic 

developpcmciit dc la raciiic i',; si la \arialjlc x decril iiii laccl 

1 
dans le sens direct autour dii I'ori^ine, jy^, se cliange en y^, et x'' 

est niiillipln- pai w '' . On vcrra dc iiiciiic qu'oii aurai^^cn rciu- 

i_ i_ 277^ 

placant xi' j)ar x'' e '' dans la loriuiile (.3o). (^c devcl()|»pcniciil 
unicpic inci hicii cii c\idcuc«' la pcniiulalion circulairc dcs p 
racines. II nous resterait a nioutrer coinincut on pent se|)arer les 
/I racines de Ffx, -)') = o en svstcines circulaires et calculcr les 
coeKicieuts a/ dcs dc\ eloppcmcn ts (3o). La niclliode gcnerale est 
exposee en detail dans tons les Ouvrages consacres aux Ibnctions 
algebriques. INous ne traiterons que quelques cas parliciiliers 
d'une application frequenle. 



288 CIIAI'ITIU; Wll. — roNOTIONS DE PLLSIEIRS VARIABLKS 

SI nour X = )- =: o, la drrlvee — n'est pas nuUe, le developpe- 

incnt do F[x,j') reiiferme iin lernic' dii premier degre en x, el 
Ton a 

(3i) F(:r,7) = .V.r-^BjK"-f-... (ABjz^o), 

les lermes non ecrits elanl divlsibles par I'un des ractciirs x^, 
xr, yn+i. Coiisiderons pour un moment j' comme la variable 
independanle, I'equalion F(^, r)=:o admet une seule racine 
lendanl vers zero avecy, et cette racine est liolomorphe dans le 
domaine de I'origine. Le developpement, que Ton a appris a cal- 
culer (I, n"" 46, 187), est de la forme 

(32) a7 = 7"(ao-^-«lJK-^...) (ao^o). 

En extrajant les racines /t"^"'«* des deux membres, il vient 



(33) x"=r'i/ao^ aij -r- 

Pourj' = o, Tequalion auxiliaire u" = a,i+ a,y -+- . . . admet n 
racines dislincles, dont chacuiie est developpable en serie entierc 
suivanl les puissances dey. Comme ces n racines se deduisent de 

2711 

rune dellcs en la mulliplianl par les puissances successives de e " , 
on peul prendre pour ^a^ -+- UiV + . . . dans la fornuile (33) Tune 

cpielconque de ces racines, a la condition d'attribuer successive- 

1 
inent a .r" ses n determinations. 

On peul done ecrire I'equalion (33) 
1 
.v"= biy-T- biY- — . .. (bi^o), 

el Ton en lire inversement un developpement de y suivanl les 

i_ 
puissances de x" 

(34) jK = c,a7«M-c.A-r") -^ . ■ ■ ■ 

t 

Ge developpement, lorsque Ton donne successivemenl a x" ses /i 
valeurs, represente les n racines qui lendent vers zero avec x. Ce 
fall avail deja etc signale (1, p. /joS); nous en vojons ici la signi- 
fication analjtique. 

Gonsiderons encore le cas ou — est nul pour x =y =^ o, et ou 



II. — FONCTIONS IMIM.ICITKS KT ALGEBRIQUES. ^.Sij 

I Oil a n = '2. Oil |)ciil ('crire l\''(|iialion, en ordonnaiil par f^roupes 
de lernies honioi^cnes, 

( 3") ) F(x, t) = o-iix, y) -^ Oji T, y) -\- . . . = o, 

'fi{^j y) desigiiaiiL iin polviionu; lioinoj^cne de degre i. 

Le coeflicieiiL de y- dans o-2(x, y) n'elanl pas mil par iijpo- 
llit'se, nous siipposerons ce coefdcicnt egal a rtiniU'; soil 

?2(^, y) = (y — ^x){y — 'px). 

Posons 7' = //x, leqiialion (^^5) devienl, en siipprimant le fac- 
teur x'^^ 

( 3G ) {u — a ) ( M — ^ ) -I- .r ©3 ( I , « ) H- . . . = o 

el, pour ;r = o, admel, en supposant a el ^ differenls, les deux 
racliies simples w = a, f< = ^. II y a done deux racines de celle 
equalion m, el n-^, qui lendenl respeclivement vers a el 9j lorsque jc 
tend vers zero, el qui soul holonior|jlies dans le domaine de I'oii- 
gine. A ces deux racines u^ el Mo correspondenl deux racines 
holomorphes j)^, elj>^2 de I'equalion (35), donl les developpemenls 
commencenl respeclivement par 'x.x el ^x. 

II n'en est plus de meme si j3 = a. On posera alorsy = x{a. -\- v)^ 
el la notivclle equalion F, [x, c) = o, obleiiue en divisanl par x-^ 

admel encore deux raciues nulles iiour :c = o. Si — -^ n'est pas mil 

' ax ' 

pour X ^= V ■= o^ nous veiions de voir que les deux racines infini- 
ineiit petiles de I'equalion en v formenl un sysleme circulaire; il 
en est done de menie des racines infmimenl peliles de Pequalion 
en y. Si les deux raciues de I'equalion en v sonl holoinorplies, 
conime dans le cas deja iraile, il en sera de meme des racines de 
requalioii en r- Lorsque I'equalion en v presenle la meme ambi- 
gui'le que I'equalion en y, on recommencera la meme transfor- 
mation jusqu'a ce qu'on arrive a une equalion donl les racines 
soienl separees. 

Lorsque lous les cuefricients de F ( .r, y ) sont reels, et qu'on iie considere 
quo les valeurs icelles indniiueiU peliles des deux variables x, y, le pro- 
bleiue revienl a CDnslruiic uue courbc analylique dans le voisinage d'un 
point double. Le tlieoreme de Weierstrass pennel de disculer faeilenienl 
loules les formes possibles. Eii eftel, les coefficients dc F(.r, y) eiaut 
reels, les deux racines infiniment petiles ji m y-z sont evideinmenl reelles 
C, II. ,9 



290 CHAPITRE XVII. — FONCTIOXS DE PLUSIEURS VAMABLES. 

ou imagiiuiires conjugiiees lorsque x est reel, el par suite sont racines d'une 
equation du second degre de la forme 

(3-) jK--'^-aP(.r)7--Q(.r)=o, 

P {x) el Q( t) etant des fonctions holonioiplies a coefficients reels, qui sont 
nulles pour r = o. On en tire pour expression de ces racines 

y=-V{x)±s/K{^, 

K{x) etant aussi une fonction holomorphe de a? a coefficients reels, qui 
est nulle pour x = o. Soient axP et bx'' les termes de moindre degre 
dans P(^) el K{x)\ pour les valeurs infiniment petites de ar, K{x) a le 
signe lie son premier terme, et on ne doit donner a a? que des valeurs ren- 
dant bx'' posilif. Cela pose, deux cas sont a distinguer. Si /■ est impair, 
r = 2 /•'-+- I , fear devra etre positif ; supposons b posilif, x devra letre aussi, 
el les deux valeurs de y seront donnees par un developpement 

y — — {axP-^ t/jxP+^-^. . . )±\/x{^bx'''-h. . .) 

dont tous les coefficients sont reels. La courbe presente a I'origine un 
rebroussement de premiere ou de seconde espece. Si r est pair r =^ if', 
y n'est reel pour des valeurs infiniment petites de x que si b est positif. 
Si b elail negatif, I'origine serail un point double isole. Lorsque b est 
positif, les deux racines de I'equation en y sont holoniorphes et par I'ori- 
gine il passe deux branches de courbe ne presenlanl aucune singularite. 
Ces deux branches ont en general des tangentes distincles, mais elles 
peuvent aussi etre tangentes I'une a I'aulre. 

3o8. Fonctions algebriques. — Les fonctions implicites les 
mieux eliidiees jusqu'ici sont \es fonctions algebriques^ definies 
par une equation F(^, j') = o, dont le premier membre est un 
poljnome entier indecomposable en x et y. On dit qu'un po- 
lynome enlier est indecomposable lorsqu'il n'est pas possible de 
trouver deux autres poljnomes entiers de degre moindre F, (x, y) 
et F2(^, jk) tels que Ton ait identiquement 

F(a.-,7) = F,(a:, y) x F^ix^y). 

Si le polynome F[x, v) etait egal a un produit de celte espece, il 
est clair que I'equation F(:r, y) ^= o pourrait etre remplacee par 
deux equations distincles F, (x, y) = o, ¥'i{x, y) = o. 
Soil done 

(38) F(x, jk)= ©0(37)^" -t-'fi(.r)jK«-i -+-... -h9„-,(.r)7 -I- ^„(ir)=o, 
I'equation proposee de degre n en j', 'jjq, 'ft, •••5 'f« etant des 



II. — lONCTIONS IMI'LICITKS ET A l.GKBUIQL KS. 9.9 1 

|tolvnoiiH"s ciilicrs en x. En rliniitiynl r cnlic les <lnn\ relalions 

¥ = 0, -— ^= o, on ohlionl ponr r»'.snltiinl nii |tol vnonic enlicr i^(x), 

(|ni ne pent eire iclenli(nioinonl mil, [uiisi^ne V{x,y) esl suppose 
indeeompot;;ible. Miirqiions d;ins le plun les poinls a,, a^, . . ., y./^., 
raciues de requalion A(.r) = o, el les poinls [j,, [j.^, ..., [ii/,, 
racines de '^o(x) = o, (|iielc|nes-nns des points a/ pouvanl aiissi 
faire parlie des racines de cpo(j?) = o. Pour un point a diflerenl 
des points a,-, ,3y, Pequalion F(a, y) = o a n racines distincles et 
(inies /y,, ^o, . . ., b„. Dans le doniaine dn point «, I'equation (38) 
adinet done n racines holomorphes qui tendent I'espectivcment 
vers Z>,, ^2, ..., b„ lorsque x lend vers a. Soil a,- une racine 
de A(j:) = o; I'equation F(a/, }^) = o adniel un cei'tain noinbre 
de racines egales. Supposons, par exemj)lc, qu'elle adniette p 
racines egales a b. Les p racines qui tendent vers b lorsque x 
tend vers a/ se parlagent en nn certain nombre de svsteines cir- 
culaires et les racines dun inenie syslrme circulaire sont repre- 
sentees par un develop|)einent en serie ordonnee suivant les 
puissances Iractionnaires de x — a/. Si la valeur a/ n'annule pas 
c5o(.r), loules les racines de I'equation (38) dans le domaine dii 
point a, se parlai;enl ainsi en un certain nombre de sjstrnies cir- 
culaircs, quelques-uns de ces svstemes pouvant ne coniprendre 
qu'unc seiile racine. Pour un point ^y qui annule 'Jo(-^)) f|nt!lqnes- 
unes des racines de I'equation (38) deviennenl infinies; pour elii- 

dier ces racines, on posejv'= — ' et Ion est conduit a etudier les 
racines de requalion ¥ ^ (x, y') =y "F (x, — \ = o, i\u'\ devien- 
nenl nulles pour x =^ pj. Ces racines se parlagent encore en un 
certain nombre de sjstemes circulaires, les racines d'un meme 
svsleme etant representees par un developpement en serie de la 
forme 

y = a„,(ar — ^j)J'^ a„,-^i(x — l^j) I' -t-..,; a„,^o; 

les racines correspondantes de lequation en j- seront donnees 
j)ar le deveioj)pemeiit 

J = (a- — py) ''[a„,-r-rt,„+i(ar— 3y)''-^...J , 

que Tun pent ordouner sunant les puissances croissantes de 



iQi ciivi'mii: wii. — FONcriONs di; pi.t'siians v.\mAHi.i:s. 

(:r — ^y)'? iwais oil aura an debul on non\\)n' Ji/ii de lernies a 
exposanls negalifs. 

Pour eludier les valeurs de )' pour les valours infinies de x, on 

pose .r z= — » et Ton esl rainene a etudier les racines d'une equa- 
tion de nieme forme dans le voisinage de I'origine. En resume, 
dans le doniaine d'un point quelcon(|ue j^ ^ <7. les n raeines de 
rtNjualion (38) sont representees par un certain nonihre de series 

ordonnees suivanl les puissances croissaiiles de x — a ou de 
1 

(x — «)'', pouvant renfermer un noinbre fini de termes a expo- 
sants negatifs, et cet enonce sapplique aiissi aux valeurs infinies 

de X, en remplacanl x — oc par -• 

II est a reniarquer que les puissances Iraclionnaires ou les 
exposants negatifs ne se presenlent que pour des points excep- 
tionnels. Les seuls points singuliers des racines de lequation sont 
done les points critiques autour desquels quelques-unes de ces 
racines se peimutent circulairenient, et les poles ou quelques- 
unes de ces racines deviennent infinies; d'ailleurs un point pent 
etre a la fois un pole el un point critique. On appelle souvenl 
points singuliers algebricjues ces deux especes de points sin- 
guliers. 

Nous n'avons eludie jusqu'ici les racines de lequation proposee 
que dans le domaine d'un point determine. Supposons mainte- 
nanl que Ton joigne deux points x=za, x = b, pour lesquels 
I'equation (38) a ses n racines distinctes et (inies par un chemin AB 
ne passant par aucun point singulier de I'equation. Soity, une 
racine de I'equation F(a, y) ^ o; la racine j =f(^x) qui se reduit 
a y, pour X := a esl representee dans le domaine du point a par 
un developpenienl en serie enliere P(,r — a) et Ton peul se jiro- 
poser d'cn trouver le prolongemenl analytique en faisant decrire a 
la variable Tare AB. C'esl un cas pariiculier du probleine general, 
et nous Savons d'avance que Ton arrivera au point B avee une 
valeur finale qui sera une racine de I'equation F(^, i)^o 
(n° 344). On arrivera cerlainemenl au point b au bout d'un 
nomhvejini d'operalions; en ettel, les ravons des cercles de con- 
vergence des series represenlanl les diverses raeines de lequa- 
tion F(x, J') = o, et ajant pour centres les diflerents poiols du 



II. — rONCTIONS IMI'IJCITES ICT A I.CJKItlWyl KS. 9.g3 

chciniii Al>. (Hit line liiiiilc inlV'rieme (') o >» o, |>ui■^(|ll(• ce 
cheinin iie rcntcMino ;nnim point critKiiic, el il esl chiir (|iic I on 
poiirra Icuiinnrs prendre les radons des dilleronts cercles (|iir 1 on 
utilise dans le prolongeinent analyti(|ue an moiris egaux a o. 

l'arn»i ions les cheinins joi^iianl les poinls A el B, on pent 
toiijonrs en trouv(M- uii coiidiiisant de la racine Vi a 1 nnc ipiol- 
eoiKpie des racines de I'ecpiation F(6, jv') = o commc valciir (inale. 
On s'a|>puie pour le deniontrer sur la proposition suivante : Si 
line fonclion nnalytifjiie z de la variable x n'adniet i/iie p va- 
leurs (listincles pour chaqiie valeiir de x, et si elle n'a dans 
tout le plan [y compris le point a I' in Jin i) que des points sin- 
aulie/s alaehrir/ues, les p determinations de z sont racines 
d'une eipiation de degre p, dont les coefficients sont des fonc- 
tions rationnelles de x. Soienl -,, z-,, ... Zp les p d('-lermina- 
tions de :: : lorsqne la xariahle :r decril uiie courl)e fernu-e, ces /? 
valeurs c,, ^j. . . ., Zp ne pen vent cpie s'echanger enlrc elles. La 
ronclioii svinelrique Uh =^ z\ ^ z'!, -\- . . . -\- :;^, ou k esl nn nombre 
entier posilif, est done une fonetion unilorme. D'ailleurs, cetle 
fonction ne |)eut avoir (juc des singulariles polaires. En effet, dans 
le doinaine d'nn point (pieieon(|ue a distance finie x = a, les deve- 
loppenienls de ^,, :J2' • • • ^ ^p iie presenlent qu'un nombre fini de 
lernies a exposanls negalifs. 11 en est done de meme du develop- 
pemenl de Uh- D'ailleurs, la fonction Uh etant unifornie, son deve- 
loppenient ne |)enl renfermer de puissances fractionnaires. Le 
point a est done un pole on nn point ordinaire pour w^, et il en 
est de meme du point a I'infini. La fonclion Uh est done une fonc- 
tion ralioiiiiclle de ./•, (|ne! (pie soil le nombre enlier /,• ; il en 
est par suite de meme des fonclions symelri(pies sim|)les, telles 
que ^Zi^ 'EziZf,, . . . , ee qui (b'inontre le theoreme enonee. 

Cela pose, supposons (preii aiianl du point a a un autre point 
quelconcjue x du plan par tons les eliemins possibles on ne puisse 
obtenir comiiK.' valcnrs liriale> (pie // des racines de I'equation 

^\^-,y) = ^, ip<n)- 
CjUS p racines i, , ij, .... Yp ne peuvent evidcmmenl que 



( ' ) II soffit, pour le ct(iinontrer en toule rigueur, d'un raisonnemenl analogue 
a cciui (le hi pu^c '■]■>. 



a94 ciiaphiu: wii. — konctions dk plisieirs v.VRiAnr,i-;s. 

s'eohanger lorsqne la variahle .r decrit un contour ferme, el elles 
joiiissent de tonics les proprieles des p branches :;,, ::j, .... Zp 
de la fonciion anal\ liqne c (|ue nous venons d ettidler. On en con- 
cliil que )■(, J'2? • • . , y^j seraient racines d'une equation dedegre/j 
F((j', y) = o a coefficients rationnels. L'equalion F(j:", r)=:o 
admettrait done loules les racines de l'equalion F,(:c, y) :^ o, 
quel que soil .r, el le polynome F(.r, y) ne serait pas indecom- 
posable, conlrairemenl a I'hjpolliese. Si Ton n'apporle aucune 
restriction an cliemin decrit |)ar la variable A", les n racines de 
Tequation (38) doivent done elre considerees comnie des branches 
dislincles d'une seule fonclion analvtiquc, ainsi qu'on I'a deja 
remarque sur quelques exemples simples (n° :26i). 

Imaginons que de chacun des points critiques on trace une con- 
pure indefinie de facon que ces coupares ne se croisent pas enlre 
elles. Si le chemin suivi par x est assujelli a ne franchir aucune 
coupure, les n racines sont des fonctions uniformes dans lout le 
plan, car flenx chemins ajant les memes extremites pourronl se 
ramener I'un a I'aulre par une deformation continue sans traverser 
aucun |)oinl critique (n"3i3). Pour pouvoir suivre la variation 
dune racine le long d'un chemin quelconque, il suffira de con- 
naitre la loi de permutation de ces racines lorsque la variable 
decrit un lacet autour de chacun des points critiques. 

Remarque. — Ce qui rend I'etude des fonctions algebriques relativement 
facile, c'est qu'on peut determiner a priori, par des calculs algebriques, 
les points singuiiers de ces fonctions. II n'en est plus de meme en general 
pour les fonctions implicites non algebriques, qui peuvent avoir des points 
singuiiers transcendants. Par exemple, la fonction iui]jlicite y{x) definie 
par l'equalion e^ — x — i =o n'admet aucun point critique algebrique, 
mais elle admet le point singulier transcendant a^ = — i. 



3o9. Integrales abeliennes. — Toute integralel = / K{x,y)dx, 

ou R(.r, y) est une fonclion ralionnelle de x el de jK? el oix y est 
la fonction algebrique definie par l'equalion F(.r,jK)=o, est une 
inlegrale abeiienne attachee a celte courbe. Pour achever de 
determiner celte inlegrale, il faut se donner la limite inft^rieure Xq^ 
el la valeur correspondanle )'o choisie parmi les racines de l'equa- 
lion ¥{xo^ y)=^ o. Voici quelques-unes des proprieles generales 
les plus iinporlantes de ces integrales. Quand on va du point Xo 



II. — FONCTIONS IMI'LICITES liT ALGEBIUQIES. -29^ 

a un pdliil (|iiclconqiie .r par loiis les clicmins possibles, loiiles 
les valeurs ile rinlrgrale I sorit comprises clans rune dcs forimiles 

I ^= Ix. -!- fn i 10] — ni, Uii -^ . . . -1- ni ,i.<}r, (/>' ^ 1 . 2, ... n), 

I,, I2, . . I« elanl les valours cle rinlegralo (|ui correspondent a 
certains cheinins delerniines, /;«,, m.,^ . . . m,- des nombres entiers 
arbitraires el w,, tOo, . . . to^ des periodes. Ces periodes sent de 
deux sortes; les unes proviennent de lucets decrits aiitour des 
poles de la fonction R(a", y); ce sonl \c?> periodes polaires. Les 
autres proviennenl de contours fernies appeies cycles, enlourant 
plusienrs points critiques; ce sent les periodes cycliques. Le 
nombre des periodes cvcliques distincles ne depend que de la 
relation algebrique consideree F(x, j/)=o; il est egal a 2/?, 
p designanl le genre de cette courbe (n" 340). Au contraire, le 
nombre des periodes polaires pent etre quelconque. Au point de 
vue des singularites, on distingue Irois classes d'integrales abe- 
liennes. On appelle integrates de premiere espece celles qui 
restent (inies dans le voisinage de toute valeur de x\ si leur 
module augmente indefiniment, ce ne peut elre que par I'addition 
d'une infinite de periodes. Les inlegrales de seconde espece sont 
celles qui adinettent un pole unique, et les integrales de troisieme 
espece adinettent deux points singuliers logaritbmiques. Toute 
iutegrale abelieniie est une somme d'integrales des trois especes, 
et le nombre des integrales distinctcs de premiere espece est egal 
au genre. 

L'etude de ces integrales se fait tres facilement a I'aide de 
surfaces planes a plusieurs feuillets, appelees surfaces de Rie- 
mann. Nous n'avons pas a nous en occuper ici. Nous donnerons 
seulement, a cause de son caractere tout a fait eleinentaire, 
la demonstration d'une proposition fondamentale, decouverte 
par Abel. 

300. Theorems d'AbeL — Pour enoncer les resultats plus faci- 
lement, considerons la courbe plane C representee par I'equa- 
tion F(a:, y)z=o,et soil <l>(x, j^)=o I'equation d'une autre 
courbe plane algebrique C. Ces deux courbes ont N points com- 
muns (a:, , )', ), {x^^ jK-j), - • • , (^m X\) ('^ nombre N etant egal au 
prodiiit des degres des deux courbes). Soil R(.r,jK) une lonetion 



296 CHAPITRE XVII. — FOXCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES. 

ralionnellc : considerons la somme siiivante 



,»-,^v,l 



(39) ' ""2 / ^i'r,y)dx 



' 0).' 



K{x,y)dx designant rintegrale abelienne prise depuis 



(J"ov*o) 



un point fixe Xq jusqu'au point x, suivant tin cliemin qui con- 
duit pour )■ de la valeur initiale yo a la valeur finale jk/, et la 
valeur iniliale j'o de 7' etant la meme pour loutes ces integrales. 
II est clair que la somme I n est delerminee qii'a une periode 
pres, comme chacune des integrales elles-memes. Imaginons 
maintenant que quelques-uns des coefficienls rt( , rtoi • ■ •■> (^k du 
polynome 0(x,y)soieut variables. Lorsque ces coefficients varient 
d'une nianiere continue, les points xt varient eux-memes d'une 
maniere continue, et lorsque aucun de ces points ne passe par un 

des points de disconlinuite de linlegrale I K(x,y)clx, la somme I 

varie elle-mems d'une maniere continue, pourvu que Ton suive la 
variation continue de chacune des integrales qui y figurent tout 
le long du cliemin decrit par la limite superieure correspondante. 
La somme I est done une fonction des parametres a,, a2, . • ., «/c, 
dont nous allons chercher la forme analjtique. 

Designons d'une facon generale par oV la dilFerentielle lotale 
d'une fonction quelconque V par rapport aux variables a^, 
<72, . . . , a/t, 

o\ = — - ca, — . . . -1- - — oak. 

Nous avons, d'apres laforinule (39), 

I =1 
Des deux relations F(xi, yi)= o, ^{xi, yi)= o, on tire 

oF , OF ^ f)^ . <?* . 

dxi ' Ofi -^^ ' OXi dyi -^^ 

et par suite 0^:-^= ^'(x/,y/;o<I)/, W{xi.,yi) etant une fonction 
ratio nnelle dex/. I'j, a, , a^, . . . , aA, et <!>/ etant mis pour <^{xi,yi). 



II. — FONCTIONS IMI'LICITKS KT ALGEBRIQUES. 9.()7 

Nous a\iins (lone 

( = N 

( = 1 

le cocnicloni do o^/, clans Ic second inenibre est une foncllon lallun- 
riellc ss nu'lr i(|iie des coordoniK-es dt-s N points (^z, JK<) comimins 
auv deux couibes C, C ; la llieorie dc reliniinalion prouve (jue 
c'esl une fonction ralionnulle des coefncients des doux po- 
Ivnomes F[x,y) et ^(x,y), el |)ar suite une fonclion ralionnelle 
de rt, , (ij, . . . , a/t. II en est evidemmenl de meme des coellicients 
de Srto, . . ., oo/f, et 1 s'obtiendra par Tinlcgration d'une difFeron- 
tielle totale 



= / -lOa, 



:/, ca/,, 



oil-,, -.,, .-., -y^ son t des t'onctions rationnelles des variables «,, 
rto, . . ., (i/f. Or riniei;ration ne pent inlroduire d'aulres Iranscen- 
danles (pie des logaritlimes. La som/ne I est done egale a une 
fonclion rationnelle des coejficients cii, a^, . . ., a/<, augnientee 
d'ltne snninie de logaritknies de fonctions rationnelles des 
niernes coejficients, cliacun de res logarilknics etant ntultiplie 
par an facteur constant. Telle est, soussa forme la plus generale, 
I'enonce du theorenie d'Abei. En langage geoinetrique, on pent 
dire aussi que la sonime des valeurs d' une integrate abelienne 
quelconcjue, prises de/juis une origine commune j usqu aux N 
points d' intersection de la courbe donnee avec une courbe 
variable de degre //j, <I>(x, y)=o, est egale d une fonclion 
rationnelle des coefficients de <I>(x, jk)? augmentee d'une 
somme d' un nombre Jini de logarilhmes de fonctions ration- 
nelles des memes coefficients, chaque logai ithme etant mul- 
tiptie par un facteur constant. 

Le second enonce parait au premier abord plus frappant; mais, 
dans les a|tplications. il faiil toiijours se reporter par la pensee a 
I'enonce analj^lifpie pour evaluer la variation continue de la 
somme 1 cpii conespond a une vaiialion continue des para- 
metres «i, ao, . . . , ak. Le tlieoreme n'a de sens precis que si Ton 
lient compte des chemlns decrits par les N points ^,, x.,^ • • • i -^n 
sur le plan de la variable x. 

L'enonce devienl dune siniplicite reni;irquable lurs(pie I'lnle- 



a»)8 CllAI'lTRE XVII. — FUNCTIONS DK PLISIEUUS VARIABLES. 

grale est de premiere espece. En eflTel, si t:,, 7:2, . . . . r:/; n'elaient 
pas idenliqiiement mils, on pourrail Iroiiver un svsteme de va- 
lours rt, = rt'j a!.=za',. pour leqiiel I doviendrait infini. 

Soient ix' , y',), . . . , (-^n, J^.\) les points de rencontre de la courbe C 
avec la coiir[)e C qui correspond aux valeurs (i\. . . . , «,. des para- 

mrtres. L'integrale / R(\r, y) dx augnicnterait indefinimenl 

lorsque la limile superieure tendrait vers Tun des points (^,-,JK|)> 
ce qui est impossible si l'integrale est de premiere espece. Par 
suite, on a ol = o, et lorsque rti , a^-, • • • , (tk vaiient d'une maniere 
continue, I reste constant ; le iheoreme d'Abel pent alors s'enoncer 
com me il suit : 

Etant donnees line courbe fixe C et line courbe variable C 
de degre m, la somnie des accroissements d^ une integrale abe- 
lienne de premiere espece attache e a la courbe C, le long des 
Lignes continues decrites par les points d' intersection de C 
avec C, est egale a zero. 

Remarqiies. — Nous supposons que le degre de la courbe C 
reste constant et egal a /??. Si, pour cerlaines valeurs particulieres 
des coefficients «,, rto, ..., «a, ce degre venait a s'abaisser, 
quelques-uns des points d'intersection de C avec C devraient etre 
consideres comme rejetes a I'infini, et il faudrait en tenir compte 
dans I'application du iheoreme. Mentionnons aussi cette remarque 
a peu pres evidente que, lorsque quelques-uns des points d'inter- 
section de C avec C sont fixes, il est inutile de faire figurer les 
integrales corrcspondantes dans la somme I. 

'^61. Application aux integrales ultra-elliptiques. — Les appli- 
cations du iheoreme d'Abel a I'Analvse et a la Geometric sont 
extrememenl nombreuses et importantes. JNous allons calculer 
explicilement ol dans le cas des integrales ultra-el liptlques. 

Considerons la relation algebrique 

(4o) y''-= ^{x) = Aoa72/'-2-+.. Aia;^/^^!^-. . . -f- Ao^+j, 

le polynome R(^^) etant premier avec sa derivee; nous suppose- 
rons que Aq pent etre nul, mais que Aq et \| ne sont [«is nuls a la 
fois, de sorte que ^i x) est de degre ip 4- i ou de degre %p -1- 1. 



\ 



ir. — FONCTIONS IMPLldTKS ET ALGKRRIQL'ES. 299 

Soil 0(-c) iin polynonie t[iiclct)ii(jut' de dcgre q\ prenons pour 
ori^iiie line valiMir de .r ii atiiuilanl pas 11 (.f), el soil yo line 
raciiie de Tt'ipial loii » - = R(.ro). Nous poserons 

I'integrale etaiil prise stilvant un chcniin allanl de Xq a .r, et y 
desi|s;nanl la valeiir (iiialp du radical y R(a.") lorsqu'on part de Xq 
avec la valeur ]„. I'oui- ('iiidier le sjslenie des points d'intersec- 
tion tie la courhe (^ representee par iecpialion {\o) avec une autre 
eouibe algt''bri(jue C, on pent evideniment reniplacer dans I'equa- 
lion de cdlc derniere courbe une puissance paire de y , telle que 
)-'■, par [R(j:)]'' et une puissance inipaire j'-'"^' par j^[R(^)]''. 
Ces substitutions etant laites, I'equation obtenue ne renfermera 
plus y qu'au premier degre et Ton |)eut supposer requation de la 
courbe C de la forme 

(40 ro(a7)— /(J7) = o, 

y(jc) et 'J (^) etant deux polvnomes [)remiers entrc eux, dedegres). 
et !ji respectivemenl, dont nous supposerons quelques-uns des 
coefficients variables. Les abscisses des points d'intersection des 
deux courbes C et C sont I'acines de I'equation 

(42) 'bix) = f^{x) - K(x)'y^{x) = O, 

de degre N. Pour certains sjsteines particulieis de valeurs des 
coefficients variables dans les deux poljnomes f{x) et '^(x), il 
pent se faire que le degre de l'e(piatioii soit inlerieur a N; 
c[uclques-uns des points d'intersection sont alors rejetes a I'infini, 
mais les integrales correspondantes doivcnt figiircr dans la somme 
que nous allons eludier. A loule racine xi de I'equation (4^) cor- 

respond une valeur de )' bien drterniinee r/^ -, <' Cela pose, 
considerons la somnie 

''■'''■^'•^Q(x)dx 



nous avons 



, V . .V r "Q(^)dx 

N ^ N 

-, y^Q(x,)Zxi -^ Q(j?,)'i(.r/) ^ 

'>! = > — ■ = > T- — ■ o,r,, 

^ \/\\(Xi) ^^ Ji't'-i) 



300 CIIAIMTRE XVll. — KONCTIONS DE PLISIELRS VAIUABLES. 

car la valeur finale du railical an point x, doil elre egale a j^/, 

c"esl-a-dire a — ,^^- D'anlre part, de requalion ■L(\r/) = o, on lire 
o(Ti) r ' I 

<l'(jri) ojr,-4- 2R(a-,-)o(a"/) oo,— ifiXj) ^j/i= o 
et, par suite. 

V 

V I _ ^. Q(Xi)o(Xi) i fi Xj) \fi 2R ( Xi ) !3 (' .r,- ) 0(5/ 



2: 



1= I 



f(Xi) <1''(^/; 



on, en tenant comple de ['equation (42 ) elle-meme, 



> 



(43) oI=2 



1 = 1 






Calculons par exemple le coefficient de ort/; dans ol, cik elanl le 
coefficient suppose variable de x'' dans le polvnomo f{x); oa/,- ne 
figure pas dans o'^/ et il est muUiplie par x^^ dans 0/}. Le coeffi- 
cient cherche de oa/s est done egal a 

^ '20{Xi)o{Xl)xf _ •^ TziXi) 

j^ <!ii'ixi) ~ ^L<l'{x,)^ 

1=1 i=l 

en posant r(x) = Q(a:)c5(j; )x*. La soinme precedente doil etre 
etendue a toutes les racines de ['equation 6(j:) = o; c'est une 
fonction rationnelle et symelri([ue de ces racines, el par suite une 
fonction rationnelle des coefficients des deux polynonies f{x) 

et 'f(^). On pent en faciliter le calcul en observant que ^777 — — 

izi X ) 

est effal a la somme des residus de la fonction rationnelle , , [ 

o y ( .r ) 

relatifs aux N poles a distance finie X), x.^., • • •, x-s- D'apres une 
proposition generale, cette somme est aussi egale au residu relatif 
au point a I'infini change de signe (n" 310). On obtiendra done 
le coefficient de oa/^ par une simple division. 

11 est aise de verifier que, si Tinlegrale v[x^y) est de premiere 
espece, ce coefficient est nul. On a par hypothese q=p — i; le 
degre de r.^x) est ^ -p ;jl -h A" et Ton a 

y -T- U — A' ^ UL -r- /: -+- /? I . 

Cherchons le degre de '^•j{x). S'il n'v a aucune reduction entre 



II — FOXmONS IMIM.U:lll-.S \:t AI.GKBUIQl KS. 3o I 

ics icnncs d(i plus luiiil dej^re de \{{j-)-y-(x) el dey-(x), on a 

J- ) \ . >/> -+- I -+- -2 |Jl £ N , 

i\ ' 11 

A -- ;-i -+- /> -I- 1 1 N , 

el a fortiori 

A — ;a -(- /J -t- 1 1 N . 

S'il V a\;ul rt'diiclit)!! oiilrc ccs deux Lernies, on aiirail 

inais le leriDe rt/i./'+* ne poiivaiiL se rediiire avec aucim autre on 
aiirail A + A"^ JN, d'ou la nienie in»''f^alile que toiil a fiieure. II s'en- 
suit que Ton a toujours 

9 ^ [JL-^ ^-^N — -2. 

Le residu de la f'onelion ration iielle '," relalif au point a Tinfini 

est done mil, ear le developpenient comnienceia par un lernie 

en — > on de de^i-e superieur. On verra de la meme fa^on que le 

coefficienl de o6a, dans ol, bh elanl un des coefficients variables 
du polynome <p(^), est nul, lorsque le polynonie Q(j") est de 
degre p — j ou de degre inferieur. Le resullat est bien d'accord 
avec la tbeorie yenerale. 

Pi'enons par exeinple '^(.r) = i , el posons 

f{x) = v/Ao^^/^+i -f- af,xi> -\- U/t-ixP-* -h . . .-T- aiT -+- Oq, 

«o> «i 1 .•.,ifp elanl p -\- i coefficients variables. Les deux courbes 

j'=R(^). y=/(x) 

se coupenl en a/; -t- i jjoints variables, et la somnie des valeurs 
de I'inle^rale i'{x\ y) depuis une orij^ine commune jusqu'a 
ces 'Ap -f- I points d'inlerscction est une fonction algebrico-loga- 
rithmique des coefficients rt,,. <i\, . . ., o p. Or, Ton pent disposer 
de ces p -\- \ coefficients de fagon que/?H-i de ces points d'in- 
terseclion soient des points queiconques donnes a I'avance de la 
courbey- = K(^), el les coordonnees des p points reslants seront 
des fonctions algebiiques des coordonnees des (/>-t-i) points 
donnes. 



302 CllMMTHr. WII. — FONCTIONS DE PLl'Sllit'RS VAHIABI.KS. 

La sommo (\c> /> ■+- i inU'grales 

^'(■-^i, Vi ) -+- r(.r,. j'i ) -4- . . .+ i'{a^/,+i, r,,+i ), 

prises depuls une origine coininiine jnsqua p + i points arbi- 
Iraires, est done egale a la somnie de p integrales donl les limiles 
soni des fonelions algebriques des eoordonnees 



(•^1, Ji)' 



i^p+u y p+\ )^ 



aiignienlee de quanliu';s algebrico-logariLliniiqiies. II est clair que 
par des reduelions successives la proposition s'elend a \a somme 
de m integrales, m etant un noinbre enlicr qiielconque superieur 
k p. En particiilier, la somine dun nombre quelconque d'inte- 
grales de premiere espece pent se ramener a la somme de p inte- 
grales seuienient. Celte propriete, qui s'elend aux integrales 
abeliennes les plus generales de premiere espece, constitue le 
theoreme daddilion de ces integrales. 

Dans le cas des integrales elliptiques de premiere espece, le llieorenie 
d'Abel conduit precisemenl a la formule d'addition pour la fonction pu. 
Gonsiderons en effet la cubique normale 



y- 



koc^ — g-i^ — gz. 



et soienl iMi(ari, j'l), '^\i(,x<i,^ y^), ^13(373, ^3) les points d'inlersection de 
celte cubique avec une droite D. D'apres le tbeoreme general, la somme 



L 



(J-iO-i) 



dx 



>/^x^~ g^x — gz 






dx 



\/ l\x^ — g^x — ^ 



est egale a une periode, car les trois points iMj, Mo, M3 sont rejeles a 
I'infini, lorsque la droite D s'en va elle-meme a I'infini. Or, si Ton emploie 
la representation paramelrique a? = ])M, ^ = p'a pour la cubique. le para- 

metre u est precisement egal a 1 integrale / 



) et la 



s/\t^— g<!,X — g^ 

formule precedente exprime que la somme des arguments Mj, u^_, M3 qui 
correspondent aux trois points Mj, Mo, M3, est egale a une periode. Nous 
avons vu plus liaut comment cette relation est equivalente a la formule 
d'addition relative a la fonction pu (n° 338). 



362. Extension de la formule de Lagrange. — Le theoreme general 
sur les functions implicites delinics par un systenie d'cquations simul- 
tanees (I, n" 188) s'etend aussi aux variables complexes, pourvu que Ton 



II. — l-O.NCTIONS IMI'LICITES liT ALGKBUIQI KS. 3o3 

conserve los autres liypotheses de rcnonne. Considerons par excniple les 
deux t'ljuation? simullanees 

( 44 ) P(x.y) = x — a — x/( ./•. V) = o, Q(x,y) = y — /j — 'jioi .r, y ) = o, 

oil X el )■ sont des variables complexes, /(x, y) el o(x, y) des fonclions 

liolomorphes de ces deux variables dans le voisinage du systcme de 

valeurs x = a. y = b. Pour a = o, 3 = o, les equations (44) adnietlenl le 

1 . ■ / . .- D(F, Q) 
svsleme de solutions x = a. y = o, el le delerminant -=— ^^ se reduit 

a lunilc. Done, d'apres le llicoreme general, les equations (44 ) admettent 
un svsleme de racines el un seul tendanl vers a el b respeclivement 
lorsque a el ^ tendenl vers zero, el ces racines sonl des fonclions liolo- 
morphes de a el de j3. Laplace a elendu le pieinier a ce svsleme dequa- 
tions la formule de Lagrange ( n" 'MIS)). 

Supposons, pour fixer les idees, que des points a el b comme centres on 
decrive, dans les plans des variables j; el ^ respeclivement, deux cercles G 
et C de rayons r el r' assez pelits pour que les fonclions y(ar,_;') el o(x, y) 
soienl holomorphes lorsque les variables j" el ^ reslenl a rinterieur des 
cercles C. C, ou sur ces cercles eux-memes: soienl M et .M' les valeurs 
maximum de \f{x. y)\ el de | ^{x, y)\ dans ce domaine. Nous supposerons 
de plus que les consiantes a el j3 salisfont aux conditions M|a|</-, 

Cela elant, donnons a x une valeur quelconque, a I'inteiieur de C ou 
sur le cercle lui-meme; I'equalion Q(a?, y) = o est verifiee pour- une seule 
valeur de y a I'inierieur de C, car I'argument de y — b — ^^o(x, y) 
augmenle de iiz lorsque^ decril C dans le sens direct (n" 307). Celle 
racine est une fonclion holomorphe j'l = tli(iF) de x dans le cercle G. Si 
Ton remplace y par cetle racine yt dans P(x. yi), Tequalion obtenue 
X — a — '■j.J^x, y^) =. o admel une racine et une seule a I'inierieur de G, 
pour la meme raison que tout a I'lieure. 

Soil X =^\ cetle racine, et soilr, la valeur correspondanle dej>', t, = 6 ( J). 
La formule de Lagrange generalisee a pour but de developper suivant les 
puissances de a et de ^ toule fonclion F(^, rj holomorphe dans le domaine 
que nous veiions de definir. 

Considerons pour cela linlegralc double 

X elanl un point du cercle G, P(x, y) ne pent s'annuler pour aucune 
valeur de ^ inlerieure a C, car I'argumenl de x — a — ^/i^,y) revienl 
forcement a sa valeur inilialc lorsque y decril G', x elant un point fixe 
de G. Le seul pole de la fonclion sous le signe integral, consideree comme 
fonclion de la seule variable^, est done le p6le^ = _^i, donne par la 
racine de Q( x, y )= o, qui corres|)ond a la valeur de x siluee sur le con- 



3o4 CHAPITRK XVIl. — FONCTIONS DK PLl'SIliURS VARIABLES, 

tour C. et Ion a. aprcs imc premiere inlegration. 



/. 



F(.r. r )dx 






Le second rnonibie, si Ion y suppose jki remplace par la fonction holo- 
morphe <l/(.r) definie plus haul, admel a son lour un seul pole du premier 
oidre a I'interieur de C, le point x ^=\. auquel correspond la valeur^j = t), 
et le residu correspondant est, comme le prouve un calcul facile, 

2fT:F( \, r, ) 



r D(P, Q) ] 



L'integrale double I a done pour valeur 



I = -4-2 






D'autre part, on peut developpcr -— - en serie uniformement conver- 



genle 



I _ •^ a"'[J"/"'cp« 

(.'/• — a — !xf'){ y — b — 'i'^) ~ Zd{x — a)'"^-^^ — b)''- 

ce qui nous donne I = SJ,„,ia'"P", oil 

1 _ , .^ I P (^^r)[f(^^.r )]'"[?( ^. J-)]" dy 



in= I dx I 



Cette inlegrale a deja ete calculee (n° 332), et nous avons trouve qu'elle 

est egale a 

4 ^2 ()'«+» [ F ( a, b)f"'{a, b ) o"(a, b )] 

m ! n ! da'" db" 

En egalant les deux valeurs de I, on obtient la formule cherchee qui 
offre une analogic evidente avec la I'ormule (Sol (n" 309) 

(f«\ F(c, rj _'^-^ a'«P« t)"'+"[F(a, 6)/"'(«. 6)o''(a. 6l] 



r D(p, Q) i 



Un pourrait obtenir aussi une seconde formule analogue a la for- 
mule (5i)( p. iJi)en posant 

mais les coefficients de cette seconde formule sont moins simples que 
dans le cas d'une seule variable. 



i;\i:ki;i<:ks. 3o5 



EXERCICES. 

1. Toiile combe aliiebiii|iif <j„ do ilfjire // el de <;eiire/> peulse lamcner 
par line transformation l)iralionni'lle a une courbe de de<jre /> -f- '2. 

[On procede cnniMie an n ' ;!i(l. en cinipant la couibe donnee par un 

laisceau de eourbes t.„_2 passant par 3 |jnints de L„ parnii 

Jesquels sont les /* points <loubles. et 1 on pose 

I'equation du faisceau etant oi( .r. j^) -1- ao2(^, 7) -I- [J.03(.r, jj'} = o .] 

2. Deduire de Tevercice precedent que les coordonnees dun point d'une 
courbe de i^enre •>. peuvent s'exprimer par des foiictions rationnelles d'un 
parametre / et de la racine carree d'nn polynome R(0, du cinquieme ou 
du sixieme degre. premier avec sa derivee. 

[On peut conimencer par montrcr que la courbe correspond point par 
point a une courbe du quatrieme degre ayant un point double.] 

3. On con>iidere la cubique C ayant pour equation xyi ax -h by) ^ 1, 
et une droite variable D. La somme algebrique des aires balayees par les 
rayons vecleurs qui joignent I'origine au\ trois points d'intersection de la 
cubique avec la droite I) est nulle, lorsque celte droite se deplace d'une 
maniere quelconque. 

On s'appuie sur ce que I'inlegrale abelienne / .r c/j' — ydx, attachee 
a la courbe G, est de premiere espece. 

4' Soit K = Xj.r -^ ao.r'- -I- . . . le developpement en serie enliere d'une 
fonction algebrique, racine dune equation F(j", ^) = o, oil F(j7, y) est 
un polynome a coefficients entiers, le point de coordonnees a: = o, ^ = o, 
etant un point simple de la courbe representee par F(a:, ^) = o. Tous les 
coefficients OLy. a... . . . sont des fractions, et il suffit de changer x en Kr, 

K elant un nombre entier convenable, pour que tous ces coefficients de- 
viennent entiers. [ Eisknsi ein. | 

[On remarque qu'il suffit d'une transformation de la forme x = k^x' , 
y = ky\ pour que le coefficient <ie r' ilans le premier membre de la nou- 
velle relation soit egal a un. tons les autres coefficients etant entiers.) 



G., II. 



CHAPITRE XVIII. 

fiQUATIONS DIFFfiRENTIELLIiS. 
METHODES EL£.\IENT.\IRES D'INTfiGRATION. 



I. _ FOHMATION DES EQUATIONS DIFFERENTIELLES. 

363. Elimination des constantes. — Considerons une famille de 
courbes planes representees pai- re(|nalion 

(i) Fix, y, Cj, c-,, c„) = o, 

qui depend de n constantes arbitraires. Si I'on atlribue a ces con- 
stantes des valeurs determinees, mais quelconques, les derivees 
successives de la fonction i' de la variable x definie par i'eqiiation 
precedente sont fournies par les relations 

dF dF . 



(a) 



en s'arretant a la relation qui |)erniel de calciiler la derivee 
d'ordre n, on aura en tout (/z + i) relations entre x, jk, v'. 
y\ , . . , y'-" ., et les constantes C(, Co, ..., c«. Leliniination de 
ces /I constantes conduit en general a une relation unique entre :r, 

(3) ^ix,y, y',y'\ ..., y'"^)=-o. 

D'apres la facon menie dont cetle equation (3) est obtenue, il 
est clair que toute fonction definie par la relation (i) satisfait a 
Tequalion (3), quelles que soient les valeurs altribuees aux con- 
stantes c/; on dit que c'est une integrale paiLiculiere de I'equa- 



d^F 

dx- 


dx dy -^ 

d'^F , d'-F ,, c^F „ 

- 5> — y H y--r-^—y = o, 

rJx dy -^ dy^ "^ dy -^ 




0"F dF ,^^ 

dx" dy-^ ~ ^ ' 



I. — FonMVTION DES EQIATIONS DIKKKUKNTIKFJ-ES. 3o7 

lion (lillercnllelle [6). L'riiscinhlc dv ces inU'^MMles particulirres 
est I' integrate generalc cic la iiirmc equalion. I^oiir cmplover le 
langaj;e f^^r-omctriqiif, ce (|iii est soiivt'iil coimnode, nous cliioiis 
aussi que toulc coiirhe representee par I'equalion (i) est nnc 
courbe integrate de I'equalion (3), on que Tequalion (3) est 
re(|ualion diflerentielle de la fainille de couibes consideree. Nous 
vovous (pi(^ tordrc de re(pia'ion diHerenlielle est egal au nonibre 
des conslanles aihitraires donl de[)(iul celle laniille de courhes. 
II esl clair du leste rpie le laisonnenient ne prouve nullemenl (]ue 
I t''(|ual Ktn ( .') ) II adinel pjis d'aulres inlei;rales (|ue celles qui sont 
representees par Tequalion (i); elle pent en elleL (Mi avoir d'aulres, 
conime on le verra uii pen [)lns loin. 

Tout ceci ne s'ajipiique pas aux cas exceptionneis ou reliminalion des n 
paramelres e,- eiitro les ( « -i- i ) relations (i) et (2) coiuluirail a plusieurs 
relations distinctes entre 37, J', ^',^'", , . .,j)'"''. On ponnail nlors en Irouver 
una ne renfermant pas v'"', de sorte que la faniillc do combes consideree 
serait forinee par les courbes integrales d'une equation diflerentielle d'ordre 
inferieur a n. Ceci aura lieu si ces courbes ne dependent en realite que 
de n — p parametrcs (/)>-o); par exemple les courbes representees par 
I'equation F[.r, r, '-i(rt, l>)\ = o ne dependent qu'cn apparence de deux 
parametrcs arbitraires « el 6 : en realite, elles ne dependent que d'un seul 
parametre variable c ■= o(a, b). Mais il peul aussi sc produire un abaisse- 
menl de I'ordre de I'equalion difTerentieile dans un autre cas. Par exemple, 
les courbes representees par Icquation j'^ _ g,a.r^-f- bx- dependent bion 
de deux paramelres distincts a et b, et cependant ces courbes satisfont 
toujours a requatioii y = ^y • Ceci tient a ce que ces courbes se dicom- 
posent en un systeme de deux droites passant par lorigine, el que chacune 
d'elles est une integrale de I'equalion^' = xy'. 



E.vemples. — Les droites passant par un point fixe («, b) sont repre- 
sentees par I'equalion 



(4) 



y — b = Q{x — a), 



et dependcnl dun parametre arljilrairc C. L'climinalion do ce parametre 
enlre la relation precedente el la rclal ion ^'' = C conduit immt'diatement 
a I'equalion dillerentielie 

( J ) y — ^> — y K^ — « ). 

de ce systeme de droites. Inversement, on pent ecrire I'equalion (5) 

\' __ 1 
y — t) X — a 



3o8 CIlAl'lTRi: will. — MKTIlODi:!? Kl.KMKNTAIRLS DINTKGUATION . 

et par suite toutc intcgraU' de oetto equation vi'rilio la relation 
Logiy — If) = Loii(.r — a) -h Loi;C, 

qui est equivalente a I'equation (4)- 

L'ensemble des droites du plan. }- = C,:r -!- Go forme une famille a deux 
parameties, dont I'equation difTeientielle esty=o. I. a reciproque est 
immediate. 

Les cercles d'un meme |)lan 

( 6 ) .r* -I- V- 4- 2 A J" -T- 2 B^ -t- G = o 

formeiii une famille a i paramelres; I'equation difTeretitielle correspon- 
dante doit done etre du iioisieme ordre. Kn dilTerentiaiit Irois fois la 
relation piecedente, il vient 

I x^yj'-h A -1- By =o, J -H y- -hyy -h Br" = o, 
' 3jy' + jy"-i-B^r"'=o; 

I'elimination de B entre les deu\ deinieres lormules conduit a Tequation 
cheichee 

(8) y"(,^_y2)_3yy'2^o. 

Les seules courbes du plan satisfaisant a cette equation sont les cercles 
et les droites. On voit d'abord que les droites sont des integrales, car 
I'equation est verifiee si Ton a y=o, et par suite y"=o. Suppo- 
sonsy^ o; nous pouvons ecrire I'equalion (8) 

y" 'h-'f 



y i-^y^ 

d'oii nous deduisons, Gi etant une constante non nulle, 

Logy= -Logd — j'2) + LogCi, 
ou 

= G,. 



('-7'-)^ 



Une nouvelle integration nous donne 



y 



Gi^r -H Gj 



y/l^y-' 
~ y/i — (Gia^-l-Gj)^' 



II. — K(,>l \IH)\S III I'HlMIKIt OIIKHK. 

en iiUi'L'ianl iMiooio uiie fois, il siciil ciilia 



'{(X) 



ce ijui c>l ri'ijUiiliiJii dim ccrcle. 

On oblienl aiseinent Icqiialion dillVi iiniclli' <lt's roi)i(|iies par la niethodi' 
«uivaiite iiuliquee par llalplicn. Si la coniquL" n'a pas de diieclioii asvmp- 
lolique parallcle a O^, I'eqiialion rt'soiue par rapport a^ est de la lorine 



y — inx -1^ n — y/ A J7'- -i- 2 B ar -i- G ; 
aprcs tlou\ dilTerenliiitiniis, on trouve 

AC - B2 



y 



(Aj:-2-^2B.r + G)2 



(/') ^=(AG — B2) 'HXx-^^-iY^t^C), 

de sorte que y y" ) ^ est 1111 iriiiome du second degre en x. Pour eliininer 
les trois coefficients A. B, C, il suffiia done rie difTerentier trois fois, el 
I'equation dillcrentielle clierchee peut s'ecrire sous forme abregee 






) M = o- 



En ell'ectuant les calculs, on ahinitila I't'-quation 
( 9 ; {o y"'-i — 4 ■'> yy^}""- -+- 9y"'y' = o . 

Le nieme calcul donne aussi reqnaiion dilFcrentielle des paraboles. lin 

• 'Ifet, |)oiii line paraboic, I'on a A = o. et (./") * est un binome dn premier 
degre. L'cquation dillVreniielie est done sous forme abregee 



5^l.^^> •'l = «' 



on, en ellt.'ct iiaiit \e^ calculs. 

( 10 ) 5 y'"- — 'i xV = ^■ 

II. — KOIJVTIONS DU I'I'.KMIKI'. OUDHK 



I oiite r'(|iiiil 1011 (lilk'rciilicllf d ordic //, roniit'-e par relimina- 
ll(jii de.s coiislanles, adiriet iine inliinlc diiilej;! ales deneiidani 
(\e n |)ai a luetic s arl)ili aires. Mai> il ii"e>t mil lerneii I <''\ idciil (uriiiie 



3lO mVPITRK will. — MKTIIODKS KLKMKXTAIRES p'lM KCiRATIOX. 

t''(|iiahon clillV'rcnhollo doniiee a priori possecle ties inl(''j;r,ilos. 
C/csl la nii(M|iieslion londamonlale. que nous reprendrons an Clia- 
pilre simaiit. Noii-^ allons d ahord passer en revue t|uelqiies types 
sinif)les d'ecpialions dilleien lie lies dii premier ordre, donl I'inle- 
i^ralion se ramene a des qiiadralures. L'exislence des inlegrales 
sera elablie par la inelhode meme qui servira a les oblenir. Si, au 
|>()inl de \ue ue la l()L;i(|ue pure, celle luareiie peulelre critiquee, 
nous ohserverons sunplemeni (|u elle est eonfornie a I'ordre hislo- 
rique. 

36i. Separation des variables. — Le ivpe le plus simple d'equa- 
tion ddlV'renlielie esl I equation deja etudiee 

(..) ^=/(.rl, 

ou f{x) esl une fonetion continue, si la varial)le x est reelle, et 
une lonclion analvlique si I on regarde la variable inde|)endante a: 
comnie une variable complexe. Nous avons vu que celte equation 
admel une infinite d'inlegrales que Ton pent representer par la 
lormule 



r=f A^)dx^G, 



la limite inCerieure x^ pouvant elre consideree comme fixe, et C 
designant la constaiite arbitraiie. L'equation 

se ramene a la precedente en y considerant j' comme la variable 
independante et x comme la fonetion inconnue; on en tire en 

rr dx 1 

Ifet -y- = —7 — et par suite 
dy cs(j-) I 






D'une facon generale, lorsqu'une equation difTerentielle du 
premier ordre esl resolue par rapport a la derivee de la fonetion 
inconnue, il esl souvenl commode de I'ecrire avec la notation 
difTerentielle 

(r.3) V(x. y) dx ^^Cli T, y) dy = o\ 



II. — KylATIONS III I'UKMIIU OUDHi;. 3ll 

celle (oi'inc nc |)i(''jiii^(' en ricii It clioix Av hi v;iiialilc liide|)(.'n- 
(l.iiitf (|iii |icul t'lre ./• oil T. Si I'oii vciil siilj.sliliicr aiix variables x 
t.'l )• lU'ux iiouvelles variables // fl r, il suHira de rcmplacer dans 
l'ec|iialion ( i3) .r, r, fix, dy par lours expressions an ino\en de M, 
v^ (III. ih'. l\(Miiar(|iioii> encore ([iic Ton |)ciil. sans changer les 
inlegrales de re(|ua(ion (i3), niiilliplier ou diviser les deux ternies 
par ua nieme faclenr u.ix,y), pourvu que Ton lienne coinpLe des 
solnlions de rec|uation |jl(x, r)^^ o cpie Ton |)eiii ("aire apparaitre 
ou sn|)|)riiner. Les deux cas p.iriiciilicrs (pie nous venons (Je trailer 
se raltaehenl a un procede plus gi-neral, la separation des va- 
riables. Si une equalion tliflerenlielle du premier ordre est de la 
lorine 

(i4) \dx -^\ dv = o, 

X el \ ne dependant (pie de x el dey respecliveinenl, on dil que 
les variables son/ separees. L'eqiiation s'inlegre par des quadra- 
lures, car, si Ion pose 



\J = f \ cl.r ^ r \dy, 



celte equalion jieul s'ecrire r/U ^ o, el rinlegrale generale est 
representee par la relation U ^ C 
Lequation 

( 1 5 ) X Y 1 dx -i- X , \' dy = o, 

oil X el Xi ne d«''pendent que de x, Y el Y, ne dependeiit que 
dejK- se ramene a la forme preci'denle en divisant les deux termes 
par X, ^ ,. Ohservons siir cet cxem|jle rpic litn sii|q)riine ainsi les 
solutions des deux equations X, = o, Y, = o. 11 est clair, en elFet, 
que si r = ^ esl une racine de Y| ^= o, y ^^ b est une inlegrale 
de I'equalion proposee, landis qu'elle ne sera pas comprise, en 
general, dans I'lntegrale generah' de la nouvcllc equalion. 

305. Equations homogenes. — On apjielic equalion liomogene 
loule equalion de la iornie 

(.6) ^=/('^). 

a.r • ^ X / 

oil le second iiiemhro <'sl imc lonclion honiogene de dei^re zero. 



3l2 CHAPITRE Will. — ME TllODKS KI.KMKNTAinKS d' INTECiRATION 

On la ranirne a uiio forme inl('gral)le on posiuil )== u.i\ Ics nou- 

II -11- /v '^y '"^'^ 1 1 ' 

velirs v.irial)lo.s clant .v ol n ; o\\ a en ciicL , ^= n + x -y- ^ el I eqiia- 

a.v ax ^ 

lion (i(S) devienl 

On pent separer Jes variables, en ecrivanl re(|iiation 

dx till 

X /■( u ) — u 

el I'inlegrale generale s oblienl par une (|iia(lraUire 

(I-) X = CeJ f"'-"\ 

il suffira d'v remplacer // par — pour a\oir I'equali<)n des coiirbes 

inlegrales. 

L'eqiiation generale de cetle faniille de courbes est de la 

forme j^^C'j ( — l^ C desiiitiani la conslnnle arbitraire. Elles 

sonl lollies bomolheliqiies a liine d'elles avec lorigine comme 
centre d homothelie, le rapporl d hoiiiollieiie etanl seiil variable; 

car on pent dednire leqiialion precedenle de lequalion x = '^ ( — \ 
en y remplacant x eV y |)ar ^ el r., respectivemenl. Inversemenl, 

etant donnee une iamille qiielconqiie de courbes bomollieliques 
par rapport a lorigine, Tequation differenlielle dii premier ordre 
correspondante est homogene. On pent le verifier par le calcul, 
mais ce resullat est evident a priori; en elTel, les tangentes aux 
(lifTerentes courbes de celle raiiiille, aii\ jjoints de rencontre avec 
line droite issue de I'origine, doiveiit etre paralleles, et par conse- 
quent le coefficient angulairej^' de la langente ne doil dependre 

que du rapport — • 

On ramene a la forme liomogeiie les equations 

dx '. a X -\- b y ^ c I 

ou a. 6, c, «', b\ c' sonl des coelficients qiielconques, b et b' 
n'etanl pas nuls a la fois. II sul'fit en efTet pour que cette equation 



II. KOIATIONS 1)1 I'KKMIKU OltKllK. 3 I 3 

HI I la to line \ oiiliif (|iie I on ;iil r = r = o. ( )r, -i Ion pose 
.r = \ -^ a. y = Y -^ ^, 

\ el \ t'-lanl les iionvelles variables, y. el '"j deux, conslariles 
(jiieleon(|iie>. elle dcv leiil 



d\ ~ ^ \a \ -^ 6' Y -+- a'a ^ 6' ^ ^- c'/ ' 

ef la notivelle ('(ination sera hoino<,M"'ne poiirvii quo I'on ait 

(/ a -^ A 3 -+- f = o, «'a -r- 6' Ji -t- c' = <). 

Ces deux condilions deleniiinent a el |iJ pourvii (|ue ah' — bd' ne 
soil pas nul. iJans le cas parliculier on Ton a ab' — ba' = o, su[)- 
posons b y=. o : nous aurons rt'.r -t- b' y = k(aa: -+- by), A" eta n I nti 
facleiir eouslaiil (|ui a une valeiir linie, el en posani (i x -f- by = u 
TequaLion prend la tornie 

I du _ a / u -h c \ 

Oil les varial)les soul sepaiees. 

36(). Equations lineaires. — Lneequalion diHt'Tenlielle lineaire 
du premier ordie esl de la lorine 

(19) y^ + X;'-T- \, = o. 

X et X, etanl des tonctions de x . Lors(|ue X| '-^ o, oil peuL ecriie 
celle ec|iialion 

( Id ) \- \ ax = o , 

y 

et rinlcgrale gent'rale s obtienl p.ir une cpiadraliire 

_ f\... 

i'oiir intei;rer lequalion conijjlele (19), ou \, esl suppose dit- 
Tereiil de zero, nous cliei< lierons a satisfaiie a eelte ecjualion en 
prenanl \m\\\v y une ex[)ressi()n de la tonne (21), en conside- 
ranl (1. non plus comme une conslanle, inais eoniine une fone- 
tion ineonniie de X. Cela revienl a tair<' le eliaiiyeinent de va- 
rialde J' = \ r, :; t'tant la nouvelie fonction a dc'-lerminer, el Y 



3i i chapurk win. — mkthodks klkment.vires d' integration. 

line cjiieltont|iic des inlej;rales de I'eqiuilion (20). Apres cette 
siihslilulion, r(''(|iialion (i()) devienl, en lenanl comple de la rela- 
tion ( .•.o) a la(|iicllc satislail Y, 

Y -J — hXi = o. 

CIT 

et s'inlegi'e par una ([uadralure. On en lire 

z = — i ~ dx ^ C, 

C etant la conslanle arhitraire. L'inlegrale generale de I'equa- 
lion (19) s oblienl done par deux qaadratures successives. On 
pent encore I'ecrire, en remplacanl \ par son expression, 

( 22 ) y = e-f^'^' (c - /"Xi e.A''-^' drj , 

les liniites inferietires d.ms les deux quadratures pouvant etre 
clioisies a volonte. 

L'inlegrale generaie est une fonction entiere et lineaire de la 
constante d'integration, de la torme y = C /"(.r) -h c2(.2^), ou 
f[x)el '■o(x) sont des lonclions delerminees dtx. Cctte propriete 
caraclerise les ecjualions lim'aires, car, si I'on elirnine la con- 
slanle C entre I'equaliou precedeiite el lequalion 
y = Gf'ix) -i- o'(x), 

on est evidenimenl conduit a une relalion lineaire en y el y' . On 
peul enonccr le rt'-sultal sous une autre forme. Soienl )^, , j^o, ^3 
trois inlegrales parlicidieres de I'equation lineaire, correspondant 
aux valeurs C|, Go, (^3 de la constante C; I'eliinination des deux 
fonctions /"(x) et '-^{x) entre les Irois relations 

jKi = Ci/(.r)-i-Q(.r), y2=Cif{x)^o{x), jks = 63/(3;) -I- cp(a7). 

d* > I?' I* ' y^ '\ — "Y \ " "~ *— '^ — '-J 1 * 1 

uit a I eiralile ^— 7= ;t-> ce qui montre que le rap- 
72 — ri Go- G, 1 ^ ' 

port — — — est constant, pour Irois inlegrales parliculieres 

qiielconques d'une equation lineaire. Si I on connail deux inte- 
giales parliculieres jK), y> d'une equation lineaire, on peul done 
ecrire iinmediatemenl l'inlegrale generale 

~ =^ = const. 



II. — KOIMIONS l»I I'UIMIIIl OUIMU;. 3lJ 

Reniiirqiioiis fMicdrc (|iie,si run «uniiail line sciilc iiilt'<;i';il(' par- 
liculiere I',, on ()l)ii(Mii rint<''i;ralc i-eiierale par line seiile (piadra- 
liire; en eileU en posani r = r'l -+- u, on est conilnil a I t'cpialion 

-J— -f- X // = <). iilenlKpic ;'i li'-ipiation (20). 

3(37. Equation de Bernoulli. — l^cqnalion dc Bernoulli 
(.3) ^^Xj-X.r" = o, 

on n est iin e\|)osanl (piclcoiicpn-. ilillV'rcnt de zero el de riinile, se 

raniene a line eqiialion lineaire en prenanl j)oiir inconniiej>^'~" = :-. 

L'ecpialion precedenlc |)ent en eiVel s'ecriie, en divisant tons les 

lernies par y" , 

I dz .. 

-Jn \z -^ \l = o. 



I — n dx 

' On pent raltacher an type |)reccdent reqiiation 

(aj) o{^)dj'-^'U- )dy -^ kx"'{xdy — ydx ) = o, 

oil A- el m sonl deii\ nonihres qnelconqiies. SI 1 on pose, en efTel, 
y^ ujr. requalion obtenne pent s'ecrire 

dx 

\o(u) -h irh{ u)] -. r- x'l( u) ^ kx"'^- = o, 

•^ ' ' du 

et. en posani x" "*+' = ^, on est conduit a iine equalion lineaire. 

368. Equation de Jacobi. — Gonsitlerons leqiiatinn 

\ { a -r- a' X -i- a!' y ) ( x dy — y dx ) 

I — (b -\- b' X -+- b" y )dy -(- ( c -^ c'.r -+- c" y) dx = o, 

oil a. a', a".b. b' . b", c. c' . f Sdiit fles coefficients constants quelconques. 
[.orsque I'on a a = b = c = o, Icquation rcntre dans le type (•.>4). car il 
suffit de divisei- \yAr a' x -+- a"y. Pour laniener le cas general a ce cas par- 
liculier, posons a- = X -I- a, j = Y -1- 3, X et Y elant deux nouvelles va- 
riables, 3t et 3 deux constanies; nous obtenons une nouvelle equalion de 
memo fornif. qui peul s'ecrire 

, (a'X^a"Y)(X^/Y — YrfX) 
(20/ — [B H-6'X ^ b \ — (\-+- a'\ ^ a'\ )'x - \\\ '/\ 

( _j_ [ G -H c' X -4- c" Y — I A -^- rt' X -^ a" Y ) 3 — AY ] d\ = o, 



3l6 CIIAPITRK Will 

en posaiil 



MKTIIOHKS elkmi:ntairi:s n integration. 



a" 3, 



B = b -r-h': 



6" 3, 



C rr- C ^C'a^-C"p. 



Celle equation ( 9.5)' sera dii type ( 24 ) si Ion a A a — B = o, A ^ — G = o. 
Nous sommes done conrluits a determiner les constanles a, p par ces deux 
conditions que I'on pent ecrire sous forme phis symelrique. en introdui- 
sanl vine ineonnue auxiliaire )., 



X=o, 



B — a: 



A [i = o : 



I'eliminalion des ineonnucs a. ^ conduit a une eciuation avixiliaiie du troi- 
sieme degre pour determiner A 



a — K 
b 
c 



a 

b' - A 
c 



b" 
c" — A 



L'integralion de I'equation de Jacobi i-xS) depend done avant tout de la 
resolution de cette equation du troisieme degre, comme nous le verrons 
un peu plus loin par une autre methode. 



3()9. Equation de Riccatti. — L'eqiiation de Riccatti 



(26) 



g--Xj^+X,j + X,= o, 



on X, X,, X^ sent des fonelions de x, ne peiil pas en general 
s'inlegrer par des qiiiidiatures. Les inlegraies de cette equalion, 
lorsqiie les coefiicients soul quelcoiiqiies, consllluenL des irans- 
cendanles noiivelles, donl on etudiera les j)ropriptes. Mais cette 
equalion se rattache an siijel qui nous occtipe, a cause de la pro- 
priele suivante : si Ion connait une inlegrale particuliere, on 
peuL troiiver L' inlegrale generate par deux quadratures. 

Soit y^ une inlegrale particuliere. Le changemenl de va- 
riable j^=y, -|- z conduit a une equation de meme forme qui ne 
doil pas renfermer de lerme independanl de z, puisque ;; = o 
doit elre une inlegrale; celle equation esl en etlel 



(27; 



^_ -i-rX, + 2Xj',j;;^X^2=o, 



et il suffira de poser -_^=z 11 pour elre rainene a une ('(juation 

lineaire, ce qui demonlre la proposition enoncee. 

De la se df'duisenl |)lusieurs consequences imporlanles. L'inte- 



II. — KQl XTIONS 111 I'llKMlKU olUlltK. ") \ - 

giiilr gt'iH'ralc dv r('(|ii;ili()ii liiUMirc en // fsl dc l.i loiini' ( ii 'M'}{\ ) 

Tintegrale ^(MierHle <\e l'(''(|ualinn de Riccalli est pcir consequent 
d«' lii forme 

'^ - ^^ ^ C/(x)-h<i(x} C/(T)-i-9{x) ' 

Nous vovons que cesl uiie fo/iclio/i rationnelle el lineaire 
de la conslante dinle^ralion. I^Hcij)roqueinent loule e(|ualion 
dinerenliclle du preiuit-r ordre qui posscJe celle propriete esl una 
equation de Ricoalti. Kn ellel, soient /'(^), o(x). y, (:r), '.2,(^) 
qualre fonctions quelcon(|ues de x\ toules les t'onclions j^ repre- 
sentt'es par la formule (28). 011 C est uiie conslante arbltraire. 
sonl des inlegrales d'une tnpiation du premier ordre que Ion 
ol)lienl aisemenl en resoKaiit la iclalion (28) par rapport a C et 
en prenant la deri\ee. On a aiii>i 

r 91— .>"f 

C 7 TT 1 

yt — ./i 

el lequation dinerenlielle correspondanle 

esl bien de la forme (26 ). 

Soient j)^,, j^o, )';(, T'j qualre inle£;rales jiarliculieres correspon- 
daiit aux vaieurs C|. Gj. G;j, C4 de la conslante C. D'apres la 
theorie du rapporl aniiarmonique, 011 a la relation, qu'il esl facile 
de verifier par le caliul. 

yu—y\ Ii — T, C4 — C, C.,— C, 



y. — y<i ' y:^ — y-i '^i — ^^2 <^:t — Cj 

ce qui prouve que le rapport a nharmoni</iie de quatre inte- 
grales particulieres quelconques de V equation de Riccatti est 
constant. 

Cf theort-nie pcrmel de Irouver sans auciine quadralure I inh'- 
grale generale dune equation de Riccatti lors(]ii on en connait 
Irois inli'-grales parliciilicres >',, j'^, y;,. Toule autre inlegrale ^' 

doil elre telle que le rapport anliarmonifiue '■ — : — — — soil 

^ ' ' ' y —y-i y^-yi 



3lS CIIMMTRK Will. — MirniODES ELEMK.NTAIRES n'lNTEGRATION. 

consl;int. On ohliendra clone Tinlegrale genci-ale en eijalant ce 
rapport a uneoonstanle arhilraire; on voit qney sera line fonclion 
ralionnelle el lineaire cle la constanle, ce qui prouvc que la pro- 
priele precedenle n'apparlienl qn'aiix rqiialions cle Riccatti. 

Remarquons enfin ciue, si Ton connail deux inlegrales parlien- 
lieres seulernenl. r, et I'o, on acheve rinlegralion par ?//?<? cpiadra- 
liire. I^n eflel, aprrs la preinlrre Iranslornialiony ;= r, + ^, I'eqiia- 
lion en r- obtenue adniel riiilegrale j'o — J'l ; re(Hialion lineaii-e 

en u a done aiissi iine inleeraie |)arlienlic're connue On 

Irouvera done I'inlegrale generale de I'eqnalion en u par nne 
seule quad rain re. 

Application. — Consideron? une famille de cercles dependant d'un 
paiainetre variable, silues dans un niome plan. Solent a. b. R les coor- 
donnees dii centre du cercle variable et le raj on (les axes etant rectan- 
gulaires); a, b, R sent des fonctions supposees connues d'un parametre 
variable a. Proposons-nous de trouver les courbes qui coupent chacun de 
ces cercles sous un angle connu V, constant ou fonction donnee de a. Les 
coordonnees d'un point quelconque M du cercle C de centre (a, b) el de 
rayon R peuvcnt etre representees par les formules 

ar = a — Rcos6, j' = 6 h- R sinO, 

etant Tangle que fait le rayon aboulissant au point M avec la direc- 
tion Ox. Le probleme revient a determiner cet angle 6 en fonction du 
parametre a de facon que la courbe decrite par le point M coupe le 
cercle G sous un angle V. L'equation diiTerentielle du probleme est done 

-^ tangO 

dx " 

cot \ = 



-tange^ 
" ax 



qui devient, en leniplacant dx et dj par leurs valeurs et reduisant, 

R -; — h 6' COS 6 — a' sin 6 — cotV( R'-^- a' cos 6 -i- 6' sin 6) = o, 
aa 

a b' , R' etant les derivees de a, b, R, par rapport a a. En prenant pour 
nouvelle inconnue lang- = t, nous obtenons une equation de Riccatti 

\ iJ\ -J- — b I] — r^) — ia t 
(29> rfa 

( — col\'[R'{i-^ r^ )-i- a'ii— r-) ^ 2b' t] = o. 



M. — EQUATIONS DU PRKMIER OUnRK. SlQ 

II suffira done de coniiaitro iinc tin jrrinirc pom ohioiiir loulcs Ics autrcs 

par deux quadraliiies. 

Gonsiderons le cas parliculicr dcs Irajecloires orlliogonales ; I'aiif^Ie V 

est alors an angle droit, et la cotarifjente est nulle. Si I'on suppose en 

outre que les cercles consideres ont leurs centres sur nne ligne droile, 

on connait a priori deux integrales parliculieres de iequalion (9.9), 

car la lignc des centres est une trajccloire orlhogonaie et rencontre chaque 

ocicle en deux points. On verifio aiscnient que I'intiigralion n'exige 

(|i)"unL' cpiadrature, car, si Ion a pri« la ligne des centres pour axe des x, 

. , . . ,'ff 
I I'ciualiDn (v.q) se rediiit. ;i K —, a / = o. 

370. :6quations non resolues par rapport a. y'. — Dans les difT^- 
rents cas t|iie nous venous tl examiner, Teqiialion elail snpposee 
resolue pai- rapport 'd y' . Gonsiderons mainlenanl I'equalion gene- 
rale dii premier ordre F[jc, y, y') = o. Soil S la surface repre- 
sentee par I'ecpiation Fia:,y, 5) = o, obtenue en remplacanljy 
par ^. A toute inlt'-gralc jk =,/(-2:^) de I'equalion pro[)osee on pent 
faire correspondre une eoiiihe T represenlee par les relations 

(T) y=fi-T), z = f'{x), 

qui esl siluee lout cnlicrc sur la surlacc S, puisque Ton a 

¥[x,f{x),f'{x)] =0. 

Mais celle courbe F n'est pas une courlie (pielconrpie de la sur- 
face S; Ic long de celle courbe en ell'el y el :; sonl des lonclions 
de X salisfaisani a la relation dy — zdx^o, el celle relation 
garde la meme forme, quand on prend, au lieu de JC, une variable 
iudependantc (|urlc()n(pie. 

Inversement, soil F une courbe situee sur la surface S; les coor- 
donnees x^ y, z d'un point de celle courbe sonl fonclions d'un 
paramelre variable a. Si ccs Irois fonclions x = Ot (a), y = cp2(a), 
z='Si^(7.) salisfonl a la relation rh- = z dx, on peul en deduire 
une inlegrale de 1 equation pro|)Osec. \Ln ellel, les deux premieres 
equations .r = '^,(a), r= 'f2(*-) I'epresenlenl une courbe plane C; 
soil jK =/(-2^) re(pialion de celle courbe supposee resolue par 
rapporl a y. Tout le long de la courbe F on a z =f'{x)^ el par 
suite F[,r, f{x)^ /''(:r)]=o; la courbe C est done une courbe 
inlegrale. II n'j aurait d'exceplion que si cette courbe C se redui- 
saita un point, et la courbe Fa une droile [)arallele a O:;. II revienl 



3j>.0 CllAl'irUK will. — MKTllODKS EI.KMENTAIIiKS I)'lNTK(;i<AT!ON. 

done ail inome d'inlegrer I'equaiion proposee F(x^jr, y') = o, 
oil do chrrclier les coiirbes de la siirlace S pour lesqiielles on a 

dy — z d.r = o. 

Cela etanl, supposons que Ton piiisse expiimer les coordonnees 
d'un point a:, y. z de la surface S explicilemenl en fonclion de 
deux paramelres variables ii, c, 

loute coiirhe F dc la surface S s'obtienl en etablissant une cer- 
laine lelalion entre a el r, et, pour que cetle courbe definisse une 
inlegrale, il fauL el il suffil que Ton ail dy ^= z dx ou 

— i- dii -1- -r dv = '>h(u, (' ) -f- du ^ ~ dv\. 
du di> ' ^ <Jt( ye / 

INoiis avons ainsi une equalion difFereiilielle -i— =7C(^/, t^), resolue 
parrapporl a -j- • II esl clairque la melhode precedenle s'applique 

aussi aux equations que Ton peul resoudre par rapport Ay'. 

Cetle transl'ornialion esl inimediale pour les equations resolues 
par rapport a I'une des variables x on y. Soil par exemple ['equa- 
tion 

(3o) y=f(^,y); 

on peul prendre ici pour paramelres variables x etj)'' = />. La sur- 
face S est alors representee par les equations 

et la relation dy = z dx devient 

^ ' dx dp dx 

C'est le resullal que Ton obtiendrait directement en differentiant 
I'equaiion (3o) et remplacanl y' par p. Soil p = ^{x^ C) I'inte- 
grale generale de I'equaiion (3 i) ; pour en deduire i'integrale gene- 
rale de I'equaiion (3o), il suffira de remplacer jK'pa»' ^{-^i C) dans 
la forniule (3o). 

371. Equation de Lagrange. — Considcions en parliculier une 



II. — KQl ATION'S Itl I'KKMIKU OUDKK. i'21 

eqiKilioM liiit'aire par' iap|t(irl aiix tl(Mix variables .r ft )', 

( 3-2 ) y = T'^[ y' )-h 't>{ y ); 

en dilTerenliant le-; cleiix ineinhics, (.-l desi^iiaiil y' [hii- p. nous 
oblenons rrqualioii 

, dp , , , dp 

Si Ton V considrre /> coinine la vaiiaiile iiuJependante, et x ( omme 
rinconmie, celte equatioo, tjue I on pt'iil ecriie 

[o[ p)—p] -J- -h xo'( p) ^'h'(p) = o, 

est lineaire et sinlrgreia par deux quadratures. Avant obtenu x 
en Ibnction de p, en poitant celte valeur de x dans la formule 

on aura les coordonnees x et )' expriinees en fonction du para- 
metre /? el d'une conslanle arbitraire ('). 

On peut se lendro compti^ aisernonl de la disposition des combes inte- 
^rales, en observant que x ely sont des fonciions entieres el lineaires de 
ia conslanle arbitraire G, 

(33) 37 = GF(> ) + *(/>), r = (:F,i>) -r- ^iC/)); 

mais les fonctions F(/;i). F,(/?j, ^(p), 4>i(p} ne sont pas quelconques. 

dv 
puisque le parametre /? re|)resenle le coefficient an;;ulaire -^ de la lan- 

gente. II faui pour cela que Ton ail F', (/>) =/)F'(/? ),*,(/)) =/><!>'(/>). 
Soienl Fq, I'l deux integrales parliculieres correspondanl aux valeurs G = o, 
G = I de ia conslanle 

les equations ( 33 ) qui represenlent unc integrale queicunque P peuvent 
encore s'ecrire 

( X = C(Xi — T„) -i- Tq. 

Aux points .Mof J-o, ^0 )^ Mi(^i,„Ki), M(.r, y) des courbes Tq, F,, F, qui 

(') Ofi peui. aussi rampiier l'ei|Uiilion (32) a une eijuatiun lineaire au nioyen 
de ia Iransformalion de F^egendre (I, n° 36). 

G., II. 21 



322 CHAI'lTRK Will. — METHODES ELEMKNTAIRES D'iNTEGRATION. 

correspondent a une meme valeiir de p. Ics langenies a ces courbes sont 
paralleles. D'aulre part on tiro do* forniules precedentes 

JK — JKo ^ •^' — -^0 ^ G 
y — ri a' — X\ G — I 

ce qui prouve que les trois points M, Mo, Mi sont en ligne droite et que 

M M ^^ 1 1 .... 

le rapport r-r-r^- est constant. Un a done la construction geometnque sui- 
^ ^ M Ml o T 

vante. Etant donnees les deux courbes To, Fj, on joint les points Mo, 
Ml de ces deux courbes ou les tangentes sont paralleles, et I'on prend 

sur la droite qui les joint le point M tel que le rapport ^rr-rr *^^^ egal 

a une constante donnee K. Lorsque les points Mo, Mj decrivent les 
courbes Tq. T\, le point M decrit une courbe integrate T, et I'on obtient 
I'integrale generale en faisant varier la constante K. 

372. Equation de Clairaut. — Uii cas parliculier reniarquable 
de I'equation de I^agianye avail deja ete Iraite par Clairaut; on 
appelle equation de Clairaut toiile equation de la forme 

(34) y = ^cy'^fiy). 

Suivant la methode generale, dillerentions les deux niembres et 
posons ^' = /? ; nous arrlvons a I'equation 



(35) 






On satisfait a celte equation en posanl -J- = o, d'ou p =z C L'in- 
tegrale generale de I'equation de Clairaut est done 

(36j y = Cx^f(C); 

cette equation represeiile une famille de droites, et Ton verifie 
immediatement que ce sont bien des inlegrales. Mais on satisfait 
aussi a I'equation (35) en annul ant le premier facteur.3:+y'(/?) = o. 
II s'ensuit qu'il existe une nouvelle inlegrale de i'equation (34)^ 
qui est representee par les deux relations 



^^f'iP) 



r =px-hf(p); 



or Telimination de p enlre ces deux relations conduirail precise- 
raent a I'enveloppe des droites representees par I'equation (36). 
L'equation de Clairaut admet done en oulre une integrale qui est 
I'enveloppe des droites formant V inlegrale generale. Gomme 



II. — koiATIONS lU I'HK.MIKK OKIlKK. Bii ' 

on ne peul ohleiiir celte inl»''i;r;il<' en donrianl ii l;i coiisliiiilc (] ime 
\aleui p.ii liciilirre, on tlit (|ii(' c tvsi iiiie intei^rale sin<>uliere. 

On est conduit a une equation He Clairaut quanci on se propose de deter- 
miner une courbe plane par une proprit-te de ses langentes oii n'intervienl 
l>as If point de contact. Soil en elTet j>' =y( J") I'equalion de la courbe 
chercfiee; requation de ia langente etant Y = v'X -)-^ — jy', on sera 
conduit a une lelation enire y' cly — ocy' , c'est-a-dire a une equation de 
<>lairaut. II est clair que dans ce cas c'est I'integrale singuliere qui don- 
nera la veritable solution du probleme. Proposons-nous par exemple de 
trouver une courbe telle que le produit des distances de deux points 
fixes F. F' a I'une quelconque de ses tangentes soit egal d une con- 
stante b-. Soil >.c la distance FF"'; le milieu du segment FF' etant pris 
pour origine, el la dioite I'l" pmir axe des x. on est conduit a I'equalion 
dilTerentielle 

en supposaiit que la tangente laisse les deux points F, F' du meme cote. 
On en ixrn y ^ xy' ± ^ b^ -^ n'-y'-: I'integrale generale se compose de la 
famille de droiles 



J = Ct± v/62-l- rt2C2, a'-= b-^-^ c"^. 
L'iniegrale >inguliere, enveioppe de ces droiles, est I'ellipse 

c'est la vraie solution du prnbleme. 

373. Integration des equations F(a:, ^') = o. ?( y. y' ) = o. — Les 
equations qui ne renlerinenl que I'une des variables x on y s'in- 
legrenl par une quadrature, pourvu (|ue ron jMiisse resoudre la 
relation par ra|)porl ay' ( n" 36i). Lorscpie celte relation est alge- 
brique, y est une inlej^rale abelienne ou la lonction inverse 
d'une inlegrale abelienne. Toules les lois que la relation est de 
genre zero ou de genre un, on peul ex|>rinierx et j' en fonclion 
dun pararnelre variable, soil ralionnelleinent, soit au mojen de 
transcendantes classiques. (>onsiderons d'abord les equations 
F(j^, y')=.o, de genre zero; on peul exprimer y et j^' par des 
lonclions ralionnelles d'un paiamelr*- u, )' ^ /(u), y' = /,(ii), 
el la condition r/y = y' c/x nous donne f'iu du =^ f^i^u^ dx. Les 
variables x et y s'expriiuenl done par les foi imiles 

rf'(u) , 
Ci-;) y=/(u), x^J^j-^^du, 



3a4 niAiMTni: win. — MkriiooES ki.kmkn'tairks d'intkgkation. 
ail movoM (le la \ai'ial»le auxiliaire //. I^e memo calcul s'applifiue 
au\ eqiialitms ¥(Y,y') = o, loiscjiie la relation esl dii premier 
genre; mais on doit prendre pour /{if) et f\{u) des lone- 
lions elliptiqnes, el .r el y s'expriment an inoven des Iransceii- 
danles ,p, :, s" ( n" 33:^). 

On peiil op(M"er de ineme avec les etpialions ¥[x^ y') = o, 
lors(|ue la relation est du genre :e/-o on an; elles se ramenent 
d'ailleurs a la forme precedenle en permnlanl x ely. 

Exemples. — i" L'equation j)'2( v' — !) = (■?. — y' )- est de genre zero el, 
en posant i — jK' = j'a, on en tire y' = i-\-u'^. y= - — «• La rela- 



tion dy = y' dx devient ici d.r = 



u- 



On a done x = (- G, et I'inte 

II 



x — C 



grale generale de lequation proposee est j' ^ x — G 

1° L'equation J''-'' — iy- — 9y*~ r>. k' = o represente, quand on y regarde 
y ely' comme les coordonnt-es d'un point, une quaitique unicursale adniet- 

tant les trois points doujjles ( y = o. y' = o ), ( ^' = — 1/ — - ^ j' = 2 )• 
Nous pouvons, en effet, ecrire lequation precedente 

(/— 2)2(.r'^ i)= (3y'--^iy\ 

En posant d'abord y' = u" — i, il vient ir- = ( ii -^ i)'^( u — 2); si Ton 
pose ensuite u — 2 =3/-, on obtient finalement les expressions suivantes 
de^ et ^' en fonction du parametre L 

y = 3( t ^t^). j'= 3(n_r2)(, 4_3/2). 

La relation dy 1= y' dx se reduit ici a dx{ i -i- t-) = dt; on en tire 

t = tang(.r -H G), 

et I'integrale generale de lequation proposee est par consequent 

y = 3 tangf^r-i- Gj-^3 tang3(a; ~h C). 

3° Soil R(^)un polynome du troisieme ou du quatrieme degre, premier 
avec sa derivee; consid«rons I'equalion dilTerentielle 



(38) 



y^=R(7). 



On a vu plus haut ( n° 336) qu'on peut satisfaire a cette relation du pre- 
mier genre en posant, y=f(^u), y = f (u), f{u) etanl une fonction 
elliptique du second ordre. La condition dy = y' dx devient du = dx ; 



II. — Kyi ATIONS III I'KKMIKH ORDHK. 'i\l5 

Tinlrgrale gent-rale <le requalion ( j8 > est done une fonrlion ellip- 
lique y = /{ T -*- C ). 

Lorsque le polvnome R( y) e?l de fle«,'ie inreiienr a 3, ou lorsque ce 
polviioine. t'tanl ile tle;;re 3 ou 4- "est pas premier avec sa derivee, la 
relation ( 38 i est dii genre zero. On pent exprintier y ct y' par des fono- 
lions ralionnelles d'lin parametre u et, en appiiquanl la melhode precf- 
cedente, on verifie aisement qui' I'integrale generale est une fonclion 
ralionnelle de x, ou une fonction ralionnelle de e"-^. 

.'iTi. Facteur integrant. — La melhode (i'inl<'i;ialion par sepa- 
ration (les vaiiahles a el«^ geneialisee par Euler. Le lai^onnement 
(III 11" ii()i s applique en eOel a lonte equation du premier ordre 

( 39 ) \'{ .r, y )dx -~ Qi jr. y ) dy = o, 

dent les coeflicienis 1^ el (^ (ontiennent a la fois r el ^, pourvu 

, . . t/P <^Q , . , • , • cr 

nue Ion ait — = — ^- (>etli- ( niidition est necessaire et suihsante 
' Or <)x- 

pour (jiie ^ rlx -\- (^d\ soil la (Jilfereiitielle tolale dune fonc- 
lion U(x, y) el celle foiKlion L (x, y) s oblienl, coimne on la vu, 
par des (juadralures (1, n° lol ). L'eqiiation (3c)) est done idcntique 
a I'equalion dVj = o, el I'on j satislail de la facon la plus generale 
en etahlissant entre x eV y une relalion de la forme L(^,jv)= C 
<3n integredonc re(jualion (89) par des quadratures loutes les fois 

que les coefficients P el O verilienl la condition -— = -—. 
T ^ liy Ox 

Pour (|ue la melhode precedente puisse etre appliquee, il n'esl 

pas necessaire que Ion ail — z= — ; il suffit de connailre un fac- 
• ' Oy Ox 

tear integrant, c'esl-a-dire un facleur 'x[X,y) lel que le pioduil 

ix.<, X, y )\V dx -^ ii dy] 

. ... , ... ,,. . , ... , Oi U.P ) OiiiQ} J , 

verihe la condition d inU-tfrahilile — ■ = — -, ou, en deve- 

~ oy Ox 

loppant, 

„ da ^ diJ. /dp on 

La recherche des fa(-leur.-> intt'-granis est done lamenee a Tinte- 
^lalioii de lecjuatiou precc'deute, qui esl une equation aux derivees 
partielles du premier ordre. II semble qu'en operant ainsi on fait 
(h'pendre riiiteji:ralion de requalion (Sp) d'uii prohleme en appa- 
reiice plus difficile; mais il esl a remarquer (|u il sullil de con- 



S26 CllAI'lTUK Will. — MKTIIODKS KI.KMENTAIRKS o'lNTKOHATIOK. 

iiailrc line solution parlicidiere de lV(|unlion (4o) pour pouvoir 
appliqiier la nn'-lhode, et Ton pent, dans bien des cas, trouver 
line intei;rale parlicnliere de I'eqnation (4o) par des precedes 
phis ou inoins direcls. C-herchons par exemple dans quel cas 
reqnalion 1^09) admel un lacleur inlt'grant ne dependant que de x. 

CM I on suppose -7-- = o. 1 equation (40) devient 

O^ = /^_^\ 
^ dx ^''\dy dx j' 



dy 



Oil 
dx 



d'\^ dor 
et Texpression -^^^ — pr doit etre independanle Ae y\ s'il en est 

ainsi. on obtienl un ("acteur integrant a par une quadrature. Suppo- 

dP . , 
sons de plus Q = i ; alors — doit etre une fonction X de la va- 
riable .r, et I'equation (Sg) est une equation lineaire 

dy -f- ( X V -4- X 1 ) Hx = o. 



(39)' 



/ 



L'equation (4o) admet la solution ix^ €'-''<> , et I'on verifie 
aisement qu en multiplianl I'equation (-^9)' par ce facteur on a au 
premier meinbre une difFerentielle exacte 



/ 



{dy -^ \y dx -<- Xj dx) 



(I Xrfj /•»• / Xrfjr \ 

je" •» » ■+- I Xt e'^'o dx I = o ; 

les calculs a efTectuer pour I'integration sont exactement les 
niemes que dans la premiere methode (n° 366). 

Nous demontrerons plus loin que I'equation (4o) admet une 
infinite d'inlegrales, sous des conditions tres generales qui sont 
loujours remplies dans les cas qui nous occupent. Si Ion connail 
i/n facleur integrant |i , , on pent obtenir tous les autres de la facon 
suivanle. En posant jj. = [jl, v, I'equation (4o) devient 



(40/ 



^^■-<it--' 



or on connail une fonction satisfaisant a cette relation : c'est la 



11. — EQUATIONS nr PREMIKR ORDHK. 3^7 

fonclion U (:r, r) donl la dinerenlielle tolale est pi, ( P r/.r -t- () dy), 
puisqup les derivees parlielles — > — sont eg;ales a ^x^ P el a a, Q. 

^ , . (>^ dU c*v d\J . , 

Un a done aussi -r- -r -— = o cc qui prouve (iiie v est ne 

oy ox ax ay ^ '^ ' 

la forme 'j(U), et I'expression geiierale des facteiirs inte<^ranls 

esl !A = u.jcp(U), 'J etanl iine fonclion arbitraire de U. II esi aise 

de verifier que ix esl hien un fa<Uenr inlegrani, car de I'idenlite 

Ix^iV clx^(ldy)= rfU 

on deduil, en nuillipliani paro(U), 

}jLi -jl L" )[ P(x, jK ) ^37 -t- Q(ar, J' ) dy\ = cp( U ) ^U, 

el le second membre esl la ditlerenlielle exacle de la fonclion 



F(U)= C'.u{\])d\}. 



On deduil de la une consequence interessanie : uL( el uia elanl deux 

facteurs inlegranls, le rapport - esl une fonclion de U. Si ce rap- 

port nest pas constant, I'inlegrale generale de I'equalion diHeren- 

tielle pent done sVcrlre — = const. 

Le iheoreme qui precede pent servir quelquefois a Irouver un 
facteur Integrant. Considerons I'equation differentielle 

(4 1) Prfa;-+-Qrfj + Pi</j- -f-Qic/)' = o, 

oil P, P, , Q, Q, sont des fonctions de x, y, et supposons que Ton 
sache Irouver un facteur integrant pour chacune des expres- 
sions P dx H- Q dy, \\ dx H- C^, dy . L'expression generaie des fac- 
teurs integrants pour P t/or 4- Q rt[y est [ji.cp(U), a. elant le facteur 
connu, U une fonclion de x et dej>^ que Ton obtient par des qua- 
dratures, et C5 une fonclion arbitraire. L'expression generaie des 
facteurs integrants de P( c/a* -h Q, c(fy est de inenie [i.,'i>(U|), u, 
el U( etant des fonctions determinees el •!» une fonclion arbitraire. 
Si Ton pent choisir les fonctions cs et '\ de (aeon que Ton ail 

jJL'f (U) = fX,-I/(U,), 

on aura un facteur integrant jjour i'equation proposee (4')- 



S^-S oiiAPiTni-: xvni. — mktiiodks ki.kmkntairks niNTEonATioN. 
Soit. par e\em|ilo. I i(]iiali(>n 

a.r ilr -r- bv dx -\- .r"'y"{ olt dy ■+- \>y dx) = o, 
a. b. 1. 3 ftanl <les constanles. Tout farteur iiite^ranl dc a x dv ^ by dx 
est de la Ioiiih' — iir''!"'), ct de iiieiiie loul factcui iiilcLnant de la 

XY • 

«econde nartie o<t de la fornie — ; •]/(j'fly*K }^<iiir avoir un facteur 

I j-«( -t-l y/l-t-l • -J 

integrant oonimiin il sullira de trouver deux e\posanls/> et q tels que Ton 
ait x'"y"{x^y" )''= ix^y^)'/. ce qui eonduil au\ eondilions 

pa — <7 a -K /J = o, pb — g'^j -\- m = o. 

Ces conditions sonl compatibles pourvu que « |i — boL ne soil pas nul, et 
deterniinent un facteur inteirrant de la forme .r^'j'^. Kn uiullipliant par 
ce facteur integrant, lequatioii pr<nd la forme i/'^'r/i" -i- t'^' r/cj = o, oil 

Ton a pose v = x^'y'^, Vi = .rP k^, el *'integie immediatemenl. 

a 3 
Dans le cas parliculier ou «3 — 6a = o, on en tire— = -j = X: et 

a b 

Tequation peul seorire (ax dy -f- by dx)i i -i- A-x"'y") = o. 

Remarque. — Quand on coniiail rinli'i;rale generale d'une equation 
dilTerentielle du premier ordie, il c^t bien facile d'oblenir un facteur inte- 
grant. Soit, en elTet, /"(j-. j' ) — G rintegrale generale de I'equation (Sg). 

L'equation dilTerentielle des courbes representees par cette relation est 

aussi -^ dx -\ — ~- dy = o : pour quelle soit identique a l'equation (Sg ), ii 

- ,, . Ox t>' , I 1 , 

laut que I on ait — — = — j — > et la \aleur eoinmiine des deux rapports 

precedents e-t evidemment un facteur integrant pour P dx-k-Q^dy. Tout 
autre facteur integrant est egal a celui-la multiplie par une fonction 
arbitraire de fix, y). 

375. Application a la representation conforme. — La llieorie 
du facteur integrant Iro'ive une application imporlanle dans le 
prohleine de la representation conforme. Soil 

ds^ =^ E du'^ — ■>. F du dv -h G dv- 

une forme (|iia(lrali(jue en du, r/c, doni les coerficienls E, F, G 
sonl des fonct ions analvtiq lies de a, r. lelles que EG — F- ne 
soil pas nul. On pent encore ecrire ds- sous la forme 

ds- = { a du -\- b dv){a\ du -f- b^dv), 

a, h. «,, 6, elant anssi des fonclions anaKtitpies de «, v. D'apres 



II. — Kyi'ATIONS Ml I'KKMIKIl (iKItHK. Sag 

nil resnilat qui sera diMiKniIrt" plus loiii eii huilc rij;ucur, chacun*^ 
des expressions a (III -\- h (h\ (/ i (/ii -^ h, di' adinel line iiiliiiile de 
I a el I'll IS iiil(i;i aiils. (|iii son I ni \- iiiriiirs des loiiclions aiialvli(| ues ; 
u, a, (iaiit d('u\ dc ccs lachiii^. on a Ics idenlil«''s 

!J.( a (hi -r- Ij (h ) = (l\j , [Jt] ( "i fill -^ b\d\> ) =■ d\} \ 

el. par suite, 

[jL ;ji| (Is- = r/L (/Uj, 

ce (|ui peiil eneore s'eenre, en posaiil 

K fii,i H- > F dii (Iv -h G dv^ = X ( f/\2 -1- dY^ ). 

Tonle surface aiial\ I i(pi<' pciil done elre representee sur un |dan 
av«e conservalion des anj^les. Si la surlaee eft reelle, on pent snp- 
poser (jiie les points n'-els de la surlaee e.orresponden I a des valeurs 
iielles des variables //, e; les coefficients E, F, G son I reels, tandis 
(lue a et a^ sont iinaginaires (;onjuguees, ainsi que b el b\. On 
pent alors prendre pour u. el [j.|, et par suite pour U et Ui, des 
ima«;inaires eonjiigiiees, de soite qii'a des valeurs reelles de w, v 
coriespondroiil des valeurs reelles de X et de Y. A des points 
reels de la surface (;orresj)ondenl done des points reels du plan. 

1 oule surface analvli(|ue poiivant elre representee sur un plan 
avec conser\ation des aiij;les, on en concliit que deux snrlaces 
analvti(]ues quelcon(|iies peuvent etre lepresenlees conlorinement 
lime sur I autre. 

37(). liquation d'Euler. — Des artilices tres varies on! ete em- 
ployes pour inleyrer des e(|ualions dilTerentielles de loruie parti- 
culiere. Euler en a doniK' un exeinple celebre avec re(|ualion a 
lacnifdlc; son noni est reste attache, 

dx dv 
v/\ /Y 

ou X el Y sont deux pcdvnoines du (|uatrien)e dej;re en jc el ^ 
respeclivement, ayant les meines coefficients, 

X = rt(,.r*-4- UiX^-h a.2X-->r- a:iX -+- a^, 



33o CHAPITRE XVIII. — METHODES ELEMENTAIRES D'iNTEGRATION. 

Les variables etant separees, on obtient Tinlegrale generale de 
requation (4^-) par deux quadratures, qui introduisent deux fonc- 
tions transcendantes, dependant respeclivement de .r et de^'. La 
decouverle fondamentale d'Euler, qui a ele le point de depart de 
la theorie des fonclions elliptiques, c'est d'avoir montre que celte 
relation entre les variables :r etj', qui est transcendante en appa- 
rence, est en realile algebrique. 

Considerons d'abord le cas ou X est un polvnome du second 
degre non carre parfail; une substitution lineaire permet de le 
ramener a la forme X = A(x- — i), et I'equation (42) devient 
dans ce cas [)articulier 

dx dy 



(43) 



y/i — -r- \J I — r- 

On pent encore I'ecrire, en cliassant les denominateurs, 



\J \ — K^ dx -r- \J I — x- dy ■=. d\x \T~y^ 

f dx 

-^xy\ 



V y/ 1 — x'- ) 



\ \/i — T''- 
ce qui montre (|ue Ton a identiquemenl 

d{x y/i — y'^ 



'■-^y /i — .7-2) 
/( I — :r» )( I — y'^) — 



xy 



dx 



y/ I — JK^ 



dv 



= o. 



y.-. 



V'l 



v- 



r/expression ^ (1 — •^")(,i — V') — ^'y est done un facteur inte- 
grant pour I'equation (43), et Tintegrale generale est donnee par 
la formule 



(44) x\/i—y^ 

ou par la formule 

(45) 



r 



v/i_x2= G. 



v/( I — ^^)(i — y-) — ^y — C'. 

puisque I'equation (43) admet les deux facteurs integrants i 
el \J{\ — -c^)(i — .)'-) — xy. On veiifie du reste aisement que les 
deux formules (44) et (4^) sont equivalentes, d'apres I'identite 



( X v/ 1 — y- -r- y /i — x-Y -H [ /( I — X- ){ \ — y- i — ryy — 1 . 
En rendant la deriiiere formule rationnelle, on peut ecrire Tin- 



II. — Kor.VTID.NS IX I'HKMIKU OIUtRK. 3'3l 

tegrale o^enrrale de reqiiation (4'^) sons la forme 

(46) x*-\-y'^-h -^C'xj- -h C'-— \ = o, 

C designanl uno conslanle arhitraire, el cetle equation reprt'sente 
des coniques langenles aux (jiialre droites x = zh \ ^ y = zh i . 

Par line induction bardie, Etiler a ete conduit a une formulede 
meme espece, mais plus gen^rale, qui convienl au cas ou X est un 
polvnomo quolconque du troisieme ou du quatrieme degre (In.sti- 
tutiones calculi inteiinilis, t. I, C^hap. V et VI). 

Soil F(jr, r) un polvnome a deux variables x elj^, du second 
degr^ et svni(''lri(|ne par rapport a ces deux variables, 



(47) 



\ V (x, y) =z kxX^Y'^-^ kixy{x -^ y ) 



-I- k:iix^->^y'^) -H \.'^Ty ■+- Asfj- -^ y) ->r Ag. 



Ce polvnome depend de six coefficients arbilraires A, , A2, A3, A^, 
A5, Ac, et la relation ¥[x,y) = o pent s'ecrire sous deux formes 
equivalentes 

I ¥{x,y) = iMx^-K N^ -H P = o, 

) F( 37, jK ) = M, 37* H- N, a? -I- P, = o, 

M. N, P etant trois polvnomes du second degre en x 

M = A,3"«-+- A,J" — A3, N = A,a72-i- AiJ- -f- A5, P = Aj-r^-H As^^-t- As, 

et Ml, N,, P, les polvnomes obtenus en remplacant .r par j' dans 
M, N, P. De la relation ¥ {x,y) =: o on deduil ¥'j.dx -\- ¥ ydy = o, 
ou, en remplacant F'^ el F'^. par leurs expressions, 

(49) (-fMiX ^^i) dx -h (iMy -i-?i) dy = o. 

On tire d'ailleurs des relations (4^) < 

2 Mj -^ N = ± v/N2— 4 MP. 9. M, .r ^ N, = d= /Nf — 4 .M, P,, '^tCiU 

et la formule precedente (49) pent encore s'ecrire 
dx dv 

(30) 



^3t^-3 



Cette relation sera idenlique a I'equation proposee (4^)? pourvu 
que Ton ait N'' — 4^^!^^=-^; ce qui enlraine necessairement 
N'; — 4M, P, = Y. Or M, N, P etant du second degre, N' — 4 MP 
est du quatrieme degre, et Ton est conduit a ecrire que deux 



332 CHAPirUK will. — Ml TlldltKS KI.K.M ENTAl BKS D INTK(.HATION. 

polvnoines dii (jiialnrme ileijre soni idenlifjiies, ce (jiii exige cinci 
ctindilions stMileiiienl. Comtne on ilispose de six coef licienls A/, 
Oil voit qu'iin de ces coelUcienls resler^ arhilraire. II v a done 
uiu- infinite de polMioines F{x,y) de la forme [i~). dependant 
dime eonstanle arbitiaire C, et tels (pie de la lelatioii 



(5i) 



F(x, r ) = o, 



entre les variables r et i'. on puisse dednire la relation (42). 
Celle relation (5i) represente done rinlegraJe i;t'nerale de I'equa- 
tion proposee. 

La (ielerriiinaiion elTeclive clii polynoine F (x, y) e\'\<^e un calcul d'iden- 
lification que Ton peul simplifier par une representation geometrique due 
a Jarobi. Considerons. pour prendre le cas general, un polynome du qua- 
triemc degre R(0 premier avec sa derivee. el soienl /), t-,, t^, t„ les 
racines de R{ / ) = o. Soit, d'autre part, S une conique qiieiconqiie dont les 
coordonnees X el y sont exprimees en function du paramelre variable / 
par des fractions rationnejies du second degre, de facon qu'a un point (T.y) 
corresponde une seule valeur de t; appelons mi, m^, m^, nij, les points 
de S qui correspondent aux valeurs ti, t-i, t^, /^ <iu paramelre. Eiifin 
soit I.' line seconde conique passant par lesquatre points mi, nio, m^. m^. 
Toute droile langenle a S' rencontre S en deux points iVl el M'; si t el t' 
sont les valeurs correspondantes du paramelre. la relation enlre t et t' est 
de la forme cberchee. Jl est evident, en effet, que celle relation est sjme- 
trique en t el t', el quelle est du second degre par rapport a cliacune des 
variables: car par un point M' on peul mener deux langenles a X' el par 
suite a toute valeur de i' correspondent deux valeurs de t seulement. 

Soit 



(52) 



Fit, t') = o 



celle relation; on en deiiuil, comme nous venons de le voir, une relation 
enlre les differeniielles dt, dt' , de la forme 



(53) 



dt 



dt' 



yJV{t) >JV(t') 



P(<) etanl un polynome du qualrieme degre. Ce polynome P(<) est 
identique a un facteur constant pres d ^it). En elfet, d'apres la facon 
meme (que Ton vienl d'expliquer) dont on deduil le polynome l'(^) 
de F(^. ^'j=o, les racines de P(i) = o sont les valeurs de < pour 
lesquelles les deux valeurs de t' sont confondues. Or, la signification geo- 
metrique de la relation (32) montre immediatement que ceci ne peut 
avoir lieu que si les deux tangentes a S' issues de M sont confondues, 
c'est-a-dire si ce point M est Tun des points m.^, m.^, m^, nt<,. Nous somnies 



I:q1 ATKINS 1)1 I'Ur.MIKU OlUlKK. 



333 



donr rondiiit> a la mothodc suivante, nexij^eant quo tlo>; ralfiiU ralioiincU, 
potir oblenir I'iiitegrale iieiuMale de rcqiialion 



(54) 



dt 



,li 



\l'\\{t) ^\\(f ) 



oil R(/) = «o'*-+- fli ^^ -•- ''s^'-t- «3 ' -i- «4t n"i "•- dillere que par les nola- 
lions de I'equation pniposee (ji). On roinnieiicera |)ar loiniei' loqualion 
{^eni'iale dcs coiiiques X' passant par les quaire points /?j,, //j.2, //is, /n^ 
de S; cette equation est de la forme /"(j-, j'j-H Ccp(ar, ^) = o, G designant 
une constante arbitraire. Puis on ecrira la condition pour que la droite 
joignanl les deux points M ct M dr X. qui correspondent aux valeuis ^ 
t' du paranielre, soil tangenle a X'. La relation ohtenue, qui renferme la 
conslante arbitraire C, rt'|)resenle I'integrale generale de I'equation d'liuier. 
Pour tievelopper les calculs, prenons pour Z la parabole j^^ = a™, et 
posons T = t^, y = t. La conique S' representee par I'equation 



(55) 



A x- -t- A' v- -^ 1 B'.rr -J- 7. \V T -+- a Bk ^- A" = o 



coupe X eii (|uatro poitiis. doimcs pai- i'equation du quatrienie degre en / 
que Ton olitiendra en reinplacanl r par /'- et i' par f. Pour que cette 
equation s(jii idenlique a K(/ i = o. il siiffira que Ion ait 

(56) A = c?o, A' -f- 2 B' = 't-i. t. B" = rt|, 9. B = as, A" = a^. 

Le coeKicienl B' reslant arbitraire, nous poserons B' = C, ce qui donne 

A' =: rt2 ~ 2G. 

Rappelons maintenant que I't-qualion langentielle de S', c'est-a-dire la 
condition pour que la droite aa" -i- ^r -+- y ^ ^ ^•^'•^ tangente a celte 
conique, est donnee par I'equation 



(57) 



A 

B" 
B' 



B 
A 



B A" 



La droite joignant les deux points (^-, t) el (f'"^, t') de S a pour equa- 
tion 

X — y( t -^ I' )^f- It' = o\ 



nous pouvons done prendre 

a = I, S = — (/-(-/'(. 



y = tt 



En subslituanl les valeurs obtenues [)our A, B, A', B', A , B', a, p, y dans 
la condition (57), et remplacant t et /' par J7 et ^ respeclivenjent, nous 



334 CllAPlTRE Will. — MKTHODKS El.EMENTAlRES d'iNTEC.RATION. 

parvenoiis a rinlogiiile geiu'iale ile I'equation d'EuKr sous la forme «iii- 
vante indiqnoe par iM. Slieltjes 



^58^ 



2 



«3 



— rto — iC — — (x-hy) 

1 ' 1 

C — aj ary 

I — (x -^ y ) xy o 



Celle equation represente une t'annille de courbes du quatrieine degie, 
ayanl deux points doubli^s a linfiiii surO.r el O k respectivement. L'equa- 
tion elant du second degre par rapport a la constanle C. il passe deux 
courbes de la famille par un point quelconque du plan: ce qu'il etait 
facile de prevoir puisque I'equation diHerentielle proposee donne deux 
valeurs opposees de^' pour un merne point {x,y). Ces deux valeurs de^' 
ne deviennent egales que si le point (x, y) appartient a la courbe XY = o, 
qui se compose de quatre droites D,, D.,, D3, Dv paralleles a I'axe O^, et 
de quatre droites Aj, A?, A3, A^ paralleles a 0:r. Ecrivons I'equation d'Euler 
sous forme entiere Y dx^ — X dy'^ = o, et prenons un point M(x, y) sur 
I'une des droites, A] par exemple, n'appartenant pas au\ droites D. Four 
les coordonnees da point M, on a Y = o, X ;?^ o, el ['equation d'Euler 
donne pour y' une racine double, ^'=0. Par ce point M il passe une pre- 
miere courbe integrale, la droite A| elle-meme. Mais on pent verifier que 
les courbes representees par la formule(58) admettent pour courbe enve- 
loppe I'ensemble des huit droites donnees par I'equation XY = o, de sorte 
que par le point M de Aj il passe une nouvelle courbe integrale tangente 
a la premiere. Nous avons ici un nouvel exemple d'integrales singulieres, 
car les huil droites U/, A, ne sont pas comprises parmi les courbes repre- 
sentees par I'integrale generale. 

Remarque. — iXous avons suppose, pour parvenir a la formule (58), 
que le polynome ^{x) etait du quatrieme degre et premier avec sa derivee. 
Mais il est clair que le resultat est susceptible d'une verification direcle, 
oil cette hypothese n'intervient pas. On pourrait, par exemple, former 
I'equation differentielle des courbes representees par I'equation (58) en 
appliquant la methode generale (n" {i63) et I'equation obtenue serait 
forcement identique a I'equation d'Euler, quelles que soient les valeurs 
des coefficients ao, aj, ..., 04, puisqu'il en est ainsi lorsque ces coef- 
ficients ne verifient aucune relation particuliere. La formule (58) con- 
vient done a tons les cas. 



377. M6thode d6duite du th6oreme d'Abel. — On pent aussi deduire 
tres aisement I'intpgrale generale de I'equation d'Euler du theoreme 



II. — EQUATIONS nU PRKMIKR ORDRE. 335 

(I'Abel. Dcsigiions mainlcnanl par R{x) un polyiiome du Iroisieme ou du 
quatrieme degre, premier avec sa derivee, et considerons la courbe G qui 
a pour equation y- =^ R(x). Si une courbe algebrique variable C ren- 
contre la courbe C en trois points variables seulemeiil, iMj, .Mj, Mj, on a 
(lemon t re ( n" 361 ) que les coordonnees {xy, yi), (x^, j'2), (^3, J's) de ces 
trois points variables satisfont a la relation 

. . dxi dxo dxy 

{ 59) H : H = o. 

yi y-i rs 

Si la courbe secante C depend de deux parametres variables dont on peul 
disposer de fagon que deux des points d'intersection (a-,, ^, ), (x-,, y^) vien- 
nent coincider avec deux points queiconques donnes a I'avance de G, les 
coordonnees (J^a, J'3) du troisieme point d'intersection sont des fonctions 
des coordonnees (a:,, ^, ; x^, y^) des deux premiers satisfaisant a la rela- 
tion (59). Lequation — - -^ :=o est done equivalente a I'equa- 

lion = o. dont I'integrale generale est X3 = const. Or les points {xi,yi), 

(Xi, yi) elant sur la courbe G, on a vf = K(a^, ), j^l = R(a;2), et I'equa- 

dxi dx2 ,, , . 

tion -\ = o. que 1 on peul ecnre 

71^2 

,. ^ dxi dx', 

(60) , -^ , =0, 

est, sauf la difference des notations, identique a I'equalion d'EuIer. Dans 
la formule qui donne I'integrale generale 

(6i) jTs = F(:Fi, j'l ; .r.,, ^2 )= const. 

on doit remplacer y^ et y^ par \/R{xx) et sj^i^x^) respectivement, les 
determinations des deux radicaux etant les memes dans les deux for- 
inules (60) et (61). Nous obtenons ainsi, pour I'integrale generale, une 
formule renfermant des radicaux, tandis que la formule ( 58 ) est rationnelle. 
Mais la forme irrationnelle est dans certains cas plus avantageuse. 

Developpons les calculs en supposant le polynome R(^) ramene a la 
forme normale de Legendre R(a7)=(i — a72)(i — ^'^.r*), k} elant diffe- 
rent de zero et de I'nnite. La parabole G' 

(62 ) y = ax^ -H 6a7 -4- I 

rencontre la courbe G^ representee par I'equalion y^= K{x) au point 
(ar = o, _>' = f)et en trois points variables dont les abscisses Xx, x^, X3 
sont racines de I'equalion 

(63) («2_ ^2 ,^3_^. ^abx^-i- (62-t- la -+- k^-i- i )x -+■ ib = o, 
obtenue en eliniinant j>' ft suppriniant le facteur x. 



336 CH.VI'ITRK Will. — MKTIIOltlS Kl.KMKNT.VIRKS DlNTEtiKATlON. 

On (lotluit lie celte equation los relations 



A-^—a^ 



Xi X2 -+- x., x-s -+- .r 1 x^ 



b-i 



-4- A-'- -I- I 



- — /.- 



Xi Xi X-i = j-;- 



et, par suile, 

(()4 I Xf-^- X2-\- X3= aXiX^Xs. 

Mais en ecrivant que la parabola C passe par les deux points (j-i, ^i ), 
(.To.jj's), on peut ileterniiner a et b. On a en particulier 

ax.X', = I -^ ■ : 

^1 — Xi 

poilant cette valeur de a dans la foiinule precedente, on obtienl finale- 
meiit I'expiession de x^ au nioyen de ^i, >'i. x^, y^, 



X-i 



(65) 



^2 Vl — -^l 72 

L'integrale gi'-nerale de I'equalion d'Euler 
dxi dr. 2 



v/R(.r,) \/\\{x.) 
est done representee par la formule 

(66) ^,= -^r-^? 



= G. 



x-i \/SX( r\ ) — J', \^K{x., ) 

378. Applications. — Quand on cherche a determiner une 
courbe plane par une relation donnee ¥(^x^y, m) =^ o enlre les 
coordonnees (.r, )) d'un point de cette courbe et le coefficient 
angulaire m de la tangente en ce |)oint, les courbes cherchees 
s'obtiennent evidemnient par Fintegralion de I'equation differen- 
tielle du premier ordre F(^, j^, j'') = o, que Ton deduit de la re- 
lation donnee en y remplacant m par i'. Si cette equation est de 
degre q en y' , il passe en general, comme nous le demonlrerons 
plus loin, cf courbes de cette espece par un point quelconque du 
plan. Considerons, par exemple, une famille de courbes C, repre- 
sentees par Tequation ^{x, y, a) = o, dependant d'un paramelre 
arbitiaire, et proposons-nous de trouver leurs trajectoires ortlio- 
gonales, c'est-a-dire les courbes G'qui, en cliacun de leurs points, 
coupent orlhogonalement une courbe G passant par le meme point. 
Soient m, m' les coefficients angulaires des tangentes aux deux 
courbes orihogonales C, (J' passant par un nieme point (x^y); on 



II. — KQIATIONS I>r I'UKMIKR (tRKHE. iiy 

(loit ,i\(>ir I'lilrc /// el rn' \,\ ri'hitinn i -+- rn ni' ^= o. S(iit <i";iiiti<' piiil 
P'(a;, K, y') = <» rt'Cjiialioi) diflVTenliclle des com b(,'s donnees (]J; 
on a F(j', >', /;?)= o, puisqiio in est le coef(icient angiilairc de la 
tangenle a iiiie coiirbe C passaiil an poinl {jc,y) et par suilc 



M-^.r. 



Daillenrs ni' est aiissi le coefliciei)t angiilaire de la langenle a 
line combe C passanl an point [x^ y)\ eelte courbe (J' sallsfait 
done aussi a I eqiialion 

' *"'7 ^ F [ r, ^, ; 



el I' on obtient Pequation di(ferenticUe des traje-toircs ortlio- 
gonales des courbes (\ en rcmplacant y' par ; dans req na- 
tion di(} erenUelle des courbes C elles-memes. 

Pour ohtemr Tecpialloii des courbes C, on doil eliinlner a enlre 

, , , . . d<\^ 0^ , , , . 

les cleiix f(|iialions Q) = o, -— H y =o; done, pour oblenir 

' Ox Oy -^ ' 

I' equation di (ferenlielle des Irajectoirt^s orthogonales, il suf- 

fira deliniiner a enlre les deu.i: relations <I> ^ o. - — y' — ^ o. 

*' ' dx ^ ay 

Prenons par exeuiple les coniques representees ))ar ['equation 
y- -H 3 .r - — xax = f > , 

on a esl un |)aranietre variable. L'a[)pliealion de la regie prect- 
deiile conduit a I ecjuatlon ddrerenticlle lioinogene 

{ y"- — Ttx"- )y' -^ -ixy = o, 

qui devienl, en posanl v = ux el separanl les variables, 

dx 3 du du dii 

X It /f -(- I U I 

On en lire 

xu^=C{u^—i) ou jK*= G(jK*— ^2). 

Les Irajecloiies ortliogonales sonl done des cubitjues adinetlanl 
I'origine coniine point doiiblc. 

D'nne lacon plus geiu'rale, consid(''rons nne surface S dont les 
coordonnees X, y^ z sonl expriniees en fonction de deux para- 

G., II. 22 



338 CHAIMTRE XVlll. — MKTHODliS KI.E.M KMAIKKS I)' I M KUhA TION. 

metres vjiriahles ii , v : 

on lire de ces lorimiles 

rtj- ^= -=— du — av, dv = -r- da n — -i- ar, dz = ^ du -J- — ^ at', 

Ou "l' " ou ov <Ju i)l> 

II ''^' I - I 

el a toiile v;il('iir nil rjipjiort — — correspotid iiiic laiigeiile a la 

surface passiuil |>;ir Ic |)oiiil ( it, v). Si Ton se propose de deter- 
miner les courhes de cetle surface idles que la langente a I'line 
de ces courbes en un point qiielconque depende uuiquenient de 
la posilioii de ce point sue la surface, on est encore conduil a 
inte^jrer une equalion difrerenliellc du pieniier ordre 



(68) F (u, i-. 



dv 
du 



f>', 



inverseinent. toiitc equalion de celle forme etal)lil une relation 
entre un poinl d une courhe situee sur la surface S et la tangeiite 
en ce point. 

Proposons-nous, par exemple, de determiner Jes trajectoires 
sous un angle constant \ dune famille de courbes donnees situees 
sur la surface. Etant donnees deux courbes C, C passant par un 
point (m, v) el se coupant sous un angle V, on a la formule gene- 
rale (n" 277) 

,, E du r,u -!- F I du oc — dv ^w ) -f- G dv Zv 

(ogj cosV = 



v/E du^ -f- 2 F du dv -h G dv'^ /E ow- -^ a F ow of -^ G oc^ 

E, F, G avant la signification liabitnelle, du et ch' designant ies 
differentielles relatives a un de|)lacement sur (1, ^u et or Ies difle- 
renlielles relatives a un deplacement sur C. Les courbes C etant 

dOV r ■ 1 I ^'^ / \ 

onnees, t^— est une lonction conniie cle // et cte «', -^- = —( u, f), 

ou fjU ^ ^ ' 

et en remplacant ■;;— par-(?/, v) dans la relation precedente (69), 
la relation obtenueF(M, t-, -r- j = o est I'equation differentielle 

des trajectoires clierchees. 

Gonsiderons en particulier les trajectoires sous un angle con- 
stant des meridiens de la surface de revolution 

a?=:pcosaj, ;' = psinw, z=:/{p). 



III. — KQlATKtNS h'oiUtnK SIPKIUKIH. i'ig 

Nous ;i\(tns ici 
u = p, V = (.0, E = I -}-/'-( p ), F = o, G = p*, Of = o, 

l'e(|ii;ilioii (^H)) devienl 

, , v/l ^ /■'-< 3) <r/p 

cosV = '^ 



Oii on lirt', en resoKuiil |)ar lapixnl ;"i dio, 



, , V y/i— /'-(?) c?p 
a(u=tan^\ , 

et o) .s'uhlienl par uiio (jiiadraliire. 

III. — KQL'.\TIO.NS DOHDHK SUPERIELR. 

379. Integration de I'equation -^ ^ fix). — Etant donnee 
line t''(|iialion diflt'ieulielle do id re /«, 

ou y^''' = -y-^ » celle equation et celles que Ton en deduit par des 

difierenliation.s repetees pernietlent d'expiinier toules les derivees, 
a parlir de ^k'"\ au inoyen de x, y, y' , y"^ . . ., j^(«-'). Si done 
Ton se donne pour une valeur particuliere x^ de la variable inde- 
pendante les valeurs corre.<;pondanles ^o? J^o' •••' J^o" ' '^^ '* 
fonction cherchee y et de ses n — i premieres derivees, on peut 
de celte facon calculer les valeurs de loules les derivees succes- 
sives de la fonction inconnue pour la valeur x^ de x\ el former 
une serie enliere 

(71) 7oH-«^ -•ro)ro^ — ^o-^---^ i.i...n •^'' ^••- 

donl la soniiiie represenle I'inlegrale en question, si toutefois cette 
integrale peut etre developpee par la formule de Taylor. Jusqu'aux 
Iravaux de Cauchy, on avait admis sans demonstration la conver- 
gence de cette serie ('). Nous verrons un pen plus loin qu'il en 

(') Voir piir excmple le Traile de [-ackoix. 



34o THAPITRK XVIII. — METHODES ELEMENTAIRES D'iNTEGRATION. 

est bien aiiisi, movennant ccrtaines conditions qui seronl preci- 
sees. iNoiis indiquerons seulemenl ici quelqiies tvpes simples 
d'equalions difTerentiellcs d'ordrc n donl riiit(''fjralion peiil se 
ramener a des quadratures ou a Tintegration d'uue equation 
d'ordre infevieur si /?. 

L'equaliou dillerentielle 

(7-^) ^' =/(-) 

conslitiie le type le plus simple possible des equations differen- 
tielles d'ordre n. Elle s'integre au moyen de n quadratures succes- 
sives; en elTet, en designant par Xq une constante numerique 
prise a volonte, on a successivement 



d"-\y 



/ /( x)dx -h Co , 



-2v r'" r'" 

— 1^^ = / dr j f(x)dx-\-Co(x — a7o)-4-Gi, 



dx 



y = I dx I dx ... / fix) dor 

Co( -r — .Tu/'-' Ciix — Xu)"~ 



(n — i; i.2...(/i — 1) 



G.- 



C«_i, C«_2i • • • 5 tlo etant n con.stante> arhitraires, qui sonl egales 
respectivenienl aux valeurs de I'integrale el de ses (n — i) pre- 
mieres derivees pour x = Xq. 
On peul reniplacer I'expression 



Y= f dx f dx... r f{x)dx, 



qui renferme n sigiies d'inlegralion superposes, par une expression 
ne conlena-il qu'iine seule qu.idratiire porlant sur une fonction ou 
la variable x figure conime paranietre. II est facile de verifier ce 
fait qui sera rattache plus tard a une theorie generale (n" 399). Si 
nous posous, en efTel, 

(73) Y,= — '——-^ f {x-z)-^/(z)dz, 



III. — EOIATIONS d'oRIiRE SlPERIKl K. 3^1 

on endediiil siiccessivemeiit, par l'ii[)|)licallon des regies connues, 

= / ix — z)"-^-f{z)dz, 



dx 



^r=r/'-^- 



dx 

el enlln -j—^ = /(j:). La lonction Y, est done une integrale de 

Teqiiation {'P.). D'ailleurs. les deu\ fonclions \ el Y, sont nulles. 
ainsi que leurs (n — i) premieres derivees, pourx=:^a;o- Leuidlf- 
fV-rence. qui esl un polynome de degre au plus egal a n ■ — i, ne 
peut etre divisible par { jc — iPo)" a inoins d'etre nulle identi(jue- 
ment. On a dcjnc \ , = \ . 

)^8(l. Gas divers d'abaissement. — Les cas les plus frequents ou 
Ton peut abaisser I'ordre de Teqiialion sonl les suivants : 

i" U equation ne lenfernte pas la J'onclion inconnuc. — Une 
equation de la forme 

se ramene immediatement a une equation d'ordre n — k en pre- 
nant pour inconnue -t-^= «. bi Ion peul inlegrer 1 equation 

auxiliaire en «, on aura ensuile >' par des quadratures, comme il 
vient d'elre explique. 

II arrive quelquefois que lOn peut exprimer x el // = -j— ^ au 
nioveii d\in parametie auxiliaire / par des foimules 

d^ Y 

les lonclions / el 'z> renfermant aussi des conslanles arbitraires 

iutroduites par rintegration de Tequation en u. On peul alors 

exprimer aussi )' au moven de / par des (piadialures; on a 

d'abord 

dy^k-v— '^(t)dx='^\ t)f'(t) dt, 

d ou Ton dc'duira i''*~'*. En conlinuanl de la sorte, on calculera 
successivement^)- *~-' y\ jusquajK. 



34* niAIMTHK XVIII. — MKTIIODKS KI.KMKNTAIRKS DINTKOR \T1(»N. 

2" L equation ne rcnfernio pas la xuindhle indepcndanle. 
— Si Ton a line equalion de la lorme 

(75) i- Y. r- > -7-1 » • • • ' -r^ = O. 

^ ' ' \-^ dx dx- dx" J 

on ponrrail !a ramener a la lorine precedenle en prcnani y pour 
variable independante el x pour inconnue; la nonvelle equalion 

ne conliendrait pas x^ el en prenanl -j- |)oiir nouxclle inconnue, 

on serail conduil a une equalion (Tordre n — 1. Mais on pent 
effecUier ces deux Iransformalions siMiullanemenl en prenanl y 

pour la variable independante el en prenanl pour inconnue -j- =/>• 
Nous avons en eflet 



d- y dp dp dy dp 

__ 

d^y 



dx^ dx dy dx dy 



d / dp\ d I dp \ i dp \- d^P 

dx^ =^d-x\Plfy)-d^KPd})P'=P\d:y) ^P-dr-' 

• 1 ■ rx- ,• , . , d'' Y ' 

el ainsi ue suile. JJ une lacon generale, -~^ s exprime an nioyen 

de /? el de ses r — i premieres derivees par raj)porl ay. On aura 
done bien une equalion difVerenlielle d'ordre n — i. 

Supposons que Ton ail inlegre cetle equalion auxiliaire d'ordre 
n — 1 el, pour prendre une hypolhese generale, supposons que y 
e\ p soienl exprimees a Taide d'une variable auxiliaire /, qui pent 
etre I'une de ces variables elles-memes, y=f(t), p ^ '^(^t), les 
fonclions y el 'j> dependant en outre de conslantes arbilraires. De 
la relation dy^pdx on tire /'(^) r/^ = -i(/ ) r/j;, de sorle que :r 
s'oblienl a son lour par une quadrature 

^''^dt. 



= fllL 



Celte methode est surlout employee pour I'equaiion du second 
ordre 

que I on rainene ainsi a I'equaiion du premier ordre 

dp \ 



f(7,/'>/>^)=o 



III. — KOI AiiuNs II (MiDui: SI i-Kmi:! H. 343 
Soil /; = 'i ( 1'. (li rinlei^rale i^fiM-ralc <lc cellf f(|iial ion dii pre- 
mier ordir. I )e la rclatKui -.— ='i(i-, {]) on dediiira x par une 

a.r ... 1 

qiiadraliire 

J »( V, G)" 



T = Xq^ 



81 riiileijialt' j^eiK-rale dc r«^fnialion eii /> est resolue par rappDrl 
A y^ el se preseiUe sons la lorine y^= fyji^ C), on a dc inrine 

f'{ p I dp — p dx 



el, par siiUr, 



/ 



./■' ( p ) dp 



Les coordonnees d nn point (rune conrhe inle<;rale soul ainsi 
oxpriint'cs an inoven d iiiu; vaiiabh,' ati\iliaire p (pii repiesente le 
coefiicienl aniriilairc de la lanaenle a cetle courbe. 



3"* fJe(/iiation est liomogene on y. y, y' , . . . , j^< 
esl lo degre dhomogeneile, ieqiialion est de la forme 



Si 117 



(76) 



yn F ( X, 



y 



y y y 

et Ton voit que, si y\ esl une inlegrale parlicuiiere, il en esl de 
meme de )^j'i , quelle que soil la conslanle A. On abaisse I'ordre 
<le celle equation d'une unite en posanl j' 1= e-'"''-^; on en deduit 
en clVcl 

el d'nne facon c^iMK'rale y'''^ est egal an prodnit de e'-'"'^'" par une 
fonction <;ntirre de //, 11! ^ n\ . . ., </^''~'^ Apres la substitulion dans 
Ieqiialion proposee, il rcslcra done une ('qiialion d ordre /? — i. 

"j " L' equation est hoiDoiii-ne par fapport a a', I', dx^ dy, 
d-y, . . ., d"y. — I^oisqnil t:n est aiiisi. I <''qiialion ne change pas 
(|uaiid on change x en (j.r, y eii Cy, C »';tant une conslanle 

quolconque. (^ela pose, imaginons cpie Ton prenne '- = u |)Our 

nouvclle variable indc|)endanle en prcnani .r ou j' pour inconnue. 
<^uand on change x en (>j", y on (^r, '/ ue change pas; la nou- 
vclle «'(|iiahoii diUV'rcnl idle ((Milrc .r rl // par cxcmple) doll done 
rester la menie cpiand on rcinplace ,/' par Cr sans changer u. 



3i4 niMMTiu: wm. — mkiiiooks ki.i;mi;maiiu;s d imkuratiox. 

Cfllc (''(|iiali(Mi »^sl June liomoi;ene par rapporl a .r, .r\x" , . . . , x^"\ 
el Toil relDnihe sur le cas precedent. 

licmarqiic . — Uaiis les dillerenls cas de reduction preci'denls, 
il pent sc faire que Ton sache ohlenir cerlaines inlegrales de 
I'eqnation anxiliaire, sans poiivonen dt'lcrniiner riiilt'i;rale gene- 
rale. J^es nielliodes preci'-denles sonl encore applicables et per- 
luellenl d'oblenir par des qiiiidralures des inlrgrale> de I'eqnation 
proposee. renferniant moins de n conslanles arbilraires. 

3.S1. Applications. — i° l-es equatioii.- de la forme y"=f{y) renlrenl 
dans lun des types precedents. On pout les intejiier direclement sans 
aucune transformation, car, si Ion multiplie les deux membres par 2j ', 
on en deduit, apres une premiere inlei;ratiun. 



y- = G -r- r 2 

•- > „ 



f(y)dy = F(j')-^C 



el Ion a ensuile x par une quadialure 

dv 






Gonsiderons |)ar exemple leqiiatinn 

j>'"= aoy^-^ «i.v-— «2.'''-r- «3, 

Inn au moins des coefficients a^, ai netant pas nul. Nous avons d'abord, 
en mulliplianl le? deux membres par ly' el en integrant, 

y - = — y^ -^ -; a\ )'^— a.2V--+- -iasV — C. 

•2 * 1 "^ 

L'integrale generale de cette nouvelle equation est une fonction elliptique 
( n'^ 373), pouvant coinme cas parliculier se reduire a une fonction simjile- 
ment periodique ou meme a une fonction ralionnelle, si Ton a cboisi la 
constante G de facon que le polynome qui est au second membre ne soil 
pas premier avec sa derivee. 

2° II peut se faiie que Ton pm'sse a|)pli(iu(;r successivement plusieurs 
des melhodes de reduction a une meme equation. Frenons par exemple 
I'equation du quatrieme ordre 5(r"')- — 'iy"y" = o. Si Ton pose d'abord 
J'' = M, Ion en deiluit une equation du second ordre ')u''^ — '^ uu" = o. qui 

v' t. 
est nomosene en u. u . u" . Posons a = eJ^''^; il vient '^v' — ar-. ou — — -, 

t'- 3 
el Ton en tire 

3 I 



111. — Kyi ATIONS d'oKKKK ST PEUI ICl'H. 3^5 

a olanl iiiio ci)ii>i|;inle arbiliaiic. Nous avons ensuite successivement 

•.t 

u = y" =. b{r -^ a) -, 

1 

y' = — 2 /^ ( .7- -T- a ) - -f- c. 
1 

r ^= — f\ b { X -^ a )'- -^ c T -^ d , 

b, c, (I etanl Irois iioijvello< conslantes. On leliniive done l'f(|n;tli()n 
geneiale des paraboU-s (n"l{();]). 

■J" Soil a d(''l('i iniiici !(•« couiltc^- |)lanes dont Ic rayon de courhure est 
jjiopiMiionnel a la poilioii dr hi n^i iiiali- comprise entre le pied .M el le 
piiinl de renconlie \ dc ccUe iiDiniah avec une droile fixe. Gelle droile 
five etanl prise pimi' a\c des x. Tequalion diHerentielle du probleme esl 

(77) i-^}''--^]^yy"= o, 

le coefficienl ;jl ('tanl I'l^ai au lappoil du rayon de courbure a la lon- 
gueur M.\, precede du signe -+- on — , suivanl que la direction qui va de l\I 
au centre de courbure coincide a^ec la direction MIS ou avec la direction 
oppo«ee. four inli'grer li'iiual inn (77), posons y' ^ p\ elle devienl 

ce (|u'on peul encore ecrire 

dy \j. 'xp dp 



= o, 
y ■>. \~p' 

el Ion en tire, apres une preniieie integrali(jn, 

u. 
y = G(l-t-/>2r~, 

G elant une conslanle arbitrairc. La relation r/>' = /) c^.r nous donne ensuile 

u. 
— [JL G/j( I -{- p- ) - dp = p dx, 



= Xq iJlG/(I — /)2) 2 ^lp_ 



Posons p = langa; loules les courbes oblenues en faisant varier G et x„ 
se deduisenl, par une translation ou une transfornialion lioniolbi'-lique, de 
la courbe V representee par les ('(luations 

( F) X = IX I cos!'- a: dy., y = eosl^-a. 

•■ 

11 esl facile de se faire une id(''c do la fornie de la cuurhc d'apres ces 
equations, quelle que soil la \aleur dc jj.. Ouand a est un nmnbrc entier, 
on pent elTecluer la quadralure. Si jji est un nonibre enlier posiiif, la courbe 
n'a pas de bran (lies inlinies, in a is elle ptMit avoii* deux formes d 'a spec Is Ires 
difliTcnl* sui\anl la |):iiili'' de a. Si ;j. est un iminbi'c impair, .r c-i une fonc- 



346 ClIAI'ITRi: XVlll. MKIIIOOKS KLKMKMAIKKS D'iNTKCIUTION. 

tiun porioditiiie <li' a ( 1. n" 117), ft la coiirbo V «^st iino couibo aIf;('lMique 
fcrmee convf \e. Si jjl est pair, .r augiiicnte (I'line quanlite constante flille- 
renle de zero lorsqiie a atiixineiilc de 9.t:, j' e><t loiijours positil. On a nne 
courbe pciiodi(|iu', avee iinc in(iiiit('' de points dc rebioussenient siir Ox. 
L"as|>ecl e<l ecliii diiiic (vclnide: cost dii leste line cvildide pour [x = 7.. 

Hemarquc. — Dans les exeniples que nous venous d'eludier on cherclie 
loujours a raniener I'integration dune equation dillerentielle a Tintegra- 
tion dune equali()n dOrdie nioindre. Quelque singiilier que oela paraisse 
au |)remier aliord, Ic proet'di' inverse pent qiielquefois reussir. lilant 
donnee, par exeniple. une equation du premier ordre /(.r, y, y') ^ o, en 
la eombinant avec eelic qu'on en deduit par une dillVrentiation, on oblient 
eNideminenl une infinite d'equations du second oi<iie qui admettent toutes 
les inlegraU's de I'equalion proposee. Supposons que Ton puisse trouver 
ainsi une equation du second ordre qui soil integrable, el soit ^^ = o(x, C,C') 
I'integrale gencrale. Toutes les integrales de Tequal ion du pieniier ordre 
proposee sont conipiises dans cette foi-mule ; niais, coninn' elles wo dt'peiident 
que d'line constante arbiliairc, il doit y avoir une relation cnlre les eon- 
slantes C, C Pour I'oljtenir, il suffit d'ecrire que la fonclion <p(,r, C, C) 
satisfait a lequation du premier ordre : on est ainsi conduit a un certain 
nonibre de relations enire les constantes (], C, et ces relations df)ivt'nt se 
reduire a une seule. 

L'exemplele plus inleressant de cet artifice est dii a Monge, qui s'en est 
servi pour trouver les lignes de courbure de rellipsoi'de. Soient ■ja, ?.b, 
2C les trois axes; les projections des lignes de courbure sur le plan du 
grand axe et de I'axe moyen sont delerminees pai' I'equation diireientielie 

/ X-xyy'- -+- ( X- — S.y- — \^) y' — xy = o, 

(78) aHb'--c-^) aHa^-h^ 
f -•^ ^= I Ti — ; :;" > n = ^ — • 

' h'-(a'^ — c- ) a- — c- 

\in diUV'tentiant Teqiial ion ( 7S ), puis en eliminaul la quanlite 
on obtient li'-cjuation dilTerenlielle du deuxieme ordre 



= o. 



L- _- Z- 

y' y ^ 

d'ou Ton tire successivement yy' = Ox, puis j)'-=: Q>x^-\- C'. 

L'integrale generale de I'equation ( 78 j s'obtiendra en ('-tablissant enlreC 
et C la relation AGG'-+- G'-r- BG = o, comme on le verifie en remplagant j-^ 
par Cx^-\- G' dans le premier membre (•). 



(') L'equation (78) s'integre aussi aisement paries procedes classiques. II suffit. 
en effel, de poser ,r-— X.y"-— Y, apres avoir inultiplie lous les lermes i^ar xy dx-, 
pour elre rainene a une <-fjualion de Clairaul. 






EXKHCICKS. 34/ 

EXERCICES. 

1. TrniiNor I'l'-qiiat inn .lillV-r eiilicllc iles coniques en |)art;iiil dc lenr 
f'lHiiitioii ur'netale iion ii-sulue. el en eliniinanl le* coefricifnl> entre celle 
r(|n,itinn et le< relalinn^ obienn<'s par rinq fleiivalions succe<sives. 

i. lnl<!';;i«,M' lo> iquatiiii)"^ ilillVi cntielles 

(.y- — 7 y- = y< 7'- -^ y }-^ jK('-f- ■*y-)-+-^y= o, 
( I -^y-)yy"' = < iy- — < )/'-, ••'"--h^-u'"— jt'--^ •^j'' -^ ^y—r = o. 

T'-y'- -+■ i.ry{y — 20)^'' — 2 k^ ( ^ — ;ta j = o, -TJ'""^ •^^'' — J'J' = "' 

v'^ -4- 3j)' - -H K* — 1=0. 

',i. .\|)|)Iiqiier le^ nirllmdes i:;rnerales «J abaissenienl a l"inleji'"3l'f^" de 
requatimi ililVcrenl idle des coniqne?. 

i. On (leniamle li'< inli-i;iales lie I't-qualiun y" = 2y-( y — i) qui sonl 
(les I'onclions ralioniielles on >ini|ilernont periodiques de la varialdc. 

{Licence: I'aii*. 1890. | 

"). Klanl donnes nn triangle ABC et une couibe V dans le plan de ee 
trianfiie. soienl a, />, c le« |)oint« de rencontre des coles du triangle avec 
la tangenle en in it la rourlx- P. On deniande les courbes V ponr lesquelles 
le rapport anharmonique de* qnatre jioints m, a. b, c est constant, lorsque 
le point ni se deplace sur I'nne d'eiies. 

Le rappoit anharnioniqnt- de la tangenle en m et des droites niK. //? B, 
mC e*l ronslant aiis<i. 

fi. litanl diiiun* on point O il nm- dmiie 1), ln>n\er une courbe telle 

que la pciiliun de tangenle M N . mniprise entre le point de ronlact M et le 

point N on la langcnle riMiconlii' la droite D soil vue du point O sous un 

angle constant. 

[Licence : Besancon, i885.| 

7. Tronver les pi-ojections sur le plan des xy des courbes situ«''es sur le 

paiaboloide -laz = mr- ~ y-, dont le-; tangenles font y\n angle constant 

iliinrif Y a\<T I'axe O;. 

\Licenrc : Paris, 1879.] 

H. Tronver les tia jrcioiro- orlliogonales iles faniilles de courbes repre- 
senti't's par Tune des i-c|uations snivantes : 

y-{-?.ii — a- } = T-^. y- -r- mx- — 2 ax = o. 

(x--^y^ )'= a-ry, x'^-r-y- = a- log ( — ) ' 

a riant le paraniitrf variable. 



3(8 CIlMMTRi: will. — MKTIIOOKS KI.EMENTAIRKS n'lNTK(;U\TI()N. 

1). Pour que roqiialioii 0(.r, )-) = G reprc^i-iite iinc rmnille d- courbes 
paialleles, il faul et il suflil que Ton ail 

c-(0) t'lanl iiiio foiiotion quolconque de 0. 

[On ecrit que les Irajectniies ortliojionales sont des lignes droites.] 

10. Trouver la condition necessaire el suffisante pour que les courbes 
integrales de I'equation j^' = f(x, y) formenl une fainille de courbes 
paralleles, et monlrer qu'on peut effecluer I'integralion par une quadra- 
ture. 

[Lice/ice : Paris, 1898.] 

11*. Former I'equation i;enerale des coniques qui coupent une conique 
donm-e C orthogonalenienl au\ quatres points conimuns. Ces coniques 
formenl en general plusieurs families distincles; trouver les trajectoires 
orthogonaies de chacune de ces families. En deduire tous les systemes 
orthogonaux dont les deux families se composent de coniques. [Si /"= o, 
= sont les equations de deux coniques se coupant orlhogonalemenl en 
leurs quatre points communs, on a une idenlile de la forme 

dx dx ay dy 
\ et a etant deii\ coefficients constants.] 

12. Trouver la condition pour que les courbes integrales de I'equation 
dilTerenlielle y' ^= f{ x, y') formenl une famille de courbes isolhermes, 
el monlrer qu'on peut obtenir un facteui- integrant. 

[SoPHis Lie.] 

13. SoienljKi, JK2 deux integrales particulieres de I'equation de Riccati (a6) 

y — y. 

(p. 396). En posanl "- '■ — = 3, on est conduit a I'equation lineaire -, 

-'-f- X(^r, — j2J 2 = o. 

14. Trouver une courbe plane G telle que le triangle, ayant pour 
sommcts un point quelconque M de la courbe, le centre de courbure zov- 
respondant et le pied de I'ordonnee du point M, ait une surface conslante. 
On fera voir que I'une des coordonnees s'exprime en fonclion de I'autre 
par une quadrature, et que Ton peut se faire une idee de la forme de la 
courbe. sans en avoir I'equation en termes finis. [Les axes de coordonnees 
sont supposes rectangulaires.] 

[Licence : Paris, 1877.] 

15. Etant donnee une courbe plane G, soient M un point de cette courbe, 
P le centre de courbure de la courbe en ce point, et IVIT la tangenle. Par 
le point T oii cette tangenle coupe I'axe des x, on mene une parallele 






KXKRCICES. 349 

a 0^ qui renconlif la nurmalc MP on iiii |niiiii N. I >('l(i ininrr la coin he G 
<le facoii que \c rap|n«rl <lc Ml' a ,M N soil conslanl. 

[Licence : Toulouse, 1S84.J 

16. Deleniiinor les surfaces cle revolution telles quo, en cliacun dc lours 
|)oints, los rayons do courburo ilos seclions principales soieni dirigos dans 
Ic memo sens el aienl une somnie consUinle a. On indiquera la fij;ure du 
nioridii'ii ih; la sui'lace. 

\Licc/ice : Toulouse, 1878. J 

17*. l/inlejjrale generale do loqualion d'liider peul s'ocrire 

v/\-v/v\'- , • . 

en su|)|)osanl X = aox'*-h aix^ -+- a^x- -h a-^x -(- a^. 

[Lagrangk.] 

[II suffil do resoudre I'equalion ( 38) ( p. 334 ) parrapporl a la conslanle, 
et, apres quelques transformalions, on oblienl la fdrme de Lagrange.] 

18. Les lignes asymploliques de la surface represenloe par les equations 

x = A(;/~--rz)'« ((' — «)", y = '^{u — by<> {v — b)" , z = C{u — c )"'(v — c)" 

s'obtiennonl par rinltgralion de I'oqualion d'Kuler lorsquo 1 on a m = n, 
ou m -J- n = I . Doduire di' 00 rosullal los lignes asyniptotiques de la sur- 
face Iclraodrale 



•r\"' / y ^"' I z\' 



19- Goinineul peul-on reconnailro si uno oqualion dinV-renlielle 

dy — f( X, y ) dx = o 

admet un facleur integrant do la forme XY, X ne dependant que de x 

et Y ne dependant que de y, et trouver co facteur integrant lorsqu'il 

existe? 

[Licence : Paris, ortobre i<)o.i.J 

20*. Etant donnee une courbe plane C, on prend le milieu m de la 
corde MM' qui joint deux jioints quelconquos M, M' de cette courbe. I.e 
point M restant fixe, lorsquo le point M' decril la courbe C, le point /n 
decril une courbe lioniollu'-tiquc c. Doniontrer que los courbes c salisfont 
a une equation difTcrcnliollo du premier ordro qui s'integre comme I'oqua- 
tion de Clairaut, en y romplacant k' par une constanto arbit raire. ( /i«//e- 
tin de la Societe niathematique, t. XXIII, p. 88.) 



THfiOKfeMES I)' EXISTENCE. 



Les premieres reclierclies rii^^oureuses, pour etablir I'exislence 
des in :ei; lilies (run svstenie cre(|iiahons tlitlerentielles on d'equa- 
lions aiix dt'tivees parllelles, soni dues a Caucliv. L'illustre geo- 
metre a fail connaitre pour les equations analytiques un Ijpe de 
demonstration fondee sur une inethode de coniparaison a laquelle 
il a donne le noni de Calcul des limiles. On lui doit aussi une 
autre methode, (jui ne suppose pas les fonctions analytiques, et 
donl nous parlerons plus loin. 



I. — CA.LCLL L)L:S LI.MITES. 

382. Generalites. — L'idee (ondamenlale du Calcul des litnites 
consiste dans lemploi des I'onclions majorantes; les rdisonne- 
nients out la plus grande analogic avec celui dont on s'est servi 
pour elablir I'existence des fonctions implicites (I, n" 187). Toute 
fonclion analylique admettanl une infinite de fonctions majo- 
rantes, on concoit que la nietliode puisse etre variee de bien des 
facons. I^a simplicite des demonstrations lient en grande partie 
au choix des fonctions majorantes. Depuis les travaux de Cauchj, 
ses demonstrations ont ete perfeclionnees et etendues a des cas 
plus generaux par Briot el Bouquet, Weierstrass, MM. Meray, 
Darboux, M'"* de Kowaleski, et beaucoup d'autres. Aujourd'hui 
encore, on se sert a chaque instant de cetlc methode pour traiter 
des questions analogues, relatives aux equations aux derivees par- 
tielles, avec des conditions iniliales varices. 

383. Existence des integrales d'uu systeme d'equatious di£Fe- 



\ 



I. — cvr.cfi. iii:s i.iMirKs. 35 1 

rentielles* — (lonsidt'ions d ahoni iiiic sculc CMjiiitt ion 

dv 

doiil le second nienihre /'(x, k) est lioloniorplie dans le voisinaj^e 
d'lin syslenie de valenrs Xo,.Xo' Nous nous |jro|iosons de denionlrer 
que cette equation adinet une inlegraley[x) liolomorphe dans 
le domainc du point .f,,, se rddaisani a y^ pour x z=^ x^. 

Supposons, pour abre-^cr les formules, j:-y=:ro = *J7 ce qui 
revlenl a ecrire x e.1 y k la place de x — .ry, )' — j',,. Si l'e(|uation 
propost'c admel line iiiU''i;i;ilr lioloiinu plic dans le v()isinajj;e tin 
poinl X = u, el s aniuilanl avec x^ il sutliia, pour pouvoir ecrire 
le develo|)peinenl en serie entiere.de eelte inlegrale, de savoir 
calculer les valeui's de loules les derivees successives de cette 
inlef^rale poMr.i' = o. 

L'e(|ualion (^ i) nous doiine d'ahord (-7^) ^f{^^^ o)^ d'autre 

part, les ef|ualions que Ton en deduit par des diflerenlialions 
repetees peiniellenl de calculer la valeur d'une derivee d'ordre 
(|uelconqjie an mo\en de x.y el des derivees dordre inferieur, 



(2) 



I d-^v 


Of of dy 


dx^- 

\ d'y 
1 dx^ 


Ox Oy d.r 


0-^f ^ ^ 0-^-f dy 
Ox^ " ()x dv dx 



Oy^ \dx/ dy dx^ ' 



en faisant dans ces relations x =y =:= o, on calculera de proche 
en proche les valeurs initiales des derivees successives { -r^ ) • 

(d^V\ fd"y\ IP-. I 1 I . 1 

I -j-^ I ' • • •> ( -~-^ 1 » • • •> de rinle<^raie cnerctiee au mojen des 

coefficients du developpement Ae f{x^ y ) suivanl les puissances 
de X el de v'. Jusqu'aux Iravaux de Cauchy, on avait admis sans 
demonslralion que la serie entieie ainsi oblenue 



= (iL\ "L^l^lyA £i^. ^('I:iz\ 



(■\ —I -il \ I -^ \ _L _j_ / \ 

•^ \ dx / ( \ dx- / I . 2 * ' ' \ dx"^ J Q \ .?.... n 

elait convergenlc pour les valeurs de x voisines de zero. 

Pour deinonlrer en loule rigiieur ce poinl essenliel, observons 
que les operations par lescjuelles on calcule les coeflicienls de la 



35-i ( 11 M'liHi. \i\. - Tiii:onK\ii:s n'KXisTKNci:. 

serie (3) so rcdnisenl en dc'liiiil i\ c a des additions el a des ninlti 
plicalioiis sonlonicnl. do soilo qne la valeiir oblenne pour ( -7-^ 
pent sV'crire 

/ d" y ^ 

(4) ( -7-^ j = P/j(«oo. «oi. «io, • . • , «o«, ■ • •• a„o), 

V,i elanl nn polvnonic a cocflicienls enliers etposilils, el rt/A desi- 
gnanl le coeflicienl de x' y^ dans le developpement de /{x, y). Si 
done on remplaee la fonclion /{x^ y) par line fonclion inajo- 
ranle '■^(x, Y) el qne I'on se propose de determiner nne inlegrale 
liolomorphe de lecjnalion anxilianc 

(5) ^^ =?(•'■• Y) 

s'annulant avee x, les coefficients de la serie oblenne ponr le deve- 
loppement de Y seront des nombres posilifs respectivement snpe- 
rienrs anx inodnles des coefficients dn meme rang de la serie (3). 
Si la serie obtenne |>onr Y est convergenle dans nn certain domaine, 
ii en sera de meme a fortiori de la serie (3). Or la serie oblenne 
pour Y sera certainement convergente si ['equation anxiliaire admet 
nne integrate liolomorphe, s'annulanl pom- x ^= o. 

Snpposons la fonclion f{x, y) liolomorphe lorsqne les va- 
riables .r el y reslenl dans les cercles C, C de ravons a et 6. 
decrils de I'origine pour centre dans les plans des denx variables, 
el continue sur ces cercles eux-memes, el soil M la limile su|)e- 
rienre de [./^(-'^SJk)! dans ce domaine. On peul prendre ponr fonclion 

majorante '■p(-X", Y) = y~^ '^^ Tequalion anxiliaire (5) 



(Y ' 
I "T ) 



Y \ d\ M 



Nous pouvons verifier directemenl (jue cetle equation admel 
una inlegrale holomorphe nnlle pour x = o ; en efilet, les variables 
elanl separees, on deduil de celle equalion 



(7) Y--^=-a,MLof 



I. — CALCl'L OES LIMITES. 353 

La (onstiiiile qiril fHiidrail ajoiilei- an second rnpinln-e pour avoir 
rititej;ral<' j;<n«''ral<' dc re(|iiiil ion ((')) est iiidli", si Ion afloplc ponr 
le lo^arillime la dtUcrmmal ion (|iii csl niillr (nmr j: = o. Kn resol- 
vanl ri''(|iiat ion (^) par ia[)porl a \. il \niil encore 



(8 I Y = 6 — 6t/i-l-2a -^ LogM— - j; 

si Ion prend pour le radical la dt'lermination qui se rednil a i 
pour X ^ o, la forinule (8) represenle bien une inlcj^rale de I'equa- 
lion (6) (|ui est nnlle pour x = o. Celte fonclion Y est holo- 
morphe dans le domaine de I'origine; en efFel la fonclion sous le 
radical t-sl holoniorphe it riiileiieiir du cercle C de rajon a, el 
cetle fonclion sannule pour 



(9) 






Lorscpie la variable x resle a rinterieiir du cercle Cp de rayon p 

decril de I'oriyine pour cenlre, le module de— r^Logji ) 

resle inferieur a Tunite (') el le radical esl une fonclion holo- 
niorphe de .r dans ce cercle. La serie oblenue pour le developpe- 
menl de Y esl done coiiverj^enle dans le cercle de rajon o, el il en 
est de meine a plus forte raison de la premiere serie oblenue (3). 
On voit aisement, d'apies la formule (8), <^ue tons les coefficients 
du developpement de Y sonl reels el posilifs, ce dont nouselions 
assures a priori. Si Ton donne a x une valeur quelconque de 
module inferieur a o, le module de Y est done inferieur a la somme 
de la serie oblenue en remplacant x par o. On a done, pour 
lout point pris dans le cercle (>„, |\|<:;^, el [)ar suite |j^| <C ^• 
Si Ton remplacr )/■ par la >onime de la serie ( .'^ ) dans y(^, ^^), le 
resultal de la substitution est done une fonclion ^(^x) holomorphe 
dans le cercle de rayon p. D'a|»res la fa^on meme dont on a obtenu 

les coefficients de la serie (3), les deux functions ^{x) el ~ sonl 

egales, ainsi que loutes leurs derivees successives, pour x^=o. 



(') Kn eltel, l<ius les cocfCicienls ilu developpement de celle foncliou suivant 
les puissances de x sonl reels el nefsalifs. Le module, pour \x < p, esl done 
inferieur au module de la valeur qu'elle prend pour x = p, c'esl-a-dire k Tunite. 
<;., II. 23 



354 CHAPlTRi: \l\. — TIIKOHKMKS o'sXISTKNOK. 

Klles sont done Idenliqiies, el la ftMiclion lioloniorplio y sahsfait a 
loiites les condilions do I'enonce. 

Pour calciiler les coefficienls de la si'-rio I'.'S), ow peiil siihsllluer 
directenient. a la place de )', dans ri'-qualion (i), uiie serie en- 
tiere »' = < \ .r -+- (jo-'" -h . • . , el eciire que les deux membres sonl 

idenllques. Le coelficienl de x"~' dans -^ est /?C„, latidis que le 

coefdcienl de .r""' dans le second niemhre ne depend evidetnment 
que de C), Co. • • •, C„_( el des coefficients «,>■. On veritie bien 
de celle facon <|ue les coefficienls (]„ se calculcnl par les seules 
operalions d'addition el de multiplicalion. 

La nielhode s'elend sans difficullc a un svstenie d'un mtmbre 
quelcon(pie d'i'qualioiis du |)rpmier ordie. Soil 



(lo) d^ ^J"'^^'^'-^'-' 



7«) 



( i = 1.2, 



n) 



un sysleme d'equalions difTerenlielles, ou les fonclions /", son! 
holoniorplies dans le voisinage des valeui's j;oi(j>'<)oj • • -i (.X«)o- 
Ces equations adinet tent un systenie d' integrates holomoiphes 
dans le domaine du point .r„, se veduisant respectiK^enient 

« (.rOo> (.>'2)o, • • • J (j«)o p^^^^' ^ — -^o- 

En reprenantdes laisonnemenls loul pareils aux precedenls, la 
demonslralion de ce iheoreme se ramene a etabbr que le sjsteme 
d'equalions auxiliaires 



d\. 



dx 



dXn_ 

dx 



O--J('-t) 



admet un sysleme d'integrales holomoiphes dans le voisinage de 
I'orioine, s'annulanl toutes pour.r = o; les fonclions// sonl sup- 
posees holomorphes tan I que Ton a \jC — Xo\'Sa^ \yi — (jKi)o| = ^> 
et M designe encore le module maxiniuni des fi dans ce domaine. 
Ces inlegrales, ajant leurs derivees egales, el s'annulanl toutes 
pour x = o, doivenl elre identiques, et il suffit de considerer 
I'equation unique 



dY 
dx 



M 



Y\«' 



ou I'on peul encore separer les variables. Gette equation admet 



1. — CALCn, DKS I.I.MITKS. 3J'3 



n-t-l 



, / ( /I -I- I ) IM « / .r . 



qui est lioloni()i|jlic (laii> le cercle de rayon z = a\ i — ^n-i-iiMaj^ 
el (jiii est Millie |)Ourjc = o. Lcs inleijraies dii svsleiiie (lo) sont 
done lioloiiioiplies (lim-> le meme cer'cle. 
L lie e(jii;il loii iiiiiqiie d oidre // 



(1-2) 



d"v ,,/ dy d"-W\ 
i_ = r I ;r y 1 • • • 1 ^— I 



peulelre iem|)laeee par iin sjsleiiie equivalent forme de n equa- 
tions dii preinuM' ordie 

dy _ dy, __ 

] «1 '1-2 «V„_, 

en iiitroduisani coinme incoiinues auxiliaires les derivees succes- 
sives de jK? jiisqua I'ordre n — i. On deduit alors du tlieoreme 
general que I' equation (12) admel une integrate holoniorphe 
dans le domaine du point Xo, et telle que cette f one t ion et 
ses (n — \) premieres derivees prennent pour x = Xq desvaleurs 
donnees a I'avanceyfs^ r^,, . • . , J^o" ' 7 pourvu (jue la fonction F 
soit holoniorphe dans le voisinage du systenie de valeurs x^, 

y<i^ yo-> • • ••: jn 

II resnlte de la deinonslralion qu'il ne pent y avoir plus d'une 
inleo;rale holoniorphe de I'equalion (i) prenant pour x =^ x^ la 
valeiir ) q. Mais rieii nc jxm nn-L d'aftirmer jtisqu'ici (pTii n'exisle 
pas d inL<''<^rale nori holoniorphe salislaisant a l:i nienie condi- 
tion ('). C'esl un point (^ui sera elahli plus loin d'une facon rij^^ou- 
reuse (n"387). 



(') V'oici le raisonnement employe par Briot et Bouquet pour trailer cetle 
question. Soit _y, rinlegr;ile holoniorphe de I'equation (1) prenant la valeurj„ 
pour ^ = x„. Kn posant i' =:j>', -f-2, eile pn-iiil la forme 

dz 

<i bis) j^ = z'\>{x, z), 

■^(x, z) eiant holomorphe pour x = x^, z = o. Supposons que cette equation 
admelte une integrale, autre que s = o, tendant vers zero lorsque la variable x 



356 OHAPITKK XIX. — TIIKOREMES I)' EXISTENCE. 

;i8i. Systemes d'equations lineaires. — On Irouvera plus loin 
par line autre melhode nne valeur plus grande pour la liniite infe- 
rieiire du rajon de convergence des series qui represenlent les 
inlegrales (n" 1^90). Lorsque les fonclions fi ont des formes 
speciales, on pent parfois, en se servant loujours du calcul des 
limites, employer des I'onctions majorantes plus avantageuses. 
Cest ce qui arrive en particulier dans le cas tres important des 
equations lineaires. Soient 



(i4) 



dx 



rtii J'l-H aiiy-r 



Oiny,,^ bi (t = I, •>, 



. n) 



un systeme d'equations lineaires, on les tonctions rt,Vfet 6, sont des 
fonclions de la seule varial)le x. liolonior|)lies dans le cercle G de 
rajon H decrit du point x,, comme centre. Ces equations admet- 
tent un svsteme dHntegralos. holomorplies dans le cercle C, se 
reduisant respectivement a (j^i)oi (^'2)0, • • • , {yn)opour x^x^. 
On pent, potir la demonstration, supposer 



(^1)0= (^2)0^ 



(>«)o= o, 



car si Ton change ;k/ en (jKi)o +y/i '^ s_ysteme (i4) ne change pas 
de forme et les nouveaux coefficients sont encore holomorphes 
dans le cercle C. Soit M la valeur maximum du module de 
toutes les fonctions a,*, bi dans un cercle C de centre Xq et 

M 
de rayon /•<R. La fonction — — (1 + Y, + Yo + . • . + Y„) 



est majorante pour toutes les fonctions fir/ijKt 



ai,ty,i-h bi, 



decnt uiie courbe C aboulissanl au point x^. Soient x,, x deux points de cetle 
coiirbe uiixquels correspondent deux valenrs s, et z, de z. On deduit de l'6qua- 
tion ( I bis) 



/^'"^X"'*'-' 



dx. 



Lorsque x, lend vers :r„, 5, lend vers zero el le module du premier membre de 
celle egalile augmenle indefiniinenl, landis que le module du second membre 
conserve une valeur finie: il ne peut done y avoir une inlegrale tendanl vers 
zero, dilFerenle de z — o. Mais le raisonnement suppose que le puinl x lend 
vers x^ en decrivant une courbe C de longueur finie. 



I. — CAI.CUI. DRS I.IMITKS. 357 

el nous sonirncs cotxluits ;"i consuliTor U; sNsleme aiixiliaire 

VI 






d\„ 
d.T 



d 



Y, 



I — 



Les toiiclions Y, , V\,, .... \„.(l*'vanl »Urf' riiillf s pour .r =:^ .r„, 
et avant lours (l(''riv(''es t'o^ales, soul Meiiliques, ct le systonie ( i5) 
peul etre lemplace |>ar I'equatioM unique 

M 



(.6) 



dx 



(\-~ nX), 



qui s'inlegre en separant les variables. L'intej^^rale qui est nulle 
pour X = Xq a pour ex|)ressioii 



v=H('-"^r"-] 



el elle est holoinorplie dans le cerole C. II en esl done de meme 
des integrales du svsteiue (i4) et, conime le nombre r peul etre 
pris aussi voisin de R ([u'on ie veul, il s'ensuit que ces inlegrales 
sonl liolotiiorplies dans le cercle (j. 

:i8S. Equations aux diff^rentielles totales. — Soiont ri, a^,, ..., x^ 
uri systeme de n \ariahlei^ indopendaiiles, z une fonction inconnue ile ce^ 
variables, ety"i, /"2. . • -.fu n fonctions donnees de Xi. x^, .... Xn, z. 

Une t-quation aux dKlVMenlielles tolales esl une relalion de la forme 

( 1 7 » dz =: fidxi-T- fi dxo -h...-T-fn d.r„ ; 

elle est I'quivalenle en realite a n equations distincles 



(i8) 



Oz _ ^■^ _ f 



Oz 
Ox„ 



= /« 



Admellons qn'il existe une fonrtion z de X\, .r.,, ..., x„, satisfaisant a 
ces /J relalions: nuns pcjuvons calcnlfM de deu\ iacons diflerentes la derivee 

seconde — {iy^k). En ecri\anl que les resullals oblenus sont iden- 

'>.r, dxi,- 

1 I n{n — \) 
ticiues. n(tns ublenons les relations 

I . '2 

ri-' az dxi dz 



rJx/, 



el la fonrtion z ne peul i}lre prise que parmi les fonctions qui salisfont a 
ces relalions. Nous allons con.siderer seulenient le cas tres important, oii 



3")S nUPITftK MX. — TllkoUKMKS n'KMSTENCK. 

ces relation? soul verifioe? I'denliqur/nent. On dit alors que I'eqiiation f 17) 
oil le svsteme e<|iiivak'nt (18) «ont ronipletemeni intei^rah/es. 

h'fant (lonnce line equation aiix dijferentielles lolnles completetnent 
integrable, ou les fonctions f, sont Iwlonwrphes dans le voisinage du sys- 

teme de valeurs ( .r,)©. ( .r* )o, ( x,, »o, -0. cette equation admet une inte- 

grale holomorphe dans le voisinage da systeme de valeurs (xi)^. .... 
( x„ )o, se rediiisant a s,, pour .r, = ( x, )o, . . ., x„= ( j-„ ),,. 

Les equations ( 18 ). el celle« que Ion en deduit par des difTeientiations 

suecessives. permei tent d'expr imer 1 oule< le-; deiivees paitielles de la fone- 

tion inconniif z an inoxen de 3. j\. r., ''„■ M:ii-. lamli- qu'il est 

t'vident qu'-m ne |ieul calculer que dune seule tacnn les (l(Mivees telle*- 

di'z . , , . 

que 1 il laut un |>eu pins d attention pour sassuier que ion obtiendra 

dxl 

loujours la ni(";me expies-^ioii pom um- derivee d'ordie queicoiique, telle 

(jp-^l - 

que 5 'tui' inn iieiit cairiiiiM ilf iiIu-Iimii- faeous dideieiites. II en 

* dxfdxl ' ' ' 

est ainsi pour les deriv<''esdu seiond ordre, iorsqiie ies conditions ( 19 j sont 

verifiees identiquenient. Pour verifier que la propriete e«t f^eneiale, il suffit 

de montrer que, si elle est vraie jusqu'aux derivees partielles d'ordrey?, 

elle est encore vraie pour les derivees partielles d'ordre p -^ i Nous nous 

appuierons pour cela sur ia remarque suivante. Soit I (J'l, J"2, . . ., x„, z > 

une fonction quelconque de Xf .^o, . . . , x„, z : posons 

dli dV CU . d^U d I d\j . 

—, — = -; i //i -; 1 — ~ —, — -1— i I, /c = I, -2, . . ., n); 

dxi dxi dz dxidxu dx/^^dxij 

des conditions (19 ) on deduil innnediatemeni que Ion a. quelle que soit 
la fonction U, 

d^ L _ d-^ U 
dxj dxi; dxi, dxi 

Cela pose, soii^ni u vA r diMi\ deri\i'es partieiie* dordre p, qui ne different 
qu'en ce quune derivaiion par rappoit a .r/ a ete remplacee par nne 
derivation par rapport a x/,-. Tout se reduil a dernonlier- que Ton a 

du du . ' dv Ov . 
dxi, dz'' dXi dz-' ' 

du d\ ... i J . ■ .1 

ou — — = — — Mais u et v out ete obtenues en ijreiiant les derivees d une 
dxii dxi ' 

derivee partielle w d'ordre p — i, par rapjjorl aux vaiiabies xi el x^ res- 

r. I div dw ,, , ,. , . , ... ... 

pectivement. ijn a done u = -; — > v = — — 5 el I eiialite a etablir se reduit 

dxi dxi; 

d^-w d^w 

a -; J — = -; ; — > relation que I on vient de demonlrer. 

axi dx/,. dxk dxj ' 

Pour demonlrer la convergence du <leveloppenient ainsi obleiiu, on pent 



I. — cam: 11. HIS i.imitks. 339 

<lon»- ierii|)l;ictM" les foiiclions f, par fics fonclions niHJoranles c;,-, pourvu 
c|ue Ion (Imisissi! ces fonclions 'j/ de facon que rfqiialion au\ diHt-ren- 
lielles toialc- aii\iliaire soil elle-nieim; complelemenl integrable. Sup- 
posons pour <siniplili(M- .r, )„ = i j",)„= . . = (.7„iu = c„ = o; on pent prendre 
pour fonrliciM inajoianlo il(! iniitos les fnnelions /"/ line expression <le la 

forme ^ — — , et r(''(|iial ion anxiliaire 



(- ■'•■^■r"" )(.-fj 

M ( dx^ -H dx-i -I- ... -1- dx„ ) 



( vio ) dt = 



^'^- ) 



est compielemenl integrahle, d'apres la svnieliie du seeond meinbre rela- 
livemenl an\ n variables .r,. Pour oltlenir iinc inlt'grale iif)loniorplie s'an- 
iiiilant avec ces variables, il siiffit de chercher une integrate qui soil 
tonction fie la seiile variable X = J^j -i- .r .>-)-...-+- a:,,, ce qui conduil a une 
equation dillerentielle ordinaire de la forme (6) 

Z M d\ 

--.)'^'^ = — X- 

/• 

Cette integrate etant representee par un developpement en serie convei- 
gente ou le coefficient d'un lerme quelconque x^' . . . x'^" est reel el posilif, 
le developpement obtenu pour z est a fortiori convergent dans le ineme 
domaine. 

Le theoreme s't-ienfl sans diffinilie au\ ^vslemes d'equations au\ dille- 
rentielles totales entre « variable.- inde|tendanles a^i, .t-t. ...,.r„el /» fonc- 
lions de ces variable* C| , .^.i -^//m 

I /•/ ,• , I- I / h =^ i , I, . . . , m\ 

ii\) dzu = fu, d.r, -t- . . . -I-.///, d.r,^. . .— J nh dx„ ( ^. _ ^ ^ 1 . 



Kn iMlciilaiil (li- i|iMi\ facons ilill'tMCntes les derivees de la lorine 
<m est ronfliiit aii\ conditions 



')■'- z, 



dXi Ox I; 



ofih <\l ill r of I,, ofi,n dfii, ofhi, 

< ■>■>- » -, — ■ — - — //.I -i- . . . -4- - — .//.,„ = —^ 'r- — — fix -!-... -4- - — /, ,„ ; 

Ox,, Oz, Oz„, Ox. OZi Oz„, 

le svsteme ( Ai ) est dit (omplelement inlegrable lorsque les conditions (^a) 
sonl vt'iifif'es idenliquement, el Ion a le llieoreme suivanl qui se demontre 
coiiimr le preci'dcnl : 

Tout syxfr/nc rn/nfi/i'frnif/if iiilt' i^rahl e . oi'i les fonclions fj sonl holo- 
niorplies dans le voisinoi^e d'un sjsteme de valeurs (Xx)^, (J"->;o, ..., 
(•'■«)o> (-5i)or •••• ( -//J )i» adniet un systejue d'integndes holoniorphes 



36o CHAPITKE XIX. — THEOREMES DEXISTENOE. 

iidus le domaine du point (.Ti )o, . . ., {XnU, prenant respectivenient les 
ia/ei(rs ( 3,)o. (-2)0, • • •, (Zm)o pour .r, = (3-1)0, • . ., ^,1 = (^i,)o- 

!^SB. Application du calcul des limites aux equations aux d6ri- 
vees partielles. — Lo c;ilciil <jes liniiles perinet aiissi de deinontrer 
I'cxislenco des inte^rales d'un sjsteme d'equalions aiix derivees 
parlielles. Cottsiderons d'ahord nr)e equation du ptemier ordre 

dz ./ dz dz Oz \ 

dz , 
oil le second membre ne renfeiiue pas la derivee Gelle equa- 

tion el celles que I on en dedult par des differentialions sucees- 
sives permetlent d'exprimer loutes les derivees patiielles de z an 
moyen de Xs. x.,^ • • ., x,t, z, el des derivees partielles de s prises 
par rapport aux variables x-,, x^, . . . . x„ senlement. La propriete 

est evidenle en enet pour les derivees de la forme - — -— : , 

' lixi ox^'- . . . ox^n 

comme on le voil en diflferentianl les denx membres de I'equa- 
lion (23) 7-2 fois par rap|)ort a x^, . . . , x„ fois |)ar rapport a Xn- 
Si Ton diflerentie les deux membres de I'equation (aS) une seule 
fois par rapport a j?,, et un nombre quelconque de fois par rapport 
aux autres variables X21 x^, . . ., Xn, puis qu'on remplace dans le 
second membre les derivees partielles ou figure une fois la va- 
riable :r( par les expressions deja oblenues.on obtiendra de meme 

les derivees , , , ^ — — exprimees de la facon annoncee, et il 

dx\ dx^'- . . . dxj-n ^ ' ' 

est clair qu on pent conlinuer a appliqiier le meme procede inde- 
finiment. 

Cela pose, snpposons la fonclion f liolomorphe dans le voisi- 
nage d'un sj^'steme de valeurs (a:,)o, . . ., (-c«)o7 *0' l/'2)o» • • -^ 
{p,i)o, el soit'j(a:2, X3, . . ., Xn) une fonclion des {n — i) varia- 
bles X2, X3, • ' ' 1 x„, huloruorphe dans le domaine du point (* ) 
{x.2)oi {^3)oy ■ • ' 1 ("C«)o? et telle que Ton ait, j>our ces valeurs par- 



(') Pour abreger, nous appelleron* point tout systeme de valeurs parlicu- 
lieres, reelles ou imaginaires, attribuees aux variables qui figurenl dans la ques- 
tion. 






1. — CAI.CUI, Dies MMIIKS. {()! 

Ii<iili«"'res, 

^'^^«=-- (^)o=^^-^>°' (.-&).. = '^'^« (^1=^P''^'>- 

Ces comJilioiis L-lanl siipposees vihilii'cs, /'('rjttadon (-'.3) adniel 
une int(''i;i-(ilr re<^iili(''ic flans Ir (lonia ine du point (:r,)o, . . •. 
(■^'«)o, et se reduisant d '^(.r.j, x-^, . . . , Xn) pour .r, ^ {x^ )o. 

l-iii lonc^tion '^(.r.j, r;,, ..., x„) peul par hvpotliese elre deve- 
ioppee en serie ordoimee siiivant les puissances positives des 
variables^/ — '.Z"/)o. f^t Ips cocriicicnls sonl, a des facleiirs niinie- 
liqiips prrs, les valeurs des (leiive(;s parlielles de cette (onclion an 
poinl (.ro)o, ..., (x,,),). L;i (onclion z^ donl nous voulons de- 
monlrcr Texisleuce, devanl se reduire a 'f(^2? ^:m -••i ^u) 
pour oTi =(ir, )o, nous connaissons par la meme les valeurs an 
point (xi)o, {X'i)q, . . ., {xn)o de toutes les derivees partielles de 
cette fon(;tion ou la variable ^, ne (igure pas. On vient de voir a 
rinstant coniinenl on pent expiimer toutes les auties derivees par- 
tielles de ^ an moven de celles-la. Nous pouvons done calculer 
de proclie en proche tons les coetlicients du developpeinenl de z 
suivant les puissances des vai'iables Xi — ixi)^ an moyen des coef- 
ficients des deux developpements de la ("onction f et de la fonc- 
lion '^, et ce calcul se (ait |)ar les seules operations d'addition et 
de multiplication. Pour demontrer la converg^ence, nous pouvons 
done encore empiojer des fonctions majorantes : si la serie obtenue 
en remiilagant dans le calcul prec«'>denl f par une fonction majo- 
rante F, et C3 par une autre fonction niajorante $, est convergente, 
il en est forcement de meme de la serie obtenue pour :;. 

On pent tout d'abord, par une suite de transformations faciles, 
remplacer les conditions initiales par d'autres plus simples. On 
pent siipposei- (.r, )o = 1^2)0 ^ • • . =( J^n)(i "^ o, car cela revient a 
ecrire .r/ au lieu de xi — (.^■/)o; ^i '^n pose de plus 

3 = tp( .Tj, a"a, ..,.r„>H-«, 

la nou vellc fonction inconnue u doit se reduire a zero pour .r , =: o. 
On pent supposer aussi qu'apres ces transformations le second 
menibre ne lenferme pas de tcrme constant; si le develo|)pement 
commeneait par un terrne constant a different de zero, il suKirail 
de poser m= (tx^ -\- v pour le faire (Jispaiaitre. l^Hites ces Irans- 



362 CHAIMTHK \i\. — tiieoukmes d'kxistence. 

formalions elanl elVecliiees, si nous remplacons le secoi)d inembre 
par line foiiclioii inajoi'iinle convenahh;, la d/'monslration du 
iheoreine se ram«''ne a eLablir- que re(|iiali(n) 

,fL IVI 

( __ -^1 ->- ■^2->-- • •-^- ^n H- Z v I _ r).r^_ "^ • • • t)y^^ J 

ou M, /•, sorii des nombres posilifs determlnt's, adinel uiie inle- 
grale holomorplie dans le domaine de rorii;ine, se rcdmsanl a zero 

pour .r, == o. Si ion romplaee dans le second menibre x^ par — ? 

a elanl un noinbre posilif inoindre que I'unile, on augnieiile les 
coefficienls, el le llieoreme sera a fortiori elabli si I'on dernonlre 
la |)i<)posiLion pour la nouxelle equnlion 

. - ^Z M 

(23) = — -^5 -r, M. 

dXi Xi . / dL oL ' 



/ i-a"2-}-...-l-a:„-h Z \ / 



lixc, Ox,, 



II suffil nieme de niontrer que celte equation admet une inte- 
grale reguliere, representee par une serie enliere dont tous les 
coefficients sont reels el posilifs. Car les coelficients de ce Iroi- 
sirme developpement soni au moins eg;iux a ceux de la serie 
obtenue en supposant que Z s annule pour r, = o, puisque tons 
les coefficients se ileduisent par voie d'addilion et de inultipbca- 
tion des coe'Hcieuls des terines inde|)endar]ts de X\. Pour etablir 
ce dernier poini , cherclions a salisfaire a I'equalion i'lo) en prenant 

pour Z une fonction de la seule variable X = — -h -e> -[-... + Xn '• 

nous sommes conduils a reijuation differentielle du premier ordre 

(26) ( M -— . = H r^ — M. 

/• 

Supposons a clioisi assez petil pour que le coefficient de jr- dans 

le premier membre soil posilif. Pour X = Z = o, I'equalion (26) 
aduiet deux racines dislincles, dont Vwne est ej^ale a zero. Celle 
equation admet done une inteyrale holomurplie dans le domaine 
de I origine, nulle ainsi que la derivee premiere, pour X ^ o. II 



I. — CALCIL DES I.IMITES. JH'i 

est aise He vc'rifier directemeiil (|ii«' Utiis les coeincienls dii ilrve- 
loppeinenl dccclte liil('i;r;ile sont <les iioinhrcs posilifs. On pent 
ecrire, en ellel, reqniihon (at)) 

-TT = A -— • -^ffM \. Z). 
o\ \0\/ 

V etanl posilif. et *I>(X, Z) designant line serie dont lous les 
coelii(-ienls sont posilif's. Apres nne premiere dei'ivalion, il vient 

in Z OZ W^ L lA^ ty* ifL _ 

J^"'^dX5X^^Jx"^JZdX' 

ponr X = o, Z el -TT soni mils, — r-^ est done positit", et on le 

verifie de ia inenie facon ponr les derivt'-es sui\atites. 

La serie oljlenne poni' le d«^\ eluppenienl de I'inlej^rale cliercliee z 
est done C()n\erj;ente tanl <pie les niodnles des dillerences Xi — iXi)^ 
restent plus |)etits qn'nn nombre positil /•. La somnie de eette 
serie est nne fonction holonioi[)lie dans le doni.iine dn point [x^ )o7 
I Xo )o. • • • . (^n)(M ''<^ reduisant a '-p^/o, J^s, • • . , •/«) [xtnr x, = (x, ly. 
Cetle fonction salisf'ait bien a Tecpiation pi'oposee ; en efTet. si Ton 

reenplace dans /' les \ariables :;, — ^- •••i — ^ par la t'on(;lion 

precedente el par ses derivees partielles, le resnitat est nne fono 
lion regnliere '!/(./■,, J72> . . . , J:„) dans le doniaine dn point (.r, )o, 
(.r2)o, • • ■ 1 {Xn)i)i f^ d aprrs la lacun tnenic iloitl on a oblenn les 

eocfficienls de la seiie c-, les dvu\ lonclions 'l el , — sonl ei;ales, 

' ox^ 

ainsi (pie ton les lenrs derivees partielles, an point (:c,)o, (J^'^jo; ■ • • ■< 

{Xnju'. elles sonl done identiqnes. 

La demonstration est la inemc* |)onr nn sysleme d'eqnalions 

siinnltanees i\n pifimer ordrc 

dont les seconds membrcs ne renterment que les variables ^i, 
■!■>, . . . , x,i, les tniielinns c, , z.,. . . , Zp, et les derivees partielles 
(In preiii HT ordre antres (pie les di'-ii vi'-es par rapporl ;i ./ , . En snp- 
posanl les seconds membres liolomorplies dans le voisinaj;e d nn 
sysl»">me parlicniier de valetirs attnbnees a tonics les variables (pii 
V ligurent (^•/•)», (-a)oi (/'/jo? ce.s ('(/nations (uhucllcnl nn sysli-nie 



364 CHAPirUK \IX. — THEORKMF.S d'eXISTENCE. 

dUnlegrales lioloniorplies dans le domaine dii point (.r, )o, • . . , 
(■2^n)o' <^f se reduisant pour x, = (a', )o a p fonrlions donnees co, , 
'^a, . . . , 'i^ dcs {n — i) variables x^, ^s, . . . , x,t, holomorphes 
dans le domaine du point (x.,)o> {Xi){u ■ ■ ■, (^n)o, et telles que 

les valeurs de 'ja et de j^ en ce point soient precisement {z/s)q 

et (/?J)o {k = I. 1 p\ /= a, 3, . . . , n). 

387. Integrale generale d'un systeme d'equations differentielles. 
— Le iheoreme precedent permet He completer sur plusieiirs 
points Importanls la theorie des equations difierentielles. Ainsi 
I'existence d'nne infinite de facteurs integrants j)Oiir une expres- 
sion telle que \^(x^\)dx-\-(^(x,y)dyen est une consequence 
immediate lors(|ue P el Q sont des fonctions analytiques des 
variables x el y (n" 374). 

Reprenons I'equation du premier ordre y' =.f{x, )), el soit 
(a^o, jKo) nn couple de valeurs pour lesquelles la fonction f{x, y) 
est reguliere. L'inlegrale holomorphe dont on a etabli I'existence, 
(|ui prend la valeur yo pour x = Xq, pent etre consideree comme 
une fonction de trois variables independantes x^ Xq^ yo ; c'est a 
ce point de vue que nous allons I'etudier. Pour fixer les idees, 
supposons la fonction f{x, y) reguliere dans le domaine d'un 
point (j7 = a, yz=9j). Nous pouvons evidemment considerer 
I'ecjuation proposee comme une equation aux derivees partielles 

Oy 
('28) — = f(x, y ) 

' Ox -^ -^ 

definissant une fonction y des trois variables x^ Xq., >oi et nous 
proposer de determiner une integrale de cette equation, liolo- 
morphe dans le voisinage du point x =■ ol, Xo= y-, .>'o= ^1 et se 
reduisant ayi, pour x = Xo- Cette derniere condition n'est pas de 
la meme forme que celle du paragraphe precedent; mais il suffit, 
pour tourner la difficulte, de prendre, au lien de x et de Xo, deux 
nonvelles variables independantes u=^ x -\- Xq, i' = x- — Xu- 
Liquation ( 28) devient 

Or Or I u-^ V \ 
et I'on est ramene a irouver une integrale de cette nouvelle equa- 



I. — rM.ni, DKS I.IMITES. 36") 

tion, holoinorphe dans le voisiuaf;e cie> valenrs M = -.>a, v = o, 
>'q=^, el se retliiisaiit a jKo pour r=o. D'apres le iheoreme 
general, il exists iinc inlegrale holomorplie, el line seiilc, reniplis- 
sanl ces conditions; nous la desigiierons par 'six, Xo, J'o), en 
supposant quon ail reinplaco // el c par leurs expressions. Soil 1) 
un doinaine delini par les conditions |x — 3^|5'"> l-^^o — '•| = ''j 
1^0 — t^| = ?'' t)^' cetlc funclion '-p(x, .z*o, yo) 6St regulicre. Elle 
posscde ditns ce domaine les proprietes siiivantes. 

D'abord, d'apres la faeon nieme donton I'a oblenue, si Xq etyo 
sont constants, elle represenle I'integrale de I'equation differen- 
I'leWe y' ^/{x, y) <|ui prend la valeur ) o pour x = Xo- Cetle 
integrale est certainement holoniorphe tanl que 1^ — al est infe- 
rieur a /•, quels que soienl Xq, y^ dans le domaine D. 

Le developpement de z>(x, Xo^yo) est de la forme 

P designant aussi une fonclion reguliere. D'apres la theorie gene- 
rale des fonctions impliciles, on peut inversement tirer de cette 
relation j'o= '^{■^, ^(ijy)i 1^ second menibre etant aussi une serie 
enticre. Cette fonclion 'ii{x, Xo,y) est idenlique a '-p(^o) ^^y)- 
En eJTel, soient Xq et Xx deux points du domaine IJ ; I'integrale 
qui est egale aj^o pour x^= Xq prend au point Xi une certaine 
valeury,, et Ion a j)^, = '^(j:-, , Xq^ y^). Mais il y a evidemment 
reciprocile entre les deux couples de valeurs {x,^, ya), (^,, y\), 
et Ion a aussi par conse(|uenl jKo ^= '^(^o? ^t^yi}- 

Soit x\^ une val(Mir (|uelcon(|ue de j? lelle que Ton ail j xj, — ,a| <;/■. 
Toule integrale holoinor|)lie de Tequiilion ('^8i, passant par un 
point quelconque (:ro,jKo> i'" domaine D, satisfait a une rel;i- 
tion lie la forme 

(3o) »(^'o, ^- y}— c. 

En ell'et, considerons I'integrale hoi omorphe egale ajKoponr^ = Xo; 
cette inlegrale prend |)Our x'^ une valeur ^1, el Ton a par eonse- 
quenl, d'apres la definition de la fonclion cp, 'f(a"y, .Tq, yo)=.>'o- 
Soit .r une atitie valeur de la vjiriaiiie dans le meme domaine, et y la 
valeur correspondanle de finlegiale ; on a aussi '^ (.r|,, :r, y) = r„, 
el par suite I inlegrale liolomorphe consideree salisfail bien a une 
relation de la forme (3o). En differenlianl par rapport a x, el 



j(;() Cll.MMTUK XIX. — TIlKdUKMKS DEXISTENCE. 

reinplacaiit r' |);ir sa valenr /(.r, )'), on en coiicliit que la lone- 
lion '-5(jr„, •^■..r) salisfail ;i la rt'lalion 

'3.) 5:;^^-^^"'->'^ = °' 

celle relali(»n se rednil I'oicemenl a iine idenlile, car elJe doil elre 
verifu'-e ponr x^^x^^ r=_ro, el le point (a^o, jKo) t^^t un poinl 
quelconqiie dii domaine D. 

Ceci pi-rniel de repondre a line question laissee en suspens 
(n" 3S3). Soit dans le plan de la varial)le r iine coiirbe qnelconqiie F 
se rapprochant indefininicnt du poinl ^"d ; nous d irons qii'une fonc- 
lion r de la variahle x, dont on pent poursuivie le prolongemenl 
analyli(|ne lout le loni,*^ de V . lend vers I'o lorsque x lend veis x^, 
snr r si a lout nonibre posilil e on pent faire correspondre un autre 
nombre positif r, tel que j' — I'o | resle inferieur a t pour toutes 
les valeurs de x siluees sur F a I'interieur d'un cercle de tajon 
Y, et de centre Xfl. Le raisonnemenl de Briot et Bouquet ne prouve 
pas qu'il n'existe pas d'autre inlegrab^ que I'inlegrale holomorphe 
lendant vers j)^o loisque x lend vers ^,,5 an sens qui vient d'etre 
precise. C'est pourlant ce qui a lieu. En effet, considerons un 
poinl delennine ( Xq, jKo) du domaine D, et prenons dans I'equa- 
tion (28) pour nonvelle inconnne la fonclion definie plus haul 

Y=i'j(j"oi -^i^^')- On a 

(Pi (9cp d's> dy 
dx dx rjy dx 

et, d'apres la relation (3i), I'equation dififerentielle pro|)Osee se 
reduil a -j- = o. Or, si y lend vers y,, lorsque x tend vers x^^^^ il 
en est de nieine de Y, et la seule inlegrale de I'equalion nou- 
velle ^ = o qui salisfait a cette condition est evidemment Y = )„. 
L'inlegrale cherchee doit done satisfaire a la relation 

c5(a7o, x,y) = y^, 
ou 

(3-2) y^ = y^(x—X^)V{x,y), 

\ ■ el, d'apres la iheorie des fonctions implicites (I, n° 187), il n'j a 



♦ 



I. — CALCn. DKS I.I.MITES. 36" 

qii'iiMf racine tie reqiiatioi) 102) triiflaiU vers i'„ lorsqiio x •end 
vers Xn. el celle racinr «'>t hion iino fonclion liolomorplie ( ' l 

II s'eiisml (|iH' loiili' iiilt'i;! all- i.\v I (Miiial ion ( '^cS) fiui passe |>;ii 
un point dii tloinaine D veiilie une lelalion de la forme ('^o). On 
dit pour c<'tle raison quo celte erpiation represeiile I' inte(>rale 
generalc tic r(''(|iial ion diHerenlielh' <lan> ce doinaine; C est la 
conslante <l'intei;ralion <{iii resle arhiltain' an moms enlre cer- 
talnes limiles. \ons a\ons \n que Ton poiivait anssi mellre I equa- 
tion (3o) sous la forme eqniN alente ^ = C3( j:, x\^^ y'^), la constanle 
d'inl<''tiraln)n elant r^, . 

Tontes ces propriety's peusenl etre elendnes a un sysleme 
d'eq nations di Here n lie lies 

a., ^ =/,... r..r. r„., t=/' ^i"=/'.- 

Supposons les seconds menibres holomorphes dans le voisinage 

du sjsteme x = a.jKi ^ ,Ji Vn = j^/i- Ui pent encore regarder 

les etpialions |)reoedentes comme un sjsteme d'equations aux 
deri\ees parlielles enire n ronclions )-, , yo, .... )„ et n -{- u 
variables independanles x, x^, (.»'))o' • • •, 0'«)o> ^^ chercher les 
inlegiales de ce systeme qui sont regulieres dans le voisinage des 
valenrs x := %, Xq=x, (y, )q=:^,, .... ( y„ )„ = 3^ et se redui- 
sent respectivenienl a [y^ )o, (^2)0! ■ • • - {yn)o |>our x = Xq. 

Soient 

\ ^^1 = 'fil-^- ^0, (ri)o. •••• (jK«.'"]' 72 = ?» 

les n fonelions ainsi definies, que nous supposons holomorphes 
dans le domaine D drdini p;u- l<-s coiidil ions j.r — 'x\'S.r, \xq — a| 5 /•, 
\yi — (y/)o|'^o. Des lormnles ('i\) on lire inversement 

<35) iyx )o = ^,(xo, X, Yi, . . .,y„), . . ., ( y„ }o = 'i„{Xo. x. y^, . . ., y„), 

el chacune des fonctions ci/ satistail, quel (jiie soil x^, a la relation 

Ox dyx ^ OVn 



f) PiCAHD, Traite d' Analyse, I. II. p. '^xh-'U-j; I'ainleve, Lerons de Sloc- 
kliolm. p. 3g;(. 



368 CHAPITRF. \I\. — THKORKMES d'eXISTENCE. 

On le demon Ire conime loul a riieiire en observant que les 
integrales holomorphcs (jui |)rennenl les valeiirs (.>'< )o? • • ■ •, (jKn)o 
ponr:r = Xq verilicnl les relations (35) el par suite les relations (36) 
que Ion en deduit en diflVMenlianl par rapport a la variable inde- 

pendante x et remplacant la derivee -^ par//. Ces relations (36) 

doivent sc reduire a des identites; en effet, Xq etant suppose fixe, 
on niontre comnie plus haut qu'on pent disposer de (j''))o> •••> (^«)o 
defagonque la courbe intcgrale ( ' ) passe par un point quelconque 
dii domaine D. Le premier membre de la formule (36) doit done 
elre nul pour les cooidonnees dun point quelconque de ce do- 
niiiine. 

Si dans les equations proposees (33) on prend pour nouvelles 
fonclions inconnues 



Vi= Oi(a"o, 3C, J'l, . ., JKn), 



(f//(-n, ^, ri' •••' JK«), 



Xc^ etant constant, ces equations deviennent, d'apres les condi- 
tions (36), 



(37) 



dx 



d\^ 

dx 



= o, 



dX„ 
dx 



lls'ensuit que toutes les integrales du s^'steme (33) salisfonl a des 
relations de la forme (35), ou (jKi)oi • ■ • i (jK«)o sonl des conslantes, 
tout au inoins celles de ces integiales qui onl un point a I'inlerieur 
du domaine D. ou les fonctions cs sont regulieres. Nous dirons 
encore que les formules (35) representent I'inlegrale generale du 
sjsleme (33) dans ce domaine. 

On pent aussi deduire de ces e(|ualions qn'il n'j a pas d'autre 
sysieme d'inlegrales que les integrales holomorphes, tendant vers 
(j ,jo, • • •, (j'«jo lorsque x tend vers Xf^. On a en effet 



;t 1( 



J' 



:obi 



■■ = yi^{x — x<i)Vi{x^, X, yu 

D (cpi, (1.2, ••., <f«) , 



yn) 



- ^ se reduil a I'unite pour.2' = .ro. 

D'apres la theorie generale des fonclions implicites, les equa- 
tions (35) n'admettent qu'un seul sjsteme de racines en j',, 



( ' ) Far extension, nous dirons que tout systerne d'integrales des equations (33 ) 
definit une courbe inteiirale. 



II. — VIM'KOMM A rtONs SI I CESSI VKS. 3<i() 

y-2 V„, leiidaiit \ers(j^,)u, . . , ( jv,,),, lursqiif ./• lend \('r->./-,j. 

el ci's riiomes sonl lioloinornlics. 

En resuiiu'-. pjir lout poiiil tin domaiiir D il [ja^-st- iiiie coiirbe in- 
lei;rale el une snile. represenlee par n eciiialion.s 17 = -i/ (jc), ou 
\r- toiici i<in> ■!/; -out 1h)I()iihii|i1u's la lit (jiie Ton a \x — a| £ /•. 



H. — MKTHODE DES APPROXIMATIONS SUCCESSIVES. 
METHODE DE CALCFIV-LIPSCIIITZ. 

:J88. Approximations successives. — La methode de5 approximations 
successiM- ;i elc cniidoyt'c avoo siicces |>ar M. E. Picarfl pour les equa- 
lion-i dillert'iit idles et pour un iiiand noinhre d'equalions aux derivees 
pailielle*. NHus ne I'appliqueron* qu au\ equations difforentielles avec un 
rouiplenient important dii a M. Krnst Lindelof. 

Supposons d'abord les variables reelles et considerons. pour fixer les 
idees. un systenie de deux equations du premier ordre 

nous admettrons que les deux fonclions y et 'i sont continues lorsque x 
Viiiie de jtq a or,,-^ a, et quei' et z varient respectivement entre les limites 
( Ko — b, y,)-h b) et 1 Zq — c, Zy-HC), que la valeur absolue de chacune 
de ces fonctions y" et o reste inferieure a un nonibre positif M lorsque les 
vai'iables .r, >', 3 restent com|)rises dans les limites precedentes, enfin qu'il 
eviste deii\ mimbre* positifs \ et B tels que Ion ait 



(39 ) 



' 'i(^,y- ^' — ?(^.y, -2')| < A|7— ^'1 -+- H\z— z'\, 



quels que soient les points (T,y, z) et (x,y', z' ) dans le domaine prece- 
dent. 

Supposons, pour la cuniinodile du raisonnenient, « > o, et soit /t le plus 

be 
petit des trois nombres po>^itils a, -, — * "^ous allons prouver que /es 

equations ( "iS ) adrnettent un systeme d' integrates, continues dans 
t'intervalle {x^, ^o-l- h), prenant les valeurs Yu et Zq pour x = x^^. A ret 
elFet. nous formerons une suite de systemes auxiliaires. Le premier s'obtient 
en remplarant^ et z dans les seconds membres des equations ( 38) par les 
valeurs initiales y^ et z^ des integrales cherchees. Ge systeme s'integre 
par quadriliires, et non-- pfiserons 

( 40 ) X, = >'u -t- / /[x, tyj. Zo)dx, z, = Zo-^ I ^{x,_y^, Zo)dx; 



370 CIIXPITRF. \l\. — TIIKORKMKS DICMSTKNCK. 

X t'liiiil compri- (l;m>i rintrixallc C/y, .r„-t- h), nous avons 

I'l (If mi' me [ Jj — Zo\ < c. Si Ton rem pi act', dans /el o, y el ^ par j'l el a,, 
les foncli<»n« de .r ainsi obtenues sont done cnnliniies enlre jTo el X(,-i- A ; 
nous jioserons encore 



.>'2 = ./o-l- / /(x, J,. J,)«^a-, S.,= ^„+/ '5( r, J>/,,3, 



)rfar. 



Pour la meme raisoii que lout a I'lieure, j-, t't Zi sonl des fonclions con- 
linues de x dans linlervalle (Xq. x^-h h), el Ion a dans eel intervalle 
I Vj — y„\ < 6, |i;.> — 5o' < c. Le procede precedenl peul done elre pour- 
<uivi indefinimenl : nous poserons, d'nue facon generale, 



(4i) 



/ 'i(ir, y„-\- Zn-\)(lx. 



AJ„ «.() • 



Toules les fonetions y^ el z„ sonl conliiiufs enlie 3*0 el a^u-f- A, el Ton a 
toujouis \yn — .i',i| < b, \z„ — Zo\ <C c dans eel inlervalle. 
D'autre pail, nous pouvons ecrire les relalions (4o) 



dt. 



ri<-^)-J"=/ /(^r",-")^^ Si{x) — Zo= I (s(l,yo,Zo) 

el par suile nous avons aussi 

(i%) \yi(x)—yo\<:M{x — Xo), \Zi( x )— z„\ <, M (x — x^,), 

X elanl une \aleur quelconque de rintervalle (^O) -J^u-r-Aj. II vienl 
ensuile 

el, en lenanl eompte de la premiere des inejiaiiles ( jy ), 

\y-2(r~~y^(x)\< f X\yi(t)-y„\dt- j B\z,( t) — z^\df, 



el, par ronsequenl. d'apres les inejjaliles (42), 
\y,(x)-yi(x)\<{A -B)iM 



( X — Xo )* 



On a une for mule analo<,'ue pour \zo{ x ) — S| ( J7)|, el, en continuanl de la 



II — M'i'iioMM vTioNs sic«:kssives. 
«'>rti'. III! s.iit (|iii> r<in ,1 <l iiiii- raciiii i^ftn rale 



3-1 



( i-i f'is ) 



I \Y„ir)—y„.,(j-)\ - M , \ _ H )"- ' - ^^ : 

' \ .X. . . 11 



\z„[.r I — ::.,,.|(.r )| < M( A -i- H )"-' 



( J- — ./•„ }" 



Lt»- (liii\ -iiies 



i > ) 



\ .'■" ^ < ri — v., ) — ( J'., —.V, ) -i- . . . -4- ( >.„_,.„_, ).-:-..., 
/ -11 -^ ( w] — -o I < -■> ■; 1 ) -i- . . . — ( J„ -/;— I ) -!-..., 



iliiiii (<ni« li's ifiiMi'v <iiiil <li'« liiiii I ioii'« cniilimH's <lc j- dans i'iiiler\allc 
( 2^0. -^'o — /' '• """ii 'Imiic iiiiiliiiriK'iiiriii iuiivfrj:«Miles dans ( t*t intervalle. 
I,<'>i siimiiii's df CL's dfiiN scries ^ (./) el Z(x) soul par suile des fonclions 
(uiilimies de ./• eiilro ./„ il ./„-//. Lcs si'-ries oblciiui's en dillerenl iaiil 
lernir a li'inio »<)iil elles-iiii'-nies iiiii InniM'iii i>iil chiin n iiciites. liiiitlcl. ihmis 
axons par e senipli' 

< A Ijv,,-,— > „^..| -,- B |^„-i — 3„_2| 
\ .1. . . II — n 

• 1 1 ■ • ''y>i ^^11 

(^ela picMiM- cMie Ic- luiiriKMis i-„. z.,. —r- •> — i — out resueclivernenl pour 

liniili'S. Iui-(|iir II aiii;inriitt! iiidi'liniineiil . \ . /.. • ■ Si. dan* les rela- 

lions 

J { jr. Y ,i~\- ^ii-\)- —, — — 'f'-^'J'" I- ~//-i), 



dx 



fir 



If iiunibre a aiiuini-nh' iiidcfiii inn-iil . il vicnt dr)iK' a la liniile 



d\ 

(It 



= f(.r, Y. Zl. 



Xr 



= o(x. Y. Z). 



el ce- fonctinn* ^ el Z salisfiml a lonlr- le> cniidilions de I •'■iiDiicf. 

La iiii-iiiode pi'ecedenle s'ap|di(pir ex idemineiil . (|iirl i|iii- -oil Ic iioiniirc 
dc>i ci|ualif)ns du «ysleme. I>es int-^alilcs i JJg i, qui joinMil nn role cssenliei 
dan* la dcinonslral ion, soul certainenient verifice*. pour des \aleurs enn- 
\cnablc< dc A cl <le f>. Ionics Ics tViis ipic Ic- (oih lion- /' el .; adnietlent 
de- flcii\cc- pailitdle- par lapport aii\ varial)l<- r cl .;. continues lorsque 
les \arial)lc- ii>icnl coiMpri-c< cut re Ic-. liinilc- indiqiK-cs; e'esl line con- 
"••tpience facile de la lormuie des accroissenienl- liiii-. Rcmaiqiions aussi 
que. -i les fonciion* /" et '.' re>lent eonliniies jorsqne ./• \arie enl re i\ — a 
ft .r„-!-a,el Ic- \arialdcs j- el z entre le- niciiic- liniiles que plu> liaiil. le 
incme raisonncuieiit pronvc re\i>lence il iin -Nslenie d'inlej;rale> \ ( ./ ) et 



S^-a CHAPITRK MX. — THKORKMKS HKMSTENCK. 

Z(^), prtMiant lis valfiirs r,! el -„ pour .r = .r„, el continues dans I'inter- 

valle (J'o — /'' .'•o-t-/'t. /' avant la niemc significalion que tout a I'heure. 

// n'e.riste pas d'autre systeine d'integrales que \{t) et Z{x) pre- 

nnnt /ex vafeurs y,) et z^ pour.r = ro. Le laisonneinenl t'lant tnujoiirs le 

. . dy 

nieine. |)ioii(»ns pour si ni pi ill or iim' *eulp t<q nation -r- =f(.r, y), et posons 

conime tout a I'heuie 

.ri = r«-^ / f(3r,y(i)dx y„=y,,^ I f{x.yn-x)dT. 

Soit Yi(.r) une inhjrrale de cettc equation prenant la valeur Ko pour 
3- = X,). el continue dans un inteivalle ( .r,,. .r^-f- o' ). a' etant inferieur au 

plus petit des nombres a et — , et tel que. dans eel inteivalle, on ait 

I Y| < .r ) — v„ I < b. Puisquc Y, satisfail a I Vi|uatioii proposee. on pent ecrire 

Y,(r.-jK.= / f\f. v,(^»H^ 

el, par suite. 

Y,(.r)— >'„(:r)= f \f{f.\,(t\]-/{(.r„^,(t)\[dt. 

Faisons successivenient dans cette relation « =i. i, 3. . . . : on a d'abord 

\Yi(x)—yiix)\<Ab(x~Xo), 
puis 

|Y,(.r)— r2^'')|<^'^ f Ab{t-Xo)df = A.^b'^^—^^^, 
et rFune facon orenerale 

\Y,(x)-y„(x)\<A"b (^^-^o)" ^ 
\ .X. . . n 

Le second meinbre de cette inegalite tend vers zero lorsque n augmente 
indefiniment ; I'intcgrale Yj est done identique a la limite de y,,, c'est- 
a-dire a Y. 

.'i89. Cas des equations lin6aires. — Le raisonnement j^eneral prouve 
que Ics integrales sont surement continues dans Tintervaile (.ro, x^-r- h) 
defini plus liaut. Mais on pent dans bien des cas affirmer I'existence 
d un intervalle |)lus etendu oil ces integrales sont continues. Si Ton 

reprend en effet la demonstration, on voil que les conditions It <" --> 
' ' ^ M 

A < — n interviennent que pour etre assure que les fonctions interme- 

diaires y^, Zi, y^, Zj, . . . ne sortent pas des intervalles (^o — ^> ^o-t- ^)i 
( So — C) -^o^-c), de facon que les fonctions /(a;, yt^ z,), (p(a7, jKi"> 2,) 



II. — APPROXIMATIONS si'CCKSSIVES. 

soieiil <les foncliniis roiiiinues <lc x eiitie .r„ el Xg-h h. l-orsque les fonc- 
lions /*( T, y. z ). '■:>{x, y, z » roteiil cnntinm's lors(|up .r varie de Xq it Xq-^- ti, 
et »|iii' V t'f - \arient de — oc a -^ tc. il est iniilili- ile tenii- oomple de ces 
condition^. Tniili's les fonrtioiisj',, Zj soul eoniiiiues dans I'inlervalle (o, a). 
Pour pouvoir deinontrer la convergence de* deii\ series (43), il suffil 
encore ijuil ivisie deii\ nombres posilifs A et B. lels que les inega- 
liles (39) suii'iit Ncriliec- qiielies que soienl les valenrs de y, y\ z, z', 
lorsqui- ./• re^te conipris dans rintervalle (x^, x^-^ a). On reconnail, en 
eiret,en reprenant le< calculs fails plu^ liaiit, que les inegalites ( j'2 6/5; sub- 
sistent. poiirvii qnOn designe par M la \al"ur niaxinuini de |/(^, Joi ^0 )| 
el de , oivT, Kii. -0 )| dans rinlervaile (./o, '0-*- " •• 

Ces conditions sont -alisfailes, d'apres la ("orninle des accroissemenls 
finis. lorsqn<' les fonclions f(x, i, 3), ^(x,y, z) adnrietlenl des derivees 
parlielle>s par rappitrl aux variables y el :;. qui reslenl llnies. quels que 
soienl y el ^. Inr-iqiie /• \ai ic de j"o ii x^-^ a.TeA est, par exeniple. le cas de 



••quation 



dy 
dr 



= J7 -H sinjK! 



le second rncinbre est une fonction continue, ijuels que soienl x el y, et 

la di'iivci; parlielle -^ est an plus cyalc a un en valeur absolne. Toules 

les inlcgraies de celle equation soul done des fonclions continues lorsque x 
varie de — x; a -l- oc ( ' 1. 

Les conclusions prcccdenles s'a[)pliquenl en parliculier anx systemes 
d"t'qualion> lineaires 

' 11 ) -T- = «;i./i -T- '^/aj'i -+-... -H ai„yn -^ b i ( t = 1 , 2. . . . , n ), 

oil les coefdcients a,/., 6, sont des fonclions de x. Si toules ces fonclions 
sont continues dans un intervalle (j"o» ^\ ). lonles les integrales de ce sys- 
tenie sont egalenieni continues dans cct inlii valie. Lorsque les coefficients 



(' ) (Jn peul deduirc un llieorenio analogue du calcul des limiles. Soil f(x.y) 
une fonoliun analytique reelte pour tout sysleine de valeurs reelles de x el de.7', 
el hidoinnrphc dans le voisinao;e. Supposon- en oulre que | /{x, y) \ reste inf^rienr 

a un iiMiiilirr lixc .M loisque Ton n lespcrti vcutcnl t*l(— )|^a. el U'*W ^ ) S 6 : 

i„. y„ <Hanl un sysltjme de valeurs reelles ipiclconques pour x el y. la fonc- 
iiony(j;. y) est h<)lf)tnorplie dans le domain*' deli ni par les inegaliles |a7— a:„|^a, 
\y — y,; T: 6, el son module est inferieur a M. Vlors, d'apres le calcul des limiles, 
Tinleprale de Tequaiion y' — /{x, y ), qui est egale a y„ pour x = jf„, est sClrr- 
menl liolomorphe dans un cercle C donl le rayon /• est independant de x^, _>'„. On 
peul poursuivre le prolongemenl analylique de celle inlegrale le long de I'axe reel, 
au moyen de cercles de rayon /•, el Ton veil (|u'elle est liolomorphe a I'inlerieur 
do la hande liinilcc par deux parailclcs a Taxe reel, a une distance /• de eel axe. 



374 niMMTKi: \i\. — iiikokk.mk?. n'K\isii;>(;i;. 

sunt (les |)i>Knomt'>, limit's Ics iiiloi;i;ilt's ".oiil ilonc coiitinufs lorsquc x 
varii" <lt' — X ii — -n. 

Kn sf lin»il;mt ;ui\ vsn i;ililes n'olles, on \(>il (|iit' Irs inl('-^i;ilt's de* eqiiii- 
tioiis liiu'aiit's ne |>(Miveiil avoif (raiilics points sin^uliii-^ qiu' ceiiN des 
copflicienls. Cette propriett- si iinpoilanle nc s't'lcnd pas a daiitres eqiia- 
lioiisen appait'iice anssi sini|)lcs, par cxi'iuplf a I fqnalion >' — ) -. 

;>9(). Extension aux fonctions analytiques. — La ini'iliodi' pL-m iMio 
eleiitlue au\ vaiiables complexes. II snKit (i"obsei\ei' pour lela quo Ton a, 
pour unt' fonclion aiial\tique dune ou |)lusieuis variables, des ineij;alitt's 
analogue- an\ ineijaliles ( U) ). Soil d'abord /"( .7- ) une lotiction ludoniorphe 
d'uui,' variable coinplexe.r dans une aire t> !iniiti'(> par une ('(inri)e ronvexe C 
el -ui' eetle courbe elie-nienie, el -nil \ hi valenr maxinniui de |/'( ''>| 
dans eelle region. I, a diflV'renrc /( .r.i i — /"i ./ j ), on v, el x-, soul deux points. 

(]ueb-onques de eelle rt'-j^ion. esl e^aie a rint('';i;rale di'tinie \ f { x) dx. 

prise le lon^ di' la dioite qui joint ees deux points. On a dour 

I _/■( x<, ) — /■( .r, ) I < A I a" -2 — .7-1 1 . 

Soil de meme _/"( .r, y ) une fonrtion holomorphe des deux variables .r 
el v, lorsq'ie ces variables reslent respertivement dans deux regions i> 
el t> , liniilifs par deux eourbcs fermees convexes Gel C, et soient A et B 
ies valeurs maxima de \f\c\ el de 1./,! dans ce domaine. On peut ecrire, 
.7i et .r, etani deux valeurs quelconqiies de x dans i>, et ri, y^_ deux va- 
leur- queleonques de )' dans 11', 



/(.r,. .K2)— /ri-i, .»'! ) ^- f{x.i, Y-i) — /(.r,, ^K2)-t- f/(.r,. r-2 ) — /(■7'i<.ri )| 

el, par suite, d'a[)res ce quon vient de demontrer, <m a 

!_/■(. r,, y.-,) —/(.r,. Vi )| < A | .r., — r, | -{- B| r.. — _^Ki|- 

La demonstration est la memo, quel (|ue soit le nombre des variabjes 
independantes. 

Cela p(jse, bornons-nous, pom -implilier I eerituro, an oas d'une equa- 
tion unique 

dy 



(45) 



dx 



fix. y). 



dont none snpposons le second membre bolomoipbe dans le domaine 
dolliii par Ies inegalites \x — x^\-a. \ v - Vo\=b. Soit iM la valour maxi- 
mum de I /( X. y )\ dans ce domaine. et h le plus petit des deux nombres n 

et - . Dans io plan i\e la variable x, decrivons, du point .r„ oomme centre. 



II 



II. — \iM'Uo\i.M\ I IONS si(:(:k>>ivi;s. 375 

un cfirlf * 1/, <li' r.iNoii // il |i(is(im>, cuiimif uii la dfja fait, 

V,, = .)'»-*- j /( .r, 7„_,)^/x; 

la limile su|)t''iiiiiic .r- riaiil im imiiil inlfiii-iir a (1/,. on tlt-iiioiil re ilaljoid 
(If |iiii(lie cii pinciif i|iir I'lm a 



.^1 



-r„|</A |.>-2-.>-nl c/> \y„~y.\<i>< 



Toiili-- ic-^ toiKiioiis )-,. J'., y„- ■•■ >oiil (loiK- (ie;- loiiclioiis li<«lo- 

miMiilies de x dans io cercle G/j, et le pioct-dr |h-iiI el re (•(•niiriiK' iiidt'li- 
niinenl. Nous ixiuvons encore ecrire 

-46) 7„(j"i— .r„_,(.r)= 1^ )/{/,y,<-i{n\--/\(,yn-'iin\ldf> 

linlejiiale etant prise siiivanl la lii;ne di oiie qui joitil les deii\ puints x^, x. 
Suit A la valeiir inaximmn de -^ lorsque Ion air — xA -h Ay — }'o| = '-' ; 

dy 

dapie-^ la it;iiiar(|uc (|iii \i(nl d'etie faile, nous avons toiijours 

I yi /•.>'"-!( "I -./V-.r«-2(')l| < A| r„_,(/)— ,r„-.,(n|. 

Pour deinonlrer que I'mii a ime ineiiaiile analo<jue au\ inefjaliles {4'2 6/.«), 
su[»posons que IVtn ail 

|^-.r„l"-' 



.>-«-,(/) -r«-2( 01 < M'^" 



1.2. .{n — \) 



ce qui a lieu ('videinmeiit pour // = •>.. Soil x — x^^-^ re^^ \ le ehangeinenl 
de variable / — r„ = -je^' lamene I'intefirale (46) a une inle<;rale |)rise le 
loiif; de I'axe reel de o a /•, et Ton a ( n" \\{Vi) 

\y„,x) -7„_,(.r)| < /' ma;— — --?^l-i-— «^p = MA— ^~^ 
• 
on 

|.y„(.r)-r„_,(.r)|<,MA" > 1^^=^- 

La suil(.- de la deinonsi ration s'aelieve coiiiint phi- li.inl. La serie ilnnt 
le terriie general e^l j„ — Y,t-\ »'sl uniformt-nient emiveriiente dans le 
cercle C/, et. comme tous ses termes ->onl des fonelioiis lioloinorphes, 
la •iomiiie de eelle serie est une rdiietion lifdomorphe dans le menie 
eerele ( n" 1298), (|ui sati«fait a requalii)ii ( j > ) el qui prend la valeur ^o 
pour .r = ,r,|. L(; develuppemcnt imi -ei ie enlicre de cetle integrale est 
roreeinenl idcnliqiie ;i celiii (]iie {'(Mirnit le cdlciil ih's liinites. niais la 



3-6 ClIAPITRK \I\. — TUF.onEMES d'kXISTKNCE. 

liiuite obleiiue pour le rayoi) tie convergence est superieiire a celle que 
ftoime la |)rtMniere nn'thode. 

La remarque relative aii\ equations lineaires s'eieud aussi aux fonctioiiP 
analyliques. Siipposons que les coelfioients a,/,- et 0, des equations (44 » 
soifut des fonctions analyliques de la variable complexe j". Marquons dans 
le plan les points singuliers de ces fonctions et supposons que de ciiacun 
de ces points singuliers on tiace une denii-droite indefinie suivant le pro- 
longement du segment joignant x^^ au point singulier. On appelle eloile 
coirespondant au systenie de points singuliers I'ensenible des points du 
plan qui ne soni situes sur aucune des lignes preccdenles. La dioite qui 
joint le point j-,i a un point x de I'etoile ne passe par aucun des points 
singuliers et la inethode du n" 381) prouve que toutes les integrales du 
systeine(44^ "^"'i' des fonctions holoniorpbes le long de celte droite. Le 
point X etant un point quelconque de retoile, il s'ensuit ijue toutes les 
integrales du svslenie lineaire (44* ^ont des fonctions holoniorplies dans 
toute I'etoile, resultal qui seia etabli plus tard d'une autre facon ( n° 397). 

La niethode des approximations successives pcinict en outre d'obtenir 
pour les integrales rles developpemenls en series convergents dans toule 
I'etoile. Soit A une region du plan iiniilee par un conlour ferine C appar- 
tenant toutentiera I'etoile: les series fournies par la metliode des approxi- 
mations successives sont uniformement converi^entex dans A. Nous lais- 
sons au lecteur le soin de developper la demon>itralion, qui se fait toujours 
de la meme facon. 

391. Methods de Cauchy-Lipschitz. — La premiere demonstration 
donnee pai' Gaucliy de iexistence des integrales d'un systeme d'equations 
diHerentielles nous a ete conservee, grace aux lecons recueillies par 
I'abbe Moigno et publiees en i844- Kl'e a ete notablement simplifiee par 
M. Lipschitz qui a bien mis en evidence les hypollieses necessaires pour 
la validite de la demonstration. 

Pour bien saisir la suite des id<es, reprenons I'equation simple 

On a etabli (I, n" 76) que I'integrale de cette equation qui prend la va- 
leur jKo pour x = Xq est la limite de la somme 

< 4: ) yo-^i\xQ}(Xi~x^)-^f{Xi)[x.2—Xx)-^. . .-^-/{Xu-i)(:r—Xn-i). 

Xi, X9, ..., x„-i etant n — i points de I'intervalle (Xo, x), lorsque le 
nombre n augmente indeliniment de facon que tons les intervalles (x, — x,-i) 
tendent vers zero. G'est ce procede, convenablement generalise, qui con- 
duit a la premiere metliode de Gauchy. Pour simplifier I'exposition, nous 
prendrons le cas d'une seule equation 



I 



ri. — MKTHODE DK CAUCHV-LII'SCHITZ. 877 

la tonrti<>ny( /•. K ) iles \ ;irial)les leellesj-, _/cst suppust'-e con t in 11 c lornque r 
vaiie <l<' ./'o •' /".(-i-rt. «!t ijiie r \aiie dc Ko — ^ n yy\-*r- b, el il e\isle tin 
noinl)r(' p>i*ilit K l<*l (jin' I uii ait. ict >''etaiit fleii\ nombres qiielconques 
oompris I'lili*; k„ — h el Km - I> iM ./• •'■tani roiiipri« <;nlre J"o •'* 3"o -t- «> 

»49) I/' ■'■..>''> — /t-^. y>i < •<!r — r'l- 

Cctte conflitioi). iloiil liriipiiitance a ele inisc en liimit-rt' |)ar M . IJps- 
cliilz. si'ia appoiee. pour abr ('f;!'! . cnniHtioii de Li/)schitz; elle a flija el»^ 
utili^i'-e ilan« la im'tliotli' dos appioxinial ions successive'^. 

Soient M la liniitr -iipiMitMirc i\i- ' l\.r,y)\ dan^ !«• dnmainc precedent 

el /He plus petit di'» d.ii\ nombres a et — i iioii^ suppotons a >■ o, ^ >-o^. 

I'our deinonlrer que lequalion ( 48j adnieL une inlegrale prenanl la va- 
leur jp pour j- = .r„ et continue dans liiitervalle iXf^.Tn^ h), nous iniile- 
rons autant que possible la inai( he ^uivie pour etablir i'existence d'une 
fonclion primitive de ftj-j. Soil ./■ iinc \aleur de ia variable appartenant 
a <<-i intei\al!e; pienon^ entrea'oel r un ceilain nombre de valeurs inter- 

niediaires Tf. x>. ..., J'/—i, Xi I'n—i allant en croissanl de Xq a x. 

Nous poserons successivement 

^i'>' y\ = j'u-^/'-T-o- j'o)(-ri — 3-0), yi= y\^ fy^'\,y\}(^i—ii), 

et dune lacon geiiiiale 

< >' ) yi = yi-\ -i-/( j"/-i, yi-\ )(^/— •'■/-i) i /= i ,■>.,....// — 1 1. 

l-a ^omme 



( bj. ) 



y 7" = ^0 -t- /' -i-^-y^) ix, — x„)-r-/(xi. yi)( .r, — x,)^. 
I -h/{x„-,.y„-,)[x — x,i-i) 



oi\ir une analogie evidente avec la sotnme ( 4" ) a laquelle elle se reduit 
lors(|ue la fonclion fix.y) ne ilepend pas de k. On est done conduit a 
recherclier si celte somme lend vers une limile lorsque le nombre n 
au<iinenle indefinimenl. \ous gineraii<eions la question en delinissant 
d'abord deux sommes analogues au\ quantiles S el .s i 1. n" 71 ). 

Consifli-rons je tiiantile ABC forint' par les (lrnitt!S avaiil jjoui- equations 

X = .r„^h, Y =y„— -M' \ — ro), Y =y„— .M ( X -j-o)- 

Dapres la faeon dont on a <l<liiii A, la lone lion /{ x, y ) est continue lorsque 
le point (x, y ) VKfiie ii linteiieur ou sur les coles de ce triangle et sa valeur 
absolue est au plus egale a M. 

Les paralleles ii I'axe des y. X = Xi, X = x^, .... X = x decoinposent 
ce triangle ABC en un certain nombre de trapezes isosceles dont le premier 
se reduit a un triangle. Soient VI, et m, les valeurs maximum et miniinnm 
de y'(.r, jr) dau'i ce triangle A A, C| : on a — M - m, < M 1 _ M. Par le point A 
menons les droiies de coelficienls angulaires M, el mi qui renconlrent la 



378 CHXI'ITBK XIX. — THKOHEMKS d'eXISTKNCK. 

Hroite \ = .ri en dtni\ points Pj et p\ dnni les ordonnees sunt lespeclive- 
HKMit > I = j',,-1- i'Vl)(X| — ^0) el Ki =^r(i-i- w 1(0:^1 — .r,,) [la Icltre >',• ne 
dcsii^nanl plus la nienie quantile que dans les formules ( Jo ) a (5>.)J. Ges 
points 1*1 et i>\ soiit evideninuMil a I'interieur du triangle ABC ou sur les 
cotes, el Ton a Yi>-^i. Par le point P] nienons la droite de coeflirient 
angulaire M jusqu'a sa rencontre en Qo aver la droile (lob^, et par /?i nienons 
de inenie la droite de coefficient anjiuiaire — I\l jusqu'a sa rencontre en 175 
avt'c la nieine droite a,b.,. Soienl i\l, et /«9 les valeurs maximum et nii- 



••'ig- 9'- 




Jl'n*fl 



nimum de /{x. y ) dans le trapeze P] O^q^pi; la droile de coefficient angu- 
laire Mo menee par Pj rencontre la droite a^^b-i en un point P2 dont I'or- 
donnee est 

Y2= Y, + M,(:r2 — .r, ), 

el la droile de coefficient angulaire wto menee par yo, rencontre ^2^2 en un 
point />2 d'ordonnee ^2 = J'l -l- "^-2(^2 — ^i )• On a evidemmenl ^i^- y-i, 
el Y2 — ^2 = Y] — y,. I'egalite ne pouvant avoir lieu que si la fonction f(x,y) 
etait constante dans le trapeze PiQj^'i/)!. Le procede peul etre conlinue; 
ayant obtenu deux points P,_, el />,_i sur la droite a,_i6,_i, menons 
par P,_, une parallele a ,\B et par /),_, une parallele a AC; nous formons 
ainsi un trapeze isoscele P,_] Q,9,/?,_i. Soienl Vl, la valeur maximum 



II. — MKTM(»l)i; KI-: rVM in-l.ll'SCHIT/.. i~\) 

(If / ( .r. K 1 (l.m^ re I f, 1 1 11' /.I- fl ///, 1,1 \ ,1 1 (11 1 III ill I III II III : l.i iliuii c- dc ciicdi- 
cifiil ;iiii;iil;iiri' M, iiitMiic |i;ii I', | rciiciuil i c Li (liniic //,//, i-ii iiii poinl I',, 
el la diuili' <le ciienicifiil iiii;,'ulairf //i, mt'iioi' |iai />, | iciicoiili <• tt,fi, iii 
III) |)i>iiii fii. Nous roiMiitn- aiii<i <lcii\ lii;nes puh i^'niialc- |iai°laiil ijii |i<)iiil A. 
A I'l I*.. ... I*. I r, . . . I'„ 'III I,. (I A /'I />: . . . /»,--! />,... p„ oil /. abniil i>«aiil 
a <l«Mi\ |»iiiiii> !'„ I'l !>„ cli' la iliniic \ — v. |)'a|ii('^ la coiisl i iittinn iiicmic 
df ri>« (l('ii\ li;;ni'<, il (■■■t r\id.'iil i|ircllc> -nni rune i*l laiilic daii» !■• 
Iriaiiijlc Vh'-, (|Ui' la li^iie I, f-l I'mh ciilifii- aii-de«-ii- dc /, rt i|iif la di-^- 
taiicr di- ry^ di'ii\ li:^iic> iniii|>ii'.' »iii iiiic |iarali»'"lr a l'a\c <>) m- pciil 
dilllilllli'l lii|»(|iif I'lili-cis^r ( roll ill- ,/•,, ;i /•. I.c- nlildlllli'CS \„ el y„ dcs 

dcii\ |>i>iiil- i'\lii'iiir» »<iiil Idiil .1 Tail aiialoiiiies au\ soiiiinos S el s 

( I. h" 71 I. Nnll^ pn^clniis S — Y„. .V == T„. 

.\ clia(|iii' iiiiidi- (If <iiltdi\ I-ilnii lie riiitiTvalle (x^s -r ) correspoiKl iitie 
•fomiiie S it mil' ^Mniinr v. "^^1 !"iiii siilidi\isi' rliaciin de« inlei\ allcs nai- 
liel- ( ./•, ,. ./■, I en iiiliT\.illr< |iailirl- pill* pi'lil- d'liiH- facmi a iliit rail c 
la (-oti^l riii'l ion l;ciiiiii'| rii|iir iii'i'ii'drn 1 1' iiiniilir i in iiii'd iai I'liii'iit i|ii*' la 
li;;iii' L' col ic--|Miiida!il a crllr nmividlc ilixisinn r-l loiil fill Ii'tc aii- 
d(;ssoii« dc I. <t la li;;iM' /' aii-de->sii« Ar I. <>ii ;i done S'_S, *':^.">'. en de^i- 
m>aiil par di'- Id 1 1 1'< acrciiliiee* li*~ ^oniiin - ielari\esa la seconde dix isifiii. 
On en runcliil. rniniiii' an ii" 71. ijih- .si S, .v. S|. .s'l rcpresenlent re.specli- 
venienl li"; .>-oimne.>i rclalive^ a d<Mi\ iiiode* q iielnuuitips de division de 



ill I CIV a I If ( .r„. x ). on a .v < Sj, .Vj < S. liii 



ml par I la liniilr inle- 



rieure <les xunine* S el par I' la liinile siiperirun' t\v< soinines .v. on a 
done r ^ I. 

F'niir que le.s ■^oinines S el .v aieni nne lirnile coinninne loisque raiii|)li- 
tnde maxima de.s intervalles parliels lend vers zero, il taiil el il siiffit que 
S — .s iiiide vers /.ero. \oiis poiivoii< ecrire, en effel, 

S — .« = S — [-(-! — I'-H I— .v; 

la diU'iTriice S — .V lie pent eire inlV-rieiirf .i iiii iioiiiljie i que si eliaeun 
de< nonihres S — I. I — I'. I' — s ( donl ancun iie peiil eIre nejjatil i est 
liii-niriiie infiiieiii a i. \.f iioiiiImc posiiif s elaiit arbitraire. reel ne pent 
avoir liiii .|iir si lOii a I— I. rl il l.iiil en outre que S el .v aiiMil |)oiii 
liinite ciiiniiiiiiie I. I'oii i i'l ,i Idi i q lie S - .v a zein pniii lirnile. il ne snitil 
pa- de -iippnsii la (niielion /'i ./. V I eoiiliiiiie. el ("est iii q u'i nl ei vient la 
eonililion de Lipschit/. 

Soicni \i el V, les ordonnees d,- pniiits I', et />, et o, la dillerenee 
Y,— I,. La rMiKliioi /'(./•. 11 I'lani conliniie dans le iiianiile AHd. a tout 
noiiiljie posiiil' ) lions ponvcns I'aiie ( orrespondi e nii autre iioinlire |>o- 
sitif J lei ijne I On ail 

• \ f^-r. V) —fi-r'.y' )\<\. 



poiirvii que hi ili«iaiiee des deiix poiiils ( .r, y ) et { t' . r' ) dii trian^Me WV. 
soil inft'-rieure a t '■ nous Mi|ipo>erons loiites les diUV-renees .r, — ■'', \ inle- 
rieiiies a j. D'apres hi eonsl i ik t ion qui donne les [)oints |\, y>, ;in nioyen 



}8(> ClIVPITKK Xl\. — TIIEORKMKS d'kXISTKNCE. 

ties poirHs P,_i,/?,_|, nou? avon>; 

0/ = o/_i -+- ( M, — m, )(.r,- — .r,_, ) ; 
H'aiitrt* p^rt, on peut ccrire 

M ,■ — ,n, = /( J-), y'i ) — /( J-;, y"i ) 

= /('T^'i, y'i ) — f(-'P"h y'i) ^[/^ x"i, y'i) — f( x), y"i)], 

(.r',, y'i) et (x), y",) olant les cooiflonnee<! ile <lt!u\ points <lu trapeze 
\\—tQ,qiPi-i. On a (lone, en tenant compte do la condition (49), 

M,— m,- < A H- K|,7; — ,k'/|: 

mai-i la dill'erence \y"i — jk', | est au plus ei;ale a o/_i h- 2 iVl (^;— a",_i), et 
nous avons encore 

M, — m, < A -H •>. M K ( ./-/ — .r,_, ) -+- K o,_i . 

Siipposons tons les inteivalles assez petits poni' que tous les produits 
2MK(x/ — ^/— 1 ) soieut inferieuis a A; la dilleience iVl, — nii seia inle- 
rieure a uA -f- K o/_i et, par "^uite. nous avons I'inegalite 

(53) o/< o/_,[i 4- K(xi—Xi-i)] -+- uX(.r, — .r,_,) 

que i'on peut encore ecrire 

On a done a fortiori, 






En faisant / = i. a, ..., 11 successivement dans cetle derniere formule 
et en uiiiltipliaiit niembre a nienibre les inegaliles obtenues, il vient 

■y.\ il .. 

ou 

S — ;9 = 0„ < ^ I e'^"-'V— ij. 

Li' noinbre |)0-;itif A, pouvant etre pris aussi petit qu'on le veul pourvu 
ijue tous les intervalles partiels soient eux-memes inferieurs a un autre 
nombre positif convenablement choisi, on voil que les sommes S et 5 ont 
une limite commune. Cette limite est une fonction de x, F(.r), delinie 
dans I'intervalle ( x„, Xq -^ h). Nous allons niontrer maintenant que cetle 
fonction F(x) est une integrale de I'equation proposee (48), se rediiisant 
^ fo pour X = x„. Nous continuerons pour cela a nous servir de la repre- 
sentation geometrique. 



ir — MKTIIODK HE CAUCHV-LIPSCHITZ. 38 1 

LuiMjtic tolls lc-> iiilci \ iille- pHilifls tfinlciit \i'v< /.ova. non seuleiiienl 
Ir- exlremiles Hes diux li-no |i(ily^onale'> L ii / i<-mltMii \ei> uw point 
liinite, ntais ces liijiu-s clles-im'mcs leiideiit vers uin- courbe limile. line 
dioite qiu'lconqiie parallels au r6l«* BC renconlit- la ligiie I. cii un |joinl I' 
<'l la ligne /en un |Miint p ct la distance \' p esl infeiieure a S — $. D"apre'» 
les |jn>|)iietes de <e< liijnes |)ol\ j^onales, lou* les points P onl leurs ordon- 
nees superieures aux ordonnees de*; points/?: connme la distance Vp lend 
vers zero, il s'en^nit que les points P el /> tendent vers un seul point 
limile— sitiie sur la droile consideree. Le lieu de ces [)oint< tt est evidem- 
nienl iiiie courbe C situee entre les den\ lif;nes polygonales L el / et 
passant au point A. L'ordonnee d'nn point de celte courbe d'abscisse j 
esl egale a la fonclion ¥{x) definie lout a I'lieure, <ar pour a\oir la posi- 
tion du point TT sur la drfdte X = x. on n'ulilise que les portions des deuv 
lignes polygonales qui sunt a gaurbe de celte droile. Suppo-^ons les deux 
lignes polygonales I. et / prolougecs jusqu'au cote W.. Ions le* intcrvalles 

parliels elanl iiifc'-rieurs au plu< petit de- drux nonibces t. — rrr ■> d 

■4 M K 

soient \*(x), Q(.r( les deux fonrlions continues qui repre<entenl les ordon- 
nees dun point de la ligne L el de la ligne / dans I'lnlervalle (Xf,. Xyy-r- h). 

La dillVrence P( .r ) — 0(x \ esl inferieure a 4— ' ^'*'' — ' ). el cliacune des 

K 

fonclion* P(jr), Q(.?) didfit- de V^x) d uiie (pjantilc nioindre. Couime A 

pent elre rendu aussi petit quon le ^eut, on voil que Ion peul former 

une serie unifoimemenl convergenle de fonclions continues ay ant pour 

somme Y(x) dans linlervalle (j-q, .To-h A); celte fonclion esl done aussi 

continue. ( Voir T. I, p. 474-^75•> 

Toule ligne polygonale comprise enlie I- et / a evideninient pour limile 

la meme courbe C. Telle serait la ligne polygonale A dont les coordon- 

nees(x/. 3, ) des sommets successifs s'obtiendraicnt par la loi de recurrence 



■>/ — "I— I 



/( .r,_i, z,_,j(j-/— Jv_,), 



le premier sotnmel ilaiit le point (jtq, ^u); nous relrouvon? les expres- 
sions (52) qui nou< onl servi cle point de depart. Remarquons aussi que. 
si Ton applique la construction a partir d'un point Wyx' . y') de la courbe C 
on oblieul deux lignes polygonales L' et /' comprises enlre L el / el qui 
se rapprorheni elles-memes de plus en plus de la portion de C comprise 
entre M' el la droile BC. Soil d'apres cela y\.\x\y' \ el W {x\ y° ) deux 
points voisins de Ci a"''> x ). Le coefficient angulaire de la droite M'M" esl 
compris enlre la valeur maximum et minimum de f(x^ y) lorsque le 
point la:,^) cJecril le triangle forme par les droites 

X = .r". Y— y= M(X — .r'), Y — y' = - M ( X - ^r' ) ; 

si la dillereni;e x" — x' esl iufc-iifure a un uoiiibre |)osil if cboisi coiivena- 
blemenl, ces deux valeurs Att fKx,y) dillcreronl Av f{x\y' ) et A& J\x' , y" ) 



382 fiixpiTfu: \i\. — TiiKoRKMEs d'emstenci:. 

• I'aiissi |)«'ii i|ir<>ii le Munliii. Si run "li's ileii\ points, M" par CM-mple. se 
rappioclit' iiuli'-liiiimeiil ilii premier, le roeKioient anjriilaiif <\v M"M' a 
.lone pour limite f{.r'. y'). \y,\ fmiclion F(a) salisfail par tim^((|iniil a 
reqiiatioii (liHerenlielle propiisri- (48i: il <"*l <railleiir« evident i|mc la 
eoiiiiie (! pa<se an pnini \. ("fsl-a-dii c i|iii' Ion a F( ./„)=: j„. 

I, a eourbe C est la seuie repondaiil a la (|iie>ti<)n. S'il en exislait iine 
«ecoii(le <V, eette eourbe C ne poiirrail elie a la fois aii-dessoiis de loutes 
le* lifine* L et au-dessus de tontes le< li^iies /, puisque ees lignes tendenl 
veis la eourbe C On ponrrait done tronver, par exeniple. iine ligne I> qui 
serail renronlree par eetti' ligne C Coniine C est au-dessous de la ligne L 
rians le voisinage du point A, supposons i|u'elle passe au <le«sus de L en 
traveisant eette ligne en un point «, dii eote P,_i P, et soil //r,_i le point 
de C <i'abseisse J'i-\. Le eoefllcient angnlaire de la corde n),-^/!, ist egal, 
ilapres le theorenie des accroissenients linis, a la \aleiji d<- la ionclioii 
y(j', j^ien un point rle Tare /»/_| //; ; ee coelTieient angnlaire m; [)enl <Jone 
etre superieur an coefdeient angnlaire dn ((ite P,— i P/. pnisque Tare ///,_i /«, 
est dans le trapeze P,_, Q/^,/?,-,. Or la figure monire qu'ii devrait liii 
etre superieur. 

La premiere metliode ile (JaiicliN, et ((die des approvimalions sucees- 
sives, ilonneiit, on le voil. la meme limite |ioiir I inlervalle dans Icqmd 
rinlegrale exisle eertainement. Mais, au point de vue tlieorique, la metliode 
de Gaucliy possede une superiorite incontestable: nous allons montrei. 
en ellet, que eette metliode permet de trouver I'integrale <lans tout inler- 
valle fini oil celie-ci est continue. D'une lacoii precise. sn|)posons que 
{"equation (4^^ admelte une inlegrale j' = l'(ar) continnc dans I'inler- 
valle ( aTy, ^y-!-/j. que la tonclion f\x^ y) soil elle-meme continue dans 
la region ( E) du plan des xy liniitee par les deu\ droiles x = ./■„, x =^ x^^-^ I, 
el les deux courbes Y = F( j; » ± r,, t, etant nn nombre posit if pris a volonte, 
et verifie la condition ( 49) dans ce domaine. Imaginons que Ton decompose 
lintervalle (a^y, J"u-4- /) en inlervallcs partiels plus petits et (|iie ifju ron- 
strnise la ligne polygonale A, dont on vient d'expliquer la construction, 
parlant du |)oint i Xa, j^u ) et relative a ce mode de subdivision. Poiirvu 
que tolls les intervalles partiels soient rnuindres qiiiin nombre posit if 
conveiiable 3". eette ligne polygonale sera lout eniiere dans la re- 
gion E. et la diD'erence des ordonnees de deux points de meme abscisse. 
pris sur la eourbe integrale C et sur la ligne .V, sera inferieure d un 
nombre positif donne d I'avance £. 

Soient x^,, x^. ./ j, .... .r,_i, .r,, . . ., x„-x, Xq-^ I les abscisses des points 
de division, y^y- y\, ■ ■. Y les ordonnees correspondantes de la eourbe G 
el y„, ^i, Zi, .... z,-. .... z,i les ordonnees des sommets de la ligne .V. 
.\dmetlon« d'abord que tons les sommets a gauche dn sommel ix,-, z,). 
soient dans la ri^gion (E;, et proposons-nous de calcnier une limite supe- 
rieure de la dirt'erence rf/= \zi — yi\. 

Nous avons d'une part, d'apres la definition meme de A, 

5, = s/_, -t-/( Xi-i , s/_, ) { Xi—Xi-i ) ; 



' II. — MKTlIOOi: l>K CM CIM -l.ll'SI HIT/.. 3H} 

il .iiiiri- piiil. tliipii's h) luiimili' ilf-i iifci'Missi'iiiriil^ lini>, on ;i jiiissi 

.>■/ .»■/ -I ^ f<-r'i. y)nxi— .r,_^ i, 

(a"/, J', ) t'l.iiil Ics ciiiirdoiiiiet's il 111! jxiiiil dc (j, cl ./' t'tniil toiii|(ris imiI i c .'■/_, 
et ./■/. < 'ii <'ii ilf<liiii 

( »4 » -/ - yi= -/-I— r*- 1 — »•'•/— ■'"/-I )|./V'7-i, -/-i) —/i •'■•/• J'/)J: 

lo coeflicieiil de ( j*/ — J:i-\ ) |>«'iii I'licoii' >"((riic 

I _/■(./•,- I . -/-I )—./■< r/-,. y, I ) I — I /■( ./-,_,, r,^i )— /( t). y'i)\. 

La viilciir ;il)»<)liic <l«' Ih inciiiii'ie dillt'it'iicc I'st, d'apit's \,\ cinidilion ( \\) ), 
inferieiiio a K ^// i. I>iim iiulie (•6l('', la ronclioii f{r',y), ('lani coiilimie 
dans la region (K), esl iiiit; roiiclioii conliiiue de x le loiij; do C el Ton 
pent prendre un nombre posit il 3" asst;/, petit pour que \f{x, y) — J i-^' y' )\ 
soil inteiienra un nombre donne positif .iX, pour deux poinls quelcomjues 
(.r. y ), ( ,r', y' j de la courbe (1 ponr\ u que | j- — j-' soil < 3". Le nombre 3" 
etani elioi<i de eetle facon. nn a done 



( ri) 



<li < r//_, -t- ( .r, — ./•,_! ){•! A -4- K rf,_i 



relalioii tnnte pareille a la ridation (Vi), el il'oii Ion dediiira |)ar con- 
se(|uenl 



di 



|ek,..,-.v_ ,]_ 



Suppo^ions le nombie /, a-^se/. petit pour que Ton ait a). (^"^^ — n < Kt, ; 
on ilablira de proche en proche que d^. dt, ..., d„ sont inferieurs a r^. 
Tons les sommels de la ii^^ne polvijonale A sont done dans la region ( K). 

Soil P(./') 1 nrdnnnic d uii pninl d<' la li^iic .V: soil de meuie Q(-/") 
lordonnee d un point de la ligne pol\gonale auxiliaire V obteniie en 
joignani les p<iint< de <J dab-^eisses j"oi J'l, ■?:;? •••• '//-i) ^o -*- /■ * *'i s* 
P ( ^' ) — F{T ) = !'(./•) — t^> ( a^ I -I- ^> ( .J" I — F{ X ); 

si I'oscillal inn de la fonclioii V { x ) dans cliaeuii des iriler\alles partiels 
est inl'eritMire a - , on a ennsiainnienl | 0( ./• i — K( .r ) | < - ( voi/- I . I. p. i74). 

Si de plu>i le nombre r, est inlViicni- a ' •. on aura|P(.r) — M(^H<-j 

el par suite |P(^) — r(^i|<i. i.a lonclicm ((Uitinue F'(.r) repri'^ente 
done la fonclion F(./)avee une appiKxinialinn mnindii' que i dans lout 
rinlervalle (x^,, .r„ — / ). 

La melliodede (iaucliv-Lipsi liilz seleiid au\ sy^lemes d'equatinu- dille- 
rentielles sans autre difliculte (|ui' qnelques complieations dans les loi- 
niuk"^. Kile selend an«<i au\ xariables complexes. I.,es recberclies de 
M. E. I'icard el de M. Taiidevc ont uionlic que la metliode conduisait a 
des de\(doppem(Mits en series conxergenles des inlegiales dans lout leur 
<lomaiiie d'e\istenee lorsr|ue les seconds membres des equations pi'<(pos«^es 
iTStenl lioliinioi |dit'^ ilan~ if doniaine. 



384 tlHAPITRK \l\. TIIKDREMES D'eXISTKXCF.. 

III. — INTKC.KVLKS PRKMIKKKS. — Ml I.TII'LICATKLR. 

392. Integrales premieres. — Elant donne un sjsleme cle (/i — i) 
etjualions iWiii'vvulwWcsa/ialyliques dii premier ordre. nous ecri- 
rons ces eqiialions sous la forme svmetrique 

dxi dx-i dxn 

les denomiiiateurs X,, Xo, ..., X„ clanl des fonctions des n 
variaMes ^i , x-^, . . . , x„. Cette forme de> equations difTerentielles 
ne sup|)Ose rieii sur le choix de la variable independanle, qui pent 
etre I une des variables Xi, ou eire prise dune facon quelconque. 
Nous avons vu plus haul que, sous certaines conditions qui ont 
ete precisees, toutes les integrales de ce svsleme qui passent par 
un point quelconque d'un domaine D sont representees par un 
sjsteme d'equations de la forme 

^ /, (071,2-2. ..., a"„)= Ci, /i(Xi,Xo, . ..,x„)= C^_, ..., 

y, , f.-, fu-\ Plant (/? — i) fonctions holomorphes dans D. 

et C( , Co, • ■ • . C«_) des constantes (|ue I'on peut cboisir arbitrai- 
rement, au moins entre certaines limites (n° 387). Les formules (5'ji 
representenl V integrate generale du sjsteme (56) dans le do- 
maine D, qui n'embrasse pas forcement tout I'ensenible des valeurs 
possibles pour les variables. II peut se faire que Ton ait plusieurs 
systemes de (ormules dill'crents pour representer lintegiale gene- 
rale dans des domaines difFerents. II est clair aussi que, dans un 
meme domaine D, le sjsteme des formules (5'-') n'est pas unique; 
on peut rem|)lacer les (/i — i ) fonctions /"/ par (/^ — i ) fonctions F/ 
ne dependant que des fonctions /}, pourvu que ces (/i — i) fonc- 
tions F/ soient des fonctions distincles des variables /"/. 

Quelle que soil la facon dont on ait pris les fonclionsy,, si les 
formules (5n) represenlent I'integrale generale du sjsleme (56), 
les fonctions fi satisfont a une meme equation aux derivees par- 
lielles du premier ordre. En eflPet, supposons les coordonnees d'un 
point .a:,, ^r^, . . • , x,i d'une courbe inlegrale exprimees en fonc- 
lion dun parametre variable; si I'on remplace, dans fi, les coor- 



I 



III. — i\ rK».K\i.ics i'iu;\iii-.iu s. \ii i,i ii'i. k:\iki k. 'i8j 

doniK'es r,. .f^, . . ., .f„ par lours expressions en tonclion tie ce 
paranietre, le resullal se rediiil a une conslanle. On a (lonc<a(/'/= o, 
el, en reinplarant, dans r//}, les diU'erenlielles fh\, d.i'.,. . . . par 
les qiiani ilt's pn»poilii>nncll<'s \ , , X^ )t) Irons c (pie /, salis- 
lail a la relahon 

< -.8 ) \( /•)= \, '■•-- -H \o ^ ^...^ \„ 4^ = o. 

0.r^ ' ifx, 0.r„ 

(lelle it;lali<>n doii se reduire a une idenlile, tpiarid f est 
reniplac»'e par //. [xiisipiOii pciil disposer des (onslantes C/ de 
faeon que la courbe inlej^rale passe par un point quelconquede D. 
Les \^n — I ) fonotions /',, /o, . . ., fn-\ sonl done yii — i) inte- 
grales de lequalion X(/) = o; lonle f'onction !!(/", ,/"o, . . . , f„_i) 
est aussi iiuc inlegrale de la uieuie e(|ualioM, quelle que soit la 
fonction M. d'apres la iclation lacile a veiilier 

^ ., on ^. . oil ^ . d\] ^ . 

lij\er>eiiieul, ua obtient ainsi tuulcs les inle^rales de I'equa- 
tion \(f)=o. Des n rclalions 

\(/) = o, X(y,) = o, ..., \(/„i) = o, 

on deduil en eflet, er) elmiinaul les eoeHicienls X,, 
D :/■/,.. A, .....A-. ) 

= =: (). 

U(j-i, .r,, .. ., a-„ } 

ee qui monlre (jue /' est une louelioi) 11 (/'i , /■,, ..., /«_») 
des {/I — I ) integrales parliculieres /', , /,. . . ., /„_,, (I, n" 28). 
Oti [)eut encore le verifier par un ohani^enieut de variables. Imagi- 
u«m^ en ellel que I on prenne un nouveau svsleme de variables in- 
dependanles y, , y.,-, • • . , y«, les n — i variables j^, , jKa, • • • , ^«-« 
elant precisenient les Ibnetions y, , y^, . . .^fn-\ elles-menies, et la 
variable v„ elant cboisie de faeon a lornier aveej',,^2? • • 'iyi,~\ 
un s^sleme de n ("onctions distinctes des variables primitives .r,, 
x-x-, • • • . ^'n- L equation X (y) =; o e>l ienq)la( <''e par' une <l'(piation 
de nienie forme 

oy\ '^y-i fiyn 

G., 11. 25 



3Sr, ClIM'irRK \l\. - TllKOKKMF.S nKMSTKNCH. 

(jiii tloil aHiiK'Ui*' les (n — i ) inle^r;ilis particiilleres 

Oil :i done 

Y, = ¥,=...= Y„_, =o, 

el requalion ( 69) se rediiit a -^ =: o. L'inlegrale g^enerale est done 

line fonclion arhitraire dej>^,,ro. ...,)«_, ('). 

L'inlegration de I'eqiiation aii\ derivt;es parlielles X(/')=: o est 
done ramenee a l'inlegration dii svsleme d'eqnations diflferen- 
lielles propose (56). Inverseinenl, supposons que par nn moven 
(pielcon(|ne on ail ohlenii nne integrate /" de I'eqiiation X(/)= o. 
Si Ton reniplace dans celle fonclion ri, Xo, . . . , .r„ par les coor- 
donnees d'lin |)oinl dime coiiihe integrale, supposees exprimees en 
fonclion d'lin paramelre variable qui pent etre I'nne des coordon- 
nees elles-memes, le resultat oblenii se reduil a une constante. 
En eflfet, si I'on suppose que x^^ Xo, . . . , ^« soient des fonctions 
d'lin paramelre variable verifiant les relations (56), la diflferentielle 
lolale df de la fonclion precedente se reduil a K.X( /*), K desl- 

gnant la valeur commune des rapports -^- L'equation /":= C est 

done une consequence du svsteme d'equations difTerentielles pro- 
pose; on dit pour celte raison que la fonclion /'est une integrale 
premiere de ce sjsleme (-). 

Si Ion connail n — i integrates premieres distinctes, on peut 
ecrire immedialemenl I'integrale generate du sjsleme (56); si i'on 
connait seulement /? integrates premieres distinctes (p <^ fi — i), 
on peul ramener I'integralion du sjsteme propose a l'inlegration 
d'un svsteme de n — p — -i equations difTerentielles. Soient, en 



(' ) Les deux raisonnements n'exigent pas que la fonclion /' soil analytique. 
f^es seules conditions necessaires sent celles qui sont exigees pour que Ton puisse 
appliquer les formulas du changement de variables, c'est-a-dire I'existence et la 
conlinuite des derivees parlielles de la fonclion cherchee /. 

(^) Le raisonnement ne s'appliquerait plus si le facteur K etail infini pour 
lous les points de la courbe iniegrale, ce qui aurait lieu si les coordonnees de 
tous les points de celte courbe annuiaient les n fonctions X,. II faut aussi fairc 
exception pour les integrales qui sont telles que I'une au moins des fonctions X,, 

Xj, , X„ n'est pas liolomorphe dans le voisinage d'un point queiconque de 

celte courbe. Ce cas se presente pour les integrales singulieres. 



III. — IM'K(.»MJ;s I'lUlMIKIW.s. Ml UII'LICATKIH. 387 

efl'el, /(, /;.. .... fp c«'s /y iiil('-i,M-alf> [)icmirrf'-> ; dcs p relations 

/, = (:,. .A=G, /,.-C,, 

4jn peiil lircr /> dcs \ ariahlts ./;,, ./•:• r„, par exeinple .r, , 

^•o, /^ (Ml foiictiitii (Ifs /? — /> variables resbmles Xy,^., . . . , .r„, 

el dcs ^> ((Histaiiles ;irl)ilraires (j, , (^j, . . ., C^,. II siiKira done de 

determiner Xp^^- -''p^i '^ u ^^ fonction dime seule vaiiable 

indepeiidanle. Si Ion ilt'sii;(i<; par X^/.^.|, ^/>i-j ^// ce que 

deviennent les fonction^ \-/>4-i X^« apres qn'on v a rem- 

place .r,, x.j, Vp par leurs (■x|)r<'-«Mon^. il snflira done d'inte- 

yrer le noiiveau svsteme 



<6o) 



dx , 



dr. 



X,. 






ou les denoininaleurs dependent de p constanles arbitraires. 

On pent encore raisonner d'une autre fagon. Si Ton prend un 
nou\eaii svstenic de \anal)k's independantes 7', , ) .j, ...,j^„, ou 
les p variables Ki, V-i^ ■ • • ■, ,)> soienl idenliques aux p inte- 
grales pieniieres connues /', . /'o, . . ••.//,, I •'qiiation \( /)=: o e>l 
remplacee pai* nne t^(|tiali()ii de rneme forme \ (f)= o qui doit 

admettre les inte;;rales /'= ) , f—.yp\ celte equalion est 

done de In forme 



Y 



/>-h\ 



Y„ -f- = o, 



et son integration se ramene a celle d'un SNSteme de 
equations diflereiil ielles du premier ordre 



dyp^ 






On \(nl par- la de (piclle iinportance est la reelierclie des in- 
t«''gral('s |)remicres. iJans chaque cas parliculier, la decouverte 
d'une intt'f^rale premiere nouvelle constitiie un pas de plus vers 
la solution complete. On ne saurait donner a cet egard une regie 
bien precise; observons seulement que le probleme revient a 
former une conibinaison integrable des equations (56), cesl- 
a-dire a determiner n facteurs a,, u.j. ..., ij.„, tels que Ton ait 



\, -+- jJLj \.> -(-... -T- fX„ X„ = O, 



388 
el tjiie 



(HAPITRK MX. 



IHKORKMKS n EXISTKNCK. 



Lo d.r-. 



\i„ d.r„ 



soil line dirteienliellc exacle dz'. II osl claireii elFel (|ik' Ion peul 
deduire des (jqiialion'^ ( ^)6) tin t)oii\(^au rapport e^al anx prtimiers 



dxi 

x7 



d.r. 



, -^ ;j.„ dx„ 



la relalion 



do = ijLi dxi -)-...-;- ;x,, rfj7,j = o 

est done one consequence des e(|natioiis (56 I -^i Ton a 
[JL, X , -4- . . . -H a„ X„ = o, 

et Ion aura une integrale premiere -Zi par des quadratures, con- 
naissanl les lacleurs a/. II en est ainsi en particiilier loules les fois 
que Ton pent Irouver n tacteurs |j.,, |jlo, . . ., u.«, ie lacleur u/ ne 
dependant que de la variable x/, de laeoii que I'on ail 



2.-^' 



<.)bservons aussi que, lorscpi'ijn a ohlenii f) inte}grales premieres 
de sjsteme (56), il peul se faire que Ie nouveau svsleme (6o) 
puisse etre inlegre completenienl pour des \aleuis numeriques 
parliculieres des constanles C,, Co, •••, C^, landis que I'inte- 
yralion eft'eclive esl impossible pour des valeurs arbitralres de 
ces constanles. 



E'jeinples. — i " Soil, a integrer Ie svsleme 
(6i; 



du 
dx 



dx 



dw 
dx 



uv ; 



on apercoit aisement deux conibinaisons inlegrables u du ^ v dv = wdw. 
On a done deux inlegrales premieres u^ — ^t»2_-(]j^ ni — tv- = C2, et, en 
porlant les valeurs de e el de w lin-es de ces relations dans la premiere 
des equations (61), on a pour determiner u rer|uatiou dillerentielle 



( 6-2 ) 



du 
dx 



= \/( u- — G| H u- — Co), 



dont I'integraie generale est une fonction elliptique ( n" 373), pouvant 
comme cas particulier se reduirea une fonction simplenient periodique ou 
meme rationnelle. Comme Ie systeme propose est symelrique en u, v, w,. 
on en conclut que v el iv sunt aussi des functions eilipliques. 



III. — IMKCKAI.KS PHK.MIKIIKS. — M I I.TIl'l.ir \TKI R. 889 

•2" <^<f>ii^i(lii ons !«' systiMiic 

chi dv dw 

( 63 ) -7- — /■»' — uw. -7— = />«• — TM, — ;— —fill — nv. 

d.r ^ dx ' dx ' ' 

oil />, q, r -Mill lies fonctions donnees de ./•. On a encore une combinai^on 
integiablf u tin -^ v dv -\- w dw ^= u, d'oi'i Ton tire I'integrale premiere 
«* -H r- -t- »i* = C Laissiinl de cute le cas oil C serait nul, on pent sup- 
poser C = 1. car le systrmc (61) iie cliange pas quand on mulliplic //, p, 
«• par un nieme facteur constant. Au lieu de tirer Tune des inconnues de 
la relation u--^v'i-\' «'- = i, on pent operer d'une facon plus symelrique 
en considerani u. c. («• comme les coordonnees d'un point d une sphere de 
rayon un, el le? cxpiimer au moyen de deux parametres variables, par 
exeniple au mo>en des parametres f|ui dcteriuinent Ics jjenerat rices rec- 
lilignes de la s|)liere. Posons pour cela 

U -^ iv I -r- MP" , « -f- iv I — W 

1 — (r u — /V ' I -(- »• u ^ iv ' ' 

ce qui donne 

I — A a . I -H A'JL A -)- 'JL 

u = ^ > V ^= I ^ w = -. 

A — ;x A — [J. A — ;jL 

En substituant ces valeurs de u, v, ^^• dans le systeme (63). on trouve 
apres quelques calculs faciles que X el [x doivent verifier une meme equa- 
tion de Riccati 

dx K i 

Tintegralion du systeme propfise est done lametiee a i integration dune 
equation de Riccati ( ' ). 

3" Prenons encore I equation inlrgrcc pai Liouville 

y" -^^(x)y' -^ f{y)y'-= o; 

en |)osant ,)'= c, on la icmplacc par le systeme 

dx dy — dz 

( " z ~ ■:.(x \z ^ f{ y)Z-^ 

d'oii Ion tire la rombinaisoii iiitegrable — -H 'Sf(T)dx — f{ y )dY ==i>. 

I>eqiialioii du '■ccond oidir pioiMi-if adimi (Imic I iiilt'-^Male premiere 

/ Z,i.ridx I /iVlrfv 

ye-'r, ' e-'y. == G, 

que Ion pourrait aussi oblenir direclement. en divisant par y' tous les 



(' } Dakboix. Theorie ties siirfoces, I. I, p. '(j-ag. 



390 (lUl'ITHi: \I\. — TllKOIlKMKS DKXISTKNCI-:. 

lornies <le I'l'qiialidn du second onlic; I equation du premier ordie precc- 
denle e«t <le la fnrmo ^)' — CXY et. les vaiiable? elanl separees, on ache- 
vcra lintt'-iiratinn par (lenx i|iiadialures. 

HemaiijKe I. — ( >n retnjjlaee qiielqiielois lesvslenie* 5(i) |)ar le sv^leme 

dr^ dx^ dx„ 

(65) -^ = ——=...= ^^ = ,//, 

t elant iine varialile anxiliaire i|iii, dans l)ien de^ (•a^. n'est inlioduite que 
pour plus de svnielrie dans les tai*onnemenls. Si 1 on a inlegre le systenie 
primilil ( 56) on obliendra t par une quadrature, car si Ion remplace a'j, 
X3. ...,.r„ par exemple par leurs expressions en luiiclion de Xf et des 
constantes G|, Go, .... C„_i dans Xj. on est conduit a une relation 

d( — P(.r|, C|, Go, .... G„_,j<:/j",, 

d'ou Ton deduira / par une quadrature. II suit de la que Tinlegrale gene- 
rale du nouveau systenie (65) sera representee par les n equations 

\ t\ = C|, f-i = (<.2, .... ,///— 1 = G,j_i, 

(66) 

( JniXy. X... X„) = f — t,„ 

/i, />, .... /'„_| etant { n — 1) integrales distincles de X(/")^o, et (,y 
une nouvelle constante arbitraire. 

Inversement, pour obtenir la courbe integrale du svsteme (56) passant 
par un point donne x^^, x'i, .... .rj*, on |)eut ehercher les integrates du 
svsteme (65), ou t est considere comme la \ariable independante, qui 
pour / = o piennent les valeurs .r*^, .rlj, . . ., /'J) respectivement. Soient 

I j:, = <p,(/:.rn. ..., .r« ), .To = ciaf /: .r». . . . , x'" ), 

' ■r,,^ o„(/; x'l, .... x^,) 

ces integrates ; il est clair que les formules precedenles represenlent la 
courbe integrale cherchee. II n y anrail exception que si toutes les fonc- 
lions \/ etaient nulles pour les valeurs initiates x^ el holomorphes dans 
le voisinage. Dans ce cas les foiinules (67) se leduiraient a .x,-^=x'}. Mais 

les ra|)ports ---^ , •••, '," se presenlant sous forme indelerminee, rien 

fix I (XX 1 

ne permet d'aflirmer jusqu'ici ipi il 11'v a pas de courbe integrale passant 
par le point donne. G'est un cas qui sera examine plus loin ( n" 417). 

Remarque II. — La liaison qui existe entre le systenie d'equations difle- 
rentielles (56) et I'equalion lineaire (58) prouve que X( /') est un cova- 
riant du systeme (56 ). Voici ce qu'il faut entendre par la. Iniaginons que 
Ton prenne un nouveau systeme de variables independanles j'j, /2! • • •; J'ra? 
liees aux variables x^, x.2, . . ., x„ par les lelalions 

(68) ''1=^1(^1, yo. ..., ,yn) (i= I, A, .. ., n); 



III. — iNTKCHAiKs I'Iu;mii:iii:s. 



Ml 1.1 ll'I.ICATKI K. 



3<)l 



frH|)I("-< Ir- roinilllcs illl rliiili-illlrlll (Ic \;i|i.ll>lcs. — =— t;sl Ullf fnliclioll 

liiK'nirc I'l Immojjt'ne <le« di'-iivi'i's -: — , el \( / ) sr cliaii^e tMi iiiu; expres- 

'■*■>'■ 
siori <l(> iiii'iih' tiii'iiii' 



( r>() » 



^ ( y ) -r V , - — t- V, - — u ...-+- Y„ -^ = o, 
'U'l 'hi ovi, 



Y|. Yj Y„ i'-r;u)l <l('s rimriimiv ,|,- Vy, y-i, ....y„- Ct'la pust'-, je (Jis 

que le ineiiic iliaiif;i'iiu'Mt ile v;iii;il)lt's appliqiu' an syslenie ( i(i) ("onduit 
au iioiiveau systeme (r/'quations (lidV'renlicllcs 



(-0) 



V, Vo 






'•ri pounail I ('tablir par un ralciil diitN I, mais cela lesiille aussi dcs pro- 
prii'ti's prccedenle*. Suit en clltl 

'ly\ __ (Qi _ _ fly,, 



(71 ) 



le systeme aiKpiel on esl cundiiil en appli(|iiaiil an «ysteme priiiiilif r5fj ) 

le changenieni di- vaiiables (68); il suflil de inonlrer que Zj, Z^ Z„ 

sonl proporlionneis a Y], Y,, ..., Y„. Or, .soil/(.r,, x-i^ .... Xn) une 
intesjrale pien)iere du systeme (5()), et 

F(^,, J'.,. ..., yn) 

la fnnclinii di'diiiie <\f.f'^.y'^^ .r.j, ..., x„) par le clianiienienl de variables: 

puisque Ton a \ 1 / 1 o, on a aussi Y( F ) = o. D'aiileurs Ff )i, y-i y„ ) 

est eviiii'Minii'Ml uiic int('i;iale pri-miere du iKiuveau svsleine {~i), c'esl- 
a-dire une inle^^rale de requalioii lim'-aire 



Z'F)=Z, 






Ln -.-- = O. 

Oy„ 



Les equat.icins lineaires Y(F)=o, Z(F)=(), a\ant les ini'ine- inh'-graies. 
tint irurs coeflicienls prnpoii ionnels. re (pii dt'inontic la proposition. 

Ce di-rnier pniiil nsnlle de re i|iiiini' ('ipiatioii liiKMire XC/")— o est 
CoinplcleiMriil del crmiMee. a uii ladi iir pres, (juand nn en ciinnail t. n — 1 ) 

Integra les dislincti's t\, J i J „ -\- '''" ell'el , les (/t — 1) equal ions \ ( /",) = 0. 

lineaires et lujinogenes en \), \o, .... \„. di'lerininent les rapports de ces 
coefficienls inconnus, ear tons li'> diiei niin.inl- d'onlre ( // — i) formes 
avee les d(''rivees partiidles des iMnclion- /', nc piiixcril ('Ire mils en ineme 
temps ( [, n' ^X i. < )ti pen! rciiiin qiiei que I'l'q iial imi liiii'airi' la pins 
gent-rale ailrnetlant le- ( /j ^1) inl I'iir ales /'/ pent -'(■ciiie 



IK 






I) (./•,, .r... . . ., x„) 

n (.rj, x-y, . ., x,i} (•tani une ItMulion arbitraiie. 



392 (:h\pitri-: \i\. — thkokkmks iikxistence. 

;i9;{. Multiplicateur. — La tlieoiii- du reicteiir integrant a eti- etendue 
par Jacob! au\ t'quations dillereutielles siniultaiiees. Soienl fi. /"■>, ..., 
/■„_, des inlegiales |)reinieies dislinctes du s\«loinf (')()): I'equation 
X( f) -^ o esl, comme on I'a deja leinaiqiu'. idenlique a leqiiatioii 

r>(-r,, .r, .r„) ■ 

Kn pcrivani iino le^ cfu'lTiritMil^ des (U'-rivces — dans les deux equations 

' Ox, 

sont proportioiinols. on esl conduil a /i relation-^ que Ion peut «'(riie 
(72) :^i^ VIX/ (f = 1. i n). 

A; designant le coefficient de — =— dans Ic dt'tei ininant A: ie fHCteur IVI 
' d.T, 

s'appelle un multiplicateur. 

<^.elle fonclion M satisfail. quelles que soient les integrales premieres /j, 
y'j fn-\- ii I equation lineaire au\ derivees partielles 



<)(\lXi) ()(MX,) ^ d(m\„) _ 

^^ dXf ~^ dr., " ' dXn 

En substituant a la place de chacun des produits 1VIX,= A, son expression 
par un determinant d'ordre n — i, et en effeciuant les derivations indi- 
quees, chaque terme du premier membre est en effet Ie produit dune de- 

rivee du second ordre telle que • — '- — '— ( i ^ /■: ) par ( /? — •>. ) derivees par- 

^ dxidxi, 

tielles du premier ordre. Pour verifier que le resultat est nul, il suffit de 

verifier qu'il ne renferme aucune derivee du second ordre. Prenons par 

example la derivee - — —. — : cette derivee liiiure dans deux termes; dans 
ox\ da?2 

I'un elle est multipliee par ^ ; '^' ' ' " ' "~' ■, ct dans I'autre par le meme 

^ ' D(a"3, .9"., ...,Xn) ' 

coefficient change de signe. La somme de ces deux termes est done nulle, 
et de raeme pour les autres. 

Si Ml est une integrale particuliere de I'equation ("3), la substitu- 
tion M = Ml [JL ramene cette equation a la forme X([jl) = o. Si Ion connait 
un multiplicateur Vl du svstenie (5(j). Tintegialp gom'-rale de I'equa- 
tion (73) est d'apres cela Mn(/,, /"^ fn-\)- " »"tant une fonction 

arbitraire. Toute fonction de cette forme est aussi un multiplicateur; en 
d'autres termes. il existe (« — 1) integrales premieres F|, .... F„_i.telles 

que Mri(/|, /,. ..., fn-\) puisse se dcduire de Fj, F., F„_i de la 

meme facon que M se deduit de f\, fi- ■■■./„-i- I' suffit pour cela que 



i 



III. — IMKGHAI.KS I'RKMIEKKS. - Ml I.I ll'I.U: ATKUK. Sp'i 

I'oii ail. en •>ii|)|)i>'^,iiii \, ^ d. 

' D(F,.F.. i-„ ,,_ , Dir,.r, I<„ ,, D./,./, /„ ,) ^^ 



^1 iJi ^-i. '.1 'n) \it)iyi-./i /«-|l DiXi r„) 

ou 

OfF,, F., F„_ 



D (./•,../,. ...,/„ , ) 



Hi /...A ./« i). 



On peul -ali-ifiiiic a cftle cdiidilinn iliinc inlinilc cle iiianieie.>i, et ineme 
se donner a laxanfe /i — •/. Hes intt'iiialcs piPinieres F,-. 
Consi(li'T(in< If -vsUmiic 

r/.r, rf.r., d.r„ 

avec la variable anxiliaiie /. Ce «y«i(Miif peut etre lamene a la fniine 
-implf 

( -5 t dvf — rlvn^ . . .— civ/i 1 = <•. dv„ — (it. 

en prenanl pnnr \aiiable<i le* n — i iiit<';u'iales premieres /",. /"j, ..../"„_, 
et la fonction /„ qui fiorure dans le*; forniiiles precedentes f 66 ) ; il est facile 
d'avoir I'expression iient'-rale des miiUiplicateurs au moyen des variables k/. 
En effet. lout multiplicaleur est de la fornit' 

"-^ ^nf;::';.:::';:;' "'^.-'---^---'- 

d autie part nous avons 

_ dx\ _ dx^ dy\ dXf dy„ _ dxj ^ 

' " "dT ~ Oj^i ~dt ~- ■ ,)y^^ (it ~ Oy„ ' 

des fnrmiilfs v^=^f^, .... y„= f„. qui il.fini»<iMil Ic oliansement de 
variables, on tire en dini'rentiant pai- rappnrl a i„ et en ri'solvanl 

D(.Vi. r-_. y„-i ) 

f)x, ^ „ , DTr.,. r, r„ » 



c>r„ Di 1,. r... 



FK./-,. ./•.2, .. ., .r„) 
et I'expression gt'-nfiale <lu uiullipli(;iieur pent •^'errire 

IM n*^ r,. Vj r„ ) • 

•!> etant une fonction arbitraire de I'l. r» .>'//-!• 

Supposnns maintenant qii'en effectuant nn ehangeiuent fie variables 



^91 ciiAi'irm: \i\. - hikoukmks d'emstenck. 

i|iit'lconque ne portant que siii Ics .;•/ saiis (.liiiiiiici- la variahle /. on ait 
lament' le sy«tenie ( 74 ) a la forme 

dx', da\, d.r„ 

(77) -^ = -^- =...^^ = dt, 

les X/ ("tant iles fonelions ties uouvelles variables x', independantes de t. 
Si M' «-'sl iin multiplieateur de ce nouvean sysleine, on a encore 

en prenant la menie fonclion '^ dans les den\ rorMnile>^, on en deduit, en 
les divisani niembre a ineinbre, 

'^' IJ( J-,, x.,, .... ./•„ ) 

ce qui prouve que, lorsqu'on connait uii multiplicateur M pour le 
systenie ( 74), on pent en deduire un muJtiplicateiir M' pour le syslenie 
transfornie. 

Getle propriele explique I importance praliqin' du niulliplicateur. Snp- 
posons que Ton connaisse n — i integrales premieres dn systeme (56) et 
de plus iin rnulliplicalenr. On pent alors ramener ce systeme a la foime 

dj\ __ _ dx'„^, ^ dx'„_^ _ dx'„ ^ ^^ 
o ■*■ o X,j_, X'„ 

par un chan<;;ement de variables, el Ion connait ra pour ce nouvean sys- 
teme un miiltiplicateur .M', c'est-a-dire une solution de I'eqnation 

(J(M'X;,^,) , a(iM'X'„) ^ 
dx',i_ , dx'i, 

M' est done un facteur inlej;rant ponr X), dx'n_^ — X'„_, f/.r'„, et Ton ache- 
vera I'integration par des quadratures. 

Un cas particulier qui se presente frequemmenl en Mecanique est celui 

on Ion a 7 -^ = o. [^'equation ( 78 I se n-duil alors a \ ( M ) = o. et Ton 

.^ OXi 

connail immediatement un muiliplicateur M = 1. 

Celte remarque s'applique aussi a leq nation du second ov(\re y" = fix, y), 
dent I'integration revient a celle du systeme 

dx dy dy' 

I "" y' ~ f^^^ yV 

si Ton en connait une inlegrale premiere (Lf^r-,^, jK) = G, on peul, d'apres 
ce qui precede, acbever I'integration par une quadrature. It est facile de 
le verifier comme il suit. Supposons I'equation <l{x,y. y') = C resolue par 
rapport a y' 

y'= 'j'(^, y, G); 



1 
I 



IV. — Til VN.SKOU.M \rii)\S IM-IMIKSIM VI.IS. 5<>5 

l<>iile>^ It;* intr;^ral<'s do oelU; rqiidlidii ilu preiiiier ordrc devanl sacislaii'e 

.1 rr(|u;itiMii y" =/■(./•. r t. (|iu-Ilf (|ue soil la coiislaiilc (',. on doit avoir 

O'i On . ... 

— i — - — ^ o — - /, ii |i;ir -nilc. |)iii-c|iie y ( ./•, ^-^ lie iLiiferiiH; pa- (^, 



dx Ov 



0- cp if- o t)'^ Oo 



ilC. f).r OC ily ■ Oy dC 

<e <|ni t'xprmie iiiie — '- esl nii lacli'iir inf ciriant pour dv — %d:r. 
I I I ,y, ; ^ \ J , 

IV. - TliWSRir.M vrioNS ISI IM ri;SlM \LKS. 

'.WW. Groupes a un parametre i " i. — TmuI rii-.Mnliie d'uiif iiiliiiii,c Am 
tiansforniHtioii- dune- nature i|iii'l(on(|iic. poitaiil sur n \ariables x^, 
J".,, .... x„. lornif un i^roupe A la I lanstonnation oblenne en elFertuant 
siicressivemenl deux transformations (]iieloon(|ues de eel ensemble fait 
encore partie de I ensemble. Considt'ion-^, ])oijr fixer les irlees. deux va- 
riables ./-. y, et soil T la transformation di-finie par les formules 

/ Xo I x'^= f{.i\y; a ), y' ^= o{ x, y: a), 

r>u (I desi<4ue uii paramelie aibitiaire. Si Ton reyarde ./• el y conime les 
coordoiinees d'un point M dans un plan, x et y' comme les coordonnees 
dun autre poini M'. les foiniiiles precedenies definissent line transforma- 
tion ponctuelle. A eliaipje \aleiir du parametre a corrr-pond aiiisi uiie 
transformation dt*lerminee; en faisanl varier re parametre, on t)btieiit 
une infinite de traiislormations dilferentes. Imaginons que Ton elfeetue 
sureessivemenl deux transformations diffdrentes de eel ensemble, corres- 
pundanl a deux valeurs (|ueleoni(in;s a et h du parametre. La premiere 
transformai ion eonduira du i ouple de valeurs (x^y) au eouple de \aleurs 
(x . y' I duniiees par les formules ( 80 i; la siiconde transformation eoiifluira 
ensuite du eouple {x', y' ) a un troisieme couple (x", y") ou Ton a 

(81) ./•" = /( ./;'. y' ; h 1, y" = cp i x' , y' \ b ). 

Uemplarons dan- ee- dernieres fm niuii- .1' ^l\ y' par les valeiir- (80): les 
(ormules obtenues 

(8>>, j ./•" = F(.y. r; <i. h ). y" =z <l> i .1- , y : a, I)) 

definissent ene<»re une I r.iusfoi inalion poncluelle dependant des ileux para- 
metres a et Ij. Nnci- diiMiis <^ue rensemble des transformations ( 80 1 f(»rrae 
un ifioupe rontinii ii lui parametre si la nouvelle transformation (87) 

(') l-a tlieorie des groupes conlinus de transformations a ete developpee par 
.Sophus Lie dans un grand nombre de Alenioircs ct fbins son niivia;;e : Tlieorie 
der Transformationsgritppen . 



396 (IIVPITKK \l\. — THEOKKMKS d'kXISTKNCK. 

apparlieiit a eel iMi>-eml)li'. I'luir celii. il f;uit tM il *iiffit (|iie les formiiles (82) 

suienl tie la fi>iine 

(83) .r" = /{.r. r: r). y=o(.r.r:c), 

c t'tani imp valeur ilu paranietre ne depemUmt que de n ct de b, 
c='\i{n, /)). La delinition qui precede s'applique evidemment quel que 
soil le nombie des variables, en paiticulier <"il n y a qii'une seule variable. 
Les foimules .?•' = ./• -h a. on 

x' = T -\- a, y' = y-^'ia, 

,t' = X cosa — r sin a. y' = x sin a -(- j' eosflr, 

.r' = ax, y = a-j' 

donneni des groupes a un paranietre. Au contraire, les transforma- 
tions 57' = a" -t- a,^' = ^' -f- rt- ne forment pas un groupe, car la transfor- 
mation resnitante de deux transformations successives x" ^= x -^ a -\- h^ 
y" r= V -(- a- -r- h^ ne fait pas partie de lensemble. 

Si dans les formules (80) qui definissent un groupe de transformations 
on pose a= Flfa), a etanl un nouveau paranietre. il est clair que les for- 
mules obtenues definissent encore un groupe. II en est encore de meme si 
Ton fait un changement de variables, eomme on pent s'en rendre compte 
a priori. En effel, si un ensemble de transformations ponctuelles dans un 
plan est tel que la transformation resultante de deux transformations 
successives fasse partie du meme ensemble, il est clair que cette propriete 
est independante du choix des coordonnees a I'aide desquelles on fixe la 
position d'un point dans le plan. Du leste, la verification est facile. 

Supposons que Ion pose x = !!(«, f ), t = Ui( u, t). et soient inverse- 
ment u = n~'(a", y). v = U^^ ( .7\ y }, de facon que I on ait identiquement 

X = n[ll-'(x, r). UiUx, y)]. y = 11, [n-i(r, r ), Uy^ix, y)]. 

Par bypothese, les transformations considerees forment un groupe et les 
formules (83) ou c = J;(<7. b) sont uiie consequence des formules (80) 
et (81 ). Soient ( u. v ). ( u' , v' }, ( 11", v" 1 les couples de valeurs des nouvelles 
variables qui correspondent respect i\emenl aux cou|)les i7-,y), (x',y'), 
( x". y" I. On a 

. u' = n-Ux',y') = 11-1 J /[nu/, i'),iI,(M.. p):a|. 'v| Du/, <-). 11, (m. v): ajj 

^ \ = F ( «. (' ; CM : 

(84} 

J V =i\-i(T',y')=n^^ \f\fiiu, i>), 11, (a, i'):a\. oflKw. v), lli(u.v): a\\ 

= *(«, <■; a), 

et tout revienl a flemonlrer que le« formules (^\i definissent encore un 
groupe lie transformations. Or on a par exeniple u" = F ( u' . c' ; b). ou 

a"= 11-1 ;/[ll( //'. v')^ II,(m', v'):b\. ©[lli «'. v' ). 11, (w', v' /: b\[. 



IV. — TR WSFOK.MM IONS INKIMTKSI. MALES. 897 

<•«' tnii •'<! t'nr.iie i-^al, |)iii-t|tic I.- tui iniiU's ( 81) i ilt'tiiiissi-nl iiii -tim()(:, a 

•' ' l./<'' ' y '^ *^ f * -*■ • ^k'; ^ I J — II ' |./'( I-. y\ <-• s - 1 /■, y. c ij, 

c"«"-l-a-fliio :i 

II-' ) /[ Ih //. i- I. Ill ( //. i- : r ). -^I 111 ^/. i), III 1 ft, »' 1; '-J I = I'l M. t': c), 

et Ton \firail ili- iin-me que I <tn a 1'= •^( (t. c : f- ). 

I>eii\ ;,'iiui|ie« lie 1 1 aiisformatioii>J ([iif I'dii lanit-iie aiii-i i'liii a I'autre 
par till cliangemeiil <le variable* ^oiil dits seinlj/ahtes. Par (■\i;mple, les 
deux jjroiipes .r'=ax, u' — 11 -^ b sont seinblables. rar on passe de j'un 
a laiilre en posant u = loj^j", = ioi^a. 

N<)u< alloiis deierniiner Ions les groupes ii nn paianietre en <np|iosaiii 
i]iie les lonclions /" et 'j, sont analyliques, et en supposant de plus que le 
gionpe rentenne la transformation idenlique, c'est-a-Hire que, pour une 
vaienr parlieuliere a„ du para metre. Ton a /(.r, y\ a«) = ./■, -i(jr. j^: a(,) = ^, 
quels que soient j- et v. 

Uans les »"quations de eondilion 

(S')) J^f'-y'- i> >= /( ^-i y- f' ), ?(•'■'• J' ; h)= -^i .r,y; c). 

on peul eonsiderer x. y, a, c eoniiue des \ariables iiidepeiidanles, el b 
comme une fonelioii de a el de c delinie par la relation c = <\i(a, b)\ 
x' el J ' sont des foneti<ms de x^ y, a. definies par les formules (80). En 
prenant les derivees par rapport a a, on lire des relations ( 8} ) 

<tf Ox Of ily' of oh '.y-w Ox' c/9 Oy' 0^ Ob 

Ox 0(1 Oy' Oti oh Oa ' Ox' On Oy' Oa Ob Oa ' 

. ob , i X ■ '''k '^'k 'Jb , , 

mais — est tinniif par la relation 1 — -7- — = o, et ne depend par coii- 

<la ' Oa Ob Oa ' ' 

>equent qin^ de a et dr h. I{ii nsidsanl le- iqnatinn- pr(-oedentes ( 86 ) par 

■ ^^' ^y' 1 ■ I 1 .■ 1 1 I i- 

rapport a • — — - on oljtieiil iloiic- des lorniules ili; la tnrme 

^' Oa On 

—/.(«, b )l{x . Y • b ), -=— = tA a, b )rAX . y , b ). 

Ui x' *t\. y ne dependent pas de 6, il en esL done de menie de X, \, r;, et 
par suite x el j-' sont les inlegrales du systenie d'equations diHerentielles 

dx' dy' . . 

( 87 ) z : — — —. — 7 — ~ f^^"^ ^da. 

iix . y ) r,(x, y ) 

<|iii pour rt = tto preniient respecli veinenl les valeurs x ct y. Inversement, 
que I les que soient les lonclions \{x, y), -f,{x, r), les formules x' = f{x,y, a), 
y' =z '^(x, y, a), qui representent les inh'-grales du sysleine precedent se 
reduisant respeclivement a x et ii y, pour une valeur parliculiere a^ du 
parametre, dermissent un groupe conlinu de transformations. INous 



SpS CHVPITUK \1\. — TIlkoUK.MKS DKXISTKXCF.. 

pnuvnns daborcl. pour simplificr. iiitiodiiire iin noiiveaii |>aiainetre t en 

pi)«aiil f= I f.i(J)fia, vc qui |)ornicl d'l'rriic Ic^ (quations differen- 

tielle^ (87) sous la forme it'iluile 

<ix' dy' 

(88) .—, 7T = , , , =dt. 

L'inlegralo lienriale tie ce svsteme peul s'eciire. comme on la vu plus 
haul (n'-aOS). 

iii(-^', y ) = <-i- ii2(-^'. y') =*^ G,, 

i2i et i>2 etant des foiiclions determinee? de x' . y' . et Ci, C.> elant deux 
constanles arbitraires. Les integrale* qui pour / = o prennent les valeurs ar 
et )' sont donnees par le sv*temp dcquations 

(8t() i),(.r',^-') = i>,(a". J). l>.,(.r',y) = 0,(3^, J^)^^ 

Les formuies piecedenles definissent bien un iiioupe conlinu, car si 
Ton efTectue successiveuient les deux transformations qui correspondent 
aux valeurs /| el /« f'u parametre. la transformation resultante correspond 
a la valeur t^-rt-i dii |>arametre. I.es deux transformations qui corres- 
pondent aux valeurs / et — / sont inverses Tune de lautre. Si ion a 

x' =f(x, y; t). y'=rs(x. y\ t), 
inversement on peut ecrire 

^ =/(^'' J''; — ^)- r = ?(^'-y;— 0- 

Prenons pour nouvelles xariabies 

u = i2i( J", y), V = iUix, y); 
les formuies 1 89 ) deviennenl 
(90) u' = u, v' = V — t; 

on dit que le groupe est ramene a la forme reduite. Tout groupe coiilinu 
a un parametre est done semblable a un groupe de trans/ations. 

Prenons par exemple le groupe x' = ax, y' = a^y. Nous avons. en 
appliquant la methode generale, 



dx' x' dy' y' 

-— = X = — , -f- = iay = 1 ^^ 
oa a da ''a 



Les equation-" difTerentielles (88) sont dans ce cas 

dx' _ dy' _ da 
x' ly' a ' 



IV. — TRANSKORMATIONS INKINITESIMALES. icjC) 

en |>fi'i;iiii / =: l<'i;«. Les i"i|iiiiti(>iis linifs dii i;iiiii|)f ix'inciil *'cciire 

^ = ^' In-./'-- lu^J-^/, 

el on les nirtlia S(ui< hi Imnu ii'duilc en |(rciiiiiil |i<nii iimi \ cllcs va- 
riables lo''.r et ^ . 



'.VXi. Application aux equations differentielles. — Suppusons qu'iine 
• ■qualion (lillV'i eiilirlli- ilimnre 

^ / c/v d^ y ft" V \ 

' ' d.T (Lr'' fix" ! 

adiii-'llc nil ;:i()ii|je iditnn At- 1 1 aii^lnrmal imi^ a iiii paianiel re, c'esl-a-dire 
soil identiqiiea reqnaliMii nliiciiiic en ellcetuaiil siir les variables j- el ^ 
le chani;fmeiil de \ariai»le- defini par les formules (Ho), quelle que soil 
la valeur nuincrique du paramelre a. On pent se servir de celle propriele 
pour siniplifier rinlt'-gratinn. En elTel, iniaginons qii'oii etl'eclue d'abord 
un ihangenient de variables de facon a raniener les equations qui de(i- 
nissenl le gioupc cousidere a la forme simple m' = «, r' = v -^ a. Le meme 
chaiigemer\l de variables, applique a I'l-qiialloii dinV-renliellc jjroposee, 
conduit a une nouvelle equation d'ordre ii 

^ ( dK- d-i- d"v , 

\ (Iti (III- da" ' 

qui ne doit pas changer quand on y remplace v par v -\- a, quelle que 
soil la valeur numerique de la conslante a. Ceci ne pent avoir lieu que 
si le premier membre 'I' ne renferme pas ia variable v. -Si I'equation est 
du premier ordre, on obtiendra I'inlegrale generale par une quadrature; 

si /I > I . on abaissera I'ordre de I'equation dune unite en prenanl — 

du 

[K)ur la fnnctioii inconnue. 

Prenons pare\em[)le I'equation liomogene du premier ordre 



dx \ T / 



Cetle ('qualion ne cliange pas, quand on riinplace x et }' par ax et ay 
respectivement, quelle que soil ia conslante a. Or les formules x' =: ax, 
J'' = aj' detinissent un groupe de transformations, que Ton pent encore 
ecrire 

^ = 7' iogy=iogj^^/. 

En posant — =: a, logj' = r. on sera done conduit a une equation s'intt^- 
granl par une quadrature (voir, n" 'Mti). 



^on 



CIIMMTHK \l\. — TIIKOftKMKS 1) KMSTENOK. 



(^onsiHerons encore I e(|ualioii lincaiic <lii itrciiiier ordi'e. el d'aliord 

dv 
reijuation lioniogene -j- ■+- P ) ~ <»• Cictlf iMpiatimi ne cliaiif^eanl pas 

i|uaiul on reinplaco r |)ai' ay. (|ii<lli' (|iu' soil la cuii-iianlc a, on peul dire 
(|u\'lle admct le pronpc dc Iraii-fiu iiial ions ./' = .r. j^' = a^. Elle s'inte- 
grera done pai' une qiiadial iii c. en pii'nant loir r pom- fnnciii)n inconnue. 
Soil en second lieu 



(93) 



dy 
dx 



^y 



I'cqiialion lini'aire i^eneiale, el soil I'l umi' inlt'ijiale parliculiere noii nulle 



>\>.- ii-qualion 



dy 



, , Vy — o. II est facile de vetiliei- ipic r<-(|ualion ( y3 ) ne 

change pas quand on ic-inphiee y par )■ -:- ayi : elle adinel done le gioupe 
de Iran^formal ions dt-fini pai- les f'uirniile^ 



X ^ X, 



21 



y 



^= \- a. 



./I 



y 

En prcnaiit pour nonvelle inconnue—) on doil done clre conduit a une 

y \ 

equation fntegrable par inic (|iiadrat ure. On est precisemenl conduit aux 
calculs du n" 3(36, el Ton veirait de nieme que les did'cients cas d'abaisse- 
ment qui ont ete signales ( n" 380j pour les equations d'ordre supcrieur ne 
sont an fond que des cas particuliers de la niclliodc preccdente. 

Ces dilferenls precedes, qui apparaissent an premier ahord coninie des 
artifices de calcul sans aucun lien entre eux, peuvenl ainsi tMre rattaches 
a un point de vue cominun au moyen de la theorie des groujies de trans- 
formations. A tout groupe continu de transformations a un parametre 
entre deux vaiiables x el y, on pent de ( etic facon faire correspondre 
une infinite d'equations du prcniici oidrc qui s'iMlc;;rfnt par une ([uadra- 
ture, et d'equalions d'ordic -uptiicur dunl <iii pcui ahiiisscr I'ordre d'une 
unite, (^ette reniarque pent avoir une importance pratique dans la mise 
en equation de certains problemes. Supposons en cflVt qu'ii s'agi?se de 
trouver des courbes planes jouissant d'une certainr proprii'ic el (pic Ton 
connaisse a priori un gnoipe ( G i de transformation> u un parametre tel 
que, si Ton applique nne Iransfornivilion quelconque de (G) a une courbe 
possedant la propriete en question, la nonvelle courbe possede la meme 
propriete. Jl est clair que re(|uation dillerentielle de ces courbes admettra 
le groupe donne de transformations. Si done Ton choisit un systeme de 
coordonnees ( m, v) tel que les equations du groupe ( G ) soieni u' =^ u, 
v' ^ V ^!- a. ICquation dillerentielle des courbes clieicliees dans ce systeme 

I I - .• di- d- c ,^ , 

(le coordonnees ne renlermera one u, -r- ■, —. — > •••• rai- exemple, sup- 

du du'^ 

posons que I'on veuille obtenir les projections sur le |)lan des xy des 

lignes asymptotiques ou des lignes de courbure d'une surface helicoTde, 

I'axe (Jz etanl I'axe du mouvc-meni lielicoidal qui fail glisser la surface 



IV. — TKWSKllUM MIONS I \ II \ IIKSI \l M.i:S. 40l 

sur olle-iiiiMiK'. II .'^l ilaii- (|u>'. -i iiiic (.milic i. <lii jilaii <lfs ary it''|H)iui a 
ia »|UO<li<iii. il t>i) *tiii lie MK'iiif lie h.ult;- le< cuiirbo (|i)c luii olilioiil en 
faisniil lotii'iK-i (> ^V^l:^ aii^lc c|ii(,'lt'uii(|iii- aiilniii ilc rori^Miic. L'c(|iialion 
(lillV'ieiilielle de ci-s cnmbes adiiict diinc h- •:i()ii|>t' Ioihk' pjii- U-s lota- 
tioiis auloiir <lf r<)rij;int' ; Ics fi|iMliuiis ih- ce ;;ii>ii|ic scinl. avec les cuor- 
floniii'-es |)i)lalii». i — s, oj = «> <i. Avri- !«• -Nbii'iii. i\{- variables ^, «>, 

r«'i|ualiftn (iiHi-riMitit'lIc nc ifiiti'iincia 'ioiic i|iif y d j- ( lunr I. n" H'S). 

J iiMinici nous a\"ns --iipiiosi' Ic tjfoiipe ("■ cciiiiiii. N()u> sdimii.'Si tlouc 
coiKltiil a examiner le probleine siiivanl : I /ir rr/ii'i/io/i di/fi'ienlielle 
eltiiil (hiniire, rcconiKtitre si die (clinct tin on /tttisieurs troupes 
conlinus de traiisforinatioiis a uit jxirnmi'tre. ft (ielerinincr ces 
^n/upes. Ci->[ line (jui'sLiun Ire< iMipiji'tanle, (|iie jt; ne puis sonijer a deve- 
lopper ici ; je rin' l)onierai a t|iieliiiii* iiidicalions. 



;HH). Transformations infinitesimales. — l^i.mi doime un systeine 
de traiisfitiiiiatiMiis .llcii iiees -.iir /i \ arialilcs. dcliiii pai !»•< forimiles 

(9\) ./•/ = //( J^-i, j^',- •••,'■«,« ) {i=\,i,...,n). 

oil les foiielions /', (lipi'inliiii il'im pai aiiK-i i e Hibilraire a, on dit encore 
que ces iraiisfurmatioiis fornieiit iiii gioupe si la traiislorination rt»>iullant 
de deux Iraii'^fonnalions quelcoiujues de ce sysleme eflectuees successivc- 
nient apparlieiil encore an systenie. On deinontre conime plus haul que 
tout groupe ((ui renlerme la Iransfoi inal ion i(lenti(|Ui', c'esl-a-dire lei que 
i"on ail, pour line vaic'ir f/ii du paraiiietii', quels qu'- -oient Ti^x-i, ...,.t„, 

fi( 5", . .7'o. . . . , ./•„ \ a^) = n ( i = I , •^, . . , n ), 

s'obtienl en inle^ranl iiri syslenif deqnatiun^ dillV'ienl i<'lles 



dr\ 



d.r. 



Soienl 

(96) 



:,»./■ 



dx', 



;« < -^ 1 5 • • • 1 •'' II } 



K ) 
= dt. 



■X j — — ^ i \ JC I J "X 2 ' 



X„\ t) ( f = I, '2, . . ., /i), 



le- integiales de ce ^ysleme qui se rediiiseiil a .r|. x.^, ..., x„ respeclive- 
nunl pour t =■ o. Les forinules (96) deliiiis^eiil un groupe continu a un 
paramelre, la vaiiable / jonanl le role de paiainelre. Mous avons vu en 
ellVl ( n" ij9:2j que linlegrale generale de ce sysleme peul s'ecrire 

i2 1 ( a: , , X 2 , . . . , x',1 )= Ci, . . . , 
i2„_, ( x]. x',, . .., x'„ ) = (J„_, , «>„ {x\ x'„) = I -^ C„. 

Sij. iij, ..., ti„ clanl n i'onclions do variable>.r, (|uc Ton a dilinies avec 
G.. II. 26 



402 CHAI'ITKK \l\. — TIIKORKMES D EXISTENCE. 

prL'cision. Les inlegrales qui pom t — o prenneni les valeuis rj, .r.. ..., 
x„ sont done fournies par K"^ lehitions 

\ ii,( t\, r'„ ) = «>/( .r, .r„) ( / = i , u, . . ., n — i). 

I i.i,> ( .r\ r'„) = 1>„ ( Xf. Xi x„ ) -f- t. 

eqiiivaleiUes aiix formules (96). Sous cette nouvelle forme, on voit i?nni»*- 
dialcment que ces Iransforinations ferment un groupe. 

Soil F(Xi, .rj, ..., x„) una fonction des n variables x,; si nous y rem- 
placons les variables x, par les fonclions x',- deduites des formules (96), 
le ri'sultat F{x\, x'.,, .... x'„) est une fonction de x,, x^, .... x„. f, qui 
pour / = o se reduil a F(Xi,Xi, ..., x„). Proposons-nous de developper 
cetle fonction suivanl les puissances croissanles de /. 

D'une facon generale, nous designons par F' ce que devient une fonc- 
tion F(:rt, X.2. ..., Xn) quand on y remplace x,- par x'i, et nous poserons, 
yetant une fonction queiconque de Xi. x^, ..., .r„, 

Of , df 

X(/) = ^i(^i, -r-i, ..-, T„) ^ -H...-^.„(j-,. .r, x„) j^~-, 

les variables .r,- etant remplacees par Xj. nous poserons de meme 

df ^ , . , df 

X'(/')= \xiT\, x, ^"^ -^ ^...^f„(.r,, ^2 •""«* 5^" 

Cela pose, nous avons d'apres les equations differentielles (93) 

-^=?.rr,. ...,^„)— +...-^;„(-r,.^„ .....r„) — =X(F); 



nous avons ensuile 



^ = ^[X',F',l = X'[X'(F',J. 



at d'une facon generale 

dPF' 



(it I' 



= X''/^'(F'), 



X'/M F' ) designant le resultat de I'operation X' effectuee /? fois successiva- 

menl. Pour t = o, Xi, x^, . . , x„ se reduisent a Xi, x.^ x„. | — — I 

est egal a \p'{F), et le developpement da F' est donne par la formula 

/ F(x\. . ..,x'„) = F(Xi Xn)-hf\(F) 

^^^> I _^ilxr-i)(F)+...-^X>'(F)+.... 

( 1.-2 />! 

La fonction F t-lani supposee reguliere dans le voisinage des valeurs Xi, 



IV. — TUA.NSI oll.M \riO.\S IMIMri>IM M.KS. /jo!i 

■r* T-„. Ih ^t-rii- ilii occnnd memliic o<t coiiMr^ieiilf luiit que |/| est 

siifli<atiitntMit jiftit. I^n |iiuticiilitM-. rifiu- iimhi* 

t I- (■> 

I I . '-t I . ■/ . > 

Donnoiis a / iim> valciii iiiliiiidii-iit |iflite rit: les foniiiile* precedentes 
|)LMiven( st'criic en posaiit o:r,—j:-} — ./ ,, et en negligeant le? infininienl 
petite il'iinlie snperieiir an premier par rapport a o^. 

(loo) o.r, r=;,o/. 0^5 =i,o/. ..., o.r„=;„o/. 

()i) (lit (|ui' re- riiiiiiiilrs (liiiiiis^ciil wue. Iraitsfoi-niation injinitesimale. 

el \(/'i.on 7 ;, • . esl le jyinbole de cette translorniatron infinitesimale. 

A tout icronpe a un parainetre correspond une transformation infinitesi- 
male, et inversemenl ; on pent clioisir a volonte n fonctions ;,, ;,. •••, ^/; 
de .ri. Xy, ..., x„. et \(/) est le symbole d'nne transformation infinite- 
simale definissant un "roupe conlinu donl on obtiendrait les equations en 
integrant le systeme dequations differentielles (gSK L'introduction des 
transformations infinitesimales a permis d'ap|)liquer a la theorie des 
groupes les methodes du calcul infinitesimal. Du reste. dans heaucoup de 
4|uestions relatives au\ groupes. c'esl la transformation intlnitesirnale qui 
iiitervient seule, comnie nous allons en voir des examples. 

Considerons arj, r*, .... J7„ romme les coordonnees d'uii point <lan- 
I'espace a n dimensions, et t comma une variable independante mesuranl 
la temps. Lorsque t varie, le point de coordonnees x\, x\, .... x'„ decrit 
dans I'espaca a n dimensions une courbe ou trajectoire partant du 

point {Xi, Xz. ?■„). L'espace a n dimensions, ou du moins un domaine 

pris dans cat espace, est ainsi decompose en une indnite de multiplicites 
a una dimension, cliaque point de ce domaine appartenant a une saule 
Miultipliriti'-. On dit qu'une fonction F( a"|, .... x,i) en un invariant Au 
groupe fonsiflt-re lorsque Ion a, quel que -oil /, 

¥{x\. ..., x'„):= F(^,. .... x„). 

II est aise d'avoir tons les invariants d'un groupe. lin effet, en divisant 
par t les deux membre« de I'equation (98). ou IVm suppose F' = F, il 
vient 

X(K)- \'--!'( F )—...- \'/"(F)^... = o; 

■I I .'1. . . p 

cette egalite devant avoii lieu quel que soit /, il faut en particulier que 
I on ail X( F) = o. Un dit alors que la fonction F admet la transformation 
infinitesimala du groupe. Gelte condition est dailleurs suffisante, car, si 
I on a Xf F ) =0, Ton a aussi X [X( F) ] = o, . . ., et par suite X'/''(F) = o, 
quel que suit p. Les seals invariants du ,s^rnupe a un parametre sont 
clone les integral es de I equation X( /) = o. 

Kemarqunn>i que -i deux groupes "ou re-pectiveinenl pour transforma- 



4(>4 ClIM'ITKi; \l\. — TIIKOREMKS d'kMSTKNCE. 

tions inliiiiti'siinalfs X(/) <'l MX(/), nij:-!, .r^, ..., .r„) I'taiit iinc fonc- 
tion qiiolconque, ccs deux groiipos out les niemes invarianls, sans elre 
i<lenliqiies. Si Ton applique a un nieme point Ics liansfoimalions des deux 
groupes, ce point decrira bien la meme trajectoire, mais avec des vitesses 
diflft'ienios. Inversemenl, si deux groupes ont les memes invariants, les deux 
transformalions inlinitesiniales X(/) et Y(y') ne peuvenl diflV'rer que par 
un faotenr 11 (.rj, ^2^ • • • , ^« ) ne dependant que de Xi, x^, . . . , cf„, car les 
deux equations \(/') = o, Y( /") = o doivent avoir les memes integrales. 
Nou* inlnxiuirons encore une notion ini[)ortanle. Soit 

(loi) xi=/(x, y; a). j, = '^(.r, j^; a ) 

un groupe continu a deux variables. Si I'fin applique une transformation 
de ce groupe a tons les points dune courbe plane C, on oblient une autre 
courbe plane Gj. Soient y'^y'', ...,^''"' les derivees successives de j' par 
rapport a x et j^', , y'[, .. .,y" les derivees successives de ^j par rapport 
a Xi; nous avons vu (I, n" 35) comment on pent calculer ces derivees suc- 
cessives an nioyen de :r, y,y-, ■■ ■, y "', <'ti qui conduit a des formules de 

la forme 

y, = .^,(.r,j., y; a), 



J 1 



'« = •i>„(x,y,y' 



a). 



Les formules (101) et (102) definissent encore un groupe de transforma- 
tions a n H- 2 variables x, y, y' , . . . , y'-"', que Ton appelle le groupe pro- 
/on^e du premier. Nous admettrons ce point dont la demonstration nofl're 
d autres difficultes que quelques longueurs d'ecriture. Nous montrerons 
seulement comment on pent calculer la transformation infinitesimale du 

groupe prolonge. Soit ^(x, y ) -p- -i- r, (a?, y) -j- la transformation infinite- 
simale du groupe donne. Nous pouvons ecrire les equations de ce groupe 



(io3) 

et ion en deduil 

dyi 



-U-r,y) 



fA^>y) 



1.'2 V ^^ '^ '' cy/ 

l.-2\0.r 'dy/ 



dy 



Ji = 



dx 



dx 



21 

dy 



dy) 



dx\ 



dx -\- - ( -^ dx ^ dy 

I \dx dy -^ 



Le coefficient de i dans le second membre, dont nous avons seulement 
besoin, s'obtient par une division, et il est egal a 



dx \ dy dx / dx \ dy 



dx) 



IV. — TKWSKOIIMArmVS INKIMIKSIM M.r.S. ^0> 

Lc" s\rnbi>li- ile la triiiisloiiniitinn iiiliiiiti-im;ilf dii ;;r(Mi|(c pi o|i>iij,m' est 
tlonc, pour n = [ , 

' • III ' ■ Or \ Oj- ^ Or Ox/-^ oy \ Oy 

I^c piocedt" est j;t'iicial. Si le cocflicient de t diiiis Ic dc\<'lnp|j(Mii(Mit 
de^'i""' est 7r(.r, ^, ^', . . ., j^*"-" ), on a pour k'/' 



d.r 



\ d.r ()y -^ / 



I \ Or ()y 

el le coeflicient de I dans Ic second incmbre est 



d:r 



\ Ox Or ' 



On peul done calcuici' de proelie en pioeiie le> Iranstoi nialions infini- 
lesimales des groupes piolonges que Ton pent deiluire dii groupe consi- 
deie, en" s'airetant a telle valeur de n que Ion vent. 

On (lit qu'un systeme d'equations dillVMentielles 

dx\ dxi dx„ 

admet le groupe de transformations a un |)aranietre G defini par les for- 
ninles ( 94 j lorsqu'il sc change en un systenie de meme lornie 

dx\ dx'., dx„ 

quand nn prcnd pour nouvelles \;irial)les x\, x\ x\,. a\i lieu de a"i, 

Xi /•„. el cela quelle que soit la valeur dii paramelre a. D'apres la 

liaison (|iii ;i I'te elahlie entre le systcme (104 ) el Tequation aux derivees 
partielles 

Oi\ dr.. Ox, I 

11 faut el il suflii peon cel;i qui- touh- I ransformal ion ilu groupe G con- 
duise rie I e(|ualion 

( -T 1 

a line t-qnalinn lineaire equivalenle a \ 1 /' ) = 0. quelle (|ue -oit la valeur 

du parametre a. Si ./"(.ri, x-, r„ > r-l une integralt; de \{f) = u, 

f{x\, x.,, .... x'„) est aussi une integrale de \'( /') = o, et, par suite, 
apres qu'on y a reni|)laee .r',, ..., x], par leurs expressions (91), 



4ori CIHIMTRi: \l\. — TIIKOIllhlKS o'l^MSTRNCIi. 

y"( .r, , . . . , .r'„ ) cloil eiicoif t'lrc une init'f^rale de \(/") = o. II s'ensuil que 
la coniiilion nece<saire el siinisante puur quo Ic sysltime d'eqiiations ciifie- 
itMilieiles (loj) admetle le giviipe de iransrormalions G, c'ost que loute 
liaii>f(>rniation de ce iiroupe chauge uiie iulegiale de requatiun X(y") = o 
en une integrale de la mi^nie ('■qiiation. 

la transformation inlliiilesimale flu groupe G. \oijs |)Ouvons ocrire. en 
remplacant le paranielre a par le paianielie f deliui plus haul, 

f{x\, x',, ..., x'„) =f(Xi, .r,, ..., j;,,^ 7 ''^-^^^ ^ "T^ T | T(y) J + . . . . 

Si X(Xi ..., ./•„ ) est une inlegiale (|uelcoit(|iie de lequation ( loti). it 
doit en etre de nienie de J\x\, r',, ) it par ^iiilc de 

f{x\, .... x',i)—f(Xi, . .., ./•„;, 
ou de 

T(/)-^^T|T(/j]-4-..., 

quel que soil /. Kn paiticulier T( /) doit etre une inlegrale de I'equa- 
tion ( loHj. Gelte condili<Mi est suffisanle. Soient, en eli'et, /"i,/",, ... fn-\ 
un sysieme de « — i integrales distincte'* ; si T(/, j, T( Z",), ...,T(/,;_i) 
sunt aussi des inlegrales, il en est de meme de Tiy"), /"etant une autre 
inlegrale quelconque. Nous avons en etreiy= W{f\,fi ...,/,i-i), el par 
suite 

T(/,= |^T,/,,*...+^^T,/„_,>; 

T(f) elaul une inlegrale, il en est de meme de T|T(y)], el ainsi de 
suite; il en est done de meme tlej\x\, a?',, ..., x'„ ). 

Done, pour que le systeme (io4) adtnette le groupe G de transfor- 
mations, il faut et il suffil que, si f est une integrate de S-if) = o, il 
en soit de meme de T(/}. On dit pour abreger que I'equation X(y) = o 
admet la transformation innnilesimale T (/). 

Gela pose, reprenons une equation dilfereulieile du premier ordre 

(,o8) ^ = ±. 

Pour que I'eiiuation X ( /"i = A — -h B — = o admelte la transformation 
' ' ■' ' Ox <>y 

in(initc<imale c -= ^ r, — , il faudra que Ion ait. en desi^iiant naroji.r, y) 

' Ox ' Oy ' n t './ ' 



» 



IV. — ru\Nsn)ii\i u io\< i\i iM iisiM vi.KS. 407 

line iiilt-^r.ilt' ( iiiil ic i| 11 11 in- cnMst.iiito ; ile \{ /} — o, 

4 ''^ ■-. ''^'^ ► ''w Oto 

A 1- B — =1), : h r — = II ( (o ), 

Ox Or Ox Oy 

ll((o) titaiU line fumliDn inilt'ti'iininri; do (o. On lirt; Av ces rclalions 

t>co _ HII(w') t^w _ AIl(w) 

7x ~ ~ A T, — B t ' U^- ~ Ar, — Bt' 

et |)ar snitf, 

<yio B rfj7 — A c(}' 

mT^ ~ ~B"= — A r, ' 

^-r r — est <l<ii)c nil r.Hli'ni' intt''j;ranl pour B f/j- — \iIy- Invcrsonient, 

DC — \'t^ 

soil GtJ-, /) une ronclinn lollo i|n«' sa flilTerenlielle lolale soit 



B c^j; — A dv 



un a a la fois 



\ ( o ) = A — !- -1- B — !- = o, T ( o ) = ^ — i- -1- r — ^ = I , 

Ox Oy • <j.r oy 

T( o I csi (liinc aussi une inle<irale de I <«|nati()n \( cp ) = n, el noij< pouvons 
enoncer le resultal comnie il suit : 

Pour (fue I't'fjiiation diJf'erentieUe (\o%) adinette le i^roupe de traas- 

i f if 

formations deduit de la Iranslorination inlinitesimale z — 1- n — > 

•' .' ./ , ,^^. J ^^, 

iljaut ei il suj'ji/ </ue-—^ — suit u/i Jac/eur intdi^raiilpour^i dx — A dy. 

(^ette nouvelle nielliode n'exige que la connaissance de la transfoima- 
lion infinitesimale dn groupe. Comme il exisle une infinite de I'acteurs 
inlenranls, on voit que loiite equation du premier oi-dre adniet inn' inli- 
nile de transformations infinilt'simales. 

Kevenons au cas fjeneral du systeme (lo'i). Suit .\(y")=:o ['equation 
lineaire correspondante el 'Y( f) le symbide d'nne transformation infinite- 
simale. Con<id«M<»ns lequatioi) 

(109) /(;-,_X|T^//l-T|\,/)J:=o, 

oil \(T(/'i] repr<''senle le resuital de loperatnin \i ) ap|)liquee a T( /*), 
el oil T[.\(/')Ja une si^niifical ion anaiii^uc; /(,/) est encore une foiiction 

lin«;aire et liomoeenc des derivees du premier ordre — =— et rie len- 

^ ' i)Xi 

ferme aueune derivee du second ordre. II suffit de verilier que les coefli- 

cienis d'une derivee du second ordre sont les memes dans X[T(/')] el 

d* /■ lY^ f 

flan< 'r|\( /i]. <»r le en.M'licienl de — ^ esl X,;, el oeini de -- 



Ox J ■ 0.1 i oxfi 



4'>8 CIIAI'ITKK \I\. — TIIKOKK.MKS l)K\ ISTKNCK. 

est \,;/. — \x ;/ tlims T[\(/)|, cl il est ('•vid.-nl que res coefficients sont 
les meines dims \[T( /")!. L'equation Z( /) =o est done uiie equation de 
meme loinic (]nc reqnalion X( /'| = o, que Ton pent eciire en metlaiil les 
coefficients en e\id(Mice 

(,io) Z( /■) = [\(?,)-T(\,)|-^ -^...+ fX(t.|_T(X,)]-^-^... = o. 

Cela pose, si T( /") est une inti-j^iale do reqnation X( /i = o, lorsqiie y 
est une inlciiiale de cette equation, toule intei;rale de \( /") = o satisfait 
evidemnient a i'eqiialion lineaire Z( /") = o; on doit done avoir (n" 392) 

(III) XfT(/-)| — T[\(y, I = p(.r,, .r,. . . ., .r„ ) \ (/). 

etant une fonrtion indetenniiK-e de :r•^, .r.,, ..., ./?„. Reci|)i(><|uement , si 
Ton a line idenlile de celle for me. toule inteirrale dc I'equation X(/") = o 
satisfail aus^i a I'equatidii \\T(J')\ — o. t-i par suite Tif) est aussi une 
inteiirali' ile l"e(|uation \( /i = o. La condition necessaire et suffisante 
pour que (equation lineaire X ( /') = o adniette la transformation 
infinitesimal e T(J'), est exprimee par la relation (iii) ou p est une 

fonction quelconque de Xi, a-^ r„. 

Cette relation est equivaJente ii { n — i i relations distinctes 

X ( -:, ) — T ( X, ) _ X r :o I ^ T I \o ) _ __ \f:„) _TrX„) 

x^ - X, — ' \;, 

Etant donnee une equation flifferentielie d'ordre n 

d'^r I dy d-iy d"-'^ v 



dx" \ ' "^ ' dx dx'- dx"-^ 

pour savoir si elle arlmet le ^lonpe de ti ansfonnal ions G deduit de la 

transformalion indnitesimale zix, y) -^ -^tAx. v) -^ ■, il suffira de rein- 

•^ Ox ' -^ ' r)y 

placer Teqiialion ( i lu ) par un systeme de n equations difTerenlielles du 
premier ordre. en prenant pour inconnnes auxiliaires les (n — i ) premieres 
derivees jk', }'". ...,y'"~^\ et d'examiner si ce systeme admet la transfor- 
mation infinitesimale dvx ijroupe proloni,^e de G. 

Prenons. par exemple, I'equatinn du second ordre r" = o{x.y,y'), que 
I'on pent rein(»lacer par le svsleme 

d.i dy dr' 



I y 'iix.y.y^ 

ou par I'equation lineaire 

-' fJx >)y dy' ' ■'''•/'' 



I 



K\KKi;i(;i:s. 4o9 

il tiiuilia I'saiiiiiii'i- si ci-tlo i-iiiKilinu .nltiiri hi I i'aii-r<>riiiiitiii[i iiifmili^i- 
mnlt' 

^f . ''A [Of, [Or, ol , , (>£ ,^ Of 

Va\ ilc\el(i|i|)iiiii li-s (iilciiU. oil iroiiM- mn' cniulii inn, i|iii reiifri iiic .r, 
)' et y . ft qui doit etre vi-iilit'e qiiellcb quo soient les valeuts <Je ces 
vaiiablt's. L'cquation dn second firdre elaiit doiinee, si Ton vcul rechercher 
les trarisfoiniations infinitesimales qu'elle adniet, les indeterminees dont 
on di«|)o«e ;( 3". )' ), r^yx,y) ne renfennent pas v'. \\n I'-crivant que la rela- 
tion |)i icedentc esl independante de k', <»ii pent avoir, suivant la fonclion 
donnee 'i{x, V, y' ). un nomhre linute ou illiniitr d'equations auxquclles 
doivent satisfaire les fonnions c(x, y) et r,(j". r). En sfcneral, ces equa- 
tions seront incniupatibles. et i'on veil qu'une equation du second ordre 
prise au iiasard nadmet pas de transformation infinitesimale. II en est de 
meme des equations d'ordre supt'rieur. ft Ion comprend par la comment 
Soplius Lie a |iu classer les fqiiations diflcrentielles. dapres If nombre des 
transformations inlinilfsiniales distincles (|u'elles admetlent. 



EXERCICES. 

1*. Soit Mo la plus grande valeur absolue de /{x-, yo) lorsqtie x varie 

de .To a x„-^a. les lettres a, b. K. j"o, y^ ayant la meme signification 

qu'au n" .'iOl. lintegrale de I'equation ^' =/(:r, ^') qui |)rend la valeur r^ 

pour .7- ^ .7„ est continue dans rintervalle ( .r,,, .ry-i-o), ; etant lo plus 

II I ' I / Kb ^ 

petit des dfux nombres a et .t log ( i -4- • 

l\ ' V M.i / 

fE. LiMii:i.()|-. Journal de Mathi'innlique.s, i8(j|.| 
I On etablit de proclie en pioche. foiniiif au n' itcSS. les ini'galites 
I .... ( ^ — ^'ii )" 

\yn-yn-U < MnK"-' '— , 

I ./.... n 
et y„ restera com|)iis enlre y„ — b et y„-T-b. pourvu que Ton ait 

"2. Trouver deii\ integiiilcs preiiiieie'« des systeines d fquatioii> ?iriHil- 



4it> ciiArrriu: \in. — tiikokkmks d kmstknce. 

laiii'es 

( a ) -. 1- 'i ( J.- ) K — •i' ( J" t •= = o, ~ ^ 'M J- 1 )' -i- w ( ./■ ) - = o, 

(tar - •' ' (/./• 

.Iv dz — 'Ix 

^•■' y{x-T-y) ix —y)(iT ^ xy -^ z) x{x~T-y) 

',i. L'e\pie«<ion — — est iiii facteui- it)l<-<;iai)l pour tly — fi — \dx. 

i. La I'onne i;viierale ties equal i<iiis (JiUV'iciil ielle< ilu |ji<iiiier otdre qui 

, Of 'If 

ailineltenl la tiaiisioniiaiioii inlinilesiiiiale }■ -^ — ■'■ -^— est 

- o.r Or 

^t' — y 

x^yy' • 
Hn deiluire un facleur inieijranl. 



o. Trouver la forme o;enerale des eqiiaii.ni- dillVi i-iii ii-lles dn piemier 



of of 

ordre qui adinetlent la transforinalion inlinili'siiuale -^ -r-.' -f-> uu la 
' Ox oy 



, Of 01 

Iranstormatioii itiliniti-siiiuile x — ay -=- - 

i)x Oy 

(j. Trouver un i^roupe de tiaiisloiiiiaiinii- pour lequalion iliilereiilielle 

dv ... 

-^ = o( X ^^av), oil a est constant, el en .Icduiie un lacteur integrant. 
dx ■ -^ ' 

T . I>es equations diileientielle.* de la courbe < lastique gauche 

yz"— z'y"= ox — ~ 'iy, 

z X — X z = ov — ;jT. 
" i 

x'y" — y' x" =: oz' — 2, 

oil 2, 3, sont des consiantes, adnittleni le- deux intej^rales premieres 
x'--h y'-^r- z'- = G, '^{ X- -^ y- } — 4^' = G'. On oblient ensuite x cl y par 
• 'integration d'une equation diflerentielle du deuxienie ordre. 

[Hkb-Mite, Sur quelqaes applications des J'oiwtions ellipliqaes ( p. gSj.j 



CHAPITRE XX. 

fiOUVTiONS ItlFI-KKKMIEI.I.KS I.I.NfiAIHKS. 



I. - l'H(JPI'.IKTi:S GENKR\LES. — SVSTlvMKS l-ONDAMENTAUX. 

Les e<|uatu>i)s diHt'icnl idles Ics inieiix t'l ncliees |iisqu a jneseiil 
soul les iM^iiiili()n> lineHiies. Elles joiiisseiil d iin ensenihle (Je 
|jri)|)rieles caraclensli(|m's, (jiii les tlislingueiil uelleinenl el en 
(acililt'Dl leliide. J) ailieiirs elles inleivieiinenl dans un grand 
iionibre d'applicalions ini|>ortantcs de lAualyse, et leur elude 
preliminaire esL lies mIiI(.' avanl d aborder les eqiialions differen- 
tielles de la (onne la plus giMierale. -Nous n'eUidieroiis iei que les 
equalions dont les coeflicieiils soul des lonelions analvliques de 
la variable indt'-peiidaiile. 

397. Points singuliers d'une equation difFerentielle lineaire. — 
Une eqiialioii dideienlie'lle lineaire d'ordre n esl de la forme 

<l" y d"-^y Hy 

a\^ ctj, .... "„j^\ elanl des f'onelions de la seule variable .r. Son 
integralioii esl ecjuivalenle a eelle dii svslenie 

. dv„ .^ 

oblcnti en pr<'n<iiil pour iiieonnues iiiiMJniircs le> // — i premieres 
tierivees de j^. Sup|>nst)iis les eoeffieients ai b()lum()r|)lies dans un 
cercle (>„ de ia\on K ajanl son cenlre an point Xo, el soienl)',,, 
y'tii y'n^ •••1 .'li" ' "" sjsleine de // eonslanles arbilraires. Kn 
applitpianl aiix «''qnalions (a) un n'sullal general elabli plus 
haul (n"38ii. nous \ovi)n> que It^qttalion [\ ) (iflnwi niir iiih^- 



fr> uiMMTUi: \\. — I'.yi ATiDNs I)ii-ki:iii;ntii:i.lks i.ixkviiies. 

i^'/a/c holoDioi'phc (laiis Ic cercle (1,,. picnant La vali'ur y^ 
pour ./• =.r„. taiidis que ses n — i p/cniir/es drrivecs ont res- 
pecti\('nie/>( Irs x^alrurs y\^, y'[^, . . . , r',""' pour x = x„. 

Nous savons cl';iilleiirs, d'a|)res la tlic-orie generalo, (|ue c'esl la 
sedle ill (»'••; rale de requation (i) satisfaisant a ces coiiflilions ini- 
liales; nous dirous, pour abreger, qu'elle esl delinie par les con- 
ditions iiiiliales {-^oi yo-, y'„, yl, ..., r'„"""). Cela |)Ose, suppo- 
son> (Tahord, pour lixer les idees, que les coefficienls a, sont des 
fonclions uDilornies do^. n'avanldans tout le |)l;in que des points 
sini;idiei's isoles. Soit L un cheuiin joij^nant dru\ points uon siii- 
guliers^o6tX, el ne passant par aucun point singulicr: I'inlegrale 
qui est definie par les conditions iniliales (•J'oj^ok^^'o? • • •ij'o" ' ) 
est representee par une >erie entiere P(a; — ^o) converj^enle dans 
le cercle Cy de centre Xn passaul par le point singulier le plus 
voisin de .r(,. On pent, au niojen de celle st'-rie, suivre la varia- 
tion de I'integrale le lon^ du chemm L, lant que ce clieniin ne 
sort pas du cercle C„. Si la ligne L sort dc (^„ en un [xunt a, pre- 
nons sur ce chemin un point x^ interieur a (^ el assez voisin 
de a pour que le cercle Gi de centre r, passant par le point singu- 
lier le plus voisin ne soit pas lout entier a Tinterieur de Cy. De 
la serie P(x — Xq) el de celles qu'on obtient par des derivations 
successives on pent deduire les valeiirs de Tinlegrale et de 
ses n — 1 premieres derivees au point r,. Soient I'l , r, , ..., 
y'"^ ces valeurs; riule^rale de re(|ualion (i), qui est definie 
par les conditions initiales (.t| , 1', ,)', , . . ..»'"' ), est representee 
par une serie entiere Pt(x — Xi) convergente dans le cercde d. 
Les sommes des deux series P(.r — x^,) et P,(.r — x^) sont egales 
dans la |)artie commune aiix deux cercles C„ et (^, , puisqu'elles 
representent I'une et Taulre une integrale de Tequation (i) sa- 
tislaisant aux ineuies conditions initiales. II s'ensuit que la 
serie P, ( r — Xf) represente le prolongement analvtique dans le 
cercle f], de la lonction analyli(pie definie dans le cercle C„ par 
la serie Pf^ — .r,,). Si toule la portion de L comprise entre ^'t etX 
n est pas situee dans le cercle C|, on prendra un nouveau point ^c^ 
sur ce chemin a I'interieur de C) , et ainsi de suite. 

On arrivera certainement a un cercle renf'ermant le point X au 
hoNl d'un noud)re ///?/ d'operations. En efiet, soient S la longueur 
du chemin L et o la limile inferieure de la distance d'un point 



I. — I'KOPRIKTES (;i:NKit\i,i;s. — svsikmks k»\ii\mim \i \. 4ri 

({tl<'l<'Oi)<|iic (Ir I. i'l I'liii (Ics pomls MiiL;iilici >. L('> i.ivdii- dcs 
» ciflts siicci'smI- tiiiploNC'S soiil ail iiKPiiis c-aiix ;'i o. el Ton pent 
I lidi^ir l(■^ cciilifs (If ces cerclcs dc lacoii t|iic la (ll>laii(r t\i- deux 

(•(lilies C()n.S(''(iil lis xnt sii pci icii re a -• \|tr('> /> Diieialions la loii- 

;;iiciii' (Ic la li^iic Itiixc ohlcnur en )(»i<;nanl ces eenlres siic- 

cessifs ser,i ,iii ninms e^ale a p -' Si I ini ,i /> - >> S. la li)Mynenr 

(ie eelle ligne bnsee seia sn|i('iif iire a la loiij^nenr de I,: aiires 
(/' — I ) tjpeiaiions an |)lns. (jn sera done arri\e a uii eeicle leii- 
lennanL lonle la porlicjii de L eoniprise enlre Ie eeiilie de ce cerele 
el Ie poll) I \ . 

On voil en resnnie tpic lOn pent ponrsuivre Ie pi'olongenienl 
analylique de rinlegrale. laiil iiue Ie eheniin decril par la variable 
ne passe par aiicnn des j)oinLs sinj^uliers des eoetlicienls «,. Aioiis 
Savons done f/ prioii ipiels sonl les ^cnU |)oinLs qui puissenl etre 
des poinis siui^nliers pcMir les inlcjgrales d Hue equation lineaire; 
il peiiL daillenis arri\er qu'un point a soil un point singulier 
j)onr (pielqnes-nns des coelliesenls «/ sans elre nn poinl singulier 
pour Louies les integrales. Dans Ie cas parliculier ou les coelH- 
eienls sonl des polyuomes ou des fonclions enlieres, Louies les 
inlegi-ales sonl des fonclions liolomorplies dans lout Ie plan, cesl- 
a-diie de'^ fonclions enlieres, ponxanl se rednir<;a des polvnoines. 

Les raisoniiL'iiiculs s"(ltMi(l(;iil aussi an cas ou Ics coclficienls r/, (Jiit des 
siiigiilaritcs quelconques. ces loiiclioiis (joiivanl elre luultiloinies. Si Ion 
pari d'un point x^^, oil ces cocffici?nls sonl hoioiiiorphes, el que Ion fasse 
decrire a la variable x un cliemin I, loul Ic long duquel on puisse pour- 
suivre ie prolongeiiieni analylique des coellicients r//, on peuL egalement 
pouisuivre Ie j)ndoiigenieiU analylique des inlegrales Ie long dece cliemin. 
Les series enlieres <jui repn^senlenl les inlegrales sonl comeigenles dans 
les nieines cercles que les series ipji rcpresenlenl ics coeflicienls. 

Ces resultals sonl Iticn d'accord avec ceiix que Ton a di!'duils de la 
mctli(i(ie des appioxiriialioiis siiccessives ( n" ^illO i. 

;il)8. Systemes fondamentaux. — (^oii>id('ron.> une ecjualion 
liiK-aire el lioinogtnr. nc rcnfciniaMl pas de lerine inil<''|)(ndanl 
dej, 

d" V d"'^y dy 



4l4 ClIMMTRK \\. — i.tJCATIONS DIKKKKKNTIKI.I.KS I.INKAIUKS. 

nous (lesii;iions ici par F(^j'). noii plus une lonction de la variabloj>^, 
inais le n'snllat d'une operation ePTi-ctuee sur une fonclion j)'" de la 
variahio ,r. Dapres la definilion meme de ce symbole d'operalion, 

il esl claii- (|ne, si >',. )o yp sonl p fonclions quelconques 

de .i\ rl ("-,. do < '/) des conslanles quelconques, on a la 

relal ion 



F(C,K,-^ C,)- 



C/,r/') = C,F(j, )-f-G2Ffv,)+...^-G/,F0'/'t; 



sivi, r-i, . . ••Vp sont des integrales de I't'quation (3), il en est 
done de nienie de (jiJ'i -+- Coj'a -I- • • • + ^^pypi quelles que soient 
les valeurs nuineriques des constanles (j/. Lorsque I'on connait n 
integrales parlicidieres j^, , r-j, .... _>'« de cetle equation, on pent 
par consequent en deduire une integrale 



(4 



y= '"'iri^<-2,r2- 



c„^„, 



dans {'expression de laquelle figurent n constantes arhilraires C,, 

Co C,;. Otj ne peul pas en conclure que la tormule (4) re- 

piesenle bien Tintegrale generale de IVquation (3); il faut aupara- 
vant s assurer (|ue Ton pent disposer des constantes C| , Co, . . . , C„ 
de lacon que. pour une valeur particuliere .r,, de x^ diHerente des 
points singuliers, jv" et ses n — i premieres derivees prennent des 
valeurs quelconques donnees a Tavance. Designons pour abreger 
par (yf)o la valeur que prend au point .r^ la derivee />'^""' de I'in- 
tegrale parliculiere yi. En egalant a des quantites arbitraires les 
valeurs de I'inlegrale y e( de ses n — i premieres derivees au 
point x„, on obtienl un svsteme de n equations lineaire.s pour 
deterniitier les constantes C|, Co, • . • , C«. Le determinant, forme 
par les coeflicients de ces inconnues, doit etre different de zero. 
Nous designerons par A()^,, j^o, . . ., j'„) ce determinant qui est 
forme par les fonctionsy,, y^, . 
celles d'ordre n — i , 

ji y-i 
y\ y'-i 



Ynt et leurs derivees jusqu'a 



(5; 



^(y\- y-i- 



yn) = 



y» 
y'n 



r 



('/-H 



y\ 



Si ce determinant A (j^, , Vo, . . ., j^,,), qui est une (bnclion holo- 
morphe de .r dans toute region ou les coefficients at sont bolo- 
mor|)lies, n'est pas idenliquement nul, choisissons pour x^^ un 



I. — PR0I>RI|':TKS OKNKKM.KS. — SVSTE.MKS Fr)Mi\Mi:NTAI \. 4r') 

point oil ce cleterminaiil ne soil [)a> mil: nous pouvons alors 
deleiniiner les conslanlcs C/ He lacon (|ii«' y el scs // — i ppo- 
mieres derivees prcnncnl pom' .r„ des \aloiiis iniliales (iiicl- 
conqnes. "^rontc inlej^ialt' do Irqualion (^3) esl done coinpiise 
dans la formnle {])'. on dil, pour ahrei^er. (|iic rvUv forniule 
represente rin/r<;/a/r generalc dc rc'-qnation {^.\). Les inte- 
grales )•, , j'o, ....j)'^-, lelles que le dc'lerniirianl A( T, , j'^, ...,>'„) 
est different de zero, forinent nn xysli'mt'/onddincnlal . 

Si ce delerminaiil Ai^v'i, j^., . . ., y n) est idenli(|uenient nut, 
quelques-unes des integrales y, , r:., . . . , r„ peiivenl se deduire 
des autres. Dune laron i^enerale, nous dirons que n lonctions >',, 
j)^o, . . ., y'u de la varialile x ne sonl pas lineairrment dislincles 
lorsqu'il exisle entre ces n fonctions une relation de la forme 



(6 



C,r 



,j»-2 + ••■-*- G„JK„= o. 



Ci, C.., . . . , C„ elani des conslantes non toutes nidles. Hour que 
n fonctiona r,, lo, •••, .' // i^c soirnt pas lineauement dis- 
tinctes, il faul el il su(fit (fue le deterniinant A( ri • Jj, . . . ^yn) 
suit identiqui'inenl nui. 

D'abord la condition est necessaire. On deduil, en ellet, de la 
relation (6) les (/? — i ) relations de meme forme 



(;) Cr^^Gj.r/' 



G„r=/' 



(/' = '• '^• 



entre les derivees du premier ordre, du d(Hi\ieme ordre, etc. des 
fonctions y/. Les coefficients C/ n'elant pas tons nids par hvpo- 
these, les equations (6) el (7) ne peuvent elre compatibles que si 
le determinant A(r,, j^o, . . • , ,X« ) ^^^ idenli(|uement nul. 

Keci|)roquement, supposons A = o, et sup|)Osons d'abord que 
tons les mineurs du |)remn'r ordre de A relalifs aux eb'-menls de la 
dernieie ligne ne sont pasnuls ideiitiquement, |)ar exemple que 
le coeflicieni de r*,"~' 

7 1 y-i ■■■ yn-\ 
y'l y'-i ■ ■ ■ y» 1 



i rV 



rv' 



y)l' 



est diHi'rent de /er(j. Soil A une rt'-^ioii du plan de la variable. r 
Oil les fouelioiis V/ soul liol(>iiu>r|)lie>. et on ce deterni iiiaii t ne 



4l6 THAPITRK X\. — KOI ATIOXS DIKKKRKNTIKIXES IJNKAIRES. 

s iiniiiilt' [);i«;. Posons 



(?) 






ces // — I equHlions clelermincDt pour K,, K.., . . . , K,<„, dcs ("onc- 
lioiis holoinorphes tie x dans la reii;i()ii A, car k, csl le qiiolienl 
dune lonclion holoinoiphe |)ar le niineiir o (|iii no s'anmile pas 
dans A. Ces fonclions K,, .. ., K„ , salisronl aussi a la relation 

(9) .n" ''= K,r;'-' -^ K,vy"' +.. .-4- K„^,j^i;ir,", 

pnis(jue A( >'(. roj •..,»/,) esl mil en loul poinL de A. En diire- 
renlianl une tois cliaciine des equations [S), et tenant conipte de 
ces equations elles-nienies el de la relation (^y), il vient 

•^'l7l-^- • •-*- K,-i.rn-l = o, 

et par suite K, = R., r= . . . = K,^ ^ =r o. Les foncti<jns R, , . . . , lv,i_i 
sont done des constantes et I on a bien. entre les n tonctions »,, 
y.ji •••5.1'«7 *"i^ relation de la foiiiie (6). ou tons les coeflicients 
sont constants, le coefficient C,^ etant dillerenlde zero. Cette rela- 
tion (lant etablie pour la region A subsisle evidemment dans lout 
le domaioe d'exislence des fonclions y , , y.,, • • ■ ■, J n- 
Observons que le mineur o est precisemenl egal a 

-^^7i,J'2, ...,JK„-,); 

si ce mineur o est identiquenient nul sans que A( ji , /o, . , . , JKw-a) 
soil nul aussi, on en deduira de nienie que les lonctions yt , ^a? • • • > 
yii-t verilienl une relation de la forme (6), ou G,t = o, Cft_) n'elanl 
pas nul. En continuant de la sorte, on finira done loujours par 
arriver a une lelnlion de la forme (6), quelques-uns des coeffi- 
cients Ci pouvarit etre nuls. Si done ou connait n inte^rales de 
Tequation (3) telles que A( r, , y.,, . . . , yn) = o, Tune an moins 
de ces integrales est une combinaison lineaire a coeflicients con- 
stants des autres integrales; il pent d'ailleurs se faire que ces n 



t. — PROI'IIIKTKS f.K.NKHAI.KS. — SYSTEMKS F()M> V MKN T AT X . ^17 

inh'grales se rediiisenl on r<'";illl»'' a p iiili'-^iiilos distiricles 

ip <n — \). 

Pour <|ii'il en soil ainsi, il laiil el il siillil (jiic l((iis Ics cJeLerrniiianls 
analo^iH's ;"i A (|iie Ton pent lornier avec p -(- i dc ces inlt'-gralfs 
soienl Ions mds, run an moins des delerniinanls formes avec p 
inlegrales elanl dilFerenl de zero. 

Le ineme leinnie permel anssi de demon trer que lintej^rale 
generale de requaliou(3j est represenlee par une fomiule de la 
forme (4)- Soil en eflel {jKi ».>!•) • • "JKm) "d systeme fondainental 
d'integrales. et » une autre inte';ial(' (juelconque; des (/i -f- i ) 
equa lions 

Vyy)=u, F(k|) = o, ..., F(K«.) = o, 

on deduil, par 1 elimination des coeflicients «,, a,? • • •? (ini uue 
equation de condilion (|ui n'cst autre que 

( lo) A(^,jKi, J'o. .. .,j„)= o. 

On a done, entre ces n -f- i inlegrales, une relation de la forme 

Cj' -H C, y, -I-. . .-f- C„7„ = o, 

C, C|, Co, • - •, C„ etant des conslaules noii loutes niilles; or le 
coefficient CdejK esl certaincnnnt difff'-renl de zero. puis(pie les 
inlegrales y, , )'..., . . . , j'„ soul lineairemcnl dislincles. 

Toiile equalion lineaire d'orclre n possecle une infinite de systenies 
fondamenlaux d'integrales. Pour en obleiiir un, il sul'fit de prendre n 
inlegrales telles que le determinant forme par les valeurs initiates de ces n 
integrales et de leurs n — i premieres derivees pour un point non siiigulier 
Xq ne soil pas nul. Soil (y\-iyi, .... j'„j un premier systeme fondamenlal ; 
les n integrales Vj, V2, •••• ^ „• <lonnees par les formules 



V, = cufi -+- Ci^yo -H. 



Cn,y„ 



i I = I , a, 



n), 



oil les coefficients c/>t sonl constants, foimenl un systeme fondamenlal, 
pourvu que le determinant D forme par les n^ coefficients c,/. soil dilVt'-reiit 
de zero. On a en ed'et, d'apres ia regie de multiplication des determinants, 



A(Y,, V,. 



\„ ) = D. A( Vi,.X2, 



.v«)- 



1 >/M r 



Vn) 



u le 



On deduil de cclle furmulc i|ui' If rappoi t — 

meme, quel que soil le systeme fondamenlal; iiimi> allons le verifier en 
G., II. 27 



4i!S i;ii\i'iTRi-: XX. — K.yuvTioNs diffkrkntikllks linkaires. 

raltiilaiit ce rapport. Obsei\ons pour cela que la dorivec d'une fonc- 
tion F(.r)est egale au coefdriont ile /» dan.s le dt-veloppemenl de F(a- -f- A ) 
suivant les puissances de h. Si Ion altribue a x un accioisseniient h et 
qu'on remplace chaque terme du determinant A par son developpement 
en ne eonservani que les lermes du premier degre en h, on obtient le 
determinant 









y-2 



h v\ 



y»- 
y'n- 



hyn 
hy'i, 



y(' 



-^hr\"^ jK,"-> ^ h_v.{' 



y," 



hy,r 



Le coefficient de h est la somme de ii determinants que Ton obtient en 
prenant les coelticients de h dans une ligne et les termes independants 
de h dans les autres lignes; n — i de ces determinants sent nuis comme 
ayant deux lignes identiques, et il reste 



dx 



yi 



y\ 



yi" 



y» 
y/> 



n-2) 



yy, 



Gette formule est exacte, quelles que soient les fonctions^,, ...,^„:si 
ces fonctions scut des integrales de I'equation ( 3), on peut rempiacer dans 
la derniere ligne y\"^ par — «ijKi""'" — •■• — ««JKi) et de nienie pour les 
autres. II reste en developpant par rapport aux elements de la derniere 
ligne, et tenant compte des determinants qui ont deux lignes identiques, 



(II) 



dx 



= —a,\. 



Le rapport que nous voulons calculer est done egal a — aj, et Ion 
deduit aussi de la formule precedente la valeur du determinant 



A = Ane 






en designant par Aq la valeur de A pour x =^ x,). Gette expression de A 
montre que ce determinant est different de zero en tout point non sin- 
gulier, lorsqu'il n'est pas identiquement nul; resultat que Ton pourrait 
aussi deduire des proprietes precedentes. 

II est a remarquer que toute equation lineaire dont un systeme fonda- 
mental d'integrales est (yi,y2, ■•■, yn) peut s'ecrire sous la forme (lo) 

^(y,y\, y-L yn) = o, 

es coefficients ne renfermant que les integrales^, el leurs derivees. Geci 
montre que n lonctions quelconques lineairementindependantes^i,^2, . . ., 



I. — PnOl'KIKTRS (iK.NKRAI.KS. — SVSTEMES KONO \MK.\TAr \. 419 

Yn peuM-nt lMiijoui> etie coiijiidrn'o coinmc forinaiit iiii >yslenie fDMcla- 
nientul iriiit<i;i;tlc5 dune f(|iiatii>n litu-aire. 

309. Equations lineaires quelconques. — Une eijiialion lineiiire 
iioii lionn>i;irH' pfiil > t'cnrc, eii ixilanl le lerine independant 

d" V d" - ' >• civ 

iiuus diions pour alneger que c'est une equation avec un second 
fiienibre. rec^ualion F('k; = o etanl dite sans second membre. Si 
I'on connait une inle^iale pailuiilifrf \ d*^ I equation (ly), la 
substilulion y ^^X -{- z ramene I'integration de cetle equation a 
celle de ['equation sans second membre ¥ { z) = o, d'apres I'iden- 
lite F(Y -r :;) ^= ^(Y) -+- F(3). L'intej^rale generale de I'equation 
avec second membre est done representee par la torrnule 

' 1 3 ) r = Y — C, ^1 — C, K-. -+-...— C„7„, 

y\j y-i^ •••lyn etant /< integrales particulieres, formant un sjs- 
leme fomlamental, de I'ec^uation sans second membre, et C|, 
Cj, . . . , C,j etanl // constantes arbitraires. II arrive souvent dans 
la pratique que Ion pent obtenir aisement une integrale particu- 
iiere d'une equation lineaire, avec second membre, et dans ce cas 
I'on est ramene a l'inle<;ration de I equation sans second membre. 
Celle reclierclie d'une integrale parliculiere pent elre facilitee 
par la remarque suivante qui! suKit d'enoncer ; si f{x) est la 

somme de p lonctions /", {x), fi[ x\ fp{^x), telles que Ton 

sache irouver une integrate parliculiere de chacune des equations 

Yi y) =fx( X). ?(y)=f.,(x) ¥{y)=fi,{X), 

la somme \ , -i- Y^ -j- ...-(- \/j de ces p inlegrales particulieres 
est une integrate de I'equation F(^) =/(x). 

Dune fagon generale, si I'on connait fintegrale generale de 
V equation sans second membre, on pent toiijours, par des qua- 
dratures, obtenir l^ intt'-grale generale de I'equation avec un 
second membre (en supposant, bien entendu, que le premier 
membre est le meme pour les deux e<piations). 

Le procede suivant, dil a Lagrange, e>l appele metlwde <le la 
variation des constantes. Soit (j'o^a. • • • ^ yn) un svsteme fon- 



\k 



420 CHAIMTRK X\. — KOl'ATIO.NS DIFFKRENTIEI.LBS LINRAIRES. 

dainenlal d'inlegrales de lequation V{y) = o-^ en iriiilanl autant 
que possible le procede emploje pour une equation lineaire du 
premier ordre, nous cherclierons a salisfaire a I'equalion (I'-i) en 
prenaut pour i' une expression de la forme 

vi4j y = <^i.ri-^ <-'2^2-i-...-t-c„.K«, 

C,. (.2, . . • . C„ designant n I'oiictions de x. On peiil evidemmenl 
clablir enlre ees n fonclions n — i relations choisies a volonle, 
pourvu qu'elles ne soient pas iucompalibles avec I'equation (12). 
Nous poserons 

j'l C, -h y-i C. -H . . . -h jn C;, = o, 

, ,, \y[ c; +y, c; -i-...+y„ c'„ = o, 

(i5) 

' V "-21^' -4- i/«-2)(" _!_ _L v"'-2)r.' — n- 

les derivees successives de y^ jusqu'a la derivee [n — i)"^'"^, ont 
alors pour expressions 

y = c,7', -t- Gjj'i +• • .^ c„y„, 
^ I g ' y = c, jk'; ^ g,jk; ^ . . . -^ Cny;„ 

yu-u= Cj/,"-''-^ G, y,"-i> -^. . .^ G„JK^«->\ 

La premiere des relations (i5) a ele choisie de facon que la 
derivee premiere y' ail la meme expression que si C|, C2. • • ., C^ 
elaient des constantes, el de meme pour les suivanles. La derivee 
d'ordre n a une forme moins simple 

y"" = G, J,"* + G^y,"* +. . .+ G„y„«' 

+ rr'^G\ ^y--^-c'^-^...+y\--''C„. 

En subsliluant les valeurs prt'-cedenles de y, y\ y" jv''"' 

dans le premier membie de I't'-qualion (12), les coeKlcienls de C(, 
C2, ..., C« sonl res|jeclivement F(y,), ..., F(jy„), et nous 
sommes conduits a la nouvelle relation 

7',"-''C; -^Ji"-'G', ^... + ^i/-' G; =/(^) 

(|ui, jointe aux relations ( 1 5), permel de determiner C, . • . . . C^'- 
On obtiendra done C,, Co. . . ., C« par des quadratures. 

On f)<;ut employer aussi la methode suivante due a Gauchy. 



I 



I. — I'IU)I'rii:ti:s (.k\kk.\lk.s. — s^s^EM^:^ k>.M)\mi:\ tai \. 421 

Soil (Vi.yiy ..., J^/i) un sysleme fondameiital d'inlt^prales de I'equa- 
tion F(^) =0. Determinons les conslanU*> C], Ci, . . . , C„ de facon que 
rintegrale Cj^j -!-. . .-i- C„^„ soil iiulle, aiiisi que ses n — i premieres 
derivees, pour une valeura <le :r, tandis que la d(''iivee(/< — 1 )'""' se reduit 
a /(a). L'integralt' ainsi obtenue 'j(j", a) dt'-pend uaturellenienl de la va- 
riable X el aussi de la valcur iriillHlf a, ct satisfjiil au\ /i conditions 

(ly) •i(a,a)=:o, 'v'la, a)=:o, 'i'(a,a) = o, .... © " '(cz, a) =y(a). 

(p'P'(a, 7.) designant la derivee p'""'' de o(x, %) par rapporl a x, oil I'on 
aurail reuiplace x par n. Si Ton ecrit .r a la place de a dans les relalions 
precedentes, ce qui revii-nt a un ■simple cliangement de notation, elles 
peuvent aussi s'ecrire 

(ly bis) o{x,x) := o, o'{x, X) =: o, ..., z>'"--^(x,x) = o, CD*"-" C.T , jr) = ^(.r ), 

o^P'(x, X) designani mainleuanl la derivee p'""" de o(x, a) par rapporl 
a X, oil ion aurail reinplace a par jrapres la dilTerentialion. Cela pose, con- 
siderons la fonction representee par I'integrale definie 

(18) ^ = f '^^^' ^*^'^- 

prise depuis une liniite five arbitraire Xq. On a successivemenl, en appli- 
quant la formule generale de ditt'erenliation, eten ayant egard aux condi- 
tions ( 17 bis), 

rl\ r' , , rf«->Y r^ 

-^ = / 'J { .r. ■x)fl7., .... -, -= / !5 "-"(,r, a) (/a:, 



d"\ 



- = f 0"'(X, 7.}d(l-^f{x)\ 



dx'' 
en «ub>lituant ces valeurs de V. V V" dan> K( V ), il vient done 

¥(\\=f{x)-\- I [9 " ( ./■. 2 ) — aio'"-''(j-, a ) -t-. . .-H a„^( .r, a >J ^/a. 
'- J', 

La toticlion sous le signe intt'-grai dans le sec mid nieinbre est idcnliquc- 
ment nulle, puisque 'i(j7, a) est une inlegrale de Tequaliou sans second 
iHeuibre, quelle que soil la valeur du paramelre a. II en resulle que la 
fonction Y representee par I'inlegrale definie (18) est une inlegrale parli- 
cuJiere de I'equalion lineaireavec second membre. On peut remarquerque 
cette inlegrale est nulle. ainsi que ses in — 11 premieres derivees. pour la 
limite inferieure x^. qui est supposee <lifterenle d'un point singulier. 

L'application de cette metbode a I'equalion -j-^ =J'(.t) conduit preci- 
sement au resultal obtenu plus baut ( n" ;i79). 



42-2 CHM'ITRK \X. — KOIATIDNS niFFKHICNTIKLLKS LINKAIRKS. 

40(). Abaissement de I'ordre d'une equation lineaire. — Quand 
on oonnail im cerlain lunnbre d inh'jjrales parliculioies d'une 
equation liiit'aire, on pent en proliler pour diniinuer lordre de 
Tequalion. Consideronsd'aljord uiic t-quallon lioniogene d ordre n. 
et soienl j',, y2, .... y p{p <C /' ) de-^ inleyraies lineairemcnl dis- 
lincles de cette ('quation. La sul)stiUilion yz=.y^z, ou z de- 
signe la nouvelle lonction inconnue, conduit de Tequation pro- 
posee ¥ (^y) = o a une nouvelle ecpialiun de nieme fornie en z^ 

car I'expressiou dune derivce quelconque ~~ est elle-menie 

lineaire |)ar rapporl a r et a ses derivees. Si y^ est une iniegrale 
de Tequation F(r)=o, la nouvelle equation en :; doit admetlre 
la solution c = i , ce qui exige que le coellicient de z soil nul ; ce 
que Ton verifie immediatement par le calcul, car le coefficient 
de ^ est precisement F(>',). Cette equation en ; est done de la 
forme 

d'^z , d"-^z , dz 

^' -^ dx'' d.r''-^ dx 

6,, ^25 • • '^ bn-\ etant des fonctions de x. (Jette equation se 
reduit a une equation lineaire d'ordre n — i 

d'-W( d"-Hi 

(...) ^,__^6, ^-;^-i-..,^6,.,« = o, 

en posant « = ^ • Si y^, yo-, . • - , yp soul p integrales de I'equa- 
tion dont on est parti. I'equation (19) admet les p — ^1 inte- 
grales — ? ■ ■ ■ > — ^'i et ijar suite I'equation (20) admet les p — i 
integrales 

/(^) ^(^ 

dx\jij dx\yx 

Ces /> — -I integrales sont lineairenienl distincles ; sinon, il v aurail 
une relation de la forme 



dx \ yi J 



C. 4 (^ I = o, 






yj ••• ' -i> fix \y 

C2, C3, .... Up etant des constanles non toutes nulles, et i'on 
en conclurait en integrant Texistence d'une relation de meme 
fornie CjJK:j -H • ■ . -H C^y^ -r C,j', = o, C, etant une nouvelle 



I. — PROPRIKTKS OKNKUAI.KS. — SVSTKMKS KONDAMKNTAIX. 4^3 

conslanlc. Si p l^ i, rapplicalioi) (In mrme procede condiiira de 
r«''qualion [lit] a iiiie noii\ell<.' <'(|iialion rmeain- d'ordre n — -a, v.l 
ainsi (If siiiU'. L in tri: rat mn d' itnr tuiinilioii liiu'dirc el lionio- 
g('ne^ (iont on conmiit p inlci^rdlrs fxtrficulien's dislincles, 
serameni' done a I inti'i^ralion dune rtf nation lineairc el homo- 
gene ilOrdre n — />, sitnie de (jiKitlnil nrex. L()is(|iie p^ n — i, 
la derrii«"'re equation s'inU'!<;rera elle-meme par nne (piadijiliire. 
Si Ton oonnail dc rnenic p inlegrales y, , v.., ..., Vp d'une 
eqnalion avec second nieinbre, lellesqne les /> — i fonclions 



y,. 



soiont liru'-airemenl disiindes, la siihstitulion y-^v^-\-z con- 
dnira a line eqnalion sans second Mieniitre admellanl les yf — i 
inUgrales y-^ — Vi. . . • , ) /, — }'( • On ponrra done lamener cetle 
equation a nne eqnalion lineaire dordre « — p -\- i, sans second 
membre. 

Pienons par exeinple I eqnalion lineaire dn second ordrt; 

, , P , d-^v dv 

el soil y, nne integrale parlieuliere de celle eqnalion. Po- 
sons y ^ T', ;, il vienl 

dy dz 

el, en subsliluanl dans I equation ( ;■»- 1 ), d rcsle, pnisqne le coel- 
(icient de :; esl nul, 

d-^z I dv, V dz 



dy. 


d^v 


d^z 


dv, dz d'^vt 




'^ = V\ 


-I- • 


>. ■ H- -3 


dr ' 


dr-^ - ' 


dr-^ 


d.r dx d.r^ 



. (I'-Z f(V \ > >IZ 

dx- \ dx ~ J fix 

,< , . ,, . dz 
luetic equation s ecril, en oosant , = u , 

du ( ilv\ V dx 

u \ dx ^-^ I >', 

el Ton en lire en iiile<;ranl 



4^4 C.HAI'ITRK XX. 

on 



i:or.\Tii)NS I)IFKi;ri:ntii:i.i.k^ i.inkaikes. 



ti = — e 



c -/ /'" 



Une noiivelle quadrature doniiera z el par suite )'; on voii que 
rcqiialion (-p. i) admet I'integrale jKa donuee par la fonnule 



(23) 






qui est distincle dt- r^. fJi'ntegralc generate d'linc equation 
lineaire et Jiornogrne dii second ordre s'oblient done par deux 
quadratures, quand on connait une integrate particuliere. 
Celte propriete rapproche I'equalion liueaire du second ordre 
de Tequation de Riccati (n" 369). II existe, en efl'et, entre ces 
deux especes d'equations differenlielles une liaison inlime. Si i'on 
applique a I'equalion homogene (21) le procede d'abaissemenl 

(n" 380) qui consisle a poser r = e*' ^, on est conduit a une equa- 
tion de Riccati 

(9.4) j'-H 3- -f-yDS -H ^ = O. 

Inversement, elant donnee une equation quelconque de Riccati 

( 25) u' -4- a u- -h bu -h c = o, 

oil a, b, c sont des fonctions de x (a ^ o), on la raniene a la 
forme ('>-'i) en posant u= -1 ce qui donne la nouvelle equation 



z^~-( It ) z -h ac = o 



de la forme (24)- H s'ensuit que I'integrale generale de I'equa- 
tion (aS) est 



(26) 



I Cr'i -^C.j'o 



y^ etjK:. elant deux integrales distinctes de Tequiilion lineaire 



f^U,— 'L )y ^- acy = o; 



1. PKOIMUKTI'S (.lAIHAI.KS. — SVSTE.MICS KOMlVMKM VI \. ^i'j 

celle torimilc iic iciilcniiL' en i<'';ili|.- (|iriiiii- cnioliintr arhilraire, 
le riipporl 4^- i|iii \ li^iiit- iiii pifiiiH-i- tlc^rc ( '). 



Exeinple. - l.i' iMilMi.inu- \„ ili- Li-^t'iidii- ( I, n" 88) sati>rail a I't-qiia- 
tion dilTeieiiliclle 

('i~ ) (I — -T- \ —r- - '^ r -J — i- //(/<--- I )>- = o ; 

ctx'^ dx 

pour le ileinontrer, il suffit d'obseiver qu'eii posant a = (a?- — i)", on a la 

relation (jr- — \)u =^ inxu, el en preiianl les deiivees d'ordre (n-^\) des 

deux inembies, on a une ('qiiation qui est identique a {'equation (27) 

J . d" u , , , ■ . 1 

quand on v reinplace — ; — par r. roiii- avoir une seconde integrale narti- 
T . I ^^„ I . r- I 

culiere de leqiiation (27). iinu-« a|)plii|i)ci uns la formule geiierale (23)qui 
donne ici. p ftanl egal a -^ 



:,./■ 



.r -i- I X — I 
dx 



I! senible qui! est necessairc de comiailre les n raciiies aj, a*, .... a.,, 

(') I! senible quuiie (luadrature est necessaire pour deduire i'inlegrale gene- 
rale de I'equation liaeaire (21) de I'inlegrale generale de requalion de Ric- 
cati (24). En realite, il n'en est rien, ou plulol cette quadrature se reduit au 

caicul de frdx. D'une facon generale. soit . = ,(., C) I'integrale generale 

dz 
d'une equation diflTerenticlle du premier ordre, -3— =/{x, z); de la relation 

on lire, en dilTerenlianl par rapport a la eonslanle C, 

0/ d'-s <}f Of, d.5\ 



ftCdx da dC &i <)x\ '' dC J 

et, par suite, / — dx = Log( ^ li oii, bien entendu, Ton doit prendre la inline 

valeur de la constante C dans le> deux mcinbres. Kn appliquant ceci a I'equation 
de Hiccati (24). on en conclut (pie, si - = f (-r, C) est I'integrale generate de 
celle equation, on a 

2 I z dx -h I p dx -i- Log ( JT ) = "• 

Si C|, z^, z-^ sont trois inlegrales de requiilion (21), on irouve en faisant le caicul 
(iio/r n" 309 ) que I'inlegrale generale de requalion lineaire ( 21) a pour expression 

y = e -' 

V'f-,-;,)(c, - z,)(z,-z,) 



4iH CHAPITRK \\. - KQIATIONS HIKKKRENTI KLI.KS I.INKAIRES. 

dii polynnmo \„ pour calculer celte intogiale, inais il n'eii est rien. Ecri- 
vons. en effet. en mettant en evidence les fractions simples qui proviennent 
(les raoines -r- i et — i <lii (lenominatt'iir-. 



. ' = -('-5 '—] 

.7- — I ) \;, •-). \.F — I r -4- 1 ' 






P„ I'tant un polynnme tie (le<;re vtn — i, quotient de i — X,-, par .r^ — i. 
II vienl done 



^■'=-^^"^'"^{hri)-^^'J^/' 



La derniere inlegrah; est une tonctioii rationiitile, car si elle renfermait 
un ternie logarithmique tel que Log(j; — a,), le point a; serait un point 
singulier pour j',) «?' I<^s integrales de I'equation (27) ne peuvent avoir 
d"autre« points singuliers que j: = zh 1 (n" 897). On pent done calculer 
celte integrale par des operations rationnelles (I, n" 104); comme elle 

doit etre de la forme —^ — » Q«~i etant un polynoine de degre n — 1 au 

plus, on pent, par exemple, determiner les coefficients de ce polynome 
par la condition Q'„_, \« — Q„_iXJ, ^ P,;. 

Le polynome Q«-i une fois obtenu, on a Tintegrale generale de I'equa- 
tion (27 ), 

y = G,X„- G, [q„_,-^ 1 X„ Log(;^j]. 

4<U. Analogies avec les equations algebriques. — Les proprietes pre- 
cedentes etablissent une analogic evidente entre la theorie des equations 
differentielles lineaires et la theorie des equations algebriques. Gette ana- 
logic se poursuit dans un grand nombre de questions. Pour en donner un 
exemple, nous allons moiitrer comment on peut etendre au\ equations 
lineaires la theorie du plus grand commun diviseur. Soit, d'une facon 
generale, 

r,, d" y d"-^y dy 

^^•^'^ = ^« r/:^ ^ ^' ^^^ ^- • -^ ^"-' ^ ^ ^"-^ 

un polynome symbolique oil ao, ax, .... a,, sont des fonctions donnees 
de x\ «i ao nest pas nul, nous dirons, pour abreger, que ¥{y) est 
d'ordre a. Si G(y) est un polynome symbolique de meme nature et 
d'ordre yo, il est clair que G[P(^)J est encore un polynome symbolique 
de meme espece et d'ordre n -\- p- Gela pose, soil 

un autre polynome d'ordre m{ mS.n). On peut irouver un iroisieme 
polynome G(y) d'ordre n — m tel que F(jk) — G[F](jk)] soil au plus 
d'ordre in — 1 (un polynome d'ordre zero est de la forme ay, a etant une 



s 



I 



I. PROI'RIKTES GKNKBALES. — SVSTKMES FuMi \.Mi;\ TAl X. \7.- 

fonction <li' x). Po^ons tMi clfet 

G( Kl — Ao -; — -r- A I —. ^. . .-t- A„_,„ y. 

^ t/.r"-'" dx"~"*~^ 

Le coellicienl de —r^, <lans G[ Fi( ^ i) e«l Xo^o; ei, «i Ion pre iiH Xq = -^- ■, 

d"—'" 
la liitrerence V{y i - X„ -^ ^ ^ - (Fi( j';] sera 'I'ordre « -- i au plus: soil a\ 

d'i—i y .a' 

le toef(i(ienl de -, 4- flans celte dilFerence. Si Ion prend A, - -7^. la 

dillerenoe 

d" ~ "' f/" — "' — I 
V{ v> — Ag [ Fi( )- )\— A, -. I Fi ( >' )] 

sera d'ordr.- rt — 2 au plus. En continuant de la sorte on \oil que Ton peut 
determiner de proclie en prociie le< ruet'llcienis \„, Xi, .... X„_,„ de facon 
a ohlenir unii identile de la fitrnie 

(•i8) F( v)-G(F,(;Xi|=F2<JKt, 

Fj(j') etant au plu- d Ordre /n — 1. et celle opi'ration est lout a fait ana- 
logue a la division de deux pulynomes als;:ebiiques. 

Cela pose, supposons que Ton veuille obtenir les inlegrales eommunes 
au\ deux equation* lineaires 

(•29) F(_k)=o, Fi(^) = o: 

ridenlile ( -iH ) prouve que ees integrales sont les men)es que les integrales 
communes aux deux equations Fi( r'j= o, F^t jy ) = o. Si F2(^) n'est pas 
jdentiquemenl nul, on |)ourra recommencer les memes operations sur Fi( y) 
et Fi( y ), el ainsi de suite, jusqu'a ce que Ton airivo a deux polynomes 
consecutifs Fyi_,(j(') et F^iy) lels que Ton ait F/._|(^) = G/,--i [P'/t(^)]. 
Ce tlerniei- polynome symbolique ¥/,(}■) est lanalogue du plus grand 
commun di\iseur al^ebrique : loutes les integrates communes aux deux 
equations (29) salisfont d I' equation iineaire F/;(j')=o, et inverse- 
ment. Lorsque F/.( v) est de degre zero, les deux equations n'ont pas 
d'autre integrale comnaune que la solution banale y = o. 

Si dans la relation ( 28) F.>(^) est nnl identiqu<'ment. I'eq nation F(^) =0 
ad met loutes les integrales de F ^{y ) = o: inveisement. pour que F(^) = o 
adraette toules les integrales de F|( k,)=o. il faul ijue V ^( y ) soil iden- 
tiquemenl nul, car une (-qualion lin<'aire dordre m. — 1 au plus ne peut 
admetlre loutes le* integrales dune equation Iineaire d'ordre /n. On a 
done idenliquiMncnr dans ce cas 

F(j)=G|F,(^)], 
•el, si Ton pose F,( y ) — .:, Tintegi ation de F(^'; = o est ramenee a Tin- 



i'i^ CIIAI'ITKK \X. ' KOIATIONS IH KKKRKNTIELI.KS I.INKAIRKS. 

t«'i;ratioii successive iles (leu\ ciiuHtinn* liiicaires 
G{z) = o, F,( J) = z, 

d'ordres n — m el m, donl la deuxieme seule a un second luembre. 

Nous pouvons deduire de cette remarque une autre solution dun pro- 
bieme deja traite. Supposons que Ion connaisse/j integrales distincles j'l, 
yti •••• Ypi P <in)Ae F(^) = o. \ous |)Ouvons former une equation lineaire 
d'ordre p admettant cesyo integrales ( n" 1^98) ; soil F,(j)^-) = o cette equation 
d'ordre/>.On aura identiquenient F(j>-) = G[Fi(_y)] et, I'equation G(-3) = o 
d'ordre n — p etant integree, on integrera ¥ ^{y )=■ z par des quadratures 
seulement, puisque i'on connait I'integrale generale de Fj(j^)= o. La reduc- 
tion est la menie que par la premiere methode. rnais le nouveau precede 
est plus symeirique. 

MM. Appell, Laguerre. Halplien, E. Picard, et bien d'autres a leur suite, 
ont etendu aux equations lincaires la theorie des fonctions symetriques des 
racines, celle des invariants, et les theories si profondes de Galois relatives 
au groupe d'une equation algebrique. La theorie des invariants est basee 
sur cette remarque presque evidente qu'une equation lineaire et homogene 
se change en une nouvelle equation de nieme espece par toule transfor- 
mation telle que 

^=/<0- y=^zo{t), 

t etant la nouvelle variable independante et z la nouvelle inconnue, quelles 
que soient les fonctions y(0 eto(<). On pent utiliser quelquefois cette 
transformation pour simplifier une equation lineaire. Par exemple, si Ton 
cherche a faire disparaitre le coefficient de la derivee d'ordre n — i, on 

trouve qu il suffit de poser y ^ ze '^- , en conservant la variable x. 

Comme on dispose de deux fonctions arbitraires f et o, il semble qu'on 
pent en profiler pour faire disparaitre deux coefficients, mais cette reduc- 
tion, possible en theorie, est le plus souvent illusoire. Par exemple, on 
pent toujours choisir les fonctionsy et ?p de facon a ramener une equation 
lineaire quelconque du second ordre a la forme reduite s"=:o, mais la 
determination effective de ces fonctions offre les memes difficultes que le 
probleme lui-meme de I'integiation. 



i02. Equation adjointe. — Lagrange a etendu comme il suit aux equa- 
tions lineaires la theorie du facteur integrant. Soil ¥(y) une fonction 
lineaire de y et de ses derivees 



F( >' ) = ao7- "'-H a, y «-»'-(-, 



««-ir 



any, 



ao, «!, . . . , a,i etant des fonctions quelconques de x, et y , y y"-' 

designant les derivees successives de y. Proposons-nous de determiner 
une fonction z de ar de telle facon que le produit z F( r ) soit la derivee par 
rapport a x d'une autre fonction lineaire de y et de ses derivees, jusqu'a 



I. — PKOPRIETES GENERAI.es. — SYSTEMES FONDAMENTM'X . ^29 

telle tl'ordie n — 1. I..a formule gi'^Piiilc H'inlej^ralion par pariit— ( I, n'S." ) 
appliquee a chacuii <les teimes <lu jnuduit zV { y ), nou< floniif 



\ ^± 

(3o) ' <It 



•^ fix 



rt, zy " — {(lyZj y" ■' 

ar 



■y 



dor" - ' 
d" ^{a,z) 



dx" ^ 



- ^ f«'<-i-rJ— -r<^^<s), 



on I on a \>o-<t 

\ G(z) = i- 
(3i) 



I)" 



d"{aoZ ) 



dx" 
d(a„^i z ) 
dx 



( — I )" 



d" Ua^z) 
dx"-^ 



Si tiuus designons par ^'{y, - ) rexpression biliiuairc par tapporl ay 
el a ;;, et a leurs derivees, qui figure dans le seccjnd nicnibie de la rela- 
tion (3o), on peul ecrire cetle relation sous la forme abregee 



(ii) 



zVKy)—yG{z) = — \^'^y, z )l 



de sorte que, pour toutes les formes possibles des foiictions y et z, le 
binome zV ( y } — yG{z) est la derivee de U"( y, z). Cela pose, si Ton prend 
pour z une inlegrale de r«;quation G(i;l = o, le produit z¥{y) esl la 
ilerivee d'une expression dc meme forme, lineaire par rapport a y^ 
y , ..., ^'"~'*, el lequation F(^) = o est equivalente a une equation 
lineaire d'ordre n — i 



(33) 



W{y.z) = Q., 



que Ion oblient en remplacant dans ^^^ la fonction indderminee z par I'in- 
legrale en question. Or I'equalion G(.3) = oesl egalement une equation 
lineaire d'ordre n\ on I'appelle X equation adjointe de F(j') = o, et le 
polynome symbolique G{z) est le polynome adjoint de F(jkI- 

On voit done que, si Ton connait une integrale de Tequalidti adjoinle, 
I'integration de lequation |)roposee est ranienee a lintcgralion dune 
equation lineaire dordre n — 1. avee une constante arbilraire pour second 
nienibre. Si Ton coniiail p inlegrales distinetes 5|, z^, ..., Zp de lequa- 
tion adjointe, toute integrale de lequation proposee satisfail a p relations 
de la forme 



(34) W{y,z,) = ^x, »*'(/, 5,)= C2, 



W{y, z,,)^C^, 



Ci, C2, .... C,, designant p constantes. Kntre ces p equations on peut 
eliminer les derivees ^("-i', ^'"~-\ ..., y" p-*-^\ ce qui conduira a 
une equation lineaire d'ordre n — p, avec un second membre dependant 



43o ClIAI'lTRK X\. — KglATIONS DIFKKKKNTIKLLES LINEAIRES. 

de p constanles iubitiaires C], Cj, .... G,,. En particulier. si /> = n, c'est 
a-diresi Ion connait lintegiale generale de I'equation adjointe, on pourra 
resoudie le< n t'quations ( 34) pai" lappoit a y, y' . .... ^'""•', et Ion aura 
I'inlegrale generale de I'equation proposee sans aucune quadrature. 

II existe, entre les integrales des deux equation? F(^) = o, G(3) = o, 
des relations reniarquables que nous ne pouvons developper ici (*). Nous 
montrerons seulenient qui! \ a reciprocite entre ces deux equations; 
d'une facon plus precise, si Giz) est le polynome adjoint de F( y), inver- 
sentenl F(^) est le polynome atljoint de G(^). Soit en efl'et b\(y) le 
polvnome adjoint de G(^); on a entre F|(^; el G( j) une relation de 
nieme forme que la relation (32) 

(3-?. bis) yG{z\- ^Fi^r) = -^ [^\( y. ^)]; 

en ajoutant les relations ( 3?, i et (3?. bis), il \ii'iit 

z\¥iy)-¥,(y)\=^ ±^[W{ y. z) ^W,iy, z)]. 

Si ¥{y) — Fi(^) n'etait pas nul, le produit z[¥ { y ) — Fi(_^)J serait 
la derivee d'une fonction renfennant z el quelques-unes de ses derivees; or, 
la derivee d'une fonction renfermant z, z', ..., z'p' renferme toujours 
au moins une derivee de .3, a savoir la derivee z'-P-^^-. La relation prece- 
dente n'est done possible que si Fj ( ^ ) est identique a F { y ). 



II. — ETUDE DE QUELQUES EQUATIONS PARTICULIERES. 

i03. Equations a coefficients constants. — Les equations lineaires 
a coefricienls constants on t ete inlegrees pitr Enler. Prenons d'abord 
une eqnation sans second membre 

(35) F( r) = yi'"^-^ aij'^''-i'-r-. . .-+- a„^iy'-r- a^y = o, 

ou a,, ao, ..., ci,i sent des conslantes qiielconques. D'apres la 
theorie generale (n" 397), toiites les integrales de cette eqnation 
n'admettenl ancun jDoint singulier a distance linie: ce sont des 
fonctions eiitieres de x. Soit 

Y' 'v. 2 Y* fll 

( 36 ) y ::= Co — C| 1- f., — — ... -1- C,n h . . . 



le developpement en serie d'une inte<irale; les series qui repre- 



( ' ) Voir Darbol'x, Theorie des surfaces, T. II, Liv. IV , Chap. V. 



II. — ETLDE DK QUKLOtES EQIATIONS PARTICL LIERKS. 4^1 

scnh'iil lea derivees successives out une forme analo^iu.'. Kn rein- 
plagaul y et ses derivees successives jjar leiirs d»'*veloppt*nients en 
series dans le premier mcmhre dc rt'(|uallon (35) et en egalant 
a zero le coefficient d'une puissance qiielcon(|ue de x, soil xP, on 
obtient la relation snivanlc enlre n -h i coeilicients consecutifs : 

(37 ) c,,^,,— a,c„^.,,_, -t- a*c-„^,,_,-r-. . .-;- «„_| c,,^, — a„c,,= o: 

si I on J fail successivement /y = u, i ,'i, . . . on c.alculera de jiroche 
en proche tons les coefficients c„, c„^.i , . . . , au mojen des n pre- 
miers coefficients Co, c,, . . . , c„_,, qui peuvent etre pris arbitrai- 
rement. I^a serie (36) ainsi obtenue est convergente dans tout le 
plan et repn^sente I'integrale qui pour x = o est egale a Cq, tandis 
que les n — i premieres derivees prennent respectivemenl les 
valeurs <?i , Co, • • •. c« -n pour x = o. Nous allons montrer que 
celle integrale s'exprime au moyen de la fonclion exponentielle, 
quand elle lie se reduit pas a un polynome. 

La relation (3^) est une formule de recurrence a coefficients 
constants qui lie ii + i coefficients consecutifs. Or il est facile de 
trouver des solutions parliculieres de cette relation. Considerons 
en ellel I'equatioii ali^ebriipie 



• /i-2. 



(38) /(r) = r"H- a,/"-' -t- «,/ 

que nous appellerons pour abruger l' equation caiacteristi(iue, 
le premier membre /"(/■) etant \e polynome caracteristiqtie. Si r 
est une racine de cette equation, il est clair que I'on satisfait a la 
relation (3-), quelle que soit la valeur de rentier/?, en posant 
c,„^/'". L'integrale particuliere ainsi obtenue est egale a e''-^, et 
nous vojons que e''^ est une integrate particulieie de I' equa- 
tion (35) pourvu que r soit racine de I' equation caracteris- 
tique f{r) = o. La verification est immediate, car, si I'on rem- 
place ^ par e''^ dans le premier membre de I'equation (35), le 
resullat de la substitution est e''^/{r). 

Lorsque I'equation (38) a n racines dislincles /•, , /o, ..., /•„, 
on connail // inlegrales parliculieres e''^', e'"'"^', ..., e'"""', el par 
suite une iiilegrale 

(39) J = C, «'••■' -H Ci «'•«■•■ -f-. ..-h C^e'-"-'", 

dont I'expresslon renferme n constantes arbilraires C, , (^..? • ■ • < ^^«- 



43a CHAPITRE X\. — EQUATIONS niFKKRENTlELLKS LINEAIRES. 

Cello formulc {"ig) represenle bien Tinlegral*^ j^enerale, car le 
ilelenninarU A(^e''', e''". . . . , e''"^) pent s'ecrire 



A = € "•- 



/ .. 



I 
II ~ I 



et le delermiDanl dd second meml)re est, an si^ne pres, le prodiiil 
des dillerences /•< — /a- 

Avant d'etudier le cas ou I'eqvialion caracteristique a des racines 
miilliples, nous elablirons d'aboi'd un lemme. Faisons dans I'eqiia- 
tion(^35) la substilution j)/'::=e°'-^^, a elan I une const a tile qiielconqiie 
el z la nouvelle inconnue; d'aprcs la lorninle de Leibniz, nons avons 



(4o) 



y = e^-^(acz^ z'), 



1 yp^ — e'^-^i'xPz -+- — OLi>- 



p(p — \) 



■xP—^z"^. 



Z'-P^ 



en subsliluanL ces valeurs de y, y' , y" , .-.. dans le premier 
menibre de lequation (35), e"^ se met en facleur el il vient 

G(s) olant une expression lineaire a coetficienls constants par 
rapport a ::, z\ . • ., :;'" . Pour calculer les coefficients de Q{z). 
observons que, si nous remplacons dans F(y) les indices de deri- 
vations par des exposants,y elant reniplace parj)/''^ i, le resiiltat 
obtenu est identique a f{y)- Si nous efTecluons les memes trans- 
formations avec la fonclion ;, les formules (4o) peuvent s'ecrire 

SNinboliquement 

yp= e«-^(a -^ z)P\ 

G(z) peut done aussi s'ecrire, avec la meme notation s^mbo- 
lique, y(a -f- 2), et, en remplacant maintenant les exj^osants de z 
par des indices de derivation, nous voyons que la nouvelle equa- 
tion en z est 

ff"( a ) f''"UoL ) ~\ 
/i(X)Z+/'{OL)z'-^-^---^ z'-{-...-h -Z"l =0. 

Cela pose, soil /• une racine d'ordre/? de multiplicite de I'equa- 



II. — KTIDK l)i; (.mCLQlES KglATIONS I-AUIK I I.IKHKS. 433 

lion caraclrrislique ; si nous reinplarons a par ccllc racinc /• dans 
I'eqiialion ( 1 1), les cocfficieiUs dc r, c', z" . . . . , z'p~*^ sonl nu\s 
dans ceUe <'qii;ilioii, el I'on oblicnl iinc inlcgralc en |)ren;uit 
pour .: imc fonclioii doiil ia deiivce yy' ""• esl uuUe, c'esl-a-dire 
iin polviionie arbiiiaire dc degre p — i. Par conserpienl, si r est 
line lacine multij>U' d^ordre p de Veqnation caraclerislique, 
a cette racine correspondent p integrates particulieres dis- 
tinctes de I equation lineaire (35), e^*', xe'"'", . . ., xP~^ e''^'. 

Soienl /■,, r.,, ..., /"a 'es k racines dislincles de _/(/•) = o, 
Y-ii Y-'ii * • •? r'-A leurs ordres de nuilliplieiles respeclifs (Sa/= /i); 
on pent, ail moyen de ces racines, former n integrales |)articu- 
lieres de I'eqiialion lineaire. Ces n inlegrales sonl dislincles, car 
loule relalion lineaire a coefficienls conslanls enlre ces n inlesfrales 
serai I de la forme 



e''^^':>i{x) -T- C'^o-iix)- 



e''>'^oi,{x) = o, 



(p,, cpo, ..., cp^- desigiianl dcs polynomes. Une telle relalion esl 
impossible, lorsque les /: nombres /•, , /o, • • ., '"a sonl difTerenls, 
Soienl, en elTel, /i(, «2, . . . , nk les dcgres respeclifs de ces po- 
Ijnomes; si I'lin de ces polynomes elail nul, il ne figiirerail pas 
dans la relalion precedenle. En divisanl par e''i-^, on pent encore 
ecrirc celte relation 

apres une premiere diHV'reiilialion, nous avoiis encore 

^\{x) + e^'-.-'-.'-'^f 9U:r) + (/-o— /-Ocp-^C^)] -f-. ..= o. 

Le degre du polynome f|ui nuiliiplie e''''j~'"i'-^ esl encore egal 
a /Zo, el de meme pour les aulres. Apres avoir diflTerentie (/?, -f- i) 
fois, on aura done une relation de meme forme que la relation 
d'oii Ton esl parti, a\ec un lerme de moins 

r^rr']ji{x) -+- e-'j'*'!>3(.r; -» . . .+ t'U-»t|//,.(a:) = o, 

les k — 1 nombres ^25 • • • > •''A etaiil dillereuls, el •I21 '^3; • • • , '^a 
elant des poljnomes de degre n.^i /?3, • • .. /J/v ^especlivement. 

En continuant de la sorle, on limrail par arriver a une relalion 
de la forme e'-^~(^x)-=^ o, tc(-c) ttanl un poljnome non idcntifuie- 
ment nul, ce (pii est evideminent absurde. L'inlegrale generale de 
G., II. 28 



i34 CIIMMTRF, X\. — KQUATIONS DII'FKRKNTIKI.LES LINEAIRES. 

reqiiali(in linc;iirc (35) est done rcpresenlec par la foriniilc 
(4'->-) J' = e''.-rP!j.,_i-)-e'V'^r|j.,_i + ... + ea-^P(xj_i, 

P„_,, ..., Ptjn_i t'lanl (les polvnonies a coefficienls arl)ilralres, 
d'lin dcij;re egal a leur indice. 

Si I'eqiialion caraclerislique a des racines Imaginaires, i'inle- 
grale generale (42) renfernie des symboles imaginaires, mais on 
pent faire disparailre ces sjniboles lorsquc les coefficienls «(, 
«2i • • • , ^« sonl reels. Dans ce cas, en efl'el, si I'eqiialion /"(/*) := o 
admel la racine a -f- [3/au degreyo de miilliplicile, a — [3/est aussi 
racine an nienie degre de miilliplicile. La somme des deux lermes 
de la foiinule (4'-i) provenanl de ces deux racines pent s'ecrire 

e^^[{cos<^x -\- i sinpx)ft>(x) -\- (cosp^ — t sin pa")T(j')], 

4>(j:) el ^^(-*^) t'lanl deux polvnonies de degre p — i a coefficienls 
arbilraires, ou sous la forme equivalenle 

e«-^[cos j3a-«l>i(:r) -t- sin p.rMi',(a^)], 
<I>, el W) elanl aussi deux polynomes arbilraires de degre/? — i. 

Remarque. — Pour exprimer I'integrale generale de I'equation (35) au 
moyen de la fonction exponentielle, il faul d'abord, comme on le volt, 
resoudre Tequation /(/•) = o. Si celte equation n'est pas resolue, la rela- 
tion de recurrence (87) permet toujours de calculer de proche en proche 
autant de coefficients qu'on le voudra de la serie entiere qui represente 
I'integrale correspondant a des conditions initiales donnees. 

On peut prevoir le nombre de coefficients qu'ii suffit de calculer pour 
avoir la valeur de I'integrale avec une approximation determinee. Soil A 
le plus grand des nombres i, |ai|, ..., |««|, et B le plus grand des 
nombres |co|, |ci|, ..., |c,j_i|; on verifie aisement de proche en proche 
que Ton a |c„-h,,| < B(An)A'-^'. Le module du re«te de la serie qui repre- 
sente i'integrale a partir du terme en x'^-^p est done moindre que la somme 

de la serie 

„ r (An)/^+'p"+P (A/i)/'+2p«+/.+i -I 

L 1 . 2 . . . ( /I -+- Z' j i .1. . .{n -\- p -T- I) J 



oil p = \x\, et par suite moindre que 



B(Art)/^+'p«+/' . 



6'^"?. 



\ .1. . . ( n -\- p) 
Gonsiderons mainlenanl une equation lineaire a coefficients 



I 

I 

I' 

1 



II. — KTiitK UK 01 i:i-Qi'i-!> KOI vnoNS I'mhh i;i.ii:ui:s. 435 

consliiiils avec tin second inc'inlH'oy'(.r j. On pcul eviler I'cinploi 
ties mt'-ihodes generales el lioiivcr direclenieiiL une inlegrale par- 
liculiere lorsque /"(^r) est iin polvnome. 

En cllel, SI Ic coiUicienl c/„ dc ]' dans r('(|iuition 



d" y 
ffx" 



d"-\v 
dx"-^ 



dx 



n'est pas mil, on pent Irouvcr nn autre polynome de degre ni 

y = o(x) = CoX'"-^ c, j-"'-'-r-. . ., 

qui, subslilue a la place de y dans le premier membre de I'equa- 
llon precedenle, donne un rcsullal identique kfi^x). Les ni -\- i 
coefficients Co,C(, Cj, . • ., c,n se delerniincnt de proche en proclie 
par les relations 

a,iCi,= bo, a,iCi + nia„^iC„= hi, 

ft, I ''i^( '" — U«H I C\ + "f( '« — ')^/i--2Co = b-i. , . ., 

ou a, I est par hypotliese diflerenl de zero. Ge calcul ne s'appliqne 
plus lorsque«rt = o. Pour plus de generalitc, supposons que la de- 
rivee d'ordre le nioins eleve qui figure dans le premier membre est 

la derivee d'ordre p. En prcnant pour inconnue auxiliaire r = -r^ , 
' ' ' dxi' 

on tran>forine Tequation proposee en une equation lineaire dordre 

n — /?, ou le coefficient de :; n'est pas nul. D'aprrs le cas qui vient 

d'etre Iraite, cette ef| nation en z admet pour integrale parliculiere 

un polynome de degre /)i; reqiialion en j^ admet done ellc-meme 

pour integrale particuliere un polynome de degre /;« -(-/?. Ondeter- 

minera encore les coefficients d£ ce polynome par une substitution 

directe; remarquons que le^ coefficients de .tP~\ xP~-, . . . , x, el 

le Icnne constant sonf atliilr;iires. 

Lois([ue le second membre f{x) est de la forme e°'-^P(jc), 

a elant constant et V(x) designant un polynome, on ramene ce 

cas au |)rec('dcnL fii posantj)/= c^-^^, ce f|ui conduit a I'equation 



(4-3; 



f "U'x) d" z 



/'"'"'' r a) rf«-'.s 
\ .i. . .n dr" I . v. . . . in — i ) dx"-^ 



--./■'<» 



dz^ 
dx 



■/i0L)z = P(x). 



Cette e([ualion admet pour intt'-gralc parliculiere, comme nous 
venous dc le voir, un polynome dont on peut fixer le degre a 
priori; reqiialion en y admet done une integrale parliculiere de 



4j(i CUVIMTRE X\. - KQl AirDNS Dll-FKRKNTIKr.l.KS I.INKMRES. 

la foiinc t'*-''Q(a'), C){-x) etaiU aiissi tin polynoine. Siipposons en 
Harliculier que P(.c) se retluise a un facleur conslanl C Si a n'esl 
pas raciric de rerjiialion cai'acleristique, reqnatioii (4^^) adniel 

C , . 

I'inlegralc parllculiere -^ — -> el re<juallon en y admet I'integrale 



parliculiere 






SI a est racine miilliple dordre/? de I'equalioa 



caraclerislique, on satisfall a Tequation (43) en posanL 

.pAZ, 

CxP 



/'"^«)£^ = -- 



/'^'(^) 



CxPe'^-' 



el par suile 1 equation eu v admet I inteijrale parliculiere - ^ - , ■ 

¥a\ verlu d'une reniarque generate (n°399), on pent done trouver 
direetement une inlegrale particulitre toutes les fois que le second 
membre est la somnie d un produil d'exponentlelles par des po- 
Ijnomes. Ceci a lieu en parliculier lorsque le second membre est de 
la forme cos«.r P( jc), ou s'xnax P(-p), car il suffit d'exprimer cosax 
el ^'inax au mo_yen de e"-^' el de e'"^"^'. Unc fois qu'on a reconnn 
par les con^idi'-rations precedentes la forme d'une integrale parli- 
culiere, il n'esl pas necessaire, pour calculer les coefficients donl 
elle depend, de passer par toutes les transformations indiquees; 
il est souvent preferable de substiluer direetement dans le pre- 
mier membre de I'equation proposee. 

Exemple. — Soil a Irouvor litilegiale generale de requation 

ch V * 

(44) ^\y) = ~j^- y = ae^-^ be^^ ^ c 'i'xnx ^ gco'ii.T, 

a, b, c, g elaiit con«lanls. L'equalion caracteii«tique r* — i = o admet les- 
racines simples +i, — i, -k-i, — i\ I'integrale generale de Tequalion sans 
second membre est done 



C43 



y — d e-^-h G^e- 



C-! eos^ -I- Gi sinar. 



-Nous avons ensuile a chercher une inlegrale parliculiere de cliacune 
des qnatre equations obtenues en prenant successivement pour second Wt\ 
membre ae^, be^^, csinar, gc.o^six. Gomme I'unite est racine simple ' 

At fir) = r* — 1 = 0, la premiere de ces equations admet I'integrale par- 



II. — Kit in: l>K ylKLQlES KQIATIONS PAHTICIMEKKB. i37 

liculiore -^, = — ; — ; ■>. ii\l;inl pas racine ilc lYqualion /"(/) = o. lu 

/ (') ^ 

seconde eqiialion adiuet 1 inlciiialc parliciilirre - — • 

Dans la lioisieiut> L-qnallon F( ^) = c siii.r, nous pouvons rcmplacer sina; 

par : ) et nous avons a cliciclicr une inlc'male parliciilicro de 

chacune des ('iiuations 

F( Y) — —■ <"'■', I""' y) = ■ e xi\ 

or -\- i cl — / etanl racines simples de f{r) = o, nous savons, a priori, 

qu'elles admeltent respectivemenl deux inlegrales parliculieies de la 

forme Mjce^', j\:re-^^'. La somme de ces deux inlegrales est de la forme 

x{ni cosx -^ n ?,\nx), et I'on peut determiner ces coefficients m el n en 

subsliluant dans F(^) et en ecrivanl que ie resultal est identique a c sinx, 

methode qui evile rem[)loi du symbole i. On liiMive ainsi qui! faut 

c 
prendre in = -» « = o. On trouve de nienie que la derniere equation 
i 

¥( y) = g cosix admel rintt<;iaie parliculiere ■^cos-ix. En ajoutant 

toutes ces inlegrales pailiculieres au second membre de la formule (43), 
on oblient rintegraie generale de lequation (41)- 

-404. Methode de D'Alembert. — On a propose un grand nombre 
de nielhodc'S pour inlt'-grer les equations linealres a cocfllcienls 
conslanls, en partlculier dans le cas ou I'equalion caraclerislique 
a des racines multiples. Une des plus interessanles, qui est appli- 
cable a beaucoup de questions du nieme genre, consisle a consi- 
derer une equation lineaire, oil f(r) ■:= o a des racines multiples, 
comme limite dune equation lineaire ou loules les racines de 
/(r) = o seraicnl distinctes. D'une fagon generale, soit 

(46) F(7; = ^ -^ «. -j^jrrr -^- ••+«"- ^ + ^''^ = o 

une equation lineaire ou les coefficients rt|, <7o, . . .^ a,i sont des 
fonctions de x dependant en oulre de certains paramelres va- 
riables ai, 7-2, .... y.p. Supposons qu'il existe une fonctiony(x, /•) 
jouissant de la propriele suivaiile : pour q valeurs de /', dependant 
des parametres a,, a^, . . ., a^, et en general distinctes, la fono- 
liony(j", r) de x est une inlegrale de I'equalion (46). Soient /•,, 



438 CIIMMTIti: \\. — Ktjl VTIONS I»l KIKUKMIKI.I.KS I.INKAIUICS. 

/■■,. . . . , f'q ces q viileiirs dc r, de lelle sorle que Ics ronclions 

f(T, /•, ), /(^.r, n), ..., /(.r, /v/) 

lormcnl ^ intei^^rales parlicidicres dislincles de requalinn (46) 

]orsf|ue les paramelres a,. a_,, . . . , y.p sont f|iielcoi)ques. Si, pour 

cerlaines valours parliculieres de ees paraiueLres, les (/ valours /•,, 

/v., . . . , fg nesonl pas dislincles, le nombre des inlegrales connues 

esl diminue. Supposons par exem[)lc que r^ devienne egal a /•, ; si r-, 

est diflferenl de ;■(, I'equalion adtnel Jes deux inlegrales /{:r, /",), 

/(j:, /'2 ). el par suite 

fi .r. /••> I — /i r, /•, ) 



est aussi une integrale. Or, lorsqiie /'.y lend vers /,, la lunclion 
precedente a pour limile la derivee [/^(^, /*)]r,- Si une Iroisieme 
racine /'s devient egale a /•,, nous prendrons de meme, en suppo- 
sanl d'abord /'a un pen diflerenl de z,, I'inle^rale 

f(.r. r^ ) — ./'i X. ri) — ( r^— r, }\ f',.(x. z-)],., 

el celle inlegrale a pour limile - [y^(^, /")],., lorsque /•;( lend 

vers /•,. Le raisonnemenl esl gtMieral ; si pour cerlaines valeurs des 

parauielres a, a^, k des racines /■, , /-o, .... y^ sonl egales 

a r, , ['equation correspondanle (4'^) ad'^iel les A inlegrales par- 
liculieres 



/<-), (a,- m.: 



(9/-A-1 



Dans le cas dune equation lincairc a coefficienls constants, les 
parametres a,, a^, .... y.p sonl les coefficienls eux-memes, el la 
fonction f{x, r) est e'-*^ . Nous relrouvons bien les rcsullals 
oblenus directement. 

40o. Equations lineaires d'Euler. — Les equations lineaires 






d.r 



-t- A„ r = o, 



ou A,, A.2, .... A„ sonl des conslanles, se ramenent aux pr^ce- 
denles par le cliangement de variable (') x = e^. iVous avons en 



(') Li Iheorie generate ( n" 397) nous apprend qi:c les inlegrales de I'cqiia- 
tion (4;) ne peuvenl adniellre d'autre point singulicr que a: = o. Or e' ne pcut 



11. — KTiKE i)E Of i;i.QLi;.s 


Kyi.vTHi.NS 1 


'MITICII.IKUKS. 


I , dt \ 

observanl fine -7— = -, 

' llX X 






dy dy dt 1 il\ 


d^y . 


/d\y dy\ 


dx ~ dt dx ~~ X dV 


cix- X- 


\ df- dt ) ' 



4^9 



el I'on verifie ai.seincnl tie proche en proche que le pioduil .ri* -^-^ 

est une expression lineaire a coeflicienls conslanls |)ar rapport 

. dy d- y di' y , , , . , . , . , ^ - 

a -y- » -7-^' •••' ■ ' • L equation iineairc proposcc se transiorrae 

done par ce cliangemenl de variable en une equation a coefficients 
constants. 

II est inutile, pour obtenir lintegrale generalc de re(pialion(47), 
d'eflectuer le calcul de ce cliangement de variable. On sait en effet 
que Tequalion Iransformee aduiet des inlegrales de la forme e'"'; 
i'equalion propos('e aduiet done elle-nieiue un certain nonibre 
d'integrales de la forme ye^f^x^. En remplacant _/ |)ar x'' dans 
le premier membre de I'equation (47)? 'e rcsultal de la substitu- 
tion est j:'" /"(/•), en posant 

f{r) = r(r — I). . . (r — n-r- I) 

-(- A I /• f /• — I I . . . ( r — « -r- y. ) -+- . . . -1- A„_ 1 /• -J- A„ . 

Si I'equation y(/') = o, qui joue ici le meme role que I'equation 

caracteristique, a n racines dislincles /■,, /j. ..., /'«, I'integrale 

geuerale est 

j^' = C I x'i -h Co x'i -f- ...-+- G„ x'n ; 

si r est une racine mulliple d'oidie <x de /'(/•j=o, a cette raciue 
correspondent, dapres la melhode de UAb-iuberl, Ics y. inle^rales 
parliculieres 

d 0\'-^x'' 

L'integrale generale de I'equalion (47) est done, dans lous les cas, 
(48) ^ = :r'-. P,j,,_,(Log:r)-t-...-r-.r'*Pa^_,a.ogr), 

r, , r.j, .... /•/;. elanl les /c racines dislincles de y(/-)=o, u.,, 
11.2, . . ., piA leurs ordres de mulliplicile, el Pjj^._i (Logjr) etant un 
polynome en Logjc a coefficients arbilraires, de degre [i.< — i . 

I'tre nul pour aucune valeur de t; Ics inlegralcs dc l'<5qualion oblcnuc par Ic 
cliangement de variable a; =: e' doivenl done ctre des fonclions enlicres. 



4 (O IMIVPITUI-; W. — I'Ol ATIONS DlFI'i'.UKVriKI.l.KS LINKAIUES. 

Si Toil nJDiile a r(''(|iialion {i~) im second niemhre de la 
lornie .r"'Q( Logj"), Q deslgnanl un pol^iiome, on domoDtre, 
conniie pour les equations a coefficienls constanis, que I'equation 
oblenue adniet pour inlegrale j)artlculicre une expression de 
meme forme, dont on pent calculer les coefficienls inconnus par 
une subslilulion. 

iOr>. Equation de Laplace. — On ])eul quolquefois represenler les inle- 
grales d'une equation lineaire par des integrales definies, ou la variable 
independante figure conime parametre sous le signe integral. Une des 
applications les plus importantes de cette methode est due a Laplace; 
eile concerne I'equation 



(49) F(jk:) = («o-+-''.'o^) 



dx" 



(«i 



^n— 1 y 



dont tous les coeffieienls sont du premier degre au plus. Cherclions a sati-^- 
faire a cette equation en prenant pour'^' une ex|Hession de la forme 



(5o) 



y^ fze^'c/z, 



Z etant une fonction de la variable z, et L un cheinin d'inlegralion deter- 
mine, independant de x. Nous avons, dune facon generale, 



di'r 
dx 






^dz. 



et, en remplacant y et ses derivees par les expressions precedentes dans le 
premier membre de Toqualion (49), Is resultat est 



(5i) 



•(r)= r Ze'^(P -^^ Ox) dz, 



a„-iz 

bn-lZ 



en posant pour abrcger 

P = a^yz" -+- aiz"-^-^. 

La fonction sous le signe / dans la formule (5i)esl la derivee par rap- 
port a 5 de Ze'^Q pourvu que Ion ait 

d(ZQ) 



(52) 



On tire de ce 



dz 



= ZP, 



i^[Log(ZQ)] = ^. 



tie condition a = — c^^j , 



la limite inferieure ^o n'annu- 



II. — KTLDI-: hi: QLELQIES KQL'ATIONS PAKTICl I.IERKS. 4il 

laiit pasQf.r). La foiiclion Z clanl ain<i (iLlcriiiirKH-, riiilrgialc (Icfinie (5i) 

cst egalc a la variation <lo la foiirlion auxiliairo V = e-^7X) = e • =. 
le lung <lu chcniin L. II suffira clone, pour ohlcnir une iiilcgralc cle I'equa- 
tion lincairo propost'-e (4<)): ^'*^ choij^ir la ligne (I'integralion L de faron 
que cette fonelion V repienne la meme valeur apros avoir fail decrire a :; 
la ligne L luul enlicre, el que I'inlegrale (5o) ail une valeur finie el diffc- 
renle de zero. 

Soient rt, b, c, ,.., / les racines de I'equalion ()(t) = o. La fonction 
auxiliaire \' esl de la forme 

(53; V = e--^-+^^=>(z — ay-^{z — b)ii...(z — ly-. 

R(:;) etant une fonelion ralionncllc donl le denoniinaleur n'admel pour 
racines que les racines a, b, c, . . ., I de Q(a:), a un degre de niullipliciu- 
inferieur d'une unile. Appelons .A., ill>, G, . . . , les lacets decrils aulour des 
points «, 6, c, ..., dans le sens direcl a partir d'une origine arbilraire, el 
elo_i, Hl)-i, S_i, ..., les menies lacets decrils dans le sens oppose. La 
function ^' est niultipliee par e2i;/a lorsque z decrit le lacet JU, et par 
f-27;i"a lorsque z decrit le lacet X_i, et de meme pour les aulres. II s'ensuil 
que, si Ton fail decrire a la variable les lacets tAo, lib, A>-], I'l'-i, successi- 
vement, la fonction V reprend sa va'eur iniliale. L'iniegrale definie (5o), 
prise suivant ce cliemin c.\£>llli'.A.._i'i)l>_i, n'esl pas nulle en general ; clie donne 
une integrale particuliere de I'equalion proposee. En associanl 2 3 2 les/? 

7 II I • - 11 1 • p( P — ') 
points a, b, c, . . . , / de toutes ie? manieres possibles, on obtiont 

integrales qui se leduisent en realite h p — i integrales distincles. 

On n'a pas ainsi n integrates particulieres. Pour en oblenir d'aiilres, on 
cherche des lignes L terminces a leurs deux exlremites a certains des 
points singuliers a, b, c, ..., I et telles que la fonction V s'annule aux 
deux exlremites. Si a est une racinc simple deQ(-3) = o, la fonelion Z 
contienl le facteur (z — a)*-', et I'inlegrale (,5o) ne pourra avoir une va- 
leur finie lorsqu'une des exlremites de la ligne L est au point a que si la 
pariie reelle de a esl positive, et dans ce cas V lend bien vers zero en meme 
temps que |^ — n\. Si a c«l racino multiple d'ordie ni de Q{z ) = o, 

A _ 

la fonction ralionnelle l\iz) contienl un lerme de la forme ~ -> 

^ (xJ — «)'"-» 

el pour etre renscigne sur Ic module de \' dans le domaine du points = a, 
il suflil d'cludier le moduli; de la partic piiiicipalc (- — a )^e'-~""'"'~'. Soil 
z - - rt = p(cosrp -t- / sincp), A,„_| = A( cos'!- -I- /sini]/), a = a'-t-a"i; 

le module de la partie j)rincipale esl egal a 

C—OL'^fr^U.' (jA -I— mcos['|/— (/n— 1)9;_ 

Pour que \ lende vers zero avec \z — a\, il suffira de fairc decrire a - 



44'2 CI1AP1TUI-: W. — EQl \riO.\S 1)11 KEUKiM IliLLIiS LlNKAIUIiS. 

line lignc telle que Tangle o ile la laiigeiile a\ec I'axe reel verifie la con- 

... r I V 1 ^ 1 I J/ -H (-2 A- -I- I ) K 

(lition cos o — (ni — i)o < o; on prencira par cvempie ci = 

' ' m — I 

Si Tangle o a ele pris de cclle facun, le produil Ze--f lend aussi vers zero 

avec \z — a\. Operant de meme avec les aulres points 6, c, ...,/, on voit 

que Ton peut determiner de nouvelles lignes L, fennees ou non, donnant 

d'autres integrales particulieres. 

Enfin,on peul prendre aussi pour lignes d'integration des courbes s'eloi- 

gnant a Tinfini. On est encore amene a determiner une courbe L ayant une 

branche infinie telle que la fonction V tende vers zero lorsque le point z 

s'eloigne indrfiniment surcette branche. Si parexemple la fraction ralion- 

nelle R(,-3j est nuile, et si Targument de t vc>\.e compris entre o et -5 il 

suffira de faire decrire a z une braiiclie inlinie asymptote a une direction 

3- 
faisant un angle —^ avec Taxe reel. 

Laissant de cole ces generalites (i), considerons en particulier Tequa- 
tion de Bessel 

(04) ^^-^^■^"-''^-^^■^'' = ''' 

oil n est une constante donnee. On a ici 

P = (-in-i-i)z, Q = i-H^-, 
et par suite 

1 I 

" — "-*- 

Z = {i-^z-) -, \ = e^^i [ -h z- ) '-. 

L'integrale definie 

(35 ) y= I e-^ii — z"-) ^-dz 

est done une integrale parliculiere de Tequalion ( 54 ), pourvu que la fonc- 

1 
lion e=*( I -f- 2-; - reprenne la memi valeur aux deux extremiles de cette 
ligne. On peut prendre d'abord une suite de deux lacets decrits, le pre- 
mier dans le sens direct aulour du point z = -f- «', le second dans le sens 
inverse aulour du point ^ = — i. Pour second contour d'integration on 
peut prendre ensuite une ligne entouranl Tun des points singuliers ± i, 
et ayant deux branches infinies avec une direction asymptotique telle 
que la partie reelle de zx tende vers — -jl. 

La partie reelle de la constante n peut elre supposee positive ou nulla, J 
car, si Ton pose ^ = a?-^//^^ Tequation en z ne differe de Tequation (54) ^B 



(') Voir un important Memoire de M. Poincark dans V American Journal of 
Mathematics, t. VII. 



1 



It. — iVriDK i)i; oi:i;i,Qii:s kqiwtions I'autu:ii.ii";hks. 4 »^ 

quo par le chaiijiemenl ile n en — /i. I.nrsiiu'il en csl ainsi, on peul piendic 
aussi pour chemin d'inlei^ralion la lignc droile joi-j;nanl les deux points -t- i 
ot — /; (III icnIc linlesi'alo ainsi oblenue csl idiniiqnr a la premiere ii un 
lacleur conslanl pres. Pour ranioner rcllo intt''i;i ale a la fniiiic liabiluelle 
posons z ^= it; elle devienl 



ou encore 



e'^'{i — r-)" -dl 



I 1 



(5G) y — \ cosxti \ — f-) -dl. 

•- -1 

Nous devons siirnalt>r iii un cms |)arli(Milior rcinarqualjle, colui ou n est 
la moilic dun nonibrc impair. Si /( est positil', I'inti'grale (5G) existe 

toujours et pent ineme ctre calculee explicileiiient puisque n est un 

nonibre cntier positif. Mais, si la lii^ne L est une courbe fermee, I'iiitegrale 
definie (55) est toujours nuile. II sembic done que dans ce cas I'application 
de la methode generale ne donne qu'une inlegrale particuliere. Mais on pent 
au contraire, dans ce cas en apparence defavorabie, exprimer I'integrale 
generale au nioyen des fonctions elementaires. Faisons, en effet, la trans- 
formation inveise de la prcccdcnte, de fat^on que n soit la inoitie d'un 

nombre impair negatif. Alors n est un nombre entier negalif, el riiite- 

grale definie (55) prise le long dune ligne fermee quelconque est une inle- 
grale particuliere de I'equation lineaire (54). Kn prenant pour la ligne L 
un cercle ayant pour centre I'lin des points ± i, on voil que le residu de 



n — 



la fonction e"^{\ -{- z'-) - lelatif a cliacun de ces poles est une inlegrale 
de I'equation lineaire. Or il est clair que le residu relatif au pole ;:==-(- i 
est le proiluit de e'-* par un polynome, et de meme que le residu relatif au 
p6le z = — i est le produit de e-tx pa,, up polynome. Ces deux integrales 
|)articulieres sont dislinctes, car ieur rapport est egal au produit de e^'-* 
par une fonction rationnelle. II est clair que Ieur somme est une inlegrale 
reelle, ainsi que le produit de Ieur dillerence par i. 

Remarque. — L'equation lineaire a coefficients constants est un cas 
particulier de r((|uation de Laplace, que Ion obtient en supposant nuls 
lous les coefficients 6,. Si Ion suppose de plus au=i, on a Q(^) = o, 
tandis que P(-) se reduit au polynome caraclerislique /"(a ). La methode 
generale parait en defaut, puisque la formule qui donne I'expression de Z 
devient illusoire. Mais il suffit dun pen d'atlention pour reconnaitre 
comment on doit modifier la methode. \ln elTct le raisonnemenl prouve 

que I'inlegrale definie / 'Ae-^dz est une inlegrale particuliere de I'cqua- 



444 CIIAPITRE XK. — KQl ATIONS DIKKKRENTI KLLES LIXKAIRFiS. 

tion lincairc poiirvii quo rintei^rale dcfinic / Z/( zje-^ ciz, prise Ic long 

dc la iiieme ligne L, soil nulle. Or, si Ion prcnH pour L une courbe fermee, 
il suffira qne le produit Z/(z) soil une fonction holomorphe de 5 a I'inte- 
rieur de cette courbe Si done Il(-) designe une fonction holomorphe 
(|uelconquc dan? une region R du |)lan, linlegrale definie 

prise le long dune courbe fermee quelconque L siluee dans celle region, 
est une integrale particuliere de requation lineaire a coefficients con- 
stants. On Yoit comment ce resukat du a Cauchy se rattache aisement a 
la melhode de I.aplace. 

11 est facile comme verification de retrouver les integrales parliculieres 
connues. Soit z = a une racine d'ordre p de I'equation caracteristique 
f{ z) = o. Prcnons pour ligne d'integration un cercle de centre a ne ren- 
fermant pas d'autres racines de/(s) = o, et soit U{z) une fonction holo- 

. T ■ -J , < r ll(^)e*^ l](z)e^^ 
morphe dans ce cercle. Le residu de la lonclion — -r— ou ,,. ^ , — ■ 

est egal au coefficient de /«/'-' dans le developpement du produit 

gxh 

/i(a -h h) 
suivant les puissances de h. Soil 



/i(a-hh) 



Au ^ A, /i + . . . -^ A/,_, Ap-' 4- 



les coefficients Ay, A,, ..., A/,_, sonl arbilraires puisque la fonction n(z) 
est une fonction quelconque holomorphe dans le domaine du point a. Le 
rcsidu cherche est done egal a 

r. .r/'-i , xP-^ . 1 

e«-r Ao 7 + A, ^ — ...-^ A,,_i , 

c'est-a-dire au produit de I'exponentielle e«-^ par un polynome arbitraire 
de ilegre p — i; ce qui est bien d'accord avec le rcsultat connu. 



in. — INTEGRALES REGULIERES. 

En dehors des cas tres elementaires que nous avons Iraites, il est, en 
general, impossible de reconnaitre, d'apres la forme seule d'une equation 
lineaire, si I'inlegrale generale est algcbrique ou peut s'exprimer au moyen 
de transcendantes classiques. On a done cte conduit a etudier diroclement 
les proprieles de ces integrales, en partant de I'equation elle-nnhne, au 
lieu de chercher a les exprimer (un peu au hasard) par des combinaisons 



I 



III. — INTKCIIAI.KS IIK(irr.lBRES. 44'J 

en nombre fini de fonclioiis ooimucs. Nous avons deja reconnu (Chap. XV) 
que la nature des points singuliers d'une foiiclion analylique est un ele- 
ment essonliel permetlanl dans certains cas do caiacleriser complclement 
ces fonclions. Or on connait a priori ( n" 397) les points sin-^'uliers dcs 
integrales d'une equation liui'aire; nous allons niontrer conimcnl on peut, 
dans un cas parliculier etendu et tres important, faire I'etude complete 
des integrales dans le domaine d'un point singulier. 

iUT. Permutation des int6grales autour d'un point critique. — Soil a 
un point singulier isole de quelques-iins des coefficients />|, p^, .... p„ de 
I'equation lineaire 

... „ d" y <:/"-' V ilv 

nous supposons en outre que ces coefficients sonl uniformes dans le voisi- 
nage. Soient G un cercle de centre a a I'interieur duquel />i, /jj, ..., p,i 
n'ont pas d'autre point singulier que a, el j"o un point interieur a C 
voisin de a. Toutes les integrales sonl holomorphes dans le domaine du 
point x^: prenons n integrales parliculieres ^i, y^, .... y,i formant un 
sysleme fondamental. Si la variable x decril dans le sens direct un cercle 
de centre a passant par le point Xq, on peut suivre le prolongemenl 
analytique des integrales y^, y^, . . ..yn tout le long de ce cliemin, et Ton 
revienl au point x^^ avec n fonctions Y|, Yo, ..., Y„ qui sonl encore des 
integrales de I'equation {5~)\ Y,- designe ce que devient yi apres une 
circulation autour <lu point a dans le sens direct. On a done, puisque Yj, 
Yj, ..., Y„ sonl des integrales de I'equation (37), n relations de la forme 

[ Yi = rtiij'i -!- ttityi -(-. . .4- a,„j-„, 
3b) ^ 

' Y„ = a,n J'l -r- ciiriVi -f- . . . H- a„ny„, 

es coefficients a,/,, etant des constantes qui dependent iiaturellement 
du sysleme fondamental choisi. Le delerniinant A tl'ordre n. forme par 
ces n^ coefficients, est different de zero; en elfel, s'li elait nul, les inte- 
grales Yj, Y2, .. ., Y,t ne formeraienl pas un sysleme fondamental, et Ton 
aurait une relation lineaire a coefficients constants Gi Y] -4-. ..+ C„Y„= o, 
qui deviendrail, apres une circulation en sens inverse de la premiere, 

GiJ'i— . . .+ G„7„=: o. 

Les n integrales J', ne f(jrmeraienl done pas un sysleme fondamental. 

Les coefficients des formules (58) dependant du sysleme fondamental 
choisi, il est naturel de chercher un sysleme parliculier d'integiales, de 
facon que ces formules soient les plus simples possible. Clierclions d'abord 
a determiner une inlegrale [larticuliere " = X,y, -{- Xj^a-t-- • .-!- ?^rt^«> 
telle qu'une circulation autour du point a repioduise cetle inlegrale mul- 



446 ClIVIMTUK \X. — KQIIATIONS DIFFERENTIKI.LES LIMCAIHKS. 

tipliec par iin factour tonstanl. II faiuira pour cela que Ion ait U = su, 
V olaiil la valour dc u apres la circulation, et s un facleur constant, ou 

— /-»(^«iJ'i-^-«/i2j'-'-^----^ o„„j-„) — s{liyi-h. ..-h'k„y„)= o; 

unc telle relation ne pcut cxister entre les n integrales que si les coeffi- 
cienls tie yi, y», . . . , y„ sonl nuls separement. Les n -f- 1 coefficients inde- 
torminos, X|, Xj, ..-, X^, s doivent done satisfaire aux n conditions 



(39) 



Xia,2 -f-X2((72r 



^^nf'nl 



S) 



= o, 



Xia,,, 



^wA««" — .0 = 0. 



Comme Xi, X2, ..., A„ iic peuvent etre nuls a la fois. sans quoi Ton 
aurait a = 0, on voii que 5 doit etre racine d'une equation de degre /; 



(60) 



F(5) = 



«12 



«1/1 



«0| 

a ., ., — s 



que nous appellerons pour ahreger eguadon caracferistigae ; LVapvcs une 
remaique faite lout a I'heure, celte equation ne peut admettre la racine 
s = o, car le determinant A des n^ coefficients aiA- serait nul. 

inversement, soit s une racine de cette equation; les relations (Sg) de- 
terminent pour les coefficients X/ des valeurs non toutes nulles, et I'intc- 
grale u = XjjKi -h. . .-f- ^^,iy,i. est multipliee par s apres une circulation de 
la variable autour du point a. Cela etant, supposons d'abord que I'equa- 
tion caracteristique ait n racines distinctes s^, 52, ..., s,^. Nous aurons n 
integrales particulieres Ui, Uo, ..., Un, telles qu'apres une circulation 
dans le sens direct autour du point a, on ait 



U, 



52 «2) 



U„= S,iU„, 



(61) Ui = 5,?/i, 

U/ designant la valeur finale de u, apres la circulation. Cea n integrales 
Ui, U2, ..., u,i forment un systeme fondamental. Supposons, en elYet, 
que Ton ait une relation de la forme 

(62) C] Ml -1- C2 Mo-i-- • •-+- tl/;"/; = O, 

les coefficients constants Gj, C2, .... C„ n'etant pas tons nuls. Apres une, 
deux, ..., (« — I) circulations, on aurait des relations de nieme forme 



(63) 



G] 5i n\ 

Qj\S\ Ml 



Vj2 ^2 ^2 

VJO S n it-t 



y^n^ii tin. — O, 
CnSlUa = O, 



c,sr 



Cosr 



G/iS,( 



III. — iNTKGHAi.Ks ma-n-iionKs. 44/ 

Les relalions liiuaiics ((i.>.) el (G3) ne pouvciU ('lio vriifiLL's (|uc si Ton a 
en nieme temps Ci «, = o, ..., C„u„ = o, car Ic (lelcrminant correspoii- 
danl est difTerenl de zero. 

II est facile de former iiin- ronclion aii;il\ li(|iic (jiii c^t iinilii|(licc pai' iiii 
faeteur eoiislaiit s diO'creiil de zero aprcs uiie circuialioii aulour du 
poiiii a. ICii ellel, la fonclion (.r — ay ou e'' "k'-*'-"' est multipiiee apres 
une lellc circuialioii par e"-"^'"' cl, si nous determinons /• par la condi- 
tion /■= :Log(5), celte foiiciioii (x — a )'■ est bicii nmll i|)li(''e iiar s 

apres une circulation autcmi- de a; loiite autre fonclion tt jouissant de la 
me me propricte est de la forme {x — rt)'"cs(a; — a), la fonction ^{x — a) 
elant unifornie dans ic (Inmaiiie du point «, car le produil u{x — a)""'" 
revient a sa valeur iiiilialc apres une circulation aulour dn |)oint a. L'inle- 
grale u^ est done de la forme 

oil /7.-= ;Log(5/.), la fonction o/, etant unifornie dans le voisiiiase du 

point a. Dans un cercle G de rayon R decrit du point a pour centre el on 
les coefficients p\, ..., /?„ sont holomorplies, sauf an point a, I'inte- 
grale Uk ne peut avoir d'aulre point singulicr que a. Jl en est done de memc 
de la fonction (fA-(-^ — <^)) et le point a est pour cette fonction un point 
ordinaire ou un point singuiier isole. On pent eeartcr le cas ou le point a 
serait un p61e. En elTet, si le point a elait un pole d'ordre /», comme I'expo- 
sant T/i n'est determine qu'a un nonibre entier pres, on pourrait ecrire 

Ua = {x — afk-'" [{x — a)"'^/,(x — a)\, 

et le produit (:f — a )"' ^/^ix — a) est holomorplie pour .r = a. Si ic point a 
n'est pas un point singuiier essentiel pour ^^{x — a), on dil que Vinte- 
grale est reguliere pour x = a. 

iOS. Examen du cas g6n6ral. — II reste a examiner le cas oil I'equa- 
lion caractcrisliqne a des racines multiples. Nous allons monlrer que Ton 
peut toujours Irouver n integrales formant un systenic fondamental et se 
decomposant en un certain nombre de groupes tels que, yi, y-i, ...,jy,, 
designant les p integrales d'un meme groupe, on ait, apres une circula- 
tion dans le sens direct autour du point a, 

(64) Y, = .9j^,, Y2= s(7,-T-72), •••, ^'/> = Hy,.-i-i-yp)- 

Les difrerentes valeurs de .v sont les racines de I'cquation caracterislique, 
el a une meme racine peuvent correspondre plusieurs groupes differenls. 
Lorsque les n racines sont dislinctes, cas que nous venons d'examiner, 
chaque groupe sc compose d'une seule intcgraie. 

Le problcme revient en rcaiile a prouver que Ton peut ramcner la sub- 
stitution lin( aire ibMiuie par les formules ( J8) a une forme canonique telle 



jj8 CIIAPITRE X?i. — KOIATIONS DIFFKRENTIEI.LKS I.INKAIRES. 

quo Ion viont de riiidiquer, on roniplaganl jki. ^2) • • • ? J'« P^'" <^'cs conibi- 
naisons lineaires convenablemenl choisies de ces variables. Le theoreme 
('•lant suppose etabli dans le cas de n — i variables, nous allons niontrer 
qu'il est encore vrai pour /;. 

D'apres ce qui a ele donionire au |)iecedent paiagrapbe, on pent toujours 
trouver une integrale particuliere u telle que Ton ait U = \i.u. En rem- 
pla^ant I'une dcs integrales, j'l parcxemple, par celte integrale u, les for- 
niules (58) prennent la forme 

L' — \i.u, 
\ Y., = hilt -^ OiiVi -+-...+ b2„j-„, 

Y„ = b,i II ~ b„ty2 -^. . .-H bnnVn. 

Si dans les n — i dernieres forniules nous negligeons les termes biU. ..., 
bnU, ces formules definissent une substitution lineaire portant sur les n — i 
variables ^2' JKsr •■•ijrf Le deterniinanl A' de cette substitution a n — i 
variables n'est pas nul, car le determinant A de la substitution lineaire a n 
variables est egal a [jlA', et ne peul etre nul. Le theoreme etant admis 
pour a — I variables, supposons cette substitution auxiliaire ramenee a la 
forme canonique. Cela revient a remplacer yo' Vz- ...,yn pa'" 'i combi- 
naisons lint'aires distinctes Zj, z<i, ..., -s„_i lelles que les formules qui 
detlnispcnt la substitution lineaire 

Y,- = bioyz^. . . -{- bi„y„ ( t = 2, 3, ....«) 

soient remplacees par nn certain nombrc de groupes de formules telles que 

Zi = 5-i, Z2 ^ S( Zi-{- Zo), ..., 7,j, ^ S{z,j-i-^ Zp). 

Si Ton efFectue la memo Ircin-fornialion sur les formules (65) il faudra 
evidemn)cnt ajouter aux seconds membres des formules precedentes des 
termes renfermant u. Autrement dit, nous pouvons trouver n — i inte- 
grales formant avec u un systeme fondamental, et se partageant en un 
certain nombre de groupes tels que Ton ait, pour les integrales zi, z-t. . . ., 
z,, d'un seul groupe, 

(60) Zi = szi^Kiif, 7.2 = s(zi-hZ2)-hK2U, •■■, Zp = s(zp-i-i-Zp)-i-Kpi(, 

Ki, K2, ..., Kp etant des constantes. Nous allons d'abord chercher a faire 
disparaitre le plus qu'on pourra de ces coefficients. Posons pour cela 

Ui=Zi-^llU, Ui = Z.i-\-\.,U, ..., Up=Zp-i-lpU, 

li, A2, ..., /.p etant /) coefficients constants. Un caicul facile montre (jue 
Ton a pour ces nouvelles integrales, 

( Uj = 5i/i-t- [Ki-h f.u — 5j).i] w, 

I U/ = 5Yif/_iH- «/)-^ [K, -t- ( a — 5)>,/ — 5A/_i]?<, i>i; 



III. iMi:i;u\LKS niicuLiERES. 4^9 

rola posd, si |ji — s n'esl pas nul, on peiil choisir Xj, 1k->, ..., X^, do Air.on 
que Ics coefficients de u dans les seconds mcmbrcs soicnt mils, ci I'on .1 
pour \c> nouvelles inl/'grales it,, 

Ui = su,. I'o — 5(m,h- «, ), .. . l]i,=s(ii,, I !-«/,). 

La subslilution subie par ce groupe d'inlcgrales apirs iine circulation 
autour dc a est de la forme canoni(|iie. Si |jl = s, coiiime 5 ne peul ctre nul, 
on pent choisir X,, Xo, . . ., X/,_| do fagon a faire disparailre le* coefficients 
de u dans los expressions de Uj, U3, . . ., U,,. INIais on pent a\oir plusieurs 
groupos de variables Zi subissant une transformation de forme canoniqiie 
pour laquelle la valeur de s est egale a p.. Supposons, pour fixer los idccs, 
qu'il Y ail deux parcils groupes, comprenanl respcctivement p ct q va- 
riables. Apres le cliangenient de vaiiables qui precede, les substitutions 
subies par ces deux groupes soul de la forme 

(I) {Ji = sui -hKiU, Vi — s( u.,-r- u,), ..., IJ,> = s(u,,-h U,,-i), 

( II) U', = su\ -+- K'l u, V, = s{u'^ -f- u[ ), .... U;, = s(u',f -4- f</_,). 

Si K| = l\2=o, Ton a Irois groupes dintegrales u, (w,, (/■,. .... it,,), 
(u\ , u'2, . . . , it',^) siibissant uiio substitution dc forme canonique. Soit pi^q', 

K' 

si Ki n'est pas nul, en posant »/=: u'^ ~ n,, le second groupe d'inte- 

grales c.-t remplace par un grou|)e de q intcgrales i'/ subissant une substi- 
(ution (le lorme canonique, et en posant ensuite Mo= , les {p -+- 1) in- 

tegrales Uc, «i 11,, formcnl un seul groupe subissant une substitution 

K' u 

de forme canonique. Si K] = o, K', u'etanl pas nul, en posant u'^,= — ' — > 

on a deux groupes d'integrales (M|, u,. ..., it,,), {it'^^, u\, ..., «,'y) subis- 
sant line substitution de forme canonique. Le thcorcmo enonco est done 
general. 

II nous restc a trouvcr une forme anuiytitpic propre a mellre en evidence 
la loi de permutation dcs integrales d'un meme grouj)C apres une circu- 
lation autour du point a. Soient^i,y2' •■•iyi> "" groupe d'inlcgrales 
subissant la permutation ( G4 ) ; posons y/^.=z(.T — a)'"*/., /• ctanl egal 

a . Loifs. Les /> fonctions z,. So, .... z„ doivent elre tcllcs (lue Ion ail 

9. TT t ■ ' 



Zi = c,. A, = z,-^ Zi. 



-r I 



La fouction Zi doit done etre uiie fonction uuiforme ^[{x — a) dans le 
ilomaine du point a. Quant a la fonction Zo, on deduit des cgalitrs precc- 

dentes ^j^ = — -i- 1 ; la dirfcrence — ^ — ■ — : Lo<'(.r — a) est done uno fonc- 

Ll Zi Zi ■2.1ZI 

lion uniforme 'l/iir — a), et Ion a aussi 



; . Log (x — a ) 'Y, ( jr — a) -+- o^ ( ./• — a ), 



C, IF. 



4*)o 



CIlVIMTRi: X\. — LQI.VTIO.NS DlKKKlllCN IIKI.I.KS I.INKAIUES. 



Oj(a: — a) claiil encore uiie foiiclioii unifonue. Dune facon gcneralo, 



soil T^{t ) le quotient 



/(/ — !)...(/ — A- r- I) 



, k desifrnanl un nombre 



i.JL...A 

eiuier posilif; un calcul facile montre que I'on a T^t^-t- i) = T/,{t) -^T/,^-i{t). 
Si done Ton iinnplacc t par . I,0f;(\r — a), les fonclions obtcnues 



"[.,ir,'-°> 



x — a)\ — Ha 



sont lelles que, apres une circulation de la variable r aulour du point a, 
Sk se chanije en 9/,--+- 6/,-_i. On en conclut, en raisonnant de proche en 
proche, que les n fonclions ^i, z-i, . . ., Z/, soul de la iornie 

Zi = oi(x — a), 

Zi =: H| 'j| ( .7? — a) -!- OjCa: — a), 



Zp= e/,_icpi(^- — fifj -+- 6;, ->'f2(.r — a) 



■j,A..i- — a), 



les fonclions cp,, o^, ..., o,, ctanl uniformed dans le doniaine du point a. 
Une inlegrale quelconque appartenanl au £,MOupe d'integrales considere 
est done de la forme 



|68) 



y =i.r — a)'-\'bQix — a)-i- '\ii(:r — a) Logi^^- 



<J//, ( .r — a ) [ Lo gi X — a)]^[, 



le nombre entier A" elan I au plus egal a/> — i et les fonclions 'i/o, i|(i, . . . , <|i,j i 
etanl des fonclions uniformes dans ie domaine du point a. qui s'expriment 
lineairemenl au moyen des fonclions oi, o*. ..., cp/,. Si le point a u'est 
un point singulier essentiel pour aucunc des fonclions ^i^ on dit que 
i'integrale (G8) est reguliere pour x=ia. D'apres une remarque deja 
faile, on peul alors supposer que toutes ces fonclions <|i,- sont iiolomorphes 
|)0ur a; = a, en remplacant r |)ar un autre e\posant qui ii'en diffeie que 
il'un nombre entier. 



i09. Theoreme de M. Fuchs. — On doit a M. Fuchs d'avoir elabli les 
conditions necessaires et suffisantes pour qu'une equation lineaire adMiette 
dans le domaine d'un point singulier a un sysleme de n inlcgrales dis- 
tincles, toutes regulieres. Pour qu'il en soil ainsi, il Jaut et il suj/it que 

cl'i—i y 

le coej/icient pi de ^ _. dans I' equation (5y) soil de la forme 

ix — a)^^\'{x — a), la fonction P(a7 — a) etanl holornorphe dans le 
doniaAne du point a. 

Si P(o) n'esl pas nul. le point a est un pole d'ordre i pour /?/. iMais, 
si P(o) = o, le point a est un pole d'ordre inferieur a i; il peul meme'1 
arriver que le point a soil un point ordinaire pour quelques-uns des coeffi- 
cients Pi. On peul encore enoncer les conditions precedentes commc 



III. — I.NTIGIWI.KS iu:«ii 1.11:111 s. ^ii 

il suil : //equation linrnire iloit ctre de la foiiiw 

d" V t/"-' V 

'^•'^ 1 dy 

f -\-(j;— a) F'„_,(.c) -J- H- \'„(.r)j — „. 

I'l. Po, ..., P„ etanl dcs fonctions lioluinorpltes dans le doniaine de a. 
(]i! ihcorcme (';lant admis, nous nioiiUerons ^implement coiniDcnl on 
|)eul (leterminer pour une equation de celle espece les racincs de ('equa- 
tion caracteiistique. Soil .v une liieine de celle equation et /• une deteimi- 

iiation de -^^. Lojja-. Dapres ce qu'on a reinarque, on peut clioisir cette 

lietermination de r de fa^on que Tequalion adnietle une integralc de la 
forme {x — aVoix — a), ^(j- — a) etant uni> fonclion iiolomorphe qui 
u'est pas nuUe pouro? ;= a. Soil 

*7o) y = c^{x — a)''-^ ci{x — af^^ - . . . (co ?^ o). 

le developpement de cetle integrale; en sub?tituant ce devcloppenu-nt a la 
place de y dans le premier membre de I'equation (69), le coefficient du 
terme de dcgre le moins eleve, c'est-a-dire du lernie ile degrc /• en {x — a), 
doit elre nul, ce qui conduit a I'equation 

(71) ! D(/-) = r(/--i,i...(/- — /i + i) 

( -+- l'l( «)/■(/• — I) ...(/• — « 4- •>.)-(-...-!- I'„((7) = <). 

Gette eijualion est \ equation, drier nxinante fondanieiitale relative an 
point a; si r est une racino, s = e-''^''' est une racine <le I'equation carac- 
leristii|ue. On voit que I'equation caracteiistique aura des racines mul- 
tiples si I'equcilion D(r) = o a des racines ipii ne diderent que d'uii nombn; 
enlier. Ne pouvant entrer ici dans I'etude du cas general, j'indiquerai 
rapidemeiit la rliscussion lorsque Tequalioii c^l du second ordie. Sup- 
posons, pour simplifier I'l'-frituri*, a = o. il ou-^iderons ri''qualii)n du 
second ordre 

(7-2) x-y" '\- x[a^-i- ai-r ~...\y' -[ 0,, ^ biX -{-... \y — o, 

les coefficients de xy' et de y ctant des fonctions iKilomnrplies de x dans 
le domainc de Tori^Mnc. Si nous substiluons a la [)lace de y dans le pre- 
mier membre de I'equation preccdente un developpement de la foinie(7oj, 
ou Ion fait a = o, le coefficient de x'' est, apres la <ubslilulion, 

[/■(/• — i) -t- aor '- f}o]c„. 

Gomme par liypolhese le premier coefficient c^ n'est pas nul, on doit 
prendre pour r une racine de I'equation du second degre 

(73) l)(r) = /•(/• — !) -^a„r -^ /a, = o. 



452 CIIAPITni-: X\. — KOtAllONS niKl-EUENTIi:Ll.i:s r.l.NKAIRES. 

Avnnl prip pour /• uno racine dc cellc t''(|iiation, on pciil choisir Cq aibi- 
tiaircmcnl ; nous prcndions par cxcniple Cu = : . Le coefficient de x''^i' 
apres la substitution est de nieme 

c,,[{r-^-p){r -^p — \)-h a^,{r ^p)^ h^] + V ~ Ci.D^r ■¥ p)-\-Y, 

F ctanl un polynoinc a coefficients entiers en Cq, Cj, c,,_i, a^, «!, .... «/,, 

io, bt, • • ., b,,. Faisant successivement /? = i, 2, 3, .... on pouna calculer 
de proche en prochc les coefficients successifs Ci, c,, .... c^, . . . , a moins 
que D{r-hp) ne soil nul pour une valeur positive de I'enlier /?, c'est- 
a-dire a moins que I'equation (jS) n'admette une seconde racine r' egale 
a la premiere r, augmentee d'un nombre cntier positif. Laissanl ce cas de 
cote, nous obtiendrons une intcgrale particuliere representee par une serie 
de la forme (70), et convergente dans un cercle ayant pour centre I'ori- 
gine ('). Si I'equation D(/-) = o admet deux racines dislinctes /•, r' , dont 
la difference n'est pas un nombre entier, la methode precedente permet 
d'obtenir deux intcgraies distlnctes, et I'integrale generale e«t representee 
dans le domainc de I'origine par la formule 

(74) y=CiTro{x) + C,x'-'^(x), 

<o{x) el ^{x) etant deux fonctions liolomorphes qui nc s'annulent pas 
pour a: = o. 

II n'en est plus de nicme si les deux racines de I'equation (78) sont 
egales ou si leur difference est un nombre entier. Soient r et r — p ces 
deux racines, p elant un nombre entier positif ou nul. Nous pouvons 
toiijours obtenir une premiere integrale de la forme yi = a:''o{x). Une 
seconde integrale ^^2 est donnce par la formule generale (23) qui devient ici 

^ r fix — / ( — +rt,+nj.iM-... )'/.i- 

■^- • 'J x--r\':.{x)Y 

la sommc des racines de I'equation (73), ou i — ay, est egale dans ce ca< 
a 2/' — /> : on a done ao = /> -1- i — ar et, par suite. 






^P+i^P(x), 



P(x) etant une fonclion reguliere daus le doniaine de I'origine qui n'est 
pas nulle pour ^ = o. La seconde integrale JK2 a done pour expression 

, , fO(x)dx 

y, = x''o( X) I — ; — J 

y- ' ' J xl> + ^ 

Q( X) etant mie fonclion holomorphe. differente de zero pour x = o. 

(' ) La convergence s'etablil par ia melhode habiluelle des fonctions majorantes, 
el nous renverrons pour ce poiTil aux Menioins de M. Fuchs ou a la These de 
M. Tannery. 



III. — INTKGRVLKS RKGUMERKS. 



i53 



Soil A le coeflicicnl tie xi' dans Q(^); nous voyons encore que I'inli' 
grale y^ est de la forme 



y^. 



\ I.. 






— x''--P^{x) -f- A.r''iCr; Lo^.r, 

'\{X) ilcsignant une mouvoIIc fom lion liuloniurplic dans Ic domaine de 
I'originc. Ce resultat est bion conforme a la llieorie gonerale. Gomnie cas 
parliculier, il pent se faire que Ion ail A =o; liiilograle generale ne ren- 
ferme pas alors de loi^arilhine dans le ilomaine de I'origine. Mais il est a 
remarquer que celte circonslance ne se prosenle jamais lorsque p = tt 
[puisque Q(o) n'est pas nulj, c'est-a-dire lorsque I'equation (jS) a une 
racine double. 



410. Equation de Gauss. — A|)pliquons celle nielhode a I'equalion 

75) xii — x)y'^\'^~(y. - 3 -t- I )J~1 r' — xS K = o, 

oil a, p, Y sont des constantes. Les points singuiiers a distance finie 
sont ar = o et x=^i. L'equalion deterininante relative au point x ^= o 
est r(r -i- Y — i) = o et admet les deux racines r = o, /• = i — y. Si -( n'est 
ni nul ni egal a un nombre entier negatif, il resulle de la naethode prece- 
dente que I'equation admcl une intcgrale liolomorphe dans le domaine de 
loriglne. Hour delerminer cette integrale, subslituons dans I'equation la 
>erie 

y = Cq-^ CiX ^...-\- c,iX" -(-... 

et egalons a zero le coeflicicnl de a:"-'; nous obtenons une relation de 
recurrence enlre deu\ coefficients consecutifs 

/i(Y-f- n — i)'-„ =(a -t- « — i)(3 -t- n — i)c,j_,, 

ce qui nous donne pour I'integrale holomorplie la serie 



17/ Q a 3 a( 2 

b [7., 3, f,X) = l- X -+- 



I .i.yi •; -f- 1 1 



JT^-i-. 



ou stirie hypergeomUrifjue, qui est convergente dans le cercle Fq de 
rayon un ayant pour centre I'origine. Four avoir une seconde integrale, 
faisons la transformation y=iX^~^z, ce qui conduit a une equation de 
metnc fornn? 



(76) 



\ x{i — a:)3'-^[2 - Y — (x-t- p -(- 3 — 2Y)j:J3' 

/ — (a-Hi — y)C3h-i — y)- = o, 



ne differant de la |)reiniere qu'on cc que a, 3, y sont remplacees respec- 
livement par a -h 1 — y» ? "*" • — Y' ^ — Y- ^' 2 — Y n'est pas nul, ni egal a 
un nombre entier ni'-galif, I'equation (7>) admet done la seconde inte- 
2;rale jt'-T F(a -H i — Y. P + ' — Y' * ~ Y> ^)> ^^ lor'^que y "'est pas un 



.jj4 ciivi'irnt: \x. — eqiationj; diffkhkntikm-es lineaires. 

nombre ciuier rinlcgrale fjencrale est reproscnire dans le cercle To par 
la formule 

(77) y= C,F(a. p, Y. x)-^ C,.7'-rF<^a -+- 1 — y. 3 ^ i - -;. 9-7, x). 

Lorsqnc y est un nombre entier, la difference des deux racines de I'equa- 
lion determinante c«t niille 011 egalc a un nombre entier, el I'iiitegrale 
conlienl en general un terme logaritliniiqne dans le domaine de I'origine. 
Nous etudierons seulement le ras ou y = 'i Ics deux integrales 

F(a. p, v. T \. .7-'-YF(a -+- I — v, |i _ i — y 2 — v. x) 

se rtduisenl alor^ a uiie j-cuIc F(a, (3, i, x). 

Pour trouver une seeonde integrale, supposons d'abord •( i;n pcu different 
de I'unilc f = \ — li- fi t'lant Ire? petit : I'equalion (75) admel les deux 
integrales 

F(or, 'p, I — //, X}. .r''F(a-f- /«, 3 -r-/?, i -1- A, x), 

et par suite la fraction 

x'>F(y.~ //. i — A. I -^ h. X) — F(2. B. I h. x) 
7, 

est ai:ssi une integrale. Lorsque h tend vers zero, re rappoit a pour 
limite la dcriveedu numerateur par rapport a h, oii Ion aurait fail /i = 0. 
La derivee du facteur x'' nous donne un lerme logarilhmique qui, pour 
h = o, sc roduil a F(a, p, 1, a") Log a-. Pour avoir la derivee d'un roelfi- 
oienl quelconque (\ r« les deux series par rapport a h, tel que le coeffi- 
cient 

Ca -^/nCa -!- /? -- I )...'a — A — /;— iV3 -f- /?)(6 -f-A -^ i)...(i^ -f- A-4-/? — 1) 

il est commode de calculer d'abord la derivee logarillmiique. On lrou>e 
ainsi une nouvelle integrale qui a pour expression 

; <li{x) = F(a, 3, I, x)Ln^^x 



{i.-A...nf 



ou i on a pose 



a -r- « ^ I 



O-^-^l 



On pourrail etudier de la meme facon les integrales de I'cquation de 
Gauss dans le domaine du point a- = i , mais il suffit simplement de remar- 
quer que, quand on rernjjlace x par i — x, Tequation ne change pas de 
forme; seulement y est remplace par a -)- ^ — 1 — y. L'integrale generalc 



III. — INTKCRALKS RKCIULIEIIKS. i V") 

est (lone ropri?c'iil('(\ dans \e rcvclc Ti do rayon un drn it du point .r = i 
pour centre, pnr In fdrtniile 

y = C,r(a, p, X-+- p^ I- Y, 1 — ^-) 

-+■ €2(1 — .r)Y^a-M'CY — a, 7 _ ^, v -;- 1 — a — fi. i — x), 

poiHvu que Y — -x — [> ne sciit pas un nonibre entier. 

Afin d'etudier les inlegrales pour Ics valours dc t do iiioiluie tros grand. 

on pose a* = -j et Ion est rarnene a ('ludicr ies inl('p;rales d'une nouvelle 

equation lineaire dans Ic voisinage de I'oripinc. Les integrales dc cetle 
equation sont egalcment regulieres dans Ic domaine de I'origine, et les 
racincs de requaiion drterminante sont precisement a el ^. Si Ton pose a 

la fois x= J y^ t^z, I't-quation obtenue est encore dc la forme {"J), 

mais ^ est rempiaee par a -^ i — Y' ^' 7 pj"" ^ -r- ' — P- L'equation de Gauss 
adtnet done lintegrale 

.r '-< F f a. a -J- I — •(, ol -+ 



^■^) 



par raison de symelrie ellc adniel aussi I'integrale qui se deduit dc celle-l;"i 
en perinulant a el p, el I'inlegraie gonerale est representee a I'exterieur 
du rerrh; Tq par la formule 

y — CiX-'-'-F ( a, a -i- i — '(, a -h 1 — 3, — j 

-f-Cjrr-.'^F/ri^-i-Y' ?' ? "^ ' " ^- J ) ' 
pourvu que a — ^ ne soil pas un nombrc entier. 

liemorqite. — Toulc equation lincaire dc la forme 

(79) (t — a)(x — l>)y' -'r- ( It -f- m)y' -\- ny = o. 

oil a, h, /, m, n sont des constantes quelconques (a ^ 6), se rarnene a 
I'equaiion de Gauss par le changement de variable a" = «-+-(/> — a)(. 
Pour identifier l'equation obtenue 



(80) 



d- Y / fct. 

t(i — f) -f^ — ( -7- 

dt- \ b ■ 



It] --f — nv —o 
J dt 



avec requaiion (7-3 ), il suffit en cflel do poser v = ; — '■ > et dc doter- 

'6 — a 

miner a el p par los i\Q.\\\ conditions a 4- 3 -+- i = /, a3 = /j. 

ill. Equation de Bessel. — Considerons en particulier l'equation 
(8i) ri \ — /.-.r )>'"-+- ( c — bx) \' — (t y — o 



456 CUM'ITRE XX. — KQU.VTIONS DIFFKRKNTIKLLES LINEAIRKS 

I 



qui adiiicl les deux, poinls singulicis a' = o, j; = -, cl que I'ou peut 

ramener a lequalion de Gauss par le changement de variable kx = t. Si 
Ion fail lendrc le paramelie A' vers zero, landis que a, b, c tendciit vers 

des limilcs finies A, B, C, le poinl singulicr x = -j- s'eloigne indefiniuieiil, 
el Ion oblienl a la limite une equalion lincaire 

(82) xy'-^{C — \ix)y—ky = o, 

n'ayant que le seul point singulier a: = o a dislance linie. Si B n'est pas 
nul, en rempla9ant B.r par x, on est ramene a une equation de nneme 
forme oii B = i. Si B = o, et A dilTerent de zero, on peut de meine sup- 
poser A = I. Kn definitive, lequalion (82) peut etre ranienee a I'une des 
deux formes ci-dessous 



(B3) 
(84) 



^y'-^iy' - y = 0. 



En oludiant les integrales de ces deux equations dans le domaine de 
i'originc, comme on la fail pour lequalion de Gauss, on est amene a 
'nlroduire les deux series 



a afa- 

G(a, Y, a:) = I -i ■ x -! 

^ ' " ^ i.Y 1.2.YC 



J(Y, j:) = I H X 



i.2.y(y-+-i) 



que i'on peut considerer comme des degenerescences de la scrie hyper- 
geomelrique. Si Ton remplace, dans F(a, p, y, ^)> 'a variable x par kx 

et p par y> le coefficient de x"' dans F ( a, , •(. kx) a pour limite le 

coefficient de ar" dans G(a, y, •^) lorsque k tend vers zero. De meme, le 

coefficient de 2:" dans F( y> , •;, k-x\ a pour limite le coefficient de a:" 

dans J(y, ^) lorsque k tend vers zero. 

Lorsque y n'est pas un nombre entier, I'integrale generale de I'equa- 
tion (83) est donnee par la formule 

(85) y = GiG(a. -(, x) -t- G, J^'-YG(a -1- i — y, 2 — Y' ^)» 
et de meme i'integrale generale de I'cqualion (84) est 

(86) jK= G,J(y, a7)^G,ari-YJ(-2 — y, ^), 

et ces formules sont valables dans toule I'etendue du plan. Si y <^sl un 
nombre entier, I'integrale generale de i'equalion (84) renferme toujours 
un lerme logarilhmique. Par exemple, si •( = i , on obtiendra une inle- 



III. — INTEGB.VI.Ks llKL-l I.II.Ui:s. 457 

grail' liiflcreiito de J(i, t ) ci\ clicrcliaiU la liniilc pour A = o du rapport 

./•'' J ( I -f- /j , .r) — }( I — /i, j:) 
7i ' 

ce qui ilonrie pour e\pres>;ioii dc I iiUrgralc gt'inirale 

1 

On peul rainener a requation (84) une equation lincaire qui se presenie 
dans un grand nombrc de questions de Physique malhematique. Posons 

dans requation (84^ ?" = rj C" remplacanl y pa'" 'i -•- i» 'equation ob- 

tenue est identique a lequation deja etudiee ( n° 406), 

(87) /^^(.n-^,)-i+0' = o; 

si dans cette nouvelle equation on pose encore^ = l^" z, on obtieni une 
nouvelle forme de i'equation de Bessel 

(88) ,._ ^, _+(,._„.), ^o. 

Les trois equations (84), (87), (88), oii y = 'i + 'i sont done absoluinent 
equivalenles I'une a I'autre. Si n n'est pas un nombre entier, I'integrale 
generale dc I'equation de Bessel (88) est d'apres cela 

5 = (J,^'J ( rt -I- I, — -P j ■+- 0-2 /-"J ( I — «, — - U 

On a demonlre [plus liaul (n° 406) que si n I'st la inoitie d'un nombre 
impair I'integrale generale de Tequation (87) s'exprime au moyen de 
transcendantes elementaires. La transcendantc J(y. ^) se ramcne done 
a la fouclion exponentielle lorsque y est la moitie d'un nombre impair. 
Remarque. — I^'t'-quation etudiee par Riccati 

(89) ^ -r- Am2_ Br"' = o, 

ou Pl, B, m suul des constaiilcs donuee*, pent aussi se ramener a I'une des 
equations equivalcntes (j84), (87), (88). On a vu plus haut en effet (n°400) 

que I'integrale generale de I'equalion (89) est ~r ~ ■> ^ etant I'integrale 
generale de I'equation lineaire 

(90) ^;_AB.r"'.- = o. 

Si dans celte derniere equation on fait le changement de variable x = X tV-, 



458 ClIAI'imi: \X. - KQI ATIONS niFFKUICNTIKI.l.ES I.lNKAinES. 

X et a elant deux coofficitMit!; indcfcrminc's, ellc (lc\icnl 



(9U 



— ( a — I ) — AH A'" '-^ a- /'"' ♦ - H- 1 i — o : 

(II- ' at 



pour qu'ello soil idi'iititjuc a Irqualion (87), il siiffira de prendre 
1^ 



, ft do di'termincr / par In condition .\nX"'+'|x2 = — i. La 

On peul done exprimer 



\alcur correspondantc dc n esl — — on 



en icrines finis lintoi^rale generalc <\v l'(''qnation de RieeatifSg) toules les 
fois que est la moitie d'lin noinhre impair posilif on negalif 2 i -1- i , 

in -r- 9, 

— !\i 

c'est-a-dire toules les fois one m csl egal a .> / ilesi<;nant un nombre 

' ° t -H '2 1 

entier posilif on negatif. 

KV-1. liquations de M. E. Picard. — Eiani donnec une equation diffe- 
rentielle lincaire a coefficients mcromorphcs, on peul reconnailre, d'aprds 
la nu'thode dc i\l. Fuchs, si I'inlegrale generale est elle-meme une fonclion 
mcroinorphe. II faut el il sviffil pour eeia : t" que les integrales soienl 
regulieres dans le domaine de cliacun des points singuliers; 2" que toules 
les rarines de rc'quaiion determinanle relative a I'un quelconque de ces 
points singuliers soienl des nombres enliers; 3° enfin que tons les termes 
logariiliniiques disparaissenl dans I'expression de Tintegrale generale an 
voisinage d'un point singulier. 

Siipposons toules ces conditions reinplies. L'inlegrale geneiale est alors 
une fonction uniforme meromorphe dans tout le plan. Si les coefficients 
de I'equation sonl des fonclions ralionnelles, les points singuliers aj, 
(/j, . . ., n„ sont en nombre limite. Pour que I'integrale generale soil une 

fonction ralionnclle, il suffira que I'equation obtenue en posant ^ = t a't 

elle-meme toules ses integrales regulieres dans le domaine dii |)oint / ^= o, 
car l'inlegrale generale elant uniforme ne pent renfermer de terme loga- 
riihmique ni de puissance fractionnaire de t. Lorsque cette derniere con- 
dition est remplie, on peul oblenir I'integrale generale par un ealcul 
d'identifiealion. En effet, soil — m/ la plus petite racine de I'equation deter- 
ininante nlalive au point .r = a,-, et N la plus petite racine de I'equation 
determinanle relative au point / = o pour Tequation iransformee. II est 
clair que le produil d'nne inlegrale quelconque j' par 

(.r — a,)"'.(^ — «,)'". . . .(.r — a,,)'"'. 

est une fonclion rationnelle n'ayanl plus aucun pole a distance finie, c'est- 
a-dirc un polynome P(5') donl le degre est au plus egal a 

/;j 1 -H in^'^ . ■ --^ ni It — N . 

Connaissanl une limite superieuredn degre de ce polynome, il suffira pom- 



III. - INTKCIIM.KS HKf.ll.llMlKS. {^9 

dclcrmiruT Ic? rocfliiiciils tie rem|)la('»'r ) |>:ir uiic expression lollc que 
P(a')n(x — a,)-"'', oil P(.r) esl le polynomc Ic plus general de ce dcpre, 
dans le premier memlire de lequalion proposi-c, el d'ecrlro que Ic r«''sulial 
esl idenliquemcnl nul. 

M. Emile I'icard a fail connailre un aulre cas Ires imporlanl ou I'inlc- 
grale gi'nerale sexprime au iiioycn dc Iranscendanle? classiques : Lorsque 
Vintegrale generale d'une equation diffcrentielle lincaire et homo- 
gene, dont les coefficients sont des fonctions elliptiques de la variable 
independante {adniettant les memes periodes), est line fonclion mero- 
morphe, ccttc integrole s'exprime an nioyen des transccndnntes de la 
thcoric des fonctions elliptiques. 

Pour simplilicr lecrilure, je developperai la demonsi ration pour une 
equalion du second ordre seuiemcnt. Soienl /"j (a^), /j(3') deux inlcgrales 
dislinctes d'une equation lincaire et homogcne }'" -^ p{x)y' -^ 9{^)y = ^i 
ou p{x) et q{T) sont des fonctions elliptiques de periodes 9.10 el 2U)'. 
Par hypothese, y",(5-) et/2(^) sont des fonctions unifoimes nieromorphes. 
L'equation proposee nc changeant pas qiiand on remplacc x [lar a-M-aio, 
f\(T-+- 9. to) el /'2( a: -f- 2 CO ) sont aussi des inlcgrales, et Ton a des relations 

(92J /i(;r-f- uto) - «/", (.r)H- bf^Jx). /^(.r -f- aco) = cfi(x)-i- d/i( x), 

a, b, c, d elant des coefficients constants dont le determinant ad — be 
n'esl pas nul ; car si Ton avail ad — be = o, on en deduirait entreyi (.7-+-2to) 
ct/iix -^-2(ji) une relation de la forme Cj/i (x-h iix>)-+- Cz/i{cr -H 210) = o, 
C, el C2 elant des coefficients constants dont I'un au moins est dirTercnt de 
zero, ce qui est impossible puisque/i et f-j sonl deux inlcgrales distincles. 
Pour la meme raison. on a un aulre sysleme de relations 

(93) /i (^ -I- 210') = a'/itx)-^ b'f,{x), f^(x-^ 2 to') = c'/i(x)-[-d'/z{x}, 

a', b', c', d' ctanl des coefficients constants, el a' d' — b' c' n'etanl pas 
nul. Clierchons comme au n" 407 une inlegrale o{x) = \/,{x) ■+- iifz{x) 
telle que <^(x -i- iio) =^ s^(x). Nous avons pour determiner )>, fjt. s les 
deux equations 

/. ( a — s ) -,- [xc = o. lb -r- \J.{d — 5) = o, 

d'ou Ion (l<'diiit pour s lequalion Aw second degre 

V {s ) — s- — {a -^ d) s -ir- ad — be = o. 

Si ccttc equation a deux lacincs dislinctes S\. .Vj. il existe deux inlcgrales 
distincles cpi(r), cpj(.7) tclies que Ton ait 

^94) <p,(a" -H 2W ) = 5iO,(.r), Oi(x -^7.10) = SiOzi-T^), 

et les relations (93) sont rcmplacces par deux relations dc meme forme 

(95) Oi(x -+- 9.(0') = /. -^jiJ-) — lo^ix), '^z(x ■+- 9.(0') = /7/9i(a-)-f- nc^(x^. 



46o CIIAI'ITRK \\. — KQIATIONS DIFFIiRIiXTIELLES UNKVIUKS. 

Cela |)oso, nous pouvons, au inoyea des relations (94) el (gS), oblenir 
deux expressions dilTerentes pour Oi(a: -+- ">. w -j- ato') et Oi{x -4- aw -h 9.0/). 
Nou« avons dune part 

cpi(a: -}- 2(i> -1- 2(o' ; = .?,Oi(.r -+- 7. w') = 5i AG,(ir) -t- .?i /o2(.r) ; 

nous pouvons, en procrdanl dans I'ordre inverse, ecrire aussi 

<}>i(.r -+- iio -+- im' ) — koi{x -+- aw) -+- /'f2(^ -+■ '-iw) = /i.?i -fi(.r) + /s2f>{-r}. 

Ces deu\ expressions devanl otrc idcntiques, on a / = o, puisque Sy — x., 

n'est pas nul, el Ton prouverait <le meme que Ton a tn = o, en prenanl 

les deux expressions de (p2(^ -i- '. w h- aw'). Les integraics ^i(x), '^^{x) 

sont done dos fonctions meromorphes qui se reproduisent mullipliees par 

un facteur constant quand la variable x augmente d'une periode; ce sonl 

des fonctions doublement period iq lies de seconde espece. Toulo fonclion 

meroniorphe <f(a;) jouissant dc rette propriete s'exprime au moyen des 

cp (* 57 ) 
iranscendantes p, C, <s, car la derivee losrarithmique ^ — - est une fonclion 

fi .1 ■> o 1 (p(a;) 

elliptique, el nous avons vu que rinlegration n'introduit aucune Iranscen- 
dante nouvelle (n" 333). On peut, du reste, le demontrer sans aucune inte- 
gration. Soil '^{x') une fonclion meroniorphe telle que Ton ait 

cp(a7-t-2w) = [xo(x), (p(x-i-aw')= |ji'(p(ar); 

l{ X — ct ") 
considcrons la fonclion auxiiiaire '\t{x\ = <?P^ > a et ctnnt deux 

<:^x) 

con^tantes quelconquc-. D'apres les propiietcs de la fonclion tr (n^SBO) on a 
4/(3: -t- aw) = e-w?-2/;a'i.(a^), 'i(a? -1- a w') = e2w'p-2r,'a,^(j;). 

^{x\ 

Pour que le quotient T soil une fonclion elliptique. il suffil que Ton 

11 'ff^) 

ail 

a wp — art r, == Log 'x. a to' p — art r/ = Log ;x', 

relations qui di'terminent el rt (wotV p. 19} j. On remarquera que Ton pcut 
prendre rt = si Logjx et Log a' sont proporlionnels aux periodes corres- 
pondantes aw, aw'. 

Arrivons au cas 011 I'equation F(5)= o a une racine double s. On peut 
irouver deux inlograies dislinclos cpi (a?), '^^(.r) tel les que Ton ait (n" 408 ). 

(96) o,(:f -I- aw) = soi(.r), o^^x + im\ — s-:i^_{^^^C_.':j^{x)\ 

si G = o. toules les inlegrales de Tequalion, el en parliculicr f\{x) 
et/i(x), sonl mullipliees par 5 lorsque x augmente de a 10. On cherchera 
alors une combinaison X/i{x) -+- iji/j^ar) qui se reproduise mulli|)liee par s* 
lorsque j; augmente de aw'. On trouvera ainsi, en partanl des formules (gS) , 
deux inlegrales distincles Oi(x), o.i(x), lelles que Ton ail 

Oi{x + 7.(xj' ) = s\'.fi{x), 'i2(^ -H aw') = .9'2 'J2(.r ;, 



III. — iNri:(iiiALi;s uici Liicuts. /jGi 

oil 

o,(.r -t- 2w') = 5''j)i(.r), '-s^Jx -I- 2w') = s''iz(x) -i- C'<fi(x), 

C n'elant pas nul. Dans le premier c.is, Ics iiilegrales <fi{x), ^i{x-) sonl 
encore dcs fonclions doublenicnt periodiques de seconde espece. Dans le 
second cas, Tiiitegrale ^i(x) est seule uno fonolion doublement pcriodique 

de deuxieme espece. Quanl a I'inlecrale 00(37), le rapport ^^^ — augmente 

dune conslanlc C lorsque x augmente de aui' et ne change pas lorsque x 
augmente de 210. Or la fonction A^(T)-f-Bar, oil A et B sont deux coef- 
ficients constants, possede la meme propriole pourvu que i'on ait 

i A T, -i- 2 B oi = o, '^ A r/ -{- 2 B w' = C . 

La dilTcrencc -^ — Ar(.r) — B.r e-^t done une fonclion elliplique. 
?' 
Lorsque le coefficient G n'est pas nul dans les formulcs (96), on a entre 
les inlegrales Ox(x), «>2(-'^)» 'fiC-^ -1- ^w'), (52(37-1- 2(0') des relations de la 
forme (95 ), el Ton peut encore en deduire deux expressions differentes 
pour <p I ( a: + a CO H- 2 »o' ) et 05(3' -4- 2co -t- 2w' ). Rn ecrivant qu'elles sont 
idenliques, on obtienl les conditions I = o, /.=:«. L'integrale oi(x) 
est encore doublement periodique de seconde e-^pece. Quant ;i linle- 
grale Ooix). on a les deux relations 

(fo{x -h im) _ 02{x) C tt., (3" -+- •) to') ^ Oo(x) m 

(fi{x -h lui) ©iC^-) .s- ©1 (.r -i- 2a>') ?i(^) ' A- 

Di'tcrminons couiiue tout a I'lieure les deux focfficicnls A et B de facon 

que Ton ait x \ r^ -\- a B lo = — » 2 Ar/-t- aBcu' = -j- ; la difference 

.V A' 

^:n_x^:r)-Bx 

est encore mie fonclion elliplique. On voit done que l'integrale generale 
est dans tous Ics cas reduclible au\ seules transcendantes e^, px, Zx, 'jx. 
Prenons par cxeniple I'equation de Lame 

(97) ^ — ["(«-^i)pr + AJj' = o, 

dont rinlef,'ration effecluce par M. Hermite a ele le point de depart de la 
tlieorie piccedente (n est un nombre enlier, h une constante arbilraire). 
L'integrale generale de cette equation esl une fonction ineromorplie. En 
effet les seuls points singuliers sonl I'origine et les points 2Wco -1- xni'w'. 
Dans le domaine de Toriginc, les inlegrales sont regulieres, el les racines 
de I'eq nation dclerminanle sont r' = — n, r" = n -hi. Quoiquc leur diffe- 
rence soil un nombre enlier, 1 integrale generale ne renferme pas de terme 



JG> CIlMMTniC W. — KQLATIDXS 1)1 FKKKEN TIKI.I.CS LINKAIRKS 

logarilliiiiiqiic. Eii elTcl, si I'dii posc J"- — /. I'cciual ion dovii'iit 



198) 



\t 



dti 



•2 ^ — [/il /( H-l)J)(/0 -i- />]j r:-. <). 



I>e coefficicnl ilc }• dans la noiivellc rqualiuii est oiuurc uiic roiictinii uni- 
torine, ol la dilTeience des racines de la nouvelle ci[ualion detenniiiantt 
ii'esl pas un nombre eiilier. 11 s'eiisuit (jiie I'inleijraie gencrale de I'liqua- 
lioii (98) ne icnfcrme pas de tonne iogaiithniicpie. 



IV. - SYSTKMES D'EQUATIO.NS LI.NKVII5ES. 



il3. Proprietes generales. — La pliipaii des iheor^mes elablis 
()Oiir line e(jiialion liiieaire s'elendenl sans dilliciillt' anx sjslemes 
d'ecjiialions lineaires a plusieurs fonclioiis inconaiies. On pent 
lonjours snpposer, sans rcstreindre la gcnerallte, que ces equa- 
lions sont du premier ordre (n" 383); c'est ce que nous ferons 
(Jans ce paragraphe. Soienlj,, Vo, . . . , y,i les n fonctions iiicon- 
nues, el x la variable independanle. 1! resulle d'un theoreine 
general (n" 397) que Ics inlegrales n'admellcnt pas d'aulres points 
singnliers que ceux des coefficienls. Si Ton se donne les valeurs 
initialesy", jk!!< • • • 1 J')! pour une valeur ^0 dilTerente des points 
singnliers, on pent poursuivre le |)rulongenient analjlique de ces 
inlegrales tout le long d'un cliemin (|uelcon([ue issu du point ./'o 
et ne passant par aucun de ces points singuliers, qui sont connus 
a priori. 

Nous supposeroM>, uniquemcnt [)uur siniplifier 1 ecriture, (]ue 
Ton a uu syslenie dc Lrois equations a liois inconnues. Conside- 
rons d'abord le svsteme de trois equations honiogenes 



(99) 



dy 
dx 
dz_ 
dx 
du 
dx 



ay . b z -r cu = o , 
a\y -^ OyZ -h Ci u ^= o, 
a-iy -^ biZ -^ c-iu = o, 



oil a, b^iC^ ... sont des Ibnctions de la seule variable x. Si I'on con- 
nait un sjsteme particulier d'integrales (j'l, Si, W|) les fonctions 
(CjKi7 t^-n C"i) Torment aussi un sjsteme d'integrales, quelle 
que soil la coiislantc C. De mc-me, si Ton connait deux sjstemes 



IV. — s\srKMKs i)'i:yi \Ti().N,> i.im;aii«i.s. 4^3 

purliculiers d'inlegraies (j,, z•^, m,) cl (ro, z.,, Mo), *»'» |'<^"l en 
deduire uti nouveuu sysleino <rinlt'i;ralos dependant de deux con- 
stanles aibilraires (C,j>', -h (Ij ) ... (;,r, -d.:--,, C^ u, -{- C-.a,). 
Enfiii, si Ton cuiujail Irois svsleines pailiciiliei-s (riiile^ralcs 



I y,. zi, », ), ( } ... z 
les loriniile.-' 



I j'-i, -3. ".(), 



(lOO) 



:, -t- <;., ^., -1- Ci-t. 



(',.,«.,-- C, a. 



re[)resenlenl aiissi un svslenie d iiil(''i;iales, (|uell('s que soien t les 
conslanles C| , C^, Cj. Pour pouvoir aflirnier (jue ces I'orinules (100) 
represcnleiil bien I'iiilej^rale geneiale du sjslenie (99), il faul 
•Micore elre assure (jue Ton peiiL disjioser des conslanles Ci, Cj, 
C3 de facon que, pour une valeur donnee Xy de Xy diflferenlc dun 
poinl slngulier, r, z, u preunenl des valeurs cyae/co/i^M^.v donnees 
a I'avauee^'u, Cy, Uo- Pour qu'il en soil ainsi, il faul el il suffil <|ue 
le delerniinanl forme avec les neuf fonclions j'-,-, z,, //,('/ =z 1, ->,, .3) 

(10 1) A = y.j :;., u 

ue soil pas idenli([uenieul nul. iNous diruns encore (|ue ['ensemble 
des trois svsLenies |>drliculiers d 'in lei; rales lorme dans ce cas un 
syslenie fondiiDicntal . 

Lors(juc A I si identiquoiiicnl nul, lt;s liois sysleiiics parliculiois (riiilc- 
grales se reduiseiil a tleux. ou nicnit; a uii seul. Supposoiis d'abord que 
lous les mineurs du premier ordre de A iie sonl pas iiuls a lu fois, par 
exemple que le mineur 0=^1-2 — y-i-^y n'est pas nul identiquement. 
Soil A une region du plan oil nc s'annule pas; nous delerniinerons deux 
I'onctions auxiliaires Ki el Kj, liuloniorphes dans I'aire A, de telle fanon 
(|ue Ton ail 



( lOii; 



yi= Ki^Ki-^ K.^'.^, 



z.=z K,z, -f- K.,-,. 



el, le deleruiinanl A claiil nul, ces lonclions hi el lv.> salisfonl aussi a la 
relation 



(io3) 



K, Wi -i- K2 //2- 



Si Von reuiplacc, dans les deux preniiijres equalions du sysleine («j<j,), 
^, 2 ct a par les expressions precedenles de ^3, z^, Ui en observanl 
que {yi, Zi, Ml) el ( y^, z,, u.,) foiinenl deux systtimes parliculiers d'in- 



464 ciivi'irni; \x. — i-igi ations niKFi;ni;Mii;LLKs unkaires. 

legrales, il rcstc, lout calciil fail, 

J'\ ^'i -H j2 K; = o. .-, K'l -h z.y K, = o, 

d'oii Ion tire K[ = K., = o. Lcs fonctions Ki el K2 soul done des con- 
stantes, el les relalions (lo.) el (io3) subsisteiu dans tout le domaine 
d"e\islence des fonclions^/, z,-, u,-. II s'ensuil que le cysteine d'integrales 
( '':)) -3i "3^ ^^^ ""6 combinaison de? deux autres. 

Si lous les mineurs du premier ordre de A sonl identiquemenl nuls, les 
Irois svslemes d'intt'irrales se ramenenl a un seul. Conime lous les ele- 
ments de A ne peuvenl elre nuls a la fois, supposons j'l difFerenl de zero, 
et posons JK2= IV'i 5 ^^^ relalions j,-3o — ^iy-2= o, yyUo — y2"i = o on 
deduil que Ton a aussi Z2=K:;,, 11^= Kui. En remplacant j/-, s, u par 
Kj"!, Ksi, Kmi respectivemeiit dans la premiere des equations (99), il 
reste j'iK'=: o; K est done constant, el le sysleme (yz, z^, u^) ne difTere 
du sysleme (j'l, Sj, Wj) que par un faclcur conslanl. On verrait de meme 
que le Iroisieme sysleme d'integrales est ideniique au premier. 

Quand on connail I'inlegrale gei)erale du sjsleme homo- 
gene (99), on peul en deduire par des quadratures I'inl^grale ge- 
nerale du sysleme avec des seconds memhres 



(104 ) 




ay -+ bz -r-cii =J\(x), 
a-2y -^ b^z + c,u ^^ f;i{x). 



Si nous faisons en effcl le changeinenL de variables defini paries 
foniiules (io4), C|, Co, C3 elani considerees comme les nouvelles 
fonctions inconnnes, le sysleme (loO est remplace par le suivanl 



(io5j 






dx 



dC 



•^^^=-^'(^>' 



^ dC, dC. dC, . . , 



«i 



dC, 



dC.2 



dC, 



= M^), 



dx ' "■ dx ' "■' d.f 
qui s'inlegre [)ar des quadratures, car on en deduit 

X/, (f = I, 2. 3). 



dCi 
dx 



Observons aussi que celle transformation est inutile loutes les 
fois que I'on peul determiner directement un sysleme parliculier 



IV. — SYSTEMKS D'KQt'ATIONS I.INKAIRES. i<i"» 

<l'inlef;ralcs [\ , Z, L) ties <'([iialions (i 04). l*oiir avoir I'l'iilcyiah- 
<;<''nerale de ces equations, il siiffira d'ajoiiler rcs|)eclivcnienl V, 
'/, U mix seconds niembres des forinules (100) qui rcpresonliMil 
riiiU'^rale <j^(MU'rale dn sjslcnie {[}()) sans seconds nicmbres. 

Qiiaiid on connail ///« on /-/cv^j: syslenies parliculiers dinU'i^ralos 
des ef|uahoi)s (()()), on pcul aUaisser dune 011 deux mules Toidre 
du syslrnie. Supposons il'aljord ([ue I on eonnaisse un seiil svs- 
leine d'inleijrales (j'l, ^i, //i), la fonclion j'j n'elant pas nulle. Le 
changemenl de fonclions ioconnues 

r — J-, Y, 3 — J, V -T- /, // — /<, V -^ U 

coruhiil a un sjslenie lineaire d<' nienie f'oiiue qui doil adnicllie le 
svslenie |)ailiculier d'inlegrales \ =1, Z, ^= o, U = o. II (aiil pour 
cela que les coefficienls de Y soienl mils dans ces nouvelles ecpia- 
lions. On lrou\e, en cflet, en faisanl ie caleul, que le nouveau s\s- 
leme esl 



( I o(J ) 



Si 1 on remplaee, dans les deux deruieres equations, -- par sa 

valeur deduile de la piciuieri;, on oblienl un svslemc de deux 
/•fpiali(ji)s lineaires el lionioj^rnes a di^nx ineonnues Z el U. Ce 
systeme elant inlej^re, on aura ensuite Y par une quadiatiire. 

Supposons encore que Ton eonnaisse deux syslemes disli/wls 
d'integrales (),, :;,, //, ), (y>, c^, lt.^). Les trois determinanls 
.}'\^-2 — JKj^o J'l ":; — .)l''/(> ^i"- — -^j") "c pouvant ctre nuls a 
la fois, coninie on vienl de le montrer l(jut a I'lieurc, supposons 
y, Zj. — ^ij'o 'lillerent de zero. La Iransforniation 

y — J\ ^ -+- Jo/, c — ^1 ^ -+- z/A. u r- ^(^ \ -- u^'/^ -^_ \] ^ 

ou Y, Z, U sont les nouvelles ineonnues, conduit a un sjstenie 
lineaire de nieme forme adniellant les deux svstemes parliculiers 
d'integrales (Y,i^i, Z, = U| = o), (Yji^o, Zo=i, L/^ = o). 
Les coefficients de \ et de Z dans It's equalions du nouveau svs- 
<;.. H. .;„ 





y\ 


d.r 


-^bL -^iV 


.// 

,l.r 


' <■[ 


TTi- 


-A,Z^-r, 1 


,l.r 


"1 




h.{L . ,-.,\ 



4()G CllAl'llIU: XX. — KOL.VTIONS DIl'FjinE.NllELHib LlMiAIUK.S. 

Ic'ine cloivonl ikuic elre mils, el ce notiveau svsleme esl dc la 

lornic 

c/\ dL rfU , ,. 

—i 1- AL = O, -r- A, L = O, — r- A., t = o, 

ax clx dx 

coiiiine on le vtrilie ai.^emont. II oV clair (|ue ce svsleme s'inleij^re 
|)ar des quadratures, la deiniere e(|ualion ne reiilerinaiil (jue U. 
Les raisonnenienls f|ui precedent selendent aux svstenies de n 
e(|uallons lineaires a n inconniies. Pour avoir 1 inlegrale yenerale 
dun |)ineil systenie sans seconds inembrcs, il suflit de connaitrc 
// syslenies paiticulicrs d'inlegrales, lorniant un sssteme Ibnda- 
menlal. Si Ion connail p svslemes dislincls d'inlegrales (/> <; /i), 
rintegralion se ranieiie a eelle dun svsleme de nienie forme 
a // — p inconnues el a des (|uadratures. Enllu rintegrale gene- 
rale d un svsleme avec seconds membres s oblienl par des quadra- 
lures quand on connail linlegralc generale du meine svsleme 
sans seconds membres. 

il i. Systemes lineaires a coefficients constants. — Si lous les 
coeflicients a^ h, c, . . . des equations 

' dy 

-f ^ a )- ^- V z -h cii = o, 

1 ax 

I d^ , 

(107) ' —, (i\ y ^ Ox z -^ Ciii =•), 

\ dx 

du , 

I dx 

sonl eonslanls, on pent oblenir rinlegiale generale par la resobi- 
lion dune ecpialion algebrique. (Jberclions, en ed'el, a salisfaire 
a ces equations en prenant pour _)', :;, u des expressions de la 
Ibrnie 

( 108; r = %e'-^, z = 'ie'-^, u = ■;e'-'', 

a. 3, *', ;• elant des paramelres a delerminer. En subsliluant ces 
lonclions a Ja place de I', ^, u. dans les premiers membres des 
('•(pialions (107), el su[)primant Ic facleur commun <''-'", on Irouve 

les conditions 

/ ( « -^- /-ja -I- 6 3 -4- C-' = o, 

(loy; ■ ((17. ^ H>i-^ r )'i -T- Ci-; ^ (K 

' ((oX -T- b^^i — {co-h /•)-; = (>, 






IV. — hVSTK.Miis i)'i';(jr.vTi()Ns i,im:aiiii:s. ^(iy 

(1(11 (Icvioiil t'lic venlitx'S piii' dcs salcMirs tic a, [j, "', iioii lodlcs 
milles, II laiiL cl il >(illil podc ccLi (|iic /• soil raciiie (Je re([nuliou 
(III Iroi-^K'Hii' (l('j;r('' 

«-(-/• h c \ 

(iio) F(^/-)= 11^ hi-k-r Cl I — o, 

Hi b-i ts-H /• I 

ou ('(judlion c((i(iclcristi'/ui'. A\;iiil piis |)()iu' /• iiiie raciiio (Jc 
cellc (''(jualioii, les relaLK)iis (109) sonl coiii|)alihlc.s cl Ton pciil 
en dcdiiirc des valeiirs (1(^ a. 'i, v, doiil rune au moiiis n'esl pas 
nulle. A loule raciiie do I ('(inalion F(/") = o (toi respond done un sjs- 
leme p.irlicnlicr iriiil('i;ial('s de la (orine (108); il peul meine j en 
avoir pUisiems, coniine nous allons le voir loul a riieure. Si ['equa- 
tion eaiaelerislic|ue a Irois racines dislincles z,, /j, /;[, eliaeune 
dclles (oiiiiiit un >\sl("nic p;.i ticulicr diiile^ralcs. Ccs Irois s^a- 
l(iines sonl dislinets, ear, sM n en etail pas ainsi, on en d(jduir;.it 
que e'V* esl uiie eomhinaison liin'-aire a eoefHeienls eonslanls de e''^^ 
el de e'':-^", ee (|ui esl absurde. On peul done, dans ce cas, oljlenii- 
rinlej^rale yenerale du sNsU'ine (loj) si Ton a resolu reciua- 
lion F(/')= o. Iicsle a Irailer le eas ou rt''(|ualion caraclerislifuie 
a une laeiiie iiiiiUipIc. Dt'-sij^nons par/'(/-), '-p(/"), '}(/') les Irois 
miiKMirs (ill premier ordie du dclerimnaiil caracl(hisli(|ue, eor- 
respondanl aux cleincnlsd une nieine lif^ne, par exeinpie de la pre- 
miere. On salislail loiijours aux deux dernieres equalions ( loq), 
(piel (|ue soil /■, en pienant pour a, ^3, -' des quanliles pr()|)orlion- 
uelles a ees niineurs ; si /• esl raeine de 1' (/'^ = o, ces valciir> de 7., 
J, V salisfoiil aussi a la premiere des e(jualions (10;)). II en icsulle 
<|ue, si /esl racine de F(/") = o, les fonelions 

I'ormenlun sNSleme parlieulier d'inlegrales. Cela post-, admellons 
daljord (pie TcMpialion F(r) = o ait deux racines Uxvs voi>ines /•, 
el /j ; ciiacunc d'cUes fournil un sjsU''mc d"inl('-j^rales, el les lone- 
lions 



f ('-.)> 



-/{'■ije' 



i±— 'i 



o{/:i)e'2-^ — 'i( /'i )e'"i 
/•a 



^(ri)e'-^-^—'!^i^ri )€'■>■' 



''I 



r-i — /i 



sonl aussi des integrales. Jmagiuons mainlenanl (jue /-j lende 
vers /•, ; en |)assant a la limile, nous en concluons (jue, >i /•, est 



j68 ciiAi'iTui; x\. — KQiATiONS i)iKi"i:iu:MiKi,i.i;s i.inkmrks. 

raciiie douhle de F(/') = o, Ics iloux oronpcs tic fonclions 

(I) ,-,=/(/-,)e'vr, c,= 9(/-,)e'V, //, = -^i /•,W.r, 

(II) y.r= -^ iyX/-)e'n-,„ ~-2= ^. \o{r)e'-^],.^r„ u,--= ± \'l{r)e'-\, ,, 

forment tloiix svslcincs tl'Inlrg rales. On domonlre dr hi ineinc 
fa^on {voir n"iOi) que, si reqiiallon F(/-) = o adiiicL la racinc 
Iripie /•,, on pent ajouter aiix deux gronpes precedenls le groupc 
des Irois fonclions 

(III) y, = ^AAr}er^]r=r,, z, = — ['^ i r)e'-^-\,.^.r,, ih='-^A'h(r)e'-^]r^,:_ 

(uu fonncnt un Iroisieme svsleme (rinU'-gialcs. 

Cela pose, considerons d'abord le cas ou I efpialion F(/" i = o a 
une racine douljle /'i el une lacine simple /'o. Si la racine double /•, 
n'annule ])as lous les niineurs du |)reniier oidre du delcrniinani 
earaclerislique, nous pouvons supposer que Tun au nioins d( s 
niineurs /(/•(), 'f ('"))» '}('")) n'^^t P^s nul, car on pent evideni- 
nienl reniplacer dans le raisonnemenl cpii piecede la premiers 
ligne par la seconde ou la Iroisieme. Supposons par e\enip!c 
f(r\)^o. Les deux svslenies d'inlegrales (I) el (IJ) sont di.s- 
lincts, car j^o est egal au produil de e'l*' par un binomc dn pre- 
mier degre •^/(/'i ) +/'('"i )• Qi'^nl a la racine simple z^, elle 
fournitun Iroisieme systeme d'inlegrales qui, pour la meme raisou 
(uie plus haul, n'esl pas une combinaison lineaire de ces deux-la. 

I^e raisonnemenl est en defaut si la racine double /■, annnle 
tons les niineurs du premier ordre du deleiminanl. car le sys- 
teme (I) se reduil a la solution jianale ^', = r, = ;/, = o. Mais 
dans ce cas les trois equations (109) se reduisenl a une seule quand 
on y remplace /• par /). Si par e\em|)le c n'est pas nul, elles so 
reduisenl a la relation unique (a -h /"i ) a 4- 6,3 + cy = o, el Ton 
pent prendre arbitrairement les deux conslantes a et |j. Si Ion 
prend d'une part (a = i , ^ =: o), puis (a = o, ,3 = i), on oblienl 
deux syslcmes dislincts d'integrales de la forme (108). Une racine 
double deF(r) = o fournit done toujours deux systemes parli- 
culiers distincts d' inlegrales. 

Supposons enfin que F(/-) = o adnietle la racine triple ;• = /•,. 
Si celle racine /•, n'annule pas lous les niineurs du premier ordre 



IV. — SVSTliMKS I) KOIATIONS MM-; VIMCS. 4^9 

tlu deleriniiiaiil , nous poiivoiis adiiicllir par example <|"i' /"(/•)) 
n'esl j)as mil. Les Irois sjslemes parliculici-; (rinh-grales (1), (U), 
(III) sonl illslincLs, car Ics coefficients de t''"--^ dans j',, Y-i: J':i sont 
respecllvcinont de dcfjres o, i, •>, en x. 

Lors(|iie la racinc lrij)lc /•, anunlf Ions les niiiicnrs dii [premier 
ordre du delerniinani, nous ponvons d'ahord, conimc on vienl de 
I'expliqner a propos de la racine double, determiner deux sjs- 
leines dislincls d'integrales de la forme (io8), el il suflil, pour 
avoir rinl('-i;ial(' ycneiale, de decouviir iin Iroisieme svsleme qui 
soil distinct de ces deux-la. Si Ton developpe les formules (NI), 
il vienl, |)uis(|uey(/-, ) == 'f(/'i ) = 'f'(/'i ) = o? 

J:t= e'>-^\->..T/"(r,)-^f\ri ij. z^= e'i^[2x-j^' i /"i j -H 'v"( /-,)], 

«.., r= (''v|-2.r'y(/-,)-f--y'(r,)]. 

el ee s\steme d integrales est certaincmcnl distinct des deux pre- 
miers, si Ion ii'a pas a la foisy''(/-, ) := '-p'(r, ) =^ 'Y {''[ ) = o. 

Done nous pourrons obtenir de celle facon un nouveau svs- 
leme d'inl(''gralcs a moins que la racine Inplc /•, n'aunule aussi 
Ics derivees de tons les mineurs du |)ieiniei- ordre. Orcecine peul 
avoir lieu, on ie voit iniin('dialenienl , rpie si Ton a 

/y — - c = «! — c, =^ a., = h-i ^=- o, a = ^, =: co =^ — /'i, 

el Ie sysleme f'o-) se reduil a trois e(jualions identifpies 



dx 



'\y 



dz 
dx 



du 
dx 



Dans ce cas, que I on pent considerer comme un Ciis limile, 
les trois equations (109) sont veriliecs idenliquemenl quand 011 
rcmplace /■ |)ar /•, dans les formules (108), cpiellcs que soieul les 
valeurs des |)arametres a, [i, -'. Kn resume, a line racinc triple 
tic C cfjiiation citrdcLcrisliriiic corrcapoittlcnl tonjours Irois 
systc/iics fxnticii/ic/s dislincls (luil<'i;ralcs. 



Generalisation. — On iiilogn- de mcinc un sysleme de 11 equations 
lincaiies a coefficients constants 



(in; 






'\iyi 



-t- a\„yn = o. 



(IVn 

-, «//U>'l 

dx 



a my 2 



",uiyn = o, 



f70 ( II APITRK XX. — i:0l'ATION"S ItiKKKHKNTIKI.l.KS I.INKAinKS 

rn cluM-clianf dcs systonio? pnrtioiilirrs dinli'i^ralos dc In foinic 

(I I ?/) 



Ti — a, e'-^, 



J'" = 



3ti,3:2 a.,, retant ilos coefficients coiislanls a (l<'lLMrniiic'r. On est ainsi 

conduit a /> equations de condition 



(iis: 



f <7ii -4- r)Xi -+- Oi.y'X, 






" !['■'■[ • (' ;ii^i -r- . . .-I- ( (( „ i, — '' )Xii — <>, 

tl'oii Ton (Icduil pour rinconuue /• rc'ipial ion caracterislique 



(m4). F(/-) 






Si celte equation a // racines dislinctes /j, /O) •••) ''m "" obtient pai' 
eette melhode n sysiemes particuliers d'integrales de la forme (112) et. 
par suite, I'integrale generale. Lorsqu'il y a des racines multiples, la discus- 
sion est un pen plus compliquee. Soil /"i une racine multiple dordre p. 
Pour deduire de cette racine des systcmes particuliers d'integrales des 
equations fin), on pent proceder de deux facons. D'utie part, en appli- 
quant la methode de E>'Alembert, comme nous I'avons fait pour le cas de 
trois equations, on peut faire correspondre a cette racine p systcmes d'in- 
tegrales, qui ne seront distincls que si /"i n'annule pas tons les niineurs dii 
premier ordre. D'autre part, si /-j annule tons les mineurs du determinant 
a n — 7-^-1 lignes, sans annuler tons les mineurs an — cj lignes, on pent 
di'duire de cette racine q systemes d'integrales de la forme (iii), car les 
n equations (ri3) se reduisent an — q equations distinctes quand on y 
remplace /• par ry. En comhinant ces deux metliodes, on dc'inontre qu'elles 
fournissent toujours/? svstemes distincts d'integrales. 

Praliquement, on pent obtenir tons ces sysiemes d'integrales par un 
calcul d'idenlilicalion. En elTet, en les combinant, on obtient un systeme 
d'integrales dependant de p constantes arbitraires, qui est de la forme 



ji^ez-.^PjCr), y.,= e';rp.,(.r), 



r„=er,^-P„(x), 



Pi) ^2) •••, P« ctant des polynomes de degre/> — 1 ou de degre inferieur. 
Si on laisse indetermines les coefficients de ces polynomes, et qu'on sub- 
stitue dans les equations proposees, on obtiendra un certain nombre de 
relations entre ces coefficients qui permetlront de les exprimer tons au 
moyen de /> d'entre eux restant arbitraires. 

Reniarrjue. — La discussion du fysleme (in) revient au fond a une 
question deja traitee (n"'408), comme nous aliens le montrer rapidement. 



iv. — s^sTKMKS it'i:orATi()\s i,im;mui;s. 47' 

ICriivoii* (•!> sNslriiii- <uiis I.I foiiiic nil jiiii ilillV'ioiile 



(ill l>is I 



.'i = -Til Vi -f-'T,,)-., H-. . .-\- at,,}',,, 
}\. — <t>, )■, - rf-yV-, ...■■- n,„r„. 



^'/ t't;iiit \u[- A la iilacc ilo — ^ • Si Ton iiu'ikI ri inropmic-^ V,. V.,. ..., V,,, 

ff.r ' . - 7 .7 

qui «oii>nt il<^- loiulinns liiu'-aires a cnef(irieiit« constants i\cj'\,_}':. ■■.,y„, 
(iij) V,= ^»/,^,-4-. . .-4- ^,„r„ (/ = i,v», /O. 

les 6,>i. ctanl «les constanles dont le determinant est difTeient dc zero, le 
systeme (rii bis) est remplace par un svsleme de nn-me fornio 

V; = A,, V, -4- A, .v., —...-»- A,„Y„, 

, . \ V; = A,,Y, -A.oV,- ... :-A,„Y„. 

( I i() ) " 

, ' ;/ — A„i 1 I M- A„._. \ I r . . . -r- X/iit \ //, 

que liii) ohtieiulra en reinplacant dans I'expression de Y', 

^,— ^iiy'i —•••-+- f^inV,', = -^/il^nj'i-!-- ■ .-hau,r„)-^... 

les lonclions ^'ij j'2i •••-.I'/; |>^'" lours valours tirees des forniiiies (m5). 
Or, si Ton considerait les forniules (iii bis) comme deflnissant unc -uh- 

stiturinn lineairc effectuee sur les variables ^,, J-,, ...,^„, et Y|. Vo 

V„ roiiinie n nouvelles varialdes, les ralculs precedents soni preci>e- 
ment ceu\ qu'il fandrait elFectuer pour trouver la nouvelle substitution 
lineaire siir les variables Y,, Y,, ..., Y„. qui correspond a la substilution 
lineaire (iii bis). Or nous avons \u (|u\>n choisissant convenablement les 
variables Y/ (n"408) on pent raiiieiier loule substitution lineaire a une 
loriiie caiiniiique simple ( ' ). Dans cette forme canonique, les \aiial)les so 
parta^'enl en un certain nombre de groupes distincts, la subslituliim que 
«ubis«ent les y> variables Yj, Y*. ..., Y^, d'un meme groupe elant de la 
lornii^ 

(ii7^Yi:^5Y,, y;==.s-(Y,-^ Y,), .... Y;, = 5(Y,,_,^Y,,). 

On pent done toujour-^, pai- un cliangeiiienl d'inconnues conveiiabie ile la 



(') On a suppose plus liaul (|ue le dclerniinant tie la substilution n'clait pas 
nul, tandis que le determinant forme par les coefficients n^^ j)cul etre nul. Mais 
si Ton change y, en e'-^ z-, Ics coefficients n,,, n^,, ..., a„„ sonL diminues de X, 
tandis que les a,j, oii i ^ k, ne cliangent pas. On peul done toujours clioisir )> 
de facon que le dclerniinant des nouveaux coefficients soil different de zero. 



\-X (IIVIMTRK X\. — KQIATIONS DIKF KRE.NTIELLKS LINKAIRES. 

fDinii' (II)). ranicner I'intogration ilu syslcme (ill bix ) a I'integralion d'un 

reilain nombio tie svstcmes partiriiliers de la forme (117), 011 \/= ---■ 

ax 

I. "integration de ce cysteine n'ollVe aiirune diffiriilte. On en dediiit en 

ell'et. de proche en proclie. 

V, = C,e-'-^, Y, = (C,.v.r + C2)e'-^, Y3 =Yc, — ^Co^.r-vCsV-^^, .... 

el ainsi de suite. 

415. Equation de Jacobi. — ■ Reprenons iin systeme de Irois 
•'•([nations lineaires a coefficients constants, cjiie nous ecrirons 

/ dr , 

-; ^ a X -^ b )■ -^ (• :• =0, 

at 

dy 
dt 

dz 

—7- -r- «•> T -t- o.> r — r, c =^ o. 
dt 

I cleslgnant la vai-lable indepentlante. Ajoiitons ces Irols equa- 
tions, a|ires les avoir miillipliees respeclivement yi^ry dz — ^dy, 
z fix — X dz, X dv ^ )■ (Ix; la relation obtenue 

i{ax -\- by -r- c z ){ y dz — z dy ) 
-;- (fiix -+- b^y -t- CizMz dx — x dz ) 
-^ {a-iX -^ b.,y -^ c-22)(xdy — y dx) = o 

est homogene en x^y, r, et pent par consequent etre remplacee 

par une relation entre - el -^- Si Ion pose en efTel x = Xc, 

y = \ z, celte relation devient, en divisant par z'-^, 

{a\-h b\ -^c)d\ -h(aiX -r-b,\ ~-c,)d\ 



*''^"^ / —(a.2X~b,\-+-c^){XdY—\d'S.), 

et nous relrouvons I'equalion de Jacobi (n" 368). 

Soient X :=^f(t), y = o(t), z = 'l{t) iin svsteme d'Inlegrales 
des equations (118). J^orsque t varie, le point dont les coor- 

(lonnees homogenes sonL x, y, ; ( el dont les coordonnees carte- 
sian ncs sonl par consequent X = -. Y = -_\y decril une courbe 

plane Y qui est, d'aprcs ce calcul, une courbe inlegrale de I'equa- 
lion de Jacohi (120). L'inlegralion de Teipialion de Jacobi se 
raincne done a Tinlegration du svsteme (118), c'esl-a-dire a la 



IV. — SVSTKMI'.S l)'r,(,)l VTKlNS I.IM'aIUIS. ^~3 

rcsoliil 11)11 (1 line (■(|iiiiliiiii (III .j'' tli'gic, fomiiic on 1 a <l<'j;> iccdiimii 
(I'unc aulre facoii (ii" !U)8). 

II c^l f.H-ili' <IVmi (Iriliiirc 1,1 fniiiir d.' Ii ii I I'-L^iali- ;;i'iii'i;ii('. ( loiisidrifni-^ 
il'aboi'd Ic ca? general on ri''i|iialiiiii cai'.irh'iisliiiiie a Irois ia(iiio< (ii>liiicl<'> 

'i' ''2? /'si el soil 

, X — C,a,t".' f- Gj a. *■'..' — C^x.^t"-', 

(12 1) ' r .-^C,3,r'V-.-Cj3.,r'-/-T-C3p,r'-', 

( z --=:C,Y,c-'''-^r:,7w"'^'--C,Y,^'^' 

I'inlegrale grneialc dii svsleme (ii8^, Cj. <'.o,("3 etanl dcs conslaiitos ail)i- 
Iraires. On pcul encore eerire ccs fonimieb, en les lesoivaiil jiar ra|)|)Oil 
a C, ("•.', C.e'i', Ce'st. 

\\ Q, H elanl Irois fonctions limaiies it lionioi^enes en .r, r, c. ()ii <-n 
rii'Huil aiscmonl nne roinbinaison linnioj^rne et do degre /.ero, iie renfei- 
Mianl pins la varialdo /. 

( 1 22 ) 1'''^ '■> Q'-. '•. H'-.-'':. — K ; 

rolto fonniile re|n'escnli; I'inU'grale generale, en coordoniit''os hnniogenes, 
(le I'eqnalion de Jacob! (')• 

Gonsidei ons eiicnre lo cas oii ri'-qnalion caraclerisiiqiii' adniel nne racinc 
double /"i, n'aninilani pas imis b's niinenis du premier ordre, et nne racine 
simple /•■,. L'iiil(''i,Male iienerale du systeme (?iS lest, d'apres ce qu'on a vn 
plus baul, de la forme 

a- =: (Gi-4- G,/)a,t>'-.' ^ G,a.,e'-.'-H C^oL-^r'-.'. 
jK = ( Gi -^ Gj O 3 1 e'-.' ^ C, ^2 e'.' -H C:, 83 <"V, 

z^(Ci-^ Go /JYi <?'■■' -<-G2Y>^''''-+-<^3T-i^''''; 

on en lire encore 

p = (C, — c.i '€'■>', Q -. (:,e'i'. It == c-iC''', 

W Q, R elanl Irois formes lineaires en x, y, z, el par suile 

f' C, R G.1 , 

<i G, Q G, 

Ii suffira d eliminer t pour avoir une combinaison liomogeiic do degre 
zero. On Irailerail de meine les aulres cas parliculiers. 

(') Voir un inipoilant Mcmoire de M. iJarboux Sur les equations diJJ'eren 
tiellcs algebriques du premier ordre el du premier degre {Llulletin dcs 
Sciences mal/ic/nali/jues, i'S7<S). 



.',74 CIIVPITIli: X\. — EQUATIONS DIF FERENTIEI.I.ES I.lNKAinES. 

EXERCICES. 

1. Integrer les oqiialions lineaires 

^(iv) — 2 j" -4- r = A e-^ -I- 15 <'-•'" -h G si n .?■ + D cos .r , y'"'' -+- j" — .r , 

y'" — y -^ y — y = ^le*" — 4 cos.r, 

>'"'— 3, »-'-+- ■i r = ( rt a^ -1- 6 ) <'■'" -i- re 2^-^ 

x-y'" — <^^y" -+- OJ'' = I -i- 2.r -+- 3 ./•- Lo;^\r, 

.r^ )•" — i xy' -+- ■>. J' = X- -\- px -^ rj, 

.r' )-'" — 3x-y" -+- ~ xy' — 8j' = x^ — f.x, 

r'' fix 
X^ V — iXV -^ \V = -1"- -H / —7^= ' 

«- » 
.r'' >•'"— c\.r-y' -^ Sj.rj-' — 64 )• = .r^ [ a -r- i Log .7- ••+- c{\.0'^x)'-\. 

2. Integrer les syslemes d'eqiialions lineaires 

^ <^// //< ^^ lit <ll lit 

ff-x - ''''"'' 

(3) -7— -^ j.r— r = cos?./. -^Y — ■'' -^ '.>' = "' 

fhy . ./r ,lz. .. _ _ _ ^ 
) r/.r- dx dx 

dx- dx dx 

dx dy dz 

(0) — — '- Y — z — o, -^ z = o, —j- -^ x — J = o, 

' dt -^ dt dt 

, s dx dy , dz 

/ fiy ., , , '''^ J 

\ dx -^ dx -^ 

(0) ., 

-;- 3 r — 1 4 -^ -^ yiu — o. 

3. Trouver I'integrale generale de lefjualion 

(23- — i)/'-4-(4a- — 2)/— 8r =: fG.r5-+-j" — 3)e^, 

sachant qne reqiialion sans second membre admel iine inlegrale particii- 
liere de la forme e'"^, m etant iin coefficient constant. 

\ licence : Caen, 1884.] 



i;XKuri<:i:s. 47^ 

■i. Di'inoiil I'T <|iii> I't'-qiinlioii (lillV'tonllcllr 

(t^ — \ )j'" — ni n -h I )y, 

in'i /I f";l nil nombre enlier posilir, admol |i(mi' inleuriilc iii) |t(>Ivnoiiie \'(.r). 
Imi (li'diiiro qiii' la tni'-mf ('"qiiatinn adiiicl iiiic sccoiuN^ iiil<\i;rale 

ou Q esl aii<'^i uii |miI\ nnnio. 

\ Lice/ice : Pari*, 1890.] 

5. F/i'qiintlon ditlViontii'Ile linoaii-e 

.ry" - - f .r -i- ijL -h V ") »' -4- ;jl )' — o, 

nil u 01 ■/ soul dcu\ iiunilnos enliLM'S positif>. admet poui' int(''<;rale un 
polynome j'l = P(.r). En dediiire qu'elle adniol une secnnde intt'ijrale 
^j = e^Q{x), ou Q(-7") est au«si un polvnome. 

{Licence : Paris, 190'].] 

0. On flemande la rondilion nocessaire ot. sufd-aiilc |i(nii' (pie I'rqnatidn 
lineaire y" -+- f>y' -^ T Y '^ ^ adnietle deux intej^rales distinctes ^'i, j'2> I'ecs 

par la rolalion y^ yi^-^\. Kn suppo-ant que Ion ail /> =^ « on rloniandi' 

do lioiivcr le coefficient q , ct Tinlci^rale jjtMierali'. 

{Licence : Paiis, 190-2.] 

7. D'-diiire la formiile ( ■J.'i ) de la paj^e 4'^i <1»^ 'i' forniule (11) qui donno 
I'expression dii determinant Af^i,j'2, ...,y„). 

8. Klant donm'; un svsleine de // equation* lineaires a coefficients 
quelconques 

-7^ — ^/ij'l -^ «/2j'2 -'-■■■-+- (liny, I — O ( I = \, ■}.,..., n), 

le di'terininani A forme aviM' // syslemes d'inte^iales a pour {■\pr('ssion 

— I u;,|+«..4-.. .-t-,(„„iA/.c 
A r^ Cr •'•■. 

!t*. L'equation <le Ressid 

xy" -y- oA m -1- i\r' tv — o 

adm 'I pour inli'grale parliculicre la foiiclion lepiesenlce par lintej^rale 
dc'liuic 



y, = I ( I — :;- )'" cos.7-:; r/j, 



47*' CllU'ITKr; \\. — KQIATIONS DIFKKRKNTIKLI.ES l-IXliAIItES. 

|K>iirvu i|iie la panic rtolle ile m soil supiMieiire a — i. [-orsqiie ni est un 
ii'Mnbre eiitier positif, colle iiitegrale e<t de la forme (voirT. 1, p. 9.81) 

a.4 ■(>. . . •!/«( U siiir -f- \ cos:r). 
I el ^ clant des pulvnomes en — tlonl lou? les coefficienls soiit des 

X 

nnmbies cntiors, et riiitegrale gcnerale est 

y = C(U i'lnx -r- \ cosr) -^ C'( V ^\nx — L cosj?). 

[Hermite.] 

10'. Soient V = '^(V, a, b), z=^<]j{x, a, b) les foimuies qui donnent 
rintegrale geiierale d'mi sysleine d'cquations dilToreiUielles 

-• =zV{x, y, z). , = '\>(r. r. z). 

ax - cix ^ 

r, 0-^ ,-, <)■:> ^ d'b ^ (>h 

Les lormules v, = Ci — ^ -+• C« -; » -1 = Li — '- -i- '-'■> -rr represenlenl 1 m- 
"^ dfi ' ob Oa ' Ob ' 

tegrale generale du sysleme lineaire 

flVi _0V d¥ dz-i _ d<P £>* 

(IX ay oz ax <)y <JZ 

oil I'oii suppose y el z remplaces par ^{x, a, b) et '^^(x, a, b), les con- 
stantes a et b ayant recu des valeurs numeriques queiconques apres la 
dilTerenlialion. 

11. I/intt'gration du systeme ilequation* lineaires 

dy , dz , 

--ay^bz=o, -^ao'-^b,z = o, 

oil a, b, aj. by sent des fonclions queiconques de x. se ramene, en posanl 
y = t z. a linlegration de I'equation de Riccali 

dt , 

-j \- b -r-^a — by) I — a,^-= o 

et au calcul de / (a — />i )dx. ( Voir la note de la page 423.) 

12. Le rapport z de deux integrates distinctes de IV-quation lineaire 

satisfait a I'equation dilTerentielle du troisieme ordre 



-(7,) =^q--^p-'--p. 



CHAPITUE XXL 

i^:nrATioNS i)iiTf:Ri:NTii:M.i:s nox i.iNfi.vinEs. 



I. - V VLEURS IMTIALES EXCEPTIO.NNEI.LES. 

La iK'Hiorislralion piir la(|iH'lle on a piouM' Icxlslcnce cics loiic- 
llons iiilc'-grali'S prenant tics valcurs iiiiliales doniK'CS suppose 
essenlielleiiicnt f|iie Ics seconds meinhres du syslemo d'rrpialions 
propose sonl lioloinorplios dans le voisinage de ces valeiirs ini- 
liales (n" 383). Xons allons examiner, en nons hornaiil a mie 
seule <''quali()n, (jnelqnes cas simples on cette condilion iTesl pas 
remplie. 

ilG. Cas oH le coefficient differential devient infini. — Consi- 
derons nnc (Vpialion du premier ordre, 

ou le second memhre y (.r, y) devienl iidini pour le conple (\f 
\a]em'S X = Xo, y ^^ ,y't)i de telle faeon (jiic I'inverse 

/.(^,7)-- 



/( ■'■. )■ I 



soil hulomorplie dans le voisinage de ce sjsleme de valcurs. JNous 
pouvons encore ('-crire I'equalion precedenle 

dy J{j-,r\ 

en regaidanl )• con)mc la variable inde|)ondante ct x comnie la 
fonclion inconnue. Mais le second mendjre y, (j:, i') elanl liolo- 
morplie par Iiypolhese pour x ^= x^^^ )'=:^o, le llK-oremc de 
Cauchy s'applitjue a I'etjualion (:>.). II cxisle iinc inlegrale, <'l 
line seulr, (\\\\ lend vers Xq lorsrpie r lend vers i\,, cl colic inl»'- 



^-S CliVPirUK \XI. — KQIATIONS llll' 1 KUKNTIELLKS NUN LINEAIRES. 

grale esl liolomorplic diiiis le (idiiunne tin poiiil )„. Le develop- 
pemeiilen serie enliere de o' — .r^) suivanl les puissances dej^ — j^o 
commence rorcrmont par iin lenne qui est au moins du second 

I ' • '''' y ' • I r 

degre, |)uisfpie -j- ou /, (./', j- ) esl iiul |)Our x =^ a'y, y = J'o [sans 
(pioi /(./". r)serail aussi liolomorplie]. Soil 

(3) .r — .ro= A,„(^r — J-„)"'-t-A,„_H,(^)-— J ,, )"'^'-H. . . im ^i, A,„^()) 
ce developpemenl ; de la foruuile (Jj, on dcduil iuversemenl un dc- 

veloppeincnt do )• — r,, suivanl les puissances de [x — .^o)'" < ri" 357) 

['(''(jKOlioii ( i) (idnu't clone encore line in le grale, et une seule, 
lendant vers r^ lorsque x tend vers Xo, el le point x^i est un 
point critique algebrique pour cette inlegrale \^^). 

Ail. Cas ou le coefficient differentiel est indetermine. — La 
discussion coinplele de lous les cas uu le cuellicicul dideiciiliel 
devient indeteriuine est ljeaucou|) plus compliquee. Prenous 
d'ahoid I eipiation t'l uiliee par Biiol el Bouquet (-) 

OU le second nieiiilHc t'>l liuluinorplie dans It; doinaine du point 
X = y =^ o, et proposons-nous de reclieicher s il exisle une inle- 
grale iioloinorphe s'annulant avec x. A eel eilcl, suhstiluons a la 
place de J', dans les deux membres de I'efpialiun (5 i, une serie 
enliere 

(G; y = CiX -r- CiX'--r-. . .^- C,iX" -1- . . . 

apres la sid)slilulion. le coefficient de x" tlans le premiei' inrnihre 



(') En langage geomelrique, on pent dire aussi que, par le poinl (^v^, y„), il 
passe une courbe integrate, et une seule, sur laquelle ie point {jc„, j»', ) est un 
point ordinaire, et la tangente en ce point est la droile x = ^„. L'enonce du 
tlieorenie suppose que la fonction /,{^,y) ne s'annule pas pour x = x„, quel 
que soit_^; dans ce cas, en elTet, I'integrale de I'equation (2) qui prend la valeur 
X, pour y = y^ se reduit a x = j?,,, et Tequalion (i; n'adiiiet pas d'integrale 
tendant vers >'„ lorsque x tend vers jc^. 

(-) Journat de t'h'cote Polyteclinique, t. XXI, i85*j. 



\ AI.Ktns IMTIALKS KXCKI'TION.NKIJ.KS. 



479 



est (/I — />)("/o li'"'!'"^ <|"t; le coefficieiil dc jc" ihin^ Ic second 
iii<'iid)rc i;>l nil [xd \ iioinc 

•'wU'Ui. <'>it. •••• ('on'' (-'i, C-i, •.-, t-„_|) 

donl tousles cocdicieiils soul dfs iioinhrcs culiers posilifs. el (jui 
lie reiiferme f|ue les coeKicienls c,, . . , , c„_i, el Ics coellieiciils cii/,. 
On oblienl done pour del<;rnniK'i" dc proclie en proelie les eoeffi- 
cients de la serie [6) iine reliilion dc it'-cui iciue 



17) (" — f"<^'l ~ l*/(U/io. fllO; 



an,,: C|, Co, . . ., Cn-\) ('i = I, i, . . •), 



(|ui perniel (\i' ("ideider siieeessiveinent lous ocs coeflicienls, 
pouiKU (jiie b lie suit /x/s r<,'al a tat nonibrc vnlicr pusitif. 
Ecarlons d'ahord eel le li\ polliese ; la iclalioii ( - ) nous donne 



v — h 



</.2i)— rtn C| — «oo<- 



el ainsi de snile. La soninie de la serie (G) represenle cerlainc- 
u)eul nue inlegrale de requalion (5) s'annulant avec x^ ponrvn 
(pie eelle serie enliere adinelle u.i ravon de convergence dilTeienl 
de /.ero. Eii clleU les operalions par Icscjuclles nous avons deler- 
inine les coeflicienls dc cclle serie soul alors 1 eg i limes (I, n" 186). 
Pour dt'iuo Hirer la com crgcnce de eel le srrie, oljservons d' a bo id 
(luc. lor>([uc Ton donne a // loulcs les valeurs enlicres i, -i, . . ., 

juxju'a rinlini, la IraclMjii jy <[ui nc |)eul dcveu'r iiilinic, lend 

vers zero. Le juodule de celle Iracliou a done iiii ccrlaiu niaxi- 

Miuin rr > el i'on a, (iiiel <|ue soil le noniljic cnlicr // , i 7,^ 7-- 

Soil d'aulrc! narl 



'l'{x, V) = Ai„.r-T- \t„.r-^-~ \i, '■\ - - A„. V^-i-. 



A//,j-'Y/- 



une lonclicju niajoianle pour '^(x, j'), ne presenlanl pas de lernic 
conslauL Jii de lerme en \ ; on pent prendre, par excinple, une 
ionclion de la forme 



<!>(./•, 'k ) = 



M - .M 



iuai> il u'esl pas nccessaire de prcciser dasanlagc pour la suile du 



48o ClIVPITRK XXI. — EQIATIONS DIFFERENTIELLES XON LINEAIRES. 

iMisoiiiu'iuenl . L"c(]iiali<)ii aiixiliaire 

(8) lJV--=.I>(.r, V) 

adiiict, d'aprd's le llieorrme general siir les foncllons impiicites 
(1, n" 187), line raclne holoinorplie s'annulanl avec a:. Soil 



('.») 



Y = C, 



C.,J^2 



G,; X" -^• 



le developpeinent en scrie enliere de celte racine. Pour calculer 
les coeflicienis C/, on peul subsliluer a la place de Y ce develop- 
pement dans les deux niembres de la relation (8), ce qui fournil 
la relation de recurrence 



(lo) 



l3G,j — P/j(Aio, Aoo, ..., -Vo« ; Gi, Ci2, 



G/j-i ), 



P^elant le poijnome qui figure dans la relation (7), ou Ton aurail 
lemplace aih par Xih et Ci par C/. 

jNlais on a, d'apies la (aeon nieine dont on a clioisi la con- 
hlaute B et la fonction ^{x^ Y), les iiiegalites 



|«//.|SA,7., I 
II s'ensuit que si Ton a 

|f,|<G,, IC2KG,, 



n — b\ 



1 \'^n-l 1 <! G,i_i, 

on aura aussi |c„|<<C,j, puisque lous les eoeflicients du polv- 
nome P« sont des nombres entiers posilifs. Or, on a [6r,o|^A,o, 
cl, par suite, |C| | <! Cj ; en raisonnanl de proclie en proche, on en 
conclut que la serie (9) est majorante pour la serie (6) : celle-ci 
est done convergente dans le domaine de I'origine. En resume, 
lorsque le coefficient b de y clans L' equation (5) n'est pas eg((t 
a an nonibre entier posilif, cette eqiialion adniet une integralc 
holoniorpJie, et une scule, s'annulant avec x. 

Pour achever I'olude des integi'aies liulomorphes s'annulant avec x. il 
faul encore examiner le cas ou b est egal a un nombre entier positif. Sup- 
posons d'abord b = i\ la premiere des relations (7) se reduit a rt,Q=o. 
Si ajo n'est pas nul, il n\ a done pas d'integrale holomorphe repondant a 
la question. Si aio est nul, en posant j' = X.r, on est conduit a une equa- 
tion 



(«') 



),'= 'l{x, a) 



X 



la fonction <ii(j", A) etant holomorphe pourvu que Ton ait \x\ <i r, |). | < .V, 
/• et A etant deux nombres positifs convenablement choisis. Or cette equa- 






1. — VAI.KinS IMTIAI.KS tXCKPTIONNiaLKS. 



481 



lion (ii)admet une inlinito d'inlrgiales lioloinorplios dans le domaine de 
lorigiiie, car on peiil clioisir arbilidircnienl la valour Xy dc X pour x = o, 
pourvu que Ion ail |),o| < A. Dans co cas, I'equalion (5) admcl <lonc unc 
infmilo d'inlcgrales liolomorphcs s'annulant avoc x. 

Lorsque b est egal a un noniljic entiiT pins i,Mand quo i'uMilc, lo coef- 
ficient de rdans le doveloppeuionl d'uin' iulcgrale holi)iuor|)lie s'annulani 



pour X =^ o doit etre cgal a 



ff\« 



> ol la transfoi-malion )' 



).. 



I — ^ -' \ — h 

conduit a une equation de nicme forme, oil le coefficient de X est egal 
a I — i, 

.?•)>' — (A — I ) A = rt'i I, J- -f- rt^o-r'-t- a', , X.r -+-. . . ; 

par une suite de transformations analogues, on sera done ramenc au cas 
c|ui vient d'etre traite. Par consequent, lorsque le coefficient b est egal a 
un nombre entier posilif, I'equalion (j) n'admct aucune integrate liolo- 
inorphe s'annulant avec x, ou elle en adniet une infinite. 

Briot el Houquel ont reclierclie aussi s'il existail dcs integrales non 
liolomorphcs tendanl vers zero avec x et dcmonlre que loquation ( 1) 
iidmcl une infinite d'integralcs de cette espece, lorsque la partie reclli- 
de b est positive. On peut etablir aisement ce theoreme au moyen de la 
melhodedes approximations succcssives. IS'ous remarquerons d'abord que, 
si la partie reelle de b est positive, on peut, sans diminuer la generalite, 
supposer cette partie leelle Jl(^)>i. Si en eflet on fait le changemeni 
de variable a- = a'", n ctant un nombre entier posilif, I'equation (5)esl 
remplacee par une equation de meme forme ou b est rem|)lace par nb. 
Nous admettrons done que Ton a c'R. ( 6) > i , et que 6 n'est pas un nombri- 
entier. L'equation (5) admet, comme on vient de le demonlrer, une inte- 
grale lioloniorplie y\, nulh; pour .r = o, et en pusant >- = jd -i- « Tequa- 
lion (5^ desient 

xu' — bii = o{x, Vi -H u) — '-fix, _)-] ) — «'l/(.r, II ). 

La fonction 'x,{x,y) uc renfermant pas de lerme en j-, la fonction 'i>(x, u) 

ne renfermera pas de teriue coiislanl, et Ton peut encore ('crii-e I'cquatioii 

precedente 

xu' — b a = II \ X X -' '^ II -+- . . . \. 

I'osons encore u =^ /.x'', en designant par /, la nouvelle fonction inconnue; 
I'equalion prend la forme 

(12) a'= A[x-t- 'p.x''-i-h...\ = F(X, X, .r''-i), 

F designant une serie entiere pai- rapport aux irois variables X, x, x''- K 
Dans le plan de la variable x menons par Toriiiine deux demi-droiles 
d'argumcnts tOo el wi ( ojq -< wj < tOo-4- a-) et consitlerons Ic sccteur circu- 
laire A liinite par ces deux droites et un arc de cercic dc ra\on /■ decrit 
de I'origine pour centre. I^orsque x reste a rinterieur de .\ el que d'autro 
part |X| reste iufcricui- a un nombre posilif /, la fonction V {\, x, x'' ■^) 
G., II. 3i 



482 CHAPITRE XXI. — EQUATIONS DIFFEREXTIELLES XON LINE.MRES. 

est liolomorphc ( ' ), pourvu que les deux nonibres /• el / soient assez pelits. 
Joignons roiigine a un point quelconque x clu secteur A par un segment 
tie ligne tlroile, cl imaginons qu'on prenne pour valeur iniliale tie X une 
raleur aibitraiie Ao, tie module infeiieur a /. On peut appliqucr a I'equa- 
lion(i2)la mothode des approximations successives (n" 390), qui consistc 
a prendre successivemont les integrales 

X, = Xo-^ f F( Ao, T, x''-^)dT, /.,= Xo4- / F(Xi, T. x''-^)dx, 

et d'unc manieie generale 

X„= Xo-^ / F(X„_i, X, x<>-^)dx, 

•-0 

toutes ces integrales etant prises suivant la ligne droite. Les hypotheses 
fondamentales pour la \alidite de la demonstration sont encore realisees 
fei, toutes les fonctions Xi(a7), X2(^), ..., sont holomorphes dans le 
secteur A, et la fonction \,i(x) tend vers une limite A(a') pourvu que le 
rayon /• ait ete pris assez petit. L'equation (12) admel done une intcgralc 
holomorphe dans le secteur A tendant vers la valeur Xq lorsque x tend 
vers zero, et par suite l'equation (5) admet une infinite d'integrales non 
holomorphes dans le voisinage de I'origine, tendant vers zero lorsque le 
point X se rapproche de I'origine, et dependant d'un paramelre arbi- 
traire Xq; ce qui demontre le theoreme de Briot et Bouquet. 

La condition que la partie reelle de 6 — 1 soit positive est essentielle; 
en effet, lorsque x se rapproche de I'origine en restant dans le secteur A, 
son argument reste compris entre w,, et toi, el son module tend vers zero. 
Soil j; = p e''^, h — i = u -f- v i ; on a 

/|3\ j,b-\ -— g([X-f-v/nlosp-4-/M) — - g|J-loj;p — VWg/lVl0gp + [J.C0l 

et lorsque p tend vers zero, 10 restant compris entre les deux limites coo 
et W|, ijilogp — vw augmente indefiniment en valeur absolue en restant 
negatif, et le module de :r*-i tend vers zero. On voit au contraire que, si 
la partie reelle de b — i est negative, le module de j;'^-' augmente indefi- 
niment lorsque x tend vers zero en restant dans le secteur A. La fonc- 
tion F(X, X. x^~^) n'est pas continue a I'origine, et la demonstration pre- 
cedenle ne s'applique plus. 

D'apres Briot et Bouquet, lorsque la partie reelle de b est negative, 
l'equation (5) n'admet pas d'autre integrale que I'integrale holomorphe 
s'annulanl pour ar = o. Mais leur demonstration, qui est Ires analogue a 



(') Lorsque x lend vers i'origine en restant dans le secteur A, la derivee de la 
fonclion F par rapport a x peut devenir infinie si la partie reelle de ft — 2 est 
negative, mais cctte derivee ne figure pas dans la melhode des approximalions 
successives. 



VALKIIIS IMTIAI.KS EXCKI'TIO.N.NELLKS. 



183 



celle do la iiole de la page 333, suppose que la variable x tend vers lorigine 
suivaiil uii cheiuin de longueur (inie, avec une langcnle delermince a I'ori- 
gine, el la conclusion a besoin d'etre precisee. Pour donner une idee de 
la ditficuhe de la question, considcrons la function x'' en supposant que 
la parlie reelle [z de b est negative tandis que le coefficient v dc i est 
different de zero; le module de x'' est r^gal a giiiogp— vw_ si nous faisons 
decrire a la variable x une courbe se rapprochant indcfiniment de roriginc, 
lilogp tend bien vers -+- oo, mais si Ton faitcroilre en meme temps I'argu- 
nionl o) en valeur absolue de telle facon que la dilVerence ijilogp — vw soit 
negative et croisse indcfininionl en valeur absolue, le module de x'' tendra 
vers zero en meme temps que \x\. Si v > o, il suffira de faire decrire par 
exemple a la variable x la s|)irale logarilbmique ayant pour tMjua- 

V (I) V (1) 

tion p = e'-l^, car nous avons alors |j7^| = e =^ , et lorsque I'argument a> 
lend vers -hoc, \x\ = p el \x'>\ lendent en meme temjjs vers zero. 

Lorsque la partie rcclIe dc b est negative, sans que la parlie reelle 

do . suit niiiie, il resulle des recborclies de M.M. I'icard et I'oincaro surce 
I 

sujel que Tequation (5) admel une infinite dinlegrales non holomorphes, 

dependant dune conslanle arbilraire, el lendant vers zero lursque Ion 

fait decrire a la variable x un cbeniin tel que le precedent le long 

duquel \x''\ lend vers zero. La contradiction entre ce resullat el le iheo- 

reme enonce par Hriol et Bouquet n'est qu'apparente, puisqu'on se place 

dans les deux cas dans des conditions lout a fait dinerentcs. Reinarquons 

en parliculier que, lorsque la variable x ne prend que des valeurs reelles, 

elle ne pent lourner une infinilede fois aulour de lorigine, et par suite il 

n'y a pas dautre inlegrale que lintrgrale liolomorphe lendant vers zero 

avec x si la parlie reelle de b est negative. 

Les resullats de celle discussion sont faciles a verifier sur I'equalion 

ox 
eiementaire xy' = rt.r -t- by, dont I inlegrale generale est y = j -{- Gar'', 

si 6 — I n'est pas nul, ei y ^^ a x Logar -+■ Cx, si 6 = i. 

418. Nous (Joiinerons seulemenl (juelques imlicalions sur Ic 
cas general d'uae eqiialiun de la forme 



(•4) 



dy ax -¥■ by -+■ c.r- -f- -i d.ry -+- ey- ->-. . Y 

dx a' X -T- b' y ->!- c' x- -n .>. d' xy -\- e' y- -r- . . . X 



X et Y elant des series enlieres eonverj^eiiles laal (jue Ion a 



Nous siipposons, ce (jui ne reslreinl pas la yeneralile, «|iie -j- 
devient indelerniine pour le sjslenie dc valeurs x=j'=^o. Po- 



4S4 CllAPlTHE X\I. — Kyi ATIONS DIKKKRKXTIELLES KON LINEAIRES. 

SOUS dans celle eqiialion j- = r.r ; cllc devienl 

dv a -i- f>v — v( a' -h f>' v) -h TO ( .r , c ) 



(•3) 



dx 



b\' -(- .i-6(j", r) 



C5(j", r) et 'y'(^, «") ctant deux scries entieres qui sont conver- 
gentes pourvu que Ton ait a la fols \x\ << /•, [t'jc| <; r. Si I'equa- 
lion (i4) adinel unc integraie liolomorplie s'annulant avec x, le 
coefficienl de x dans le developpenient de cclle integraie est 
iiecessairement racinc de I'equation 



(iG) 



o + ^r — 



/>'(•) = o, 



puisque le premier membre de I'equation (i 5) est nul pour ^ = o. 
Soil i"i une racine de I'equation (16). Si nous posons (^ = r, + ;/, 

les deux fonctions 

o{r, t'l-t- u), <^{x, (-,4- u 1 

sont encore regulieres dans le voisinage des valeurs a? = o, z/ = o, 

et I'equation (i5) est remplacee par une equation de la forme 

deja eludiee 

/ N du 

(17) .r -y- = \ u -h lix -j- . . . . 

dx 

pourvu que i| n'annule pas a' -\- b' i\ Comme I'eqnalion (16) est, 
en general, dn second degre, on voit que I'on pent ramener 
l'e({uation (i 4) a la forme (5) de deux facons differentes et, par 
suite, qu'il y a en general deux inlegrales holomorplies el deux 
seulemenl s'annulant pour x=^o. Mais ces conclusions ne s'ap- 
pliquent qu'aux circonstances les plus generales ou les coeffi- 
cients a, b. «', b' ne satisfonta aucune relation parliculiere. 

La recherche generale des integrates, holomorplies ou non, de 
I'equation (i 4); fpi tendent vers zero lorsque x tend vers zero (X et 
^ etant deux fonctions regulieres qui s'annulent pour x ^= y ^ o), 
a fait I'objet, depuis le IMemoire de Briot et Bouquet, d'un grand 
iiombre de travaux. Quoiqu'oti ait pu trailer des cas de plus en 
plus elendus, la question n'est pas encore epuisee. Je signaleral 
seulemenl une circonstance remarquable que nous n'avions pas 
rencontree jusqu'a present. Prenons I'equation 



(i8j 



X' -^ by = ax 

(IX "^ 



*l 



I. — vAi.F.ins iMTiAi.i:s i:\(:i:i'TioNNEi,t,ES. 485 

€t cherclions, comine plus haul, uuc iul<'f;r;il(' Iioloniorphc tl«; 
celte e(|ualion qui soil nulle pour x = o. Eu clicicluinl a deler- 
miner les coefficients de la serie (6) de facon qu'en la subsliluanl 
dans requalion (ii^), t>ri arrive a une idcnlite, on aboulil .iiix 
relations 

a-t-bci = o, c, = bCi, "202 = ^03, ..., nc„ = bc,i^i, ..., 

d'ou Ion tire 

(I a 2 a \ .1. . . n.a 
c.==--, ^2=-^, ^3---^, •••' 0,., = ^^^ 

On obtienl hien ainsi unc valeur unique pour cliarpie coefficient, 
mals la serie a laquelle o/i parvienf est dU^evgenle sauf pour 
x^=o. L'origine est un point singulier Iranscendant pour toutcs 
les inte^^rales, comme on le verifie par rinlrgration direcle. Le 
point x = o est de menie nn point sinj^ulier Iranscendant pour 
loutes les inlegrales de Tequalion xy' + y-^=o, et loules ces 
inlegrales tendent veis zero avec \x\. 

Quanil on n'attribue aux variables x el y que des valeiirs reelles et que 
Ton cherche a const ruire lescourbes intcgrales de requalion (14 ) (Xet V 
etanl, par e\emple, deux polynomes enliers en x el y), il est Ires impor- 
tant de connaitre la forme de ces courbes integrales dans le voisinage 
d'un point coinniun aux deux courbes X = o, Y = o. Nous allons etudicr, 
a ce |)oinl de vue, IV'qualion simple 

cly ax -r- b V 
ax a X -\- b y 

qui s'integre par un procede elementaire (n" 363) en posanl y = l.r. On 
est ainsi conduit a I'equalion 

dx {a' -¥■ b' i ) (It 

X b't^-\-{a' — b)t — a ~ ' 

la discussion depend du signe de {a — by-^ ^ab'. 

Premier ran. — Soil {a — 6)- -i- j ^'rt < o. Un a forccmcnt b' ^o, ct 
ion peut encore ecrire I'equation preccdenle 

dx f / -+- |ji ) dt _ 

~x ~ (/ — a)i-<- [i--* "■ °' 
en posant 

n' b — a ^ — (a' — 6)2 — \ab' 

b' lb' ^ .\b'^ 



^^C CIIVPITRE XXI. — KQUATIONS DIPFERENTIEf.LES NON LINEATRES 

Le nouveau changemenl de variable t = x-^-^u conduit a requalion 
dx If du a -I- ;jL dii 

X \ -\- U- fJ 1 -i- u- 

ct finalement, on troiive que linlegrale gcnerale de I'equalion (19) est 
donnee par la formule 

a-t-u- .V— «>■ 



{■20) 



a.r )- 



^'-x-' 



a-t-u. 
— — ^arc lang 



Pour voir la forme de ces courbes, il suffit de remarquer que la trans- 
formation homographique y — ax = Y, '^x = X remplace I'equation pre- 
ct'denle par Tequation plus simple 



(■20)' 



^/X'--h\-'=Ce P 



a+u. Y 

arc targ- 



et les courbes representees par les equations (20) et (20)' ont evidem- 
nient une forme analogue. Si a -4- [jl n'est pas nul, I'equiition (20)' repre- 
sente des spirales logarithmiques ; ies courbes intcgraies ont done la 
forme de spirales se rapprochant indefininient de I'origine qui est un 
point asymptote. On dit que I'origine est un foyer. 

Comme cas particulier, il peut arriver que a + [jl soit nul. Les courbes 
inlegrales sont des courbes fermees entourant I'origine qui est un centre. 



Deuxieine cas. — Soit («' — b j'^ -1- ^ab'"^ o, b' ^ o. L'cquation 

b' f- -h ( a' — b )t — a = o 

a deux racines distincte; t^ et ii, et Ton peut ecrire i'equation differen- 

tieile entre x et t, 

d.r ix dt I — a , 

h -! 1 dt = o, 

X t — ti t — t-, 

;jL etant un coefficient constant different de zero et de I'unite. L'integrale 
generale est donnee par la formule 

(r — tix)\'-(y — f.2xV-V= C. 

Si Ton prend pour axes de coordonnees les deu\ droites j' = ^1 r, v= ''2'^7 
I'equation des courbes integrales dans ce nouveau systeme d'axes est 

1^-1 
V = C\ !^ . 

Si — est positif, Y lend vers zero en meme temps que X. Toutes les 



courbes integrales vont passer par I'origine qui est un nocud. 



Si 



]X — \ 



est negatif, il n'y a que deux courbes integrales passant par 

I'origine, les deux droites X = o, Y = o. Les autres courbes integrales sont 
asymptoliques a ces deux droites. On dit que I'origine est un col. 



II. — ETUDE DE QLELQl'ES EQUATIONS DU PREMIER OnDRE. 487 

Troisienie cas. — Soil (a' — by- -^ '^al/ =■ o, b' j^i o. I/eqiialioii 
// 1- — {a — b)t — a = 

a une racine double /j, el Ion |)eul ecriie requalioii difreienlielle cnlic J"el ^ 

dr \x ell fit 

! ■ i = O, 

X it — ty)- I — tl 

u n'clanl pas mil. L'inlegrale generalc esl rcprescnlcc par lequalioii 

X 

V = CcV, 

oil X = \xx, Y = }' — t^x. l'(Mir coiislruire les combes integrales, on peiit 
exprimer X el Y an moyen dune variable auxiiiaire en posant X — Y6, ce 
qui donne Y = Ge'J, X = COe^J. Loisque tend vers — 00, X cl Y el par 
suite X el )' tendenl vers zero; I'origine est encore un foyer. 

Si b' esl nui, sans que a soil nui, on permulera x aly dans la discussion 
precedenle. Si b' et a sonl nuls a la fois, I'equalion esl de la forme 

X cly = k y dx ; 

i'origine est encore un nceud ou un col. La classification precedenle esl 
due a M. I'oincare, qui a elendu la discussion aux equations de la forme 
generale (i4) dont les coefficients sont reels. 



II. — ETUDE DE QUELQUES EQUATIONS DU PREMIER ORDRE. 

419. Points singuliers des integrales. — Les devcloppements en 
series par lesf|uels on a (■lahli rexisleiice des integrales d'lin sys- 
Icme d'equations dilTerenticlles analjliqiies ne peiinettenl de cal- 
culer ces inlegrales qii a I inlericur dii cercle de convergence. Mais 
la connaissance de ces develo|>pemenls siiffit, comnie on I'a re- 
marque d'line facon generale (n" 344), pour que ces fonclions 
soienl virluellement determinees dans lout leur domaine d'exis- 
tence. Gonsiderons, |)0ur fixer les idees, une ecpialion difTeren- 
lielle algebrique du premier ordre 

(•21) V^x, y,y' ) = o, 

F elant un polvnome enlier en x^y, ) '. Soil (jToO'o) "" sjsleme 
de valeurs lei que Tequalion Y {jc^, y^^ y') ^ o ail une racine 
simple ji',,; lorsque x ci y lendenl respeclivemenl vers .r^ el y^, 
l'e<pialion (21) adinel une racine el une seule lendanl vers j-[j, cl 



.{88 rHAPITRE \XI. — EQUATIONS DIFFEnENTIELLES XON LINKAIRES. 

celle racine j''=y"(.z', jv') est one fonclion reguliere dans le voisi- 
nage des valeurs .ro, j'o- L'(V|iialion (2 i) adinel doncune inlegrale 
lioloniorplie se rcdiiisanl a r,) |ii>iii-.r z= X;,, el don t la di'-iivre picnd 
aussi la valeiir I'j, pour .r = Xq. Celle integialc n'esl dcWlnie par 
nn developpemenl en serie enliore qn'a rintt'iieiir d'lin ccrcle C„, 
de centre .Vq, donl le ravon est en general fini, niais cclte lone- 
lion, dont on pent poursuivre le prolongenienl analvlique eii 
dehors dii cercle Co, satisfait a reqnallon (21) dans lout son 
domaine d'exlstence. Reniarquons (pron peul se servlr de ['equa- 
tion (21) clie-nienie jioiir le calcul des coefdcienls des diverses 
series que I'on emploie dans la nielliode du prolongenienl ana- 
ljti(|ue. Si en un point Xf du cercle Co, I'inlegrale consideree est 
egale a i',, sa deriv('e est egale a Tune des racinesjj'j de re(pi;i- 
lion F(:C), y,, y"j = o, et Ton pourra en deduire les valeurs des 
aulres derivees au point x^ par des derivations successives. 

Chaque equation difFerenlielle du premier ordre definit ainsi 
une indnite de fonctions analvLif|ues (dependant d'une constanle 
arbitraire) ; ce sont en general des fonctions Iranscendanles que 
Ton ne pent exprimer au nioyen des Iranscendanles classiques, el 
il en est de nieme a fortiovi des fonctions definies par des equa- 
tions difTeren tielles algebri(|ues du second ordre on d'ordre supe- 
rieur. L'elude des proprieles de ces Iranscendanles nouvelles el 
leur classification constituent Tobjet de la llieorie analvlique des 
equations dilTerentielles. 

On pent encore, dans celte etude, poursuivre denx buts diflPe- 
rents : Ton pent cherclier des conditions necessaires etsuffisantes 
pour que des e(|ualions d'une forme determinee puissent etre 
integrees au moven de fonctions deja connues, ou se proposer au 
contraire de decouvrir des equations differenlielles algebriques 
definissant des Iranscendanles irreduclibles aux Iranscendantes 
classiques, et jouissant de quelque propriete remarquable, comnie 
d'etre uniCorme, ou meromorplie, etc. Quel que soil I'objet que 
I'on ait surtout en vue, la recherche des singularites possibles 
pour les fonctions integrales est nne question essenlielle. Tandis 
(jue les points singuliers des integrales d'une equation lineaire 
sont fixes, les points singuliers des integrales d'une equation non 
lineaire varient en general avec les valeurs iniliales. Par exemple, 
I'inlegrale de I'equation x-^ry'=^o qui prend la valeur jko 



ir. — EIUDK niC QUELQUES KQIATIOXS Df Pni-MIEU OriDIU-. ^89 



pour :r = o est r = \ J'jj — ./'- ; ccllc foiiclion adiucL Ics deux 
points critiques 4-J'o, — Vo <|ui (h'-pcudcut dc la valour iuilialc. 
Dc nit'inc, rinl(''i;raic dc I ('-(pial icm i-'=i--, cpii csl cf,^alc a )'o 

pour ^ = o, oil — -- — > adnicl Ic nolc J7 = — • Nous souimes d"nc 
' I — xvo ' Vu 

conduits a dislini;iicr d(Mix classes dc points singuliers pour unc 
equation diirc'renticlle, les points singuliers yFxe.? cpii ne depen- 
dent pas des valeurs initiales choisies (sans eire necessaiiemcni. 
des points singuliers pour loules les inlegrales"), et les points sin- 
guliers mobiles, poles ou points criticpics, qui d<'pcu(lent des va- 
leurs initiales. Liie c(pialiou diUV-rentiellc pent avoir a la (ois des 
points singuliers des deux esj)eces. 

-420. Fonctions d^finies par une equation differentielley= K(x,y) 
— Nous allons etudicr en [tarticulier IV-qualion dillcrentielle 

clx •" ' n^j-, jr) 

ou P(.r, r^ et ^{^x^ )') soul deii\ polynomes cntiers en x et j)', 
n'admetlant pour diviseur conimun aucun polvnome tie nieine 
espece. Les deux equations P(a:, 7') = o, Q(a:, j)^) = o out un 
certain nombre de svsternes de solutions (<7|, ^1), . . ., (r/„. b,i)'i 
nous marquerons dans le plan des x les points «,, c/^, . . ., On. 

La transformation ^ =: - conduit de I'equalion (r^a) a une equa- 
tion de uienie forme 

ax Vi»'^',^) 

et les deux erpiations P, (.r, z) = o, Q, {x, z) = o ont encore un 
certain nombre ile systcmes de solutions («', , ^', ), • • •, {ff'nf> Kn)' 
Nous marquerons aussl dans Ic plan de la variable x les points a'^, 
a',, . . . , a'^. Ces points «/, a'/^ sonten general des points singuliers 
pour quelques-unes des intt'grales de I'equalion (22), mals llssont 
connus a priori : ce sont des points singuliers /?.r^5. 

Solt malnlenanl (xq, y^) un systcme (pielconque i\o \aleurs tel 
que Q(xo,.i'o) ne solt |)as nul. L'equatlon (22) admet une Inte- 
grale holomorplie dans le domalne du point x,,, preiiant la va- 
leur j^„ pour x = Xq. Imaginons que Ton fasse decrire a la va- 



I<)f> niVIMTnE X\l. — lioLATIOXS DIFFliUEXTIELI-ES NON LIXEAIRES. 

riahle .r uii clieinin c[nelconqne L issu dii point Xo ct ne passant 
par aiu'un dos points r//, <7^. On pent poiusiiivrc le prolongement 
analvlique de cclle inle;;rale tout le long de Ij, tant qii'on ne 
rciiconlre ancun ])oint singiilier, mais il pent arriver que Ton 
soit arrele par la presence d'nn point singnlier. Soit a le pre- 
mier poinl singnlier que Ton rencontre; Tinlegrale considert'e est 
liolomor|->lie dans le voisinage de tout point X du chemin L com- 
pris enlre .r,, el a, mais le cercle de convergence de la serie entiere 
(pii la represente, et dont Ic centre est en X, ne renferme jamais 
le point a a Tinterieur, aussi petit que soit |X — a|. L'equa- 
tion Q(a, y) = o admet un certain nombre de racines [i| , [i-2, . . . , 
^^; nous marcpierons les points [i/ dans le plan de la variable y. 
L'equalion Q(a, v) = o n'a rpi'un nombre fini de racines, car, 
pour qu'il en fut autremenl, il faudrait que le polynome Q(^7JK) 
fut divisible par (x — a) et le |)oint a serait compris parmi les 
points <7/, a,^. Pour la meme laison, les deux equations P(a,j')= o, 
Q(a, y) = o n'ont aucune racine commune. Cela pose, plusieurs 
livpotlieses sont a examiner. Soit Y la valeur de I'intcgrale en X ; 
nous ne pouvons supposer que Y tende vers une valeur finie ^ 
dilTerente de ^i, [i^j •••, t^.\5 lorsqiie X tend vers a, carR(^,jK) 
est une fonction rcguliere pour ^ = a, y=:'^. Or, d'apres le 
llieoreme fondamenlal de Caucliy, il existe une seule integrate 
lendant vers [j lorsque x tend vers a, et cette integrale est holo- 
morphe an point a. Supposonsen second lieu que Y tende vers la 
valeur |j/ lorsque |X — a| lend vers zero. La fonction I{.[x,y) est 
infinie pour x = a, y = |j/, mais son inverse est une fonction regu- 
liere, puisqu'on ne pent avoir P(a, ^i) = o. Nous avons vu plus 
liaut (n° 416) que I'equation (22) admet une integrale el une seule 
lendant vers ^/ lorsque |X — a| tend vers zero, et le point a est 
un point criticpie algebrique pour cette integrale. De meme, si |Y| 
augmente indefiniment lorsque |X — a| lend vers zero, l'equa- 
lion (23) admet une integrale qui tend vers zero en meme temps 
que |X — a|. On ne pent avoir a la fois P, (a, o) = o, Qi (a, o) = o, 
pulsque le point a ne fait pas partie des points a'^. Si Qi(a, o) 
n'est pas nul, z est bolomorplie dans le domaine du pointa, qui 
est un pole pour I'inlegrale consideree. Si Q, (a, o) = o, ce point a 
est un point critique algebrique pour z et par suite pour j^. 

Nous n'avons pas encore epuise toules les bjpolheses; ne pour- 



II. — KTIDE DE QLni.QIKS KQIATIONS Dl PIIKMIKH OHDRE. 4<J' 

rail-il anivcr en cMel que \ nc lende vers aiuuiie limile, sans 
que |Y| augiuenle incleliiiiineiil, loisque |X — a| lend vers zero? 
M. Painleve a (Icnionln'' conimr il >iiil (|iif ccia ir('"l;iil pas pos- 
sible, C(^ (lu'dii avail adinis jiis(pi<'-la sans jjienve j>reeise. Dii 
poinl a eoninie eenlre avec un lavon lies pelit /• di'crlvons iin 
c Tcle C. Les raelnes de recjualiori ()(X, y)= o rini lendenl res- 
peclivrincnl vei's ^,, |j.., .. ., [j,; loisijiie |X — a[ lend vers zero 
iislenl co:iipriscs respeclivenieiil a linlerieiir de cercles V), 
";,, . . , , "^ decrils des poinls 3, , |j.j, . . . , |j.^ pour cenlres avec des 
ravons o,, Oj, . • ., s^^, el Ion peiil j)rcndre le ravon /• assez pelil 
pour que Ions CL'sra>ons p,- soienl eux-nienies plus pelils (jue loul 
nombre donne t. Considerons en nieme Icnips un cercle T de raven 
Ires grand R, deeril dans le plan de la variable r de lorigine pour 
eenlre, el soil (K) la porlioii du plan des i' exlerieure aiix cercles*',- 
el inlerieure an cercle T. ?Sous allons nionlrei- que, loiscpie jX — a| 
lend vers zi'-ro, le poinl \ correspondanl finiL par icsler conslam- 
nienla linti'-ritMir de Itiii des cercles -', on a I'exlerictir du cercle T. 
Si! n'en elail pas aiusi, on Irouverait loujours siir le clieniln L 
des poinls X lels que |X — a[ soil inferieur a loul nombie donne 
el [)Our lesqiiels \ serail dans la region (E ). Or iniaginons que 
Ton ail |X — ^- 1 < - P>'*" exeinple, landis cpie Y resle dans la 

r.'-^ion (Ej; a y (I un nnniniuDi posilif /xjiir le ravon du cercle 
(I ' causer ^ence de I' integrale de V eqiialion (av. ) cud est cgale 
o Y pour :r ^ X. E:i edet, il v a evideinmenl un maxinuun 
pour |R(X, Y)| lorsque les poinls X, ^ reslenl respeclivemenl 
dans les domaines precedenls, landis (pTil y a un minimum 
posilif pour les noinbres a el b (voir p. P).")^). Soil y, le minimum 
du rayon de ce cercle de convergence. On pourrail Irouver par 
livpolliesc sur le clicmin L un poinl X' donl la dislance au poinl a 
serail inoindre que r, el Icl que le poinl correspontlanl \' soil 
dans la region (E). Le cercle de convergence de la serie qui repre- 
scnle I'inlegrale, prenanl la valeur \' pour x = X', ayanl un rayon 
au moins egal a r,, le poinl a serail a linlerieur de ce cercle, ce 
qui esl evidemmeul impossible puisqne a esl uii point singulier. 
Le point Y finil done [)ar resler conslammenl a Tinlerieur de 
I'uii des cercles v/ ou a rexli'rieur du cercle Y lorsfpie |X — a| 
lend vers zi'ro. Comme le ravon o/ peul elre pris aussi pelit qu on 



^CfT. ClIVPITIti: XXI. — KQl ATIONS OIFFKRENTIKI.I.KS NON LINKAIRKS. 

le vent, et le rayon II aiissi j^rand (in'on le vcul, cela revienl a dire 
(|iie \ lend vers I'line des valeurs ^S/ a nioins cjue | Y| n'aiigmenic 
indefiniinenl. Nous venons d'exan)iner ce qui arrive dans ces deiix 
cas ; le point a est done un pule on nn point critique algebrique. 
On pent alors, en reniplagant la poition dn cheniin L voisine dti 
point a par un arc de cerele de ravon inllniment petit decrit de ce 
|>oint pour centre, eviter le point s.ngulier etl'on pourra conlinuer 
le prolongement analyti(|ue au dela, jusqu'a ce qu'on rencontre 
un nouveau point singulier. iNous allons montrer que, sur un 
cheniin L de longueur Jiiiie, on ne trouve jamais qu'un nombre 
fini de poles ou de points critiques algebriques. En efTet, de 
cliaque point <7/, a'^ eoinnie centre deciivons dans le j)lan des x 
nn cerele Ires petit, et decrivons en oulre un cerele de rajon tres 
grand ayant pour centre Torigine, de (aeon que lout le cbemin Ji 
soit dans la region (E') du plan des x limitee par ces circonfe- 
rences. Soit j:, iin point quelconque de (E'j; I'integrale dont le 
module augmente indefiniment, lorsque \x — .ri | lend vers zero, 
est egale a un polynome entier en [x — -^i)"', augmenlee d'une 
serie entiere en (^x — ^,), convergenle dans un cerele de rajon p, . 
De menie les diverses integrales qui adinettent le point 37, comnie 
point critique algebrique sont representees par des scries ordon- 
nees suivant les puissances fractionnaires de x — x^\ soil Oo le 
plus petit des ravons de convergence de ces dififerentes series. II 
est clair que ces nombres p, et po varlent d'une maniere continue 
avec la position du point x ^ ; ils onl done un minimum \ '^ o, et 
la distance de deux points singuliers voisins sur le cliemin L est 
forcement superleure a/ ('). On ne peut done renconlrer sur ce 

(') II est a reinarquer qii'une inlegrale peut avoir unc infinite de points cri- 
tiques, et meme en avoir una infinite dans le voisinage d'une valeur quelconque 
de X. Considerons, par cxemple, I'equation 

■lyy' ^ \\{x), 

ou U(a;) est une fonction rationnelle, dont I'integrale generate est 

Supposons que Tintegrale definie / \\{x) clx admetle les qnatre periodes i, a, 
i, ?«', a et |i elant deux nombres reels incommensurables. A I'intcrieur d'lin 



II. — KTl I)i: OK QITI.OIF.S KQIATIONS 1)1 i'iti;.Mii:n onpnK. 49^ 

flieiniii (|n nil iioiiihre liiii Ac pules uii tie points ciiliqiics alfi^e- 
briqiies. Par suite, les seals points singuliers mobiles des inle- 
grales de V equation (22) sont des poles oii des points critiques 
algc'briques. Cos inlegrales ne penvcnl avoir dc points singulicrs 
cssenliels mobiles, ni par conse(|ueiil de coiipurcs. 

Les raisoiincniciils (|iii pieeedenl s'etendenl sans dilfieiille aux 
equations dc la rorine (2:*), ou V[x^ y), Q(x, j') sonl des poly- 
nomcs enliers eny, donl les coeflicients sonl des fonclions analj- 
liqiies do .r. II faiit seulenicnl adjoindre aux points <7/, a,., (\u\ sonl 
definis eomnu; plus luuit, les points singuliers de ces dilFerenls 
coefficients. Lors(|ue leiheinin decrit par la variable x icstedans 
line aire ne renfernianl auciin des points r//, a'/. , ni aucun des points 
singulicrs des coel'ficienls des diderenlcs puissances dej), les sculs 
|)oinls singulicrs ([uc [)uissenl avoir les inlcgrales sonl des poles 
ou des points critiques algebriqucs. 

Proposons-nous, comnie application, dc Iroiivcr les ccpialions 
de la forme (22) n'admctlaiii pas de points critiques mobiles. 11 
est necessaire pour cela que Ic denominatcur ne renlcrme pas j'. 
Soienl, en edet, a unc valcui-qiiclconrpie de ^r, el p une valeur cor- 
lespondanle dc j^, telle (pic Ton ait Q(a, ^i) = o, le numci'aleur 
P(a, ,3) n'elanl pas nul. L'inlcgralc dc Tcqualion (22), qui lend 
vers |j lorsque \x — a| lend vers zero, adniet ce poinlcommc point 
critique, el ileslclair que ce n'est pas un point critique pour loulcs 
les inlegrales. L'equalion proposce doil done elre de la forme 

"} |> 1-/H _L |> ,l'/H-l_i- 

— j— -- I „, 1 -t- I llt—\J -T- . . • 

(l.r 

I'/;m Pm-n ••• clanl des fonclions de x. D'ailleurs rcquation 

obtcnue en posant r = _ doil elre de la memc forme, ce qui cxigc 

(|nc m ne soil pas supericur a :>., el Tcqualion la plus gencrale 
i('-pondanl a la rpicstion esl une ('-qualion de Riccali. II csl facile 
A<i verifier que la condilioii esl salisfaite pour nnc ('(piation Ac 



tcrcle c decrit d'un poinL quelconi|ue x^ pour rcnlre avec un rayon arbilrairc, 
on dcmontre aiseinenl (ro/r n° 311, /?c/«a/-<7we) que I'on peullrouvcr une infinite 
dc racines de y-, en cboisissant convcnahlemcnt ks clicmins d'integration, et 
chacune de ccs racines est un point critique. Mais un clieinin dc longueur Jinie 
decrit par la variable n'eii contienl jamais une infinite. 



494 cHAPirnE xxi. — equations differentielles non lineaires. 

Riccali; si nous prenons par excmple la formule (26) (p. 42 1) 
qui ropresenle I'inlegrale gonerale, il esl clair que cclle inlegrale 
ne peul avoir pour points singuliers, outre les poinis singullers 
des fonclions r,, I'o, que dcs poles, provonant dcs racines da de- 
nominalcur Vi -I- CVo, poles qui varicnL avcc la constante C. 

On pent ('galemcnl se proposer de dotermincr les equations de la 
forme ('22) donl les integrales nonl pas de poles mobiles. Soient ni et n 
les degres de P(x, y) et de Q(-r, j') par rapport a y; I'equalion obtenue 

en posant )• = - est de la forme 



(2.i) 



dx 






Pi et Qi etaiit deux nouveaux polynomes en z. Soit :r = a une valeur 
quelconque de a", ne faisant pas partie des points singuliers fixes. L'equa- 
tion (24) admet une integraie tendant vers zero lorsque \x — a| lend veis 
zero; il semble done que {'equation (22) admet toiijours une inlegrale donl 
le m(-dule augmente indefiniment lorsque \x — a| tend vers zero, mais la 
conclusion est. en defaut si iintegrale en question de I'equalion (24) se 
reduit a -s = o. II faut et il suffit |)our cela que Ton ait «? < « -1- 2 ; c'est 
la condition pour qu'il n'y ait pas de poles mobiles. La seule equation qui 
n'ait auci/ne espece de points singuliers mobiles est done I'equalion lineairc. 

Application. — Le resultat qui precede permet de reconnaitre si I'inte- 
grale generale d'une equation differentielle du premier ordre est une 
fonction rationnelle de In constante d' integration, en choisissant con- 
venablement cette constante. Soit 



(A) 



y = R(x, G) = 



P(x, C) 



una fonction rationnelle d'un parametie G, les coefficients des deux po- 
lynomes en G, P{x, G) et Q{x, C) etaiil des fonclions quelconques de x. 
II est clair que la derivee y' est aussi une fonction lationnelle de G, 

y'= H'ix, G), 

et I'eliminalion du parametre G conduira a une relation 

{E) F(y,y';x) = o, 

F etant un polynome entier eny,y', donl les coefficients peuvent etre des 
fonclions quelconques de x. D'apres la fagon meme dont cette equation a 
ele obtenue, quand on y regarde x comme un parametre, elle est de genre 
zero en y et y'. 

Inversement, etant donnee une equation diHerentielle du premier 



II. — KTl l)K DK QUKLQIES EQUATIONS 1)1' I'KE.MIEIl OHDHE. IgS 

oi'dre (K), cionl le premier meinbre est un polynomc enlicr eii y cl ^', 
Ics coeflicieiils etaiil dos foiiclions arialyliqucs quelconqucs tie x, pour 
qu'elle admeUe une inlegrale generalc de la forme (A), il faul d'abord 
qu'elle soil du genre zero en jy el y' . S'il en e«l ainsi, on peul exprimer j^ 
el y' par des fonclions ralionnelles dun paramelre u, 

y = r{x, u), y' = ri{x, u), 

de telle facon que Ton ait inversement u = s{x. y, y'), les fonctions /• et /j 
etant rationnelles en u et s (ilanl une fonction ralionnelle de y, y'. L'equa- 
lion difTerentielle proposee (E) est remplacee par I'equalion 

dr Or (iu 
dx Oil ax 
qui est de la forme 

(E,) ^ = "(.,„), 

F etant une fonction rationnelle de u. Si Tintt'-grale geneiale de i't'qua- 
lion (K) est y = R(x, G), I'integrale gencrale de I'equalion (Ei) est 
d'apres cela 

u = s[x, [\(x, C), ll'ix, G)], 

c'est-a-dire une fonction rationnelle de G. !Mais les seuls points singuliers 
d'unc telle expression, qui varient avec C, sont evidemment des poles. 11 
faut done que les seuls points singuliers mobiles de IVqualion (Ej) soient 
des poles; par consequent, I'equation (Ei) doit ctre une equation de 
Riccati (» ). 

Gonsiderons par exenipie I'equation 

y2 = ( py -+- O )2 ( y _a)( y — b), 

ou P et Q sont des fonctions de x, a el b deux eonstantes. Celte relation 
est bien du genre zero en y et ^' et, pour exprimer^ el y' par des fonc- 

y — b 
lions rationnelles d'un paiametre, il suffil de ijoser-^^^ = t^, ce qui 

y — a ' 

donne ensuite 

y(i— t'^)i=(b — a)[V(,bt — at3) -^ Qu — f^)], 
et I'equation (Ej) est ici une equation de Riccati 

1-^ = P(b — ar-)-^q{i — t^). 
lie 

42 1 . Fonctions unif ormes deduites de I'equation y''"^ ^ K (y \ — 



(' ) La rcciproque est immediate. Si ( li, ) est une equation dc Uiccati, I'inte- 
grale generale a est une fonction Undaire d'uiie coiistantc url)ilraire C, cl par 
suite y — r{x, a) est une fonction rationnelle de C. 



496 CHAPITRE XXI. — EQUATIONS DIFFERENTIELLES NON LIXEAIRES. 

Nous alloiis encore eludier les integrales de requation difTerenlielle 

PC r) 
(25) y"'=^^0-)=-^y-y 

Oil /n csl un nonibre cnlicr posilif, P(r)el Q(j)') deux poljnomes 
en y a coefficients constants et premiers entre eux, en nous pro- 
i)Osant de delerminer loutes les equations de cette espece dont 
I'integrale giMierale est une fonctlon uniforme. Soit Xq une valeur 
quelconquc de a: et Vo une valeur arbitraire n'annulant aucun 
des polynomes l^(j)0' Q(j')- L'equation (20), oii I'on remplace;>- 
par yo, admet, en y\ m racines dislinctes. Clioisissons une de 
ces racines 1'^; I'equalion (aa) admet une integrale liolomorplie 
dans le domaine du point Xq, prenant la valeur jj^o en ce point, 
et dont la derivee est egale a y'^ pour x = Xq. On pent pour- 
suivre le prolongement analjlique de cette integrale tout le long 
d'un chemin qiielconque issu du point .2:0, tanl que Ton ne ren- 
contre pas de point singulier. Soient a le premier point singulier 
que I'on rencontre, X iin point du clicmin L conq)ris entre x^ 
el a, Y la valeur correspond;inle de I'integrale au point X. Les 
raisonnements du precedent paragraplie, que I'on pent reprendre 
sans modification essentielle, prouvent que, lorsque |X — a[ tend 
vers zero, Y lend vers une racine de I'une des equations 

oil lYI augmente indefiniment, mais il ne pent pas airiver que \ 
ne tende vers aucune limite. 

Nous allons examiner les dilTerents cas possibles. Soit d'abord b 
une racine d'ordre q du denominateur Q(y) = o. On tire de 
Icqualion (26) 

7 
( id ) dx = ( r — b )'" [ Cy -1- ci ( J' — ^ ) -I- . . . ] dy, Cy p^ o ; 

ipiand on fail decriie a )' un chemin allant de I'o ^ b dans le plan 
des r, X parlanl de x^ aboutit a un point a distance (inie du plan 
des X, point que nous appellerons a. Jnversement, lorsque x va 
dexQ en « suivant ce cliemin,y va dejoC" b. En posant }- — b = t"^^ 
on deduit de I'equation (26) nn developpemenl de :r — a suivanl 
les puissances de t commencant par nn lerme de dogre in + q. 
Inversenicnt, on aura pour t un dcvelop[)cmcnt suivant les 



II. — ETl I)E PE OIHIQIKS KOIATIONS IM I'UKMIKIl ORUnK. 497 

piiissancos IriuiKuiiiiiirt's dc .v — a coininontanl par iin lerine 

1 
en (.<• - — a)"'^'l^ cL par siiilc tin di'v tlopiicmcnl i\y' > — h {\i' la 
forme 

y -~ b — (X — a)'"^[ao-T- ai(^ — a )"^ ^ • ■ • J {x^^ o), 

q etant posilif, rn -\- q esl > m, el le poinl x ^^ a est pour I'inte- 
^rale coiisifleiee mi poinl crilicpie ali;t''l)ric|ue. Pour cpie llnU'ti^rale 
generate de I <(piation (^25) soil iine loiuiioii iimrorme. il laut 
done (jue le polvnome Q(j^) se rediiise a une conslanle, ou quf 
I'equalion soil de la forme 

(27) y'n=\>(y), 

P(>') elaiil (III polynome. Leqiialion obleniie par la Iransloiina- 

tion r— -' oil ;;'"'=( — i)'"c-'"P(M devanl anssi elrc de la 

iiieme forme, le degie t/u poLynomc P(jk) hc- peat ctre supe- 
rieiir d 'i.in. Nous poiivons supposer pour achever la discussion 
c|ue P(J^) esl de degre xm. V.\\ el'et si P(j^) esl de degre iin — q^ 

en posanl j-= <^/ + -, a n'elanl pas racine de P(j'), on esl con- 
duil a recjualion 

j'"-' = (— I)'" [;;■■"«?( a ) -+- ;:2"'-' Via) -+-. . .J. 

ou le second meml)re esl iin polvnome de degre ini. Iiiversemenl, 
t'lanl doiinee une equation de la forme (27) on P(^) est un po- 
lvnome de degre a//*, si b est une racine de ce polynome, la sul)- 

slilulion y =^ b -^ - conduira a iiiu' e(|uatioii en ; de la meine 

espt'ce, on le second ineiid>re sera un polynome de dcgri' infe- 
rieiir a ini. 

Sup|josons, par consetjuent, (jue P(jk) esl un poljnoine de 
degre ini, el soil a le premier point singulier que Ton trouve sur 
le chciiiiii L a parlir de x^^. Si |^ | auginente iiidefiniiiient lorxiuc 

X lend vers a, I'l-cpiaUon tm z^ ohtcnue en posaiil T'= -1 admel 

uiic inlt'grale holomorphe qui est nulle pour X = a; le poinl a 
est done un pole pour j^. Resle a examiner le cas ou \ tend vers 
une racine b de P(j') lorsque X lend vers a. Ceci ne pent avoir 
lieu (MIC M luidre ilf iinill qilicile de celle racine esl iiifciieiir 
G., 11. 3a 



I«)8 CHAPITRE XXI. — EQUATIONS DIFFKRENTFELLES NON LINEAIRES. 

a m. Supposons, en efTet, que l*(j') soil divisible par [y — b)i, 
If eluiit ^in. De I'equalion (27) on lire, d'apres les conditions 
initiates, 



X — ^0 = 



{ y — by" 



o[y) elanl regnliere dans le dotnaine dii point 6, et Ton voit 
que |X| angmente indefinimenl lors(^ue Y lend vers b. II fant 
done que Ion ait q <i m\ I equation proposee pent s'ecrire encore 

(u8) dr = {y—b) '"\co^ c^(y — b) ^. . .\dy (cq^^o), 

et I'on en tire, pour x — a, un developpement suivant les puis- 

1 
sances de ( j»' — 61'", commencant par un lerme de degre ni — q. 
Inversement, on en tirera, pour y — b, un developpemenl suivant 
les puissances fraclionnaires de .r — a commencant par un terme 

en (x — a)'"'"''. Le point a est done, en general, un point critique 
algebrique. Pour que ce soit un point ordinaire, il taut que 

soit un nombre entier /, on que i'on ait q = m (^ i — - j > i etant 

un nombre entier superieur a un. (^ette condition est d'ailleurs 
suffisante, car on deduit alors de Tequation (28) un developpe- 
ment 



T — oL = kiir — (>)'+k^iy-by + 



(f^i^o), 



et inversement, on aura pour (y — b)' un developpemenl suivant 
les puissances entieres de :r — a. 

Pour que les inlegrales de I'equation (27), ou P{y) est un 
polynome de degre 2/??, n'admettent pas de points critiques, il 
faut et il suffit, d'apres cela, que I'orrlre de inultiplirite de toule 
raclne de P(j/- ) = o soit egal ou superieur a m, ou soit de la 

Jnrme mi\ — -)^ i etant un nombre entier superieur a I'unite. 

Lorsfjue toutes ces conditions sont remplies, I'integrale generale 
de I'equation (2'y) est une fonction uniforme dont les points sin- 
guliers a distance finie ne peuvent etre que des poles. 



I 



II. — KTIDK HE gLtLQLIiS EQUATIONS l)U IM(E.MIEI( UHKHE. 4^9 

Pour acliever la discussion nous dislinoueroDS plusieurs cas : 

Hrcnner cas. — • II v a an I'aclcur ItiiKune (Jans i\.> ) donl 

I exposant est superieur a m (il ne pent evideninienl y en avoir 

(|u'un). S'il J a en outre /> tacteurs lineaires distincts de celui-la, 

la somme des exposanls de ces facleurs est inferieui-e a //<, 



V ij ■■•'^ "^\ i^^ j 



m ( I — ) <i m. 



o 



n en liie/> — i<; — +...H — ^et, ('oinme if , /, , . ., ip sont plus 

grands (pie riinilr. /? — i < y- ? on yo < 2- On a done /> = i , el 

lequalion (22) peul s'ecrire, en extra\ant les racines ni*""''^ des 

deux nieinhi-es, 

1 t 

(I) y= k(y — a)^'iy- b)'"i; 

le cas ou i^ i ne doit pas «^tre exclu, car il correspond a une 
liypolliese (|ui n'a pas ele examinee, celle d'un seul facteur 
lineaire dans P(y)- 

Deuxieme cas. — L equation \*(y) = o admet une racine 
d'ordre m de multiplicile. Si elle en admet deux, IVquation (2-) 
devient, en extravanl les lacines ni^*'^^^ des deux membres, 

(II) y= A(jK-a)(jK — 6). 

Si ['equation P(jk) = o n'admet qu'une racine d'ordre m de mul- 
tiplicite, elle en admet /?(/? ^ 2) donl I'ordre de multiplicile esl 
inft^rieur a //«, el Ion a une relation de la forme 



m\ I — — 



j — f-ij = 



ou — I = ^ — h- . . . -f- — ^ — ' d ou I on lire p -^ •>.. Com me /) est 

superieur a runile, on a forct-menl/? = 2, i, = i-^ ^= >- : le nonihre m 
est un nomine pair el re(^uali()n (2-) se ram(''ne a la forme 

(J II) y'-= Xij — a)Uy — b){y — c), 

a, b, c elanl Irois nombres difTerents. 

/roisicnie cas. — LV(pialion P{y) = <> n admet (pn* des ra- 
pines donl 1 ordre de mull iplicilt' e>l int('rieur a ni. Soil p le 



)00 CHAPITRE \XI. — KQUATIONS DIFFERENTIKLLES NON LINEAIRES. 

nomhre de ces racines; la somme des ordres de multiplicile 
elanl am, on a iine relalion de la forme 



o-i) 



-H /» ( I — — ) -I- . . . -t- w I I — — ) = i m. 



ou p — o. = -: — !-•••+•-—• On en lire /> ^ 4 1 et comme p est 
superieiir a •>., on ne pent avoir que /j = 4 oi' /» = 3. SI /? :^ 4> 
la somme -; — '\- -. — \- -. — | — - doit elre eeale a 2: chacun des deno- 
minaleurs elant an moins egal a 2, on a necessairemenl 

Si /? = 3, il s'agit de Irouver tiois nombres enliers «", , /o? ^s-. s"- 
perieurs a I'unite, lels que la somme de leurs inverses soil egale 
a 1 . Si aucun de ces nombres nest egal a 2, chacun d'eux est 
forcement egal a 3. Si I'un d'eux /, = 2, la somme des inverses 

des deux autres doit etre -; s'ils sont egaux, chacun d'eux est egal 

a 4' S'ils sont inegaux, le plus petit doit etre inferieur a 4 5 '' ^st 
done egal a 3, et le plus grand est alors egal a 6. On n'a done en 
tout que quatre combinaisons possibles el I'equalion (2^) peul 
etre ramenee a I'une des formes suivantes 

(IV) y-i= x^ y _ a){ y - h){y - c){y - cl), 

(V) y-'=K{y — af{y — b)^(y — cf, 

(VI) y*=-^(y -a)Hy -b)Hy - cY, 

(VII) y6^X{y-a)Hy — b)H,y-c)\ 

a, ^, c, «^ etant des nombres diflcrents. Toutes les equations (27), 
oil y^{y) est un polvnome de degre im, el donl rinlegraie gene- 
rale est une function uniforme, out I'une des formes que Ion vient 
d'obienir. Fnversement toute integrale de I'une quelconque de ces 
equations est une fonction uniforme, puis(|ue, sur un chemin 
quelconcjuc decrit par la variable, on ne pent rencontrer d'aulres 
points singuliers que des poles. 

Aiix dilferents Ivpes que nons venons d'enumerer, il convient 
d'ajouler, pour avoir toules les equations de la forme (20) dont 



II. — KTIDK l>l-: yLlil.Ql KS Kyi A I IONS III I'UKMIKIt (IKIIKK. 'iol 

ririlt'-iiiiile i;t'Mi<''riilf est imifonne, Ics Ivftt's ijue I'oii ohtieiil par 

iiiK^ Irjinsrorniatioii idle (|iie ]- — a := _, a «Haiil line raciiie (In 

polvnome l^(r). l-os iiDuvelles formes ;tu\((iielles on parvienl sonl 
Ics snivanles 

—- 

( I )' y z= \( V — a ) ' . 

(I)" y = X(r — a) '^' , 

(H)' y=A(v — a), 

( ni V x'- = ^ < 7 — (t )-i y — f')^ 

(HI)" y-^^ X(y — h) ( V -c), 

(IV)' yi— \i y — a) iy — b ){ y — c), 

( V )' y'-' = A iy — a)^( y — b)'-, 

(VI)' y4= A(jK — rt)^( r — 6)3, 

(VI)" y4= Af >' — «)'( r — 6)^ 

(Vri)' jk'«= A( r — « )5( y— 6iS 

(VII i" y«=^ A( V — a)5( r — 6 I-'. 

( Vn )'" r'8 = A ( y — rt )* ( r — /^ )■*. 

Les eqnations (1), (1)', (I)", qui se ranienonL Tune a I'anlre, ont 
pour Inle^rale generale une fonclion rationnelle, comme on le 
voit immediatement siir I'eipialion (1)' par exeniple. Les equa- 
tions (II), (II)'. (Ill), (111)', (111)" ont pour integrale generale 
une fonction slinplenient peiiodiqne ; le calcul est iniinecllat. 
Enlin Tintegrale gent-rale des ('(piations (IV) et (l\ )'est une (onc- 
tion elliptiqiie. II ne resle df)nc, coinine tvpes nonveaux d'eqiia- 
tions dlfTerenlielles de la forme (ao) dont I'integrale generale est 
uniforme, que les ('quations (V). (VI), (VII), et celles qui s'y 
ramenent. (-es equalions se partagent en Irois gronpes, et il siiflil 
d'inlegrer une equation de chacnn des iiroiipes. par exempic les 
equations (V)', (VP", (VII)'". 

Si dans ['equation ( VI)" on pose ) ' = r/ -|- :;-, letpialion devicnl, 
en e\lravant les racines carrt'-es des dcti\ iiH-iiihres, 

4 z''^ = \'^ z( z--^ a — b). 



5o2 CHAPITHE \\I. — KQUATIONS niFFKREXTIKI-LKS NON LIXKAIKKS. 

et rintegrale generale de lequation en :; est une fonction ellip- 
tiqne. De meine, si dans reqiiation (Vll)'" on \)Ose y ^ a -\- z'^ ^ 
I eqnalion devient, en exlravant les racines cubiques des deux 
membres, 

el nous relrouvons une equation de la forme (IV)'. 

Pour inteii^rer 1 equation (V)', nous remarquerons que cetle 
relation entre y ei y' e>l du premier j^enre. On pent done e\ primer 
rationnelb'ment y et y' an mojen des coordonnees d iin point 
dune cubique, ou au moyen dun paramelre t et de Ja racine 
carree d un poUnome du troisieme degre. Si I'on pose en 
eflet j''= Af-, on tire de I'equation (\ )' 



r 



\/{a — b )--h 4 A<3, 



et la relation dy=^y'dx conduit a la nouvelle equation 



3 -r- = Jia 
ax 



bf-^^\t\ 



dont I'integrale generale / =zfi^x -^ (>) est une fonction elliptiqiie. 
On en deduil pour lintegrale geneiale de 1 equation (V)' 



y 



- - fix 

2 " 



C). 



L'integrale generale de toute equation de la forme { .2.5 ), lorsqu'elle 
est une fonction uniforme, est done soit une fonction rationnelle 
de X ou de lexponentielle e^^ , soit une fonction elliptique. 

En dehors des cas qui viennent d'etre enumeres, I'inlrgrale 
generale de I'equation i'lh) n'esl jamais une fonction uniforme. 
Par exemple, la fonction inverse d'une integrale hv|)erelliptique de 
premiere espece ne jjeut etre une fonction uniforme. Considerons 
en effel un polvnome P(jKj premier avec sa derivee, et de degre 
superieur a 4; I'equation diflferentielle y'- = ^(y^ ne pent 
admetlre d'integrale uniforme. Soient {xQ^y^) les valeurs initiales 
des deux variables x et y; lorsqiie \y\ augmente indefiniment, 
X tend vers une valeur finie a, el inversement lorsque x va de x^ 
en a, \y augmente indefiniment. Le point x = a est un point 



II. — KiiKK m; yt'KLgi i;s KyiAiioNS ut i-kkmikr (iitnHK. 5o3 

criti(|ui' .ili;el)ri(|ne, nous veiions de le voir, |)oiii' rinlr<;ralp de 
I'equalioii :;'-=:=;'' l^ (- ) (|ui lend vers zero lors(|iic x lend 
vers a piiiscjiif li- d(';i;r('' de \\y) esl superieur a 4 (')• 

M'i. Existence des fonctions elliptiques d^duite de I'equation d'Euler. 
— Le? rai^iMiiniiit'iil< ilii |Hf(iHlcnl |iiniii;ra|)lit' pi()u\eiit eii pailiculicr 
que riiitej,M-alc j;eneiale (Ic leqiiation j^''^ = K(^),ou R(^)est un polynomf 
du Iroisieine on du t|uali'ienie degii-, premier avec sa derivee, est une 
foiiclion iiiiifuiiiio iiitMomoi|jhe dans timi le plan. D'autrepart la t'onction 
inverse, qui est une itite',Male elliptii|ue de premiere espece, admel deux 
periode- dont le rapport est imaginaire ( n" ;jl4j. Gette I'onction uniforme 
est done douhlement periodique, el nous di-niontrnns ainsi I'existence des 
fonctions e!iipti(|ues pai le calriil inle<;ral seulement. La demonstration 
priicedenle de runifoniiili' de la ioiulimi in\erse de I'intcgrale elliptique 
de premiere espeee esl dislincle de celle qui a ele doiinee plus haul, (n° 336). 
oil nous faisons appel au\ proprietes de la fonclion pu. .\imis monlrerons 
encore en quelques mots comment on |)eul prendre pour point de depart 
de la iheorie I'integration de requation d'Euler, ce qui pourra donner une 
idee de la marclie suivie par les inventeurs. 

Consi(l('i-nns d'abord IV-qu-iiiou did'erenlielle 

d.i- dy 

v/i — J72 V'l— X" 
dont lintegrale generale estjrv/i — ^K--(-_^'v/i — j-- = G (n"37(i). 11 est 

(') Dans un de leurs Menioires. Uriol el iJouquet s'etaienl propose de deter- 
miner loutes les e(|ualions F{y. y') = o, on !•" est un polynonie. ilont i'iiilegrale 
generale esl une fonclion unifortne (Journal de I'h'cole Polytechnique, I. \\I). 
Des conditions Irouvees par eux, \l. Herniile a deduil ijue la reialion enlre y 
el y' esl du genre zi'ro on nn ( Coi/rs litliographie de I' Ecole Polylechnique, 
1S73). de sorle que Ton |)tMil a|i|>li(|iior [loiir I'lntcsiralion la melhode du n° 373. 
Si la reialion esl du genre zero, on pent exprinier y el y' par des fonctions ration- 
neiles d'un paramelre t; la variable x, (|ui s'oblienl par vine quadialure, doil 

I . c • I- • ■ 1 at -h b , . , ,, 

elre et<ale a une lom-lion lineaire ile /, x = -y ou au louarillinie <l une tone- 
rs H- « 

lion de celle espece j = A Logl ;)> pour iim; I'inlesralc de reiiuation pro- 
ved -t- a J ' 

posee soil une I'oiictioti iiiiiloifne. Si la reialion esl du genre un, on peul e\|)rimer_)' 

dx I d'y 

el V pa